2016-2022高考真题不等式选讲解答题全集 （学生版 解析版）

2016.2022高考真题不等式选讲解答题全集（学生版解析版）--解答题（共22小题）(2022•乙卷)已知”，伉c都是正数，Jla2+/J+c2=l,证明：abc<.abc1--+ +--<<—7—•b+ca+ca+b27abe(2022•甲卷)已知小儿,•均为正数,Ra2+*2+4c2=3.证明：(1)。+〃+2，这3：11(2)若〃=2c,则一+->3.ac(2021•乙卷)已知函数=k-«|+lv+3|.(1)当@=1时,求不等式76的解集：(2)若/(、)>-«,求”的取值范围.(2020•江苏)设xGR,解不等式2MHl+R<4.(2020•新课标川)设a,b,cER,“+〃+c=0,cibc=1.(1)证明：a〃+〃c+c”V0：IIJmax{a,h.c|表示"，〃，c的坡大值，证明：b,<1}>V4.(2020•新课标I)已知函数/”)=|3.v+l|-2U-1|.(I)画出y=/(x)的图象；(2)求不等式/(a)>f(.v+l)的解集.(2020•新课标II)已知函数/(.v)=h-«2|+lv-2«+l|.(I)当a=2时，求不等式/(.r)24的解集：

(2)若/(a)24,求“的取值范围.(2020•新课标HI)设数列{4”)满足“i=3，“"+1=3“a-4”.(I)计算〃2,a3,猜想{““}的通项公式并加以证明：(2)求数列12%,)的前“项和S”.(2020•新课标用)设“，①cGR,fl+/;+c=0,abc=\.(1)证明：“〃+〃c+c”V0；(2)用"”《■{"，。，<•}表示”，〃，c中的最大值，证明：/?.<•}>V4.(2019•江苏)设A6R,解不等式M+I2X-1|>2.(2019•新课标111)设x,»z€R,且k+.y+z=1.⑴求(a-I)2+(.1+1)2+(Z+I)2的最小值：(2)若(.v-2)2+(y-1)2+(z-«)22J成立，证明：“W-3或-I.(2019•新课标II)已知/(.V)=h-ak+k-2|(X-a).(1)当4=1时，求不等式/(K)〈。的解集：(2)当.汪(I)Ibj,/(.v)<0,求4的取值范围.(2019•新课标I)已知“，〃，。•为正数，且满足“瓦=1.证明：(I)—+—+-<a~+lr+c~-,abc~(«+〃)3+(〃+c)3+(c+“)3224.(2018•北京)设”为正为数,集合A={a|o=(/i./?.•••/„)./*6(0.1}.k=\,2,…，n}.对于集合A中的任意元素a=<xi,X2.xn)和0=(yi.V2»记M(a,p)=^|(.Vl+yi-hl-V||)+(A2+.V2-|.V2-.V2I)+•••(.Vw+Vn-|xw->n|)|.(I)当”=3时，若a=(1,I,0),p=(0,I,I),求何(a,a)和M(a.0)的值；(II)当〃=4时，设8是A的子集，且满足：对于8中的任意元素a,仇当a,0相同时，M(a,P)是奇数：当a,0不同时，M(a.p)是偶数.求集合8中元素个数的最大值：(III)给定不小于2的it.设8是A的了•集，且满足：对于B中的任意两个不同的元素a.P.M(a,P)=0,写出一个集合8,使其元素个数最多，并说明理由.(2018•新课标I)已知/(.¥)=U+1|-\ax-l|.(I)当“=1时，求不等式/(<)>1的解集：(2)若.隹(0,I)时不等式/(.v)>.i•成立，求”的取值范围.(2018•新课标II)设函数f(a)=5-k+fl|-k-2|.(I)当”=l时，求不等式/(x)NO的解集：(2)若/(x)<1,求”的取值范围.(2017•新课标］)己知函数/(x)=-?+av+4,g(.r)=k+l|+k-1|.(1)当a=l时，求不等式/(.r).(.r)的解集：(2)若不等式/”)(a)的解集包含［-I,I］,求〃的取值范围.(2017•新课标［1)已知h>0,，尸+护=2.证明:(a+6)(«5+b5)沁“+6W2.(2017•新课标I1D已知函数/(a)=k+H-lv2|.(1)求不等式/”)的解集：(2)若不等式/“)-.r+/n的解集非空，求m的取值范围.(2016•新课标11］)已知函数/(k)=|2r-«|+«.(1)当”=2时，求不等式/(.r)W6的解集：(2)设函数g<x)=|2.v-1|,当x€R时./(.v)+g(,v)>3,求”的取值范围.(2016•江苏)设”>0,|x-IV，2|V*求证：|2r+v-4|<a，(2016•新课标H)已知函数/")=卜一||+卜+||,M为不等式/(.r)V2的解集.(1)求M：(II)证明：当“，左仞时，|“+〃|<|1+必.2016.2022高考真题不等式选讲解答题全集(学生版解析版)参考答案与故・解析一.解答题(共22小题)(2()22•乙卷)已知小〃，<、都是正数，fiJ+d2+cl=l,证明：abc<g；abc1--+ +--<丁尸b+ca+ca+b2ylabc【解答】解：(1)证明：：”，。，,•都是正数，Aa2+-+c；>3y/abc=3(a+b)2,当且仅当a=b=c=34时,等号成立.3 3 3因为a9+应+/=[,所以123(abc)£所以->(abe)2,3i所以“从士)得证.(2)根据基本不等式/t+cM2痴，”+<》2伍，“+人22局，当且仅当“=〃=<•时等号成立，故得证.(2022•甲卷)已知a二c均为正数,且“2+。2+4<2=3,证明:«+b+2t<3；(2)若〃=2c,则三+三>3.ac【解答】证明：(I)•:a,一,•均为正数，且244r2=3,二由柯西不等式知，(/+/+4C2)(12+|2+12)>(«+6+2()2,即3X3N(«+6+2c)2,.•.”+〃+2<W3：当口仅当”=0=2c，即“=6=1,c=；时取等号；(2)由(1)知，”+/>+2<W3且。=2c,

故0Va+4cW3,则」一>TOC\o"1-5"\h\zQ+4c 31 1 I2 22 9 1 2 1由权方和不等式可知，一+-=-H > >3,当且仅当一=一,即«=I,c=彳a c a 4c a+4c a 4c A时取等号，,,11故一+一>3.ac(2021•乙卷)已知函数f")=k-«|+h+3|.(1)当”=1时，求不等式/(K)26的解集：(2)若f")>-a,求”的取值范围.f-2x-2,x<-3【解答】解：(I)当a=l时，/(x)=卜-1|+卜+3|=彳4,-3<x<l ,(2x+2,x>1V/(x)36,>阈一3C〈I叫;NJ .l-2x-2>6(4>g\2x4-2>6-4或.02,二不等式的解集为(-<=°,-4]U[2,+co).f(x)=lv-«|+|.t+3|^|.v-a~x-3|=|a+3|.若f(k)>-a,则|a+3]>-a,当“20时，不等式恒成立；当«<0时，-«>0,不等式|“+3|>-a两边平方可得«2+6«+9>«2,解得一怖<a<D,练上可得，。的取值范围是(-去+8).(2020•江苏)设xER,解不等式2MHi+NV4.3x+2,x>0【解答】解：2|x+||+|x|=•x+2,-1<x<0.「3x—2,xV—1. +2V4+2V4 J—3k—2V4V2h+l|+kl<4,."J 或+或《 ,(x>0 t-1<X<0(x<-10<xV：或-IW.vWO或-2<x<-I,-2<.v<1,.•.不等式的解集为3-2<.t<!|.(2020•新课标HI)设〃，h,cER,〃+〃+c=0,ubc=\.(1)证明：a/>»7?c+caV0；

(2)用〃c)表示"，〃，c•的蛾大值，证明：〃心{a,/?»c)>V4.【解答】证明：(1) +〃+c=(),，(a+〃+c)2=0,</2+/r+C2^2alH2ac^2hc=0,：.2ub^2ac+2hc=-(a2+/r+^),abc=1>：,a,b,c均不为0，；・2ab+2ac+2bc=-(w2+/r+?)<0,.*.n/?+ac+/jc<()；(2)不妨设a^b<0<c<V4,则ah=->4,c狎•・・a+〃+c=(),/.-n-/;=c<V4,而・〃-h^lyfab>-^p='=43=V?,与假设矛盾，v44g故b,c}>V4.6.(2020•新课标1)已知函数/")=|3.t+l|-2k-1|.(1)画出)•=/(x)的图象：(2)求不等式/不)>f(.v+1)的解集.卜+3,(x>1)【解答】解：函数/(.v)=|3a+I|-2|.v-1|=^5x-1,(-1<x<1),(-x-3,(xV-4)图象如图所示

(2)由于/(.什1)的图象是函数f(x)的图象向左平移了一个单•位所得，(如图所示)直线.v=”-1向左平移一个单.位后表示为「=5(a+1)・1=5工+4,联咪2二:，解得横坐标为A4.••不等式/(x)>/(x+l)的解集为(HtV-：｝.(2020•新课标H)已知函数fJ)=卜-*+Lv-2“+l|.(I)当”=2时，求不等式/(、)24的解集：(2)若/(x)?4,求”的取值范围.(-2x+7,x<3【解答】解：(1)当〃=2时，f(.v)=|x-4|+|x-3|=(1,3<x<4(2x-7,x>4当kW3时，不等式f(,v)24化为-21+724,即x<A.v<当3VAy4时，不等式/(.v)24化为124,此时A-e0：当.4时，不等式/”)24化为2<-724,即,v>学，二后学.综上，当。=2时，不等式/(a)24的解集为｛巾或\之学):

/(a)=|x-a2|+|x-2«+l|^lr-＜j2-(.v-2n+l)|=|(«-I)2|=(«-1)2.又/(x)24,二(a-I)54,得“-1W-2或a-1N2,解得：“W-I或心3.综上，若/(k)N4,则a的取值就围是(-°°,-i]u[3.+°°).(2020•新课标HI)设数列满足”|=3,即+|=3"”-4〃.(I)计算“2,始，猜想(“＞的通项公式并加以证明:(2)求数列[2%")的前”项的S”.【解答】解：(I)法一：数列｛“"｝满足“1=3,“"+1=3""-4”，则”2=3”|-4=5,”3=3“2-4X2=7,—,猜想IUn)的通项公式为an=2n+\.证明如下：(i)当〃=1,2,3时，显然成立，(//)假设”=仁时，卬=261(依M)成立，当〃=&+】时，“zi=3a«-软=3(2JI+I)-4k=2k+^=2(«+I)+1,故〃=&+】时成立,由(|)(H)知，如=2"+1,猜想成立,所以I“〃)的通项公式“"=2〃+1.法二：数列｛aa)满足a।=3,“"+1=3"”-4〃，则“2=3，"-4=5.ci3=3(i2-4X2=7.•••,猜想(«„)的通项公式为an=2n+1.证明：设“”+i+a(/1+1)+3=3(如+aa+B)，行【得〃"+i=3““+2a"+2B-a,,■,(2?-«=O,解得。二:“g-2(/i+l)-1=35-2"-l),(不能说明-2〃-I｝是等比数列)V«i=3,«i-2X|-1=0,并且“2-2X2-1=0,所以＜加=2〃+1恒成立.所以(in=2/i+l.(2)令包=2"如=(2/1+1)*2".则数列｛2，")的前〃项和Sff=3X2,+5X22+—+(2//+1)2",…①两边同乘2得,2S„=3X22+5X23+-+(2/i+D2叫…②①-②得，-S，，=3X2+2X22+…+2X2"-(2n+l)2W+I

=6+8(：2二1一(2"+l)2"+L所以瑞=(2/r-1)2n*,+2.(2020•新课标1H)设。，bfc€R»a+〃+c=0,abc=1.(I)证明：al汁bc^caVO；max{a^b,c}>V4.(2)用〃b,c}表示a,0,r中的最大max{a^b,c}>V4.【解答】证明：(I)Vu+/;+c=0,二(a+6+c)2=0,+〃2+(2+2a〃+2ac+2〃(=0,2ab+2ac+2bc=-(</+力2+J),V(ibc=1»:・a,b,r均不为0,：・2ab+2ac+2bc=-(^2+h2+(?)<0,.,.ab+ac+bcVO；(2)不妨设。与〃VOVcV海，则ab=>白，,・7/+〃+c=0,:・■a・〃=c<V5,而・a・h^2\fab=-=4§=V?，与假设矛盾，J446故“以小hb,c}>V4.(2019•江芳)设.隹R,解不等式H+2v・l|>2.(3x-1,x>1【解答】解：|x|+|2x-1|=1_x+1,0gxvL(-3x+1,x<0V［.v|+|2a--l|>2,.3x-l>2r+1>2 -3x+1>2：•［或］或 ，x>1 (0<x<5tx<0A.v>1或.怅0或.iV-g,.・・不等式的解集为(mV-g或a>1}.11,(2019•新课标川)设工，.y,zER,且.v+y+2=L(I)求(.V-1)2+(y+1)2+(2+!)2的收小值;(2)若(a--2)2+(,y-I)2+(z・a)成立，证明:

【解答】解：(I)X,.v,zCR,且n+,v+z=1,由柯西不等式可得(i2+l2+)2)I(a-I)2+(y+】)2+(z+1)2],(N-i+y+1+z+l)2=4,可得(.V-I)2+(3,+!)2+(z+1)2>当旦仅当x-l=.v+l=z+l,即.r=y=z=一：时取得等号.4即有(K-1)a+(田)2+(z+])2的最小值为J(2)证明：由k+.v+z=1,柯西不等式可得(12+12+12)|(.V-2)2+(y-I)2+(z-«)2伊(.v-2+v-1+z-«)2=(«+2)2,2可得(.v-2)2+(丫-1)2+2?色孕_，即x-2=y-l=z-“时取得等号，即有(.r-2)2+(y-I)2+(z-«)2的最小值为由题意可得"立>3 3解得“2-I或“W-3.(2019•新课标11)已知/(x)=k-«k+h-2|(a-«).(1)当”=1时，求不等式/(x)V0的解集：(2)当xW(-I)H4./(.r)<0,求“的取值范围.【解答】解：⑴当“=】时，/(.V)=k-llv+Lt-2|(.v-I).'：f(.v)<0,.•.当xVI时,f(.v)=-2(.v-I)2<0,恒成立，."..v<1：当.Gl时，/(a)=(x-1)(.v+Lv-2|)》()恒成立，，.怅0：综上，不等式的解集为(-8,1)；(2)当“Ml时，/(.r)=2(4-x)(x-I)V0在.怅(-8,])上恒成立：当4Vl时，xe(.a,I),f(,v)=2(.v-fl)>0,不满足题意，的取值范围为：[1，+8)(2019•新课标I)已知mb.c为正数,且满足。加=1.证明：111,,,—+丁+—士广+/r+c-：abc(a+fc)3+(b+c)3+(c+fl)3224.【解答】证明：(1)分析法：已知”，/>,。为正数，且满足R"=l.要证(I)-+-+-<«2+/r+r：因为ahc=1.abc

'3-rabcabcabc，，22就要证： + + <a~+bz+cZiabc即证：仪+ac+a。应(尸+/，+/.即：2bc+2ac+2abW2a2+2b2+2c2；2(z2+2/?2+2c2-2bc-2ac-(“-/，)2+(«-c)2+(b-c)22()：,：a,b,c为正数，且满足(ibc=1.("-〃)220;("-C)2》()；(〃-c)2》。恒成立；当口仅当：“=〃=<.=|时取等号.即(<一)2+(qc)2+S-C)2去•得证.111故一+—+-<t/2+/?2+c2得证.abc(2)证(。+〃)3+3c)3+(〈・♦〃)3224成立：即：已知小b,c为正数,且满足〃仅=1.(〃+〃)为正数;(h+c)为正数:(』)为正数：(a+b)3+3c)3+(c+〃)3》3(«+/?)•(/>+€)•(c+z/)；当且仅当(〃+〃)=(〃+c)=(c+d)时取等号：即：a=〃=c=1时取等号:Ta,b,c为正数,且满足〃灰=1.Ca+h)22VH(〃+c)^2x/bc：(c+«)^2>/<c：当且仅当a=〃，h=c：c=〃时取等号：即："=〃=(•=］时取等号：:.(a+b)3+(b+c)3+(cw)(a+〃)・(〃+c)・(c+。)3X8Vab•Vbc•vac=24abc=24；当且仅当〃=〃=c=1时取等号：故G+b)3+(〃+(•)3+((«+〃)降24.得证.故得证.(2018•北京)设〃为正整数，集合4={a|a=(小门，…加，伏£(0,1),1=1,2,…，n],对于小合A中的任意元素a=(xi»-，…，・％)和B=5,)2，…加)，记M(a,IB)=引(xi+J!-hl-yil)+(K2+.V2-卜2-)也|)+,••(.%+『"-|x«-_Vnl)I-(I)当〃=3时，若a=(1,1,0),B=(0,I.1),求M(a,a)和M(a,p)的值；(II)当〃=4时，设8是A的子集，且满足：对于8中的任意元素a,仇当a,0相同时，M(a.P)是奇数；当a,0不同时，M(a,P)是偶数.求集合8中元素个数的

最大值：(川)给定不小于2的”，设8是A的子集，且满足：对于8中的任意两个不同的元素a,p.M(a,p)=0,写出一个集合8,使其元素个数最多，并说明理由.【解答】解：(/)M(a,a)=l+l+0=2,M(a,p)=0+l+0=l.(//)考虑数对(.*.、*)只有四种情况：(0,0)、(0,l)、(l,O)、(l,I)，相应的Xk+yik-yM分别为0、0、0、I,所以8中的每个元素应有奇数个I,所以B中的元素只可能为(上下对应的两个元素称之为互补元素)：(1.0,0.0)、(0,1.0.0)、(0,0.1,0)、(0.0.0,I).(0,I.I,I)、(1,0,I,I),(1,I,0,1)、(I.I.I.0),对于任意两个只有I个1的元素a,B都满足M(a,p)是偶数，所以四元集合B=[(I,0.0,0)、(0.I,0,0)»(0.0.1,0)、(0,0,0,I)}满足题意，假设8中元素个数大于等于4,就至少有一对互补元素，除了这对互补元素之外还有至少I个含有3个I的元素a,则互补元素中含有I个1的元素P与之满足例(a,P)=1不合题意，故8中元素个数的最大值为4.B={(0,0,0,-0).(I.0,0-,0),(0,1,0.-0).(0.0,1—0)•••,(0,0.0.—,I)},此时B中有n+1个元素，下证其为最大.对于任意两个不同的元素a.p.满足M(a,p)=0.则a,0中相同位置上.的数字不能同时为1,假设存在8有多干,叶1个元素，由于a=(0,0,0,…，0)与任意元素p都有M(a,p)=0,所以除(0,0,0, 0)外至少有〃+1个元素含有1,根据元素的互异性，至少存在一对a.p满足h=)y=/,此时M(a,p)力1不满足题意，故8中最多有〃+1个元素.(2018•新课标I)已知/(x)=h+l|-|ar-1|.(1)当a=l时，求不等式/(x)>1的解集：

(2)若a6(0,1)时不等式/(、)>x成立,求”的取值范困.(2,x>l【解答】解：(1)当”=1时，/(K)=U+l|-h-11=-jzx,-1<X<1.1-2,XV-1山/(.v)>1..•俨>】或F>1,1-1Sx<1tx>l解得K*,故不等式/(K)>1的解集为(1,+8),(2)当疣(0,1)时不等式/(K)>X成立，**.Lv+l|-lav-l|•.v>0,即工+\-\ax-1|-v>0»B|J|av-1KL；.-1<ax-I<1.・・・0VarV2,Vxe(0,1),a；.0V“W2,故a的取值范围为(0,2].(2018•新课标II)设函数f(.r)=5-k+«l-k-2|.(1)当a=l时，求不等式/(x)20的解集；(2)若/(工)这1,求〃的取值范围.(2x+4,x<-1【解答】解：(I)当a=l时，/(k)=5-卜叶1|-卜-2|=(2,-1<x<2.(-2x+6/x>2当-I时，f(.v)=2t+420,解得-2W\W-I.

当-lV.r<2时，/(、)=220恒成立，即-当\22时，/(\)=-2v+6e0,解得2W\W3,综上所述不等式/(.V)Z0的解集为［-2,3J,(2)V/(a)W1.5-h+«|-k"2|WI>.•Jv+oHr.2B4,.*.h+d+lv_2|=k+«l+|2-x\^\x+a+2-a1=|o+2|,；.|«+2|24,解得“W-6或”22,故”的取值范围(-8,-6］U(2,+8).(2017•新课标I)已知函数/新)=-.v2+«.v+4,g(a)=|x+l|+|r-l|.(I)当”=l时,求不等式/(x)2g(.v)的解集：(2)若不等式/(x)表(.V)的解集包含［-I,I),求”的取值范围.【解答】解：(I)当“=1时，/")=-.r+x+4.是开口向下，对称轴为.后：的二次由数，(2x,x>lg(.V)=k+l|+|x-l|=h，-1<X<b(-2x,xV-1当.走(1,+8)时，令-.i2+.v+4=2a，解得尸鸟二1,4(,v)在(I,+OO)上垠调递717-1增，/(工)在(I,+8)上单调递减，；.此时/(工)Ng(x)的解集为(19——1：当山(7,I州，4(x)=2,f(a)2/(-1)=2.当xe(-°°.-I)时，g(.v)单调递减，/(K)单调递增，且&(-I)—/(-1)=2.7—1综上所述，/(、)2g(.v)的解集为|-I,—^―1：(2)依题意得：-：+研+422在［-I,1|恒成立，即.1-,“-2辽0在［-1,1］恒成立，则只就；姬1:2三0 ,解得_|w“Wl,((-1)^—a(-l)-2<0故”的取值范围是［7,I］.(2017•新课标II)己知〃>0,/>0,/+//=2.证明：(。+6)(，户+心》4；

a+bW2.【解答】证明：(1)由柯西不等式得：(a+h)(fir5+/;5>》(Vci-a5+Vb-h5)2=(a。/,3)2,4,当且仅当心官=用，即a=h=1时取等号,(2)V<?+/?=2.:.(«+6)|(〃+。)2-3ah\=2.二(a+Z>)3-3ab(«+/?)=2,.(a+b)3-.(a+b)3-2…3(a+b)=ab，由均值不等式可得:(a+b)3-2

3(a+b)由均值不等式可得:(a+b)3-2

3(a+b)=a〃W( )2(a+h)3《2,4：.a+h^2,当且仅当a=h=I时等号成立.19.(2017•新课标111)已知函数/(.、•)=k+U-lr-2|.(1)求不等式/(a)与1的解集：(2)若不等式/(x)Nv2-.“的解集非空,求,”的取值范圉.f—3)xV—1【解答】解：(1)V/(x)=k+1|-k-2|=q2x-l,-l<x<2,f(.v)31,(3,x>2.••当-1WaW2时,2v-1^1,解得IWxW2：当t>2时，32l恒成立，故x>2：然上，不等式/(k)2I的解集为｛#21).(2)原式等价于存在k€R使得/”)-』+.rN，〃成立，即"W|/(.V)-.r+.v|Wav»设#(.v)=f(.v)-,r+x.f-x2+z-