2021-2022学年广东省阳江市高三（上）月考数学试卷（四）（附答案详解）

202L2022学年广东省阳江市阳春一中高三（上）月考数学试卷（四）（12月份）.已知集合4={x[-1<x<5},B={1,3,5},则ADB=（）A.{1,3} B.{1,3,5} C.{1,2,3,4} D.{0,1,2,3,4,5}.设z=-3+2i,则在复平面内5对应的点位于（）A.第一象限B.第二象限3.A.第一象限B.第二象限3.函数y=e?- 的图象可能是（）ay—«A.D.一0一：4.已知△4BC的边BC上有一点满足前=4反，则而可表示为（）A.AD=-AB+-AC B.AD=-AB+-AC4 4 4 4AD=-AB+-AC D.AD=-AB+-AC5 5 5 55.下列有关命题的说法错误的是（）A.在△ABC中，“4>B”是“a>b”的充要条件“x=1”是“xN1”的充分不必要条件C.若命题p：3x0eR,>0,则命题-ip：VxeR,x2<0"sinx=9的必要不充分条件是“x=9'N o.明朝早期，郑和七下西洋过程中，将中国古代天体测量方面所取得的成就创造性地应用于航海，形成了一套先进航海技术-“过洋牵星术”.简单地说，就是通过观测不同季节、时辰的日月星辰在天空运行的位置和测量星辰在海面以上的高度来判断方位.其采用的主要工具是牵星板，由12块正方形木板组成，最小的一块边长约2厘米（称一指），木板的长度从小到大依次成等差数列，最大的边长约24厘米（称十二指）.观测时，将木板立起，一手拿着木板，手臂伸直，眼睛到木板的距离大约为72厘米，使牵星板与海平面垂直，让板的下缘与海平面重合，上边缘对着所观测

的星辰，依高低不同替换、调整木板，当被测星辰落在木板上边缘时所用的是几指板，观测的星辰离海平面的高度就是几指，然后就可以推算出船在海中的地理纬度.如图所示，若在一次观测中，所用的牵星板为六指板，则tan2a=().已知〃是两条不同直线，a,夕是两个不同平面，有下列四个命题:①若m〃a,n//a,则m〃几；②若n_La,m10,m//n,则a〃夕；③若aJ■夕，m〃a，n10,则m〃n；④若a〃氏mca,mln,则n_L3其中，正确的命题个数是()A.3 B.2 C.1 D.0.已知关于x的不等式室苦>1僦在(0,+8)上恒成立，则实数4的取值范围为()A.g,+8) B.(e,+oo) C.(0,》 D.(0,e).若a<b<0,则下列结论中错误的有()A.-<- B.0<-<1C.ab>b2D.->-ab b ab.若将函数/(x)=cos(2x+S)的图象向左平移三个单位长度，得到函数g(x)的图象,12 8则下列说法正确的是()A.g(x)的最小正周期为7T B.g(x)在区间［05］上单调递减C.函数g(x)的象关于点6,0)对称 D.g(x)在［一士勺上的最小值为一;.设{%}("€N*)是各项为正数的等比数列，g是其公比，心是其前〃项的积，且K$<K6,K6=K7>Kb,则下列选项中成立的()A.0<</<1 B.a7=1C.K9>Ks d./与K7均为心的最大值.如图所示，在正方体4BCC-&8传1。1中，过对角线BCi的一个平面交棱于E,交棱CG于F,则下列命题中是真命题的为()A.四边形BFCiE有可能是正方形B.平面BFDiE有可能垂直于平面C.设D#与OC的延长线交于M,5E与D4的延长线交于M则M、N、B三点共线D.四棱锥a-BFCiE的体积为定值.已知向量丘=(1,々)，至=(9,k-6).若Q〃反则实数k=..已知x>0,y>0,lg2x+1g8y=lg2,贝f+点的最小值是..已知圆锥的底面半径为1,母线长为3,则该圆锥内半径最大的球的体积为..若在数列的每相邻两项之间插入此两项的和，形成新的数列，再把所得数列按照同样的方法不断构造出新的数列.现对数列3,4进行构造，第一次得到数列3,7,4：第二次得到数列3,10,7,11,4；依次构造第eN*)次得到数列3,修,工2,…，xk,4,记a”=3+X[+应+—+xk+4,则a?=,设数列｛a“｝的前n项和为Sn，则又=..已知数列｛%｝,若.(1)求数列｛即｝的通项公式；(2)求数列｛>一｝的前n项和QnQn+i从下列3个条件中任选一个补充在上面的横线上，然后对题目进行求解.①a】=1,a4=7,2an=an_1+a„+1(n6N*,n>2)；②前〃项和%=n2；③a1=l,点火珥须)，B(n+1,即+力在斜率是2的直线上..已知A4BC中，a,b,c分别为角A,B,C的对边，a>b且acos2B=bsinA⑴求B；(2)若。为8c边的中点，AD=V7,BC=2y[3,求△ABC的面积..如图，在多面体ABCCE中，AEB为等边三角形，AD//BC,BCLAB,CE=2\[2,AB=BC=2AD=2,F为EB的中点.(1)证明：4/7/平面OEC：(2)求多面体ABCDE的体积..已知数列｛an｝中，%=1,an+l=-^-(neN)%i+3(1)求。2，。3；(2)求证：&+g是等比数列，并求5｝的通项公式时；(3)数列｛%｝满足bn=(3n-1)--an,数列｛%｝的前〃项和为〃，若不等式(一1)-<7；+后对一切《€可*恒成立，求2的取值范围..在四棱锥P-4BCC中，底面ABCO为正方形，PB=PD,(1)证明：面PAC1面ABCD：(2)若PA与底面ABCD所成的角为30。，PA1PC,求二面角的B-PC-。余弦值..已知函数/1(X)=(x-2)-ex- —l)2,g(x)=m(x4-Inx)-2ex.(1)讨论/(x)的单调性；(2)当a=0时，令F(x)=/(x)-g(x),若X。是函数F(x)的极值点，且尸(&)>0,求证：F(x)>—2xq+2x0.答案和解析.【答案】A【解析】【分析】本题考查了交集的定义及运算，属于基础题.【解答】解：={x|-1<x<5},B={1,3,5).ADB={1,3}.故选：A..【答案】C【解析】【分析】本题主要考查共施复数的代数表示及其几何意义，属于基础题.求出z的共枕复数，根据复数的几何意义求出复数所对应点的坐标即可.【解答】解：vz=-3+2i,z=-3-23•••在复平面内，对应的点为(-3,-2),在第三象限.故选C..【答案】B【解析】解：函数、=62—6团是偶函数，x=0时，y=e2-e>0,x>0时，函数是减函数，所以函数的图象是B.故选：B.利用函数的奇偶性以及函数的单调性，推出结果即可.本题考查函数的图象的判断，函数的奇偶性以及函数的单调性是判断函数图象的常用方法..【答案】D【解析】解："BD=4DC；：.AD-AB=4(AC-而)；而=4AC+AB； k1 , 4 ,••AD=-AB+—i4C.5 5故选：D.根据前=4配即可得出而-荏=4（前一而），解出向量而即可.考查向量减法的几何意义，以及向量的数乘运算..【答案】D【解析】解：对于：A：在AABC中，根据大边对大角和大角对大边，所以“4>B"="a>b"即“4>B”是“a>b”的充要条件；故4正确；对于8当"X=1"时，“x>1”成立，反之不成立，故“x=1”是“x21”的充分不必要条件，故8正确；对于C：命题p：3x0GR,xl>0,则命题「p：VxGR,x2<0,故C正确；对于O：“sinx=”的充分不必要条件是“V"，故。错误.Z 6故选：D.直接利用充分条件和必要条件的应用判断ABC的结论，进一步利用命题的否定的应用判断C的结论.本题考查的知识要点：命题的否定和充分条件和必要条件的应用，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于中档题..【答案】4【解析】解：由题意知六指为2+5x含=12厘米,所以tana=搂*所以tan2a=匿充=珪=荽36故选：A.由等差数列的通项公式求出六指高度，再计算tana和tan2a的值.本题考查了三角函数求值问题，也考查了运算求解能力，是基础题..【答案】C【解析】解：已知〃是两条不同直线，a,0是两个不同平面，①若m〃a,n//a,则直线相和〃可能相交也可能异面，故zn〃n错误.②若nla,mLp,m//n,则直线zn和〃可以看成是平面a和0的法向量，由于m〃n,则0:〃0,故正确；③若a1m//a,nl夕，则m〃n也可能7nln,故错误；④若a///?,mua,mln,没说明直线〃的位置，也有可能n〃0,故n_L0错误.故选：C.直接利用线面平行和线面垂直的判定和性质的应用求出结果.本题考查的知识要点：线面垂直和线面平行的判定和性质的应用，主要考查学生的转换能力及思维能力，属于基础题型..【答案】A【解析】【分析】本题考查实数的取值范围的求法，考查导数性质等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，是中档题.不等式转化为(e"+i)4x>(x+l)lnx=(elnx+l)lnx,设/(x)=(ex+l)x,x>0,则f(Ax)>f(lnx),利用导数判断函数的单调性，可得4>等在(1,+8)上恒成立，设g(x)=手，利用导数求出函数的最大值即可求出;i的取值范围•【解答】解：关于x的不等式$¥>lnx在(0,+8)上恒成立，则(e&+l)Ax>(x+l)lnx=(elnx+l)lnx»设/(%)=(靖+l)x，%>0,:./(Ax)>/(Inx),・,/'(%)=ex(x+1)+1>0,•・f(%)在(0,+8)上单调递增，Xx>Inx>0,:.A>等在(1,+8)上恒成立，设g(x)=竽x>i,令g'(x)=解得x—e，当lvxve时，g'(x)>0,函数g(x)单调递增，当%时，g'(x)v0,函数g(x)单调递减，：•g(x)max=g(e)=%・.a>-9e故选：A..【答案】ABD【解析】解：对于A,令a=-2,b=—1,则工>:，故A错误，ab对于8,令a=-2,b=-1,则色=2,故B错误，b对于C,va<b<0,ab-b2=b(a—6)>0,BPab>b2,故C正确，对于令q=—2,b=—1,满足qVbV0,但&<q，故O错误.ab故选：ABD.根据已知条件，结合特殊值法和作差法，即可求解.本题主要考查特殊值法和作差法，属于基础题..【答案】AD【解析】解：•••将函数/(x)=cos(2x+V)的图象向左平移：个单位长度，得到函数g(x)=cos(2x+：+勺=cos(2x+；)的图象，故g(x)的最小正周期为§=7T,故A正确；在区间[0为上，+ 函数g(x)没有单调性，故B错误；当x=；时，g(x)=-l,故x=g是函数g(x)图象的对称轴，故C错误；在[一士口上，2x+^e[0,^],函数g(x)的最小值为gG)=-：,故。正确，66 3 3 6 2故选：AD.由题意利用函数y=4sin(3x+w)的图象变换规律，余弦函数的图象和性质，得出结论.本题主要考查函数y=Asin(3x+尹)的图象变换规律，余弦函数的图象和性质，属于中档题..【答案】ABD【解析】解：根据题意，依次分析选项：对于8,若长6=七，则。7=9=1,故B正确；K6对于A,由降</可得。6=等>1，则q=%e(0,l),故A正确；K5 a6对于C,由｛%｝是各项为正数的等比数列且qe(0,1)可得数列单调递减，则有K9<Ks，故C错误：对于D,结合K$<勺,Kb=K-j>Kg,可得D正确.故选：ABD.根据题意，结合等比数列的性质分析选项，综合即可得答案.本题考查等比数列的性质以及应用，注意等比数列的基本性质，属于基础题..【答案】BCD【解析】解：对A,若四边形BFDiE有可能是正方形，则5EJ.EB,又仇&J■平面ABB14，EBu平面4BB14,•••。山1EB,5l.D1Er\D1A1=£)i，EB_L平面4£>iE,而481平面&。出，E与A重合，此时四边形BFDiE为矩形DiABCi，.••四边形BFQE不可能是正方形，错误；对8,当E,「都为中点时，可知EF〃/1C,而易知AC1平面BBi。"，EF1平面BB/i。，EFu平面BFCiE,二平面BFDiEl平面88也。，B正确；对C,•：MGD]Fu平面BFDiE,MEDCu平面ABCD,又NED]Eu平面BFDiE,NeADu平面ABCD,：.M,N6平面BFCiED平面ABCD,又Be平面BFOiEPI平面ABCD,M,N,B三点在平面8FD1E与平面ABC£＞的交线上，C正确：1 1 1D,"Vbj-bfdjE=2/lEfb=2Vf_gFB1=2x-xShBFBixAB=2x-x(-xBB】xBC)xAB•••四棱锥Bi-BF/E的体积为定值，D正确.故选：BCD.根据线面垂直的判定定理，线面垂直的性质定理，面面垂直的判定定理，面面相交的公理，转换顶点的等体积思想即可求解.本题考查线面垂直的判定定理，线面垂直的性质定理，面面垂直的判定定理，面面相交的公理，转换顶点的等体积思想，属中档题..【答案】-I4【解析】【分析】本题考查向量共线的充要条件，若丘=(.Xi,y^.b=(如、2)，则五〃石=xxy2-x2yi=0.根据向量共线的充要条件可得关于人的方程，解出即可.【解答】解：由3〃反得lx(k-6)-9k=0,解得k=-[,故答案为：一;..【答案】4【解析】解：Ig2*+1g8y=Ig2x+1g23y=(x+3y)lg2,又由lg2》+lg8y=lg2,则x+3y=1,进而由基本不等式的性质可得，§+点=('+3')(打3=2+§+点22+2=4，当且仅当x=3y时取等号，故答案为：4.由对数的运算性质，lg2*+1g8y=lg2x+1g23y=(x+3y)lg2,结合题意可得，x+3y=1；再利用1的代换结合基本不等式求解即可.本题考查基本不等式的性质与对数的运算，注意基本不等式常见的变形形式与运用，如

本题中，1的代换..【答案】当兀【解析】解：因为圆锥内半径最大的球应该为该圆锥的内切球，如图，圆锥母线BS=3,底面半径BC=1,则其高SC=VBS2-BC2=2V2,不妨设该内切球与母线BS切于点D,令。。=OC=r,由△SOZJsaSBC,则詈=装，即=工，解得r=立，242-r 3 2V=-nr3=-7T,3 3故答案为：-y7T.易知圆锥内半径最大的球应为圆锥的内切球，作图，求得出该内切球的半径即可求出球的体积.本题考查圆锥内切球，考查球的体积公式，数形结合思想，属于中档题..［答案】987”旺271-3)4［解析］解：根据题意，由%=3+7+4=14,。2=+21，=02+63,。4=+7X33,可得册=41T+7乂3时1,即。九—an_t=7x3nt,所以0n= —Q71T+Cln-l~an-2+…+。2-%+。1=14+7X(31+32+…+3nT)=14+7”11「)=14+|(3n-3)=|(3n+l),所以的=~(33+1)=98,所以Sn=%+a2+…+册=1(31+32+…+3n)+ 1x3(1-3。)+［九_21(3—)+［九_7(3-+、2n-3)1-3 2 - 4 2 - 4故答案为：98;7(3"+"2n-3).4根据题意可得an=an.!+7x3“t,即-an^=7x3nt,再利用累加法可求出a”，从而确定。3的值，再利用分组求和法即可计算出土.本题主要考查数列的递推公式与分组求和法，考查推理与运算求解能力，涉及逻辑推理、数学运算等数学核心素养，属于中档题..【答案】解：(1)若选①，则(1)由2。71=厮-1+。11+156*,1122)可得：数列｛时｝为等差数列，又因为%=1,a4=7,所以。4一ai=3d,即d=2,所以0n=1+(n-1)x2=2n—1.

若选②，贝！1（1）由Sn= 所以nN2,Sn_!=（n—I）2,两式相减可得：n>2,a,,=n2-（n-l）2=2n-1,而在又=/中令n=1可得：%=1,符合上式，故0n=2n—1.若选③，则（1）由点4（R即），B（n+l,an+i）在斜率是2的直线上得：=2,即％+1-an=2>所以数列｛aj为等差数列且an=1+（n-1）x2=2n-1.（2）由（1）知：=（2n-i；2n+l）=3（七一六）'所以〃=1（1_｝+《_｝+……+（表-高）1=i（l一一—）.2、2n+lJ2n+l【解析】若选①，⑴由20n=*+an+1（neN*,n22）可得：数列｛小｝为等差数列,进而即可得出数列｛即｝的通项公式；（2）将所求式子裂项为‘一=5二-三；然后求和即可得出所求的答案.若选②，（1）首先由% 可得：„22,sn.1=（n-l）2,然后两式相减化简即可得出n>2,即的通项公式，但要注意验证第一项是否也满足；（2）同上.若选③，（1）由点4（耳%）, +1,即+1）在斜率是2的直线上可得：an+1-an=2,进而得出数列｛%｝为等差数列，即可求出其通项；（2）同上.本题考查等差数列及其前〃项和、裂项相消法求和，属中档题.18.【答案】解：⑴生ABC中由正弦定理高=扁=就=2R及条件acos28=bsinA,可得sinAcos2B=sinBsinA,因为4G(0,7r),sinA>0,所以cos2B=sinB,因为cos2B=1—2sin2B=sinB,所以ZsiMB+sinB-1=0,可得sinB=—1,或sinB=5又因为a>b,可得A>B,所以8为锐角，sinB>0,所以6（2）。为8C边的中点，AD=V7,BC=2炳,得8。=值，△ABD中，由余弦定理得=ab2+BD2-2AB-BD-cosB,所以7=AB2+3-2AB-V3cos-,6所以AB2-348-4=0,

解得AB=4,可得S―BC=^ABBC-sinB=：x4x2百xsin30°=273.【解析】(1)在△4BC中由正弦定理，二倍角的余弦公式化简已知等式可得23/8+sinfi-1=0,解方程可得sinB的值，结合B为锐角，可得B的值.(2)由题意可求8。的值，在△48。中，由余弦定理得482-348-4=0,解方程可得AB的值，进而根据三角形的面积公式即可计算得解.本题主要考查了正弦定理，二倍角的余弦公式，余弦定理，三角形的面积公式在解三角形中的应用，考查了转化思想和方程思想的应用，属于中档题..【答案】解：(1)证明：取EC中点M,连结尸M,DM,AD//BC//FM,AD=MF,二四边形AOMF是平行四边形，：.AF//DM, \ /"AF<t平面DEC,DMu平面DEC,AF〃平面DEC.T(2)解：vEB2+CB2=EC2,•••CB1BE,又•；CBLAB,ABHBE=B,AB,BEu平面ABE,CB1平面ABE,：BCu平面ABCD,；.平面4BCC1平面ABE,过E作A8的垂线，垂足为“，则E"为四棱锥E-ABCD的高.EH=V3,底面四边形ABCZ)为直角梯形，其面积S=空詈=3,二多面体ABC0E的体积：e-abcd=§Sh=§x3xV3=V3.【解析】本题考查线面平行的证明，考查多面体的体积的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题.(1)取EC中点何，连结尸M,DM,推导出4F〃DM,由此能证明AF〃平面DEC.(2)推导出CB1BE,CB14B,从而CBJ•平面ABE,进而平面4BCD1平面ABE,过E作A8的垂线，垂足为”，则EH为四棱锥E—4BCD的高.EH=晶,由此能求出多面体ABCCE的体积..【答案】（1）解：a?=9=：,<13=*=春•1十（3*r ―十J4(2)证明：由an+i=1+—,Qjl_(2)证明：由an+i=1+—,Qjl- [4 - Qn+3a»i+i即二一+乙=3（二+与,an+i2an2又工+:=3Q12 2.••｛2+》是以9为首项，3为公比的等比数列.,1.13Kz 3".% F-=-X31=——,an22 2即“信(3)解：由(2)知：％=舟・因为b=(3"-1) ・/1，所以b=(3n-1),松,关^=言7，因此4=lx^+2x^+3x^+-+(n-l)~+n-/,率=lx*+2x/+.“+(n-l)./+n・£两式相减得7；=1 1 1 1n.=9+炉+矛+…+2'T—苏_^(l)""_271+21-12n 2n2所以「n=4一装工因此不等式(—l)n/l<7；+ 对一切nGN*恒成立等价于：不等式(一1)-<4-紊对一切nGN*恒成立.①当〃为偶数时，不等式(一1)“；1<4—5大对一切偶数〃，n6N*恒成立等价于：不等式4<4-击对一切偶数〃，n6N*恒成立，而数列"一备｝是单调递增数列，因此当n=2时，数列｛4一紊｝有最小值3,所以;l<3.②当〃为奇数时，不等式(—。”〈《一夕占对一切奇数〃，n€N*恒成立等价于：不等式一；1<4-3占对一切奇数小neN*恒成立，而数列"-是单调递增数列，因此当n=l时，数列｛4一蔡工｝有最小值2,所以一义<2,解得4>—2.综上所述，—2<4<3,即4的取值范围为(一2,3).【解析】本题考查了不等式的恒成立问题，数列的递推关系，等比数列的概念，等比数列的通项公式，错位相减法，数列的函数特征和分类讨论思想，属于较难题.(1)利用Q]=1,0n+i 可求。2,。3；(2)把题目给出的数列递推式取倒数，即可证明数歹U｛2+；｝是等比数列，由等比数列的an2通项公式求得上+ =与，则数列小｝的通项可求；ClnNN N

(3)把数列｛册｝的通项an代入匕=(3n-l)-^-an,由错位相减法求得〃=4-方言，从而把问题转化为不等式(-1)-<4-对一切neN*恒成立，再对〃分奇、偶讨论,结合数列的函数特征和不等式的恒成立问题处理策略，计算得结论..【答案】证明：（1）连接AC,8。交点为0,•••四边形ABCD为正方形，［AC1BD,"PB=PD,OB=OD,••BD±OP,又；OPHAC=0,OP、ACu面PAC,BDiffiPAC,又BCu面ABCD,.•.面P4CL^ABCD.解：(2)•••面P4C1面ABC。，过点P作PEJ.4C,垂足为E,•••PE1面ABCD,•••P4与底面A8CO所成的角为30。，NP4C=30",又PA1PC,设PC=2,则4P=2同PE=6,AE=3,AC=4,AD=2>/2,如图所示，以A为坐标原点，AB为x轴，AO为y轴，过A作平面ABCO的垂线为z轴，建立空间直角坐标系A-xyz,则4(0,0,0),B(272,0,0),C(2V2,2V2,0),。(0,2夜,0), 百)，设面尸BC法向量为元=(x,y,z),BC=(0,2V2,0),CP=(-y,-y,V3),(n-BC=2或y=0%而=的4y+岳=0'令zj贩=(倔。，1)，同理面PCD的法向量沆=(0,通,1),一一n-m1 1COS<n,m>=7-^-rr=rT=十-z==|n||m|V7-V77由图知二面角B-PC-。的平面角是钝角，二二面角B—PC—。的余弦值为一；.【解析】本题考查面面垂直的证明，考查二面角的余弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题.(1)连接AC,8。交点为。，推导出AC1BC,BD10P,从而BD1面PAC,由此能证明面PAC1面4BCD.(2)过点尸作PE1AC,垂足为E,以A为坐标原点，A8为x轴，4。为y轴，过A作平面A8CO的垂线为z轴，建立空间直角坐标系4-xyz,利用向量法能求出二面角B-PC-D的余弦值.22.【答案】解：(l)f(x)=(%-l)ex-a(x-1)=(x-l)(ex-a),当QWO时，则当无£(一8,1)时，f(x)<0：当％W(l,+8)时，f(x)>0,所以，(%)在(-8,1)上单调递减,在(1,+8)上单调递增，当q>。时，由/*'(%)=0,得x=1.或x=Ina,若q=e,则f'Q)=(x-l)(ex-e)>0,所以f(%)在(-8,+8)上单调递增，②若OVaVe,则Ina<1,故当xE(-8/na),(1,+8)时，/z(x)>0,当x€(lna,l)时,f(x)<0,所以/(x)在(—8/na),(L+8)上单调递增，在(Ina,1)上单调递减，③若q>e,则lna>l,故当无6(—8,1),(Ina,+8)时,f'(x)>0,当％W(l』na)时,<0,所以/(%)在(一8,1),(Ina,+8)上单调递增，在(1,Ina)上单调递减，综上所述，当QWO时，在(一8,1)上递减，在(L+8)上递增；当Q=e时，/(x)在(-8,+8)上递增；当