2021-2022学年湖南省长沙八年级（上）第三次月考数学试卷（附答案详解）

2021-2022学年湖南省长沙一中岳麓中学八年级(上)第

三次月考数学试卷1.数学就在我们身边，如神奇的天然建筑物-蜜蜂的巢房.它的截面呈正六边形，既节约空间又很坚固，巢房壁的厚度仅为0.000073米，数字0,000073用科学记数法表示为()A.73xIO。 B.0.73x10-4 C,7.3xIO-4 D.7.3x10-52.计算2-2的结果是()A.4 B.-4 C,- D.--4 43.下列运算正确的是()A.q+q=q? B.(ab)2=ab2 C.a2-a3=a5 D.(a2)3=a54.下列计算正确的是()A.(x+2)(x—2)=x2—2(—3a—2)(3q—2)=9a2—4(a+b)2=a2+d2D.(x—8y)(%—y)=x2-9xy+8y25.在平面直角坐标系中，将点4(-1,-2)向右平移3个单位长度得到点B,则点B关于X轴的对称点夕的坐标为()A.(-3,-2) B.(2,2) C.(-2,2) D.(2,-2)6.已知等腰三角形三边中有两边的长分别为4、9,则这个等腰三角形的周长为()A.13 B.17 C.22 D.17或227.计算(一篇)・©)2的结果是()amn 口mn 厂m n7nA.D.— C. U.—2 2 2 28.下列分式是最简分式的是()A2a p2a 「a+b 八a2-abA.3a2b 4b a2+b2 a2-b29.下列说法中，正确的个数是()①三条边都相等的三角形是等边三角形；②有一个角为60。的等腰三角形是等边三角形；③有两个角为60。的三角形是等边三角形；④底角的角平分线所在的直线是这等腰三角形的对称轴，则这个三角形是等边三角形A.1个 B.2个 C.3个 D.4个10.如图1,在边长为a的正方形中挖掉一个边长为人的小正方形(a>b),把余下的部分剪拼成如图2所示的长方形.通过计算剪拼前后阴影部分的面积，验证了一个等式，这则个等式是()

(a+(a+b)(a—b)=a2—b2(a+b)2=a2+2ab+b2D.q(q—b)=a2—abC.(aD.q(q—b)=a2—ab.因式分解：2/-18=..计算：20212-20202=..若分式三的值为0,则x的值为 .X+2.若Xn1=15,Xn=5,则4m-n等于..如图，在RtAABC中，48=90°,分别以点A,B为圆心，大于长为半径画弧，两弧相交于点M,N,连接MN,与AC,BC分别交于点O,E,连接4E,当48=3,BC=4时，则A4BE的周长为..如图，41。8=30。，OC平分为OC上一点，PD〃04交OB于点D,PE1。4于E,OD=4cm,则.计算：(勺-1+(3.14-兀)。+6^-|-2|.整式化简：(l)(x-I)2-x(x-3)+(x+2)(%-2)；(2)(x—2y—z)(x+2y—z)—(x+z)2.分式化简求值:(2)(：a(2)(：a2-4a+4一看）士营，从2,3,4中取一个合适的数作为a的值..若xy=36,且x-y=5.(1)求(x-2)3+2)的值；(2)求/-xy+y2+x+y的值..如图，已知4。是4ABC的边BC上的高，点E为AD上一点,且BE=AC,DE=DC.(1)证明：4DBE=4DAC；(2)若4E=4,CD=2,求△ABC的面积..如图，△ABC是等腰三角形，AB=AC,点D是AB上一点,过点。作CEJ.BC交BC于点E,交C4延长线于点F.(1)证明：AACF是等腰三角形；(2)若48=60。，BD=4,AD=2,求EC的长..阅读下列三份材料：材料1：我们定义：在分式中对于只含有一个字母的分式当分子的次数大于或等于分母的次数时我们称之为“假分式”：当分子的次数小于分母的次数时我们称之为“真分式”.如W，这样的分式就是假分式；再如’7,克这样的分式就是真分式；x+1x-1 x+1x2+l类似的，假分式也可以化为带分式.如：三=9卷二=1一2；材料2：在学了乘法公式"(a±b)2=a2±2ab+b2”的应用后，王老师提出问题：求代数式/+4x+5的最小值.要求同学们运用所学知识进行解答.同学们经过探索、交流和讨论，最后总结出如下解答方法：解：x2+4%+5=x2+4x+22-22+5=(x+2)2+1,V(x+2)2>0,(x+2)2+1>1.当(x+2)2=0时，(x+2)2+1的值最小，最小值是1./+4X+5的最小值是1.材料3：由(a-b)2>0得，a2+b2>2ab；如果两个正数a,h,即a>0,b>0,则有下面的不等式：a+bN 当且仅当a=b时取到等号.例如：已知x>0,求式子x+士的最小值.X解：令q=x,6=-,则由q+b>2>Jab,得x4-->2lx--=4,当且仅当％=士时，X xyjx x即％=2时，式子有最小值，最小值为4.请你根据上述材料，解答下列各题：(1)已知x>0,填空：①把假分式W化为带分式的形式是 ；X+2②式子/一8兀+15的最小值为；③式子轨+上的最小值为;X(2)用篱笆围一个面积为32平方米的长方形花园，使这个长方形花园的一边靠墙(墙长20米)，问这个长方形的长、宽各为多少时，所用的篱笆最短，最短的篱笆是多少？(3)已知X>0,分别求出分式”7X+7和”：轨+12的最值.若有最大值，则求最大值，若有最小值，则求最小值).24.如图，点A、B分别在x轴的负半轴和y轴的正半轴上，点C(2,-2),CA、CB分别交坐标轴于。、E,CA1AB,且CA=4B.(1)求点B的坐标；(2)如图2,连接OE,求证：BD-AE=DE-,(3)如图3,若点F为(4,0),点P在第一象限内，连接PF,过P作PM_LPF交y轴于点M,在尸M上截取PN=PF,连接PO、BN,过P作4OPG=45°交8N于点G,求证：点G是8N的中点.答案和解析.【答案】D【解析】解：数字0.000073用科学记数法表示为7.3X10-5故选：D.绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为axlO-n,与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负整数指数累，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的。的个数所决定.本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为ax10-%其中i<|a|<10)〃为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定..【答案】C【解析】解：原式=套=1.故选：C.根据负整数指数幕的运算法则进行计算即可.幕的负整数指数运算，先把底数化成其倒数，然后将负整指数塞当成正的进行计算..【答案】C【解析】解：A、a+a=2a,故本选项不合题意：8、(ab)2=a2b2,故本选项不合题意；C、a2-a3=a5,故本选项符合题意：D.(a2)3=a6,故本选项不合题意.故选：C.分别根据合并同类项法则，事的乘方与积的乘方运算法则，同底数事的乘法法则逐一判断即可.本题主要考查了合并同类项，同底数累的乘法以及幕的乘方与积的乘方，熟记相关运算法则是解答本题的关键..【答案】D【解析】解：A.(x+2)(x-2)=x2-4,此选项错误；B.(-3a-2)(3a-2)=-9a2+4,此选项错误；C.(a+b)2=a?+2ab+产，此选项错误；D.(x—8y)(x—y)=x2—xy—8xy+8y2=x2—9xy+Sy2,此选项计算正确；故选：D.根据完全平方公式、平方差公式和多项式乘多项式的法则逐一计算即可得.本题主要考查整式的混合运算，解题的关键是掌握完全平方公式、平方差公式和多项式乘多项式的法则..【答案】B【解析】解：点4(一1,一2)向右平移3个单位长度得到的8的坐标为(-1+3,-2),即(2,-2),则点8关于x轴的对称点B'的坐标是(2,2),故选：B.首先根据横坐标右移加，左移减可得B点坐标，然后再根据关于x轴对称点的坐标特点：横坐标不变，纵坐标符号改变可得答案.此题主要考查了坐标与图形变化-平移，以及关于x轴对称点的坐标，关键是掌握点的坐标变化规律..【答案】C【解析】解：当4为底时，其它两边都为9,••9、9、4可以构成三角形，.••三角形的周长为22；当4为腰时，其它两边为9和4,・・4+4=8<9,••不能构成三角形，故舍去.故选：C.由于等腰三角形的底和腰长不能确定，故应分两种情况进行讨论.本题考查了等腰三角形的性质和三角形的三边关系，已知没有明确腰和底边的题目一定要想到两种情况，分类进行讨论，还应验证各种情况是否能构成三角形进行解答，这点非常重要，也是解题的关键..【答案】C【解析】【分析】本题考查分式的乘法和乘方运算，如果有乘方，还应根据分式乘方法则先乘方，即把分子、分母分别乘方，然后再进行乘法运算.首先计算乘方，然后计算分式的乘法即可求解.【解答】解：原式=_Q.与=_与2mn22故选：C..【答案】C

【解析】解：A、原式=三，不符合题意;3abB、原式=/，不符合题意；C、原式为最简分式，符合题意；D、原式=a(a-b)D、原式=a(a-b)

(a+d)(a-b)不符合题意•故选：C.利用最简分式定义：分子分母没有公因式的分式，判断即可.此题考查了最简分式，熟练掌握最简分式的定义是解本题的关键..【答案】D【解析】解：①三条边都相等的三角形是等边三角形；正确.②有一个角为60。的等腰三角形是等边三角形；正确.③有两个角为60°的三角形是等边三角形；正确.④底角的角平分线所在的直线是这等腰三角形的对称轴，则这个三角形是等边三角形；正确.故选:D.根据等边三角形的判定、轴对称的性质即可判断；本题考查等边三角形的判定和性质、等腰三角形的判定和性质、轴对称等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型..【答案】4【解析】解：图1的阴影部分面积=大正方形的面积-小正方形的面积，即。2-炉，图2的阴影部分的长为(a+b),宽为(a—b),所以面积为(a+b)(a—b),根据面积相等得：a2-b2=(a+b)(a-b).故选：A.分别表示出图1,图2阴影部分的面积，根据面积相等得到等式.本题考查了平方差公式的几何背景，分别表示出图1,图2阴影部分的面积，根据面积相等得到等式是解题的关键..【答案】2(x+3)(x-3)【解析】解：2x2-18=2(/-9)=2(x+3)(x-3),故答案为：2(x+3)(x-3).提公因式2,再运用平方差公式因式分解.本题考查了用提公因式法和公式法进行因式分解，一个多项式有公因式首先提取公因式,然后再用其他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止.12.【答案】4041【解析】解：20212-20202=(2021+2020)(2021-2020)=4041X1=4041故答案为：4041.利用平方差公式进行简便运算即可.本题考查了平方差公式的应用，解题时注意运算顺序.13.【答案】4.【解析】解：由分式的值为零的条件得｛：；；；：，由x—4=0,得％=4,由％+2工0,得x0—2.综上，得x=4,即4的值为4.故答案为：4.根据分式的值为零的条件可以得到产：2：2,从而求出X的值.5+2H0本题考查了分式的值为零的条件.若分式的值为零,需同时具备两个条件：(1)分子为0；(2)分母不为0.这两个条件缺一不可..【答案】3【解析】解：vx1"=15,xn=5,...xm-n-xm4-xn=15 5=3.故答案为：3.逆向运算同底数幕的除法法则计算即可.同底数暴的除法法则：同底数幕相除，底数不变，指数相减.本题考查了同底数幕的除法，掌握幕的运算法则是解答本题的关键..【答案】7【解析】解：•••“'垂直平分AC,•••AE=CE,4BE的周长=AB+AE+BE=AB+EC+BE=AB+BC=3+4=7.故答案为7.根据线段垂直平分线的性质得AE=CE,则利用等线段代换得到^ABE的周长=AB+BC,然后把AB=3,BC=4代入计算即可.本题考查了作图-基本作图：熟练掌握基本作图(作一条线段等于已知线段：作一个角等于已知角；作己知线段的垂直平分线；作已知角的角平分线；过一点作已知直线的垂线).也考查了线段垂直平分线的性质.16.【答案】2cm【解析】解：过尸作PF1。8于F, 尸BTOC\o"1-5"\h\z・•乙408=30°,0C平分乙4。8, C C ・・Z.AOC=Z.BOC=15°, L0^ #~'AvPD//OA,・・4DP0=乙40P=15°,:.PD=OD=4cm,vLAOB=30°,PD//OA,・・Z-BDP=30°,•.tE.RtAPDF^,PF=^PD=2cm,•：OC为角平分线，PE1OA,PF1OB,：.PE=PF,・・.PE=PF=2cm.故答案为：2cm.过P作PF1OB于F,根据角平分线的定义可得44OC=LBOC=15°,根据平行线的性质可得4DP。=&OP,从而可得PD=OD,再根据30度所对的边是斜边的一半可求得PF的长，最后根据角平分线的性质即可求得PE的长.此题主要考查：（1）含30。度的直角三角形的性质：在直角三角形中，30。角所对的直角边等于斜边的一半.（2）角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等.此题难易程度适中，是一道很典型的题目..【答案】解：《pi+（3.14-兀）°+国一|-2|,=2+1+4-2,=5.故答案为：5.【解析】分别根据零指数基、负指数事的运算法则，以及开方和绝对值的性质计算，然后根据实数的运算法则求得计算结果.本题主要考查了零指数幕、负指数幕的运算法则以及开方和绝对值的性质.负整数指数为正整数指数的倒数；任何非0数的0次幕等于1..【答案】解：(1)(%—l)?— -3)+(无+2)(%—2)=X2—2%4-1—%24-3x+X2—4=%24-x—3；(2)(x-2y—z)(x+2y—z)—(x+z)2=(x—z)2—(2y)2-(x+z)2=(x2—2xz4-z2)—4y2—(x2+2xz+z2)

=x2—2xz+z2—4y2—x2—2xz—z2=-4xz-4y2.【解析】(1)先利用完全平方公式，单项式乘单项式法则，以及平方差公式计算，再去括号合并即可得到结果；(2)先利用平方差公式、完全平方公式计算，再去括号合并即可得到结果.mn+3n2mn+3n2m3-mn2.【答案】解：(1)(—2 —)4-m-nm+n2(m+ri)—(m—n)n(rn+3n)

(m4-n)(m—n)m(m4-n)(m—n)m+3nm+3n(m+n)(m-n)m(m+n)(m—n)n(m+3n)当m=-1,n=：时，原式=一=一2；2a2—2a3 3-a⑵( )-： 八q2-4q+4q—2， 4-a2二a(a—2) 3 —(Q—3)(a—2)2q—2 —(a+2)(a—2)a3(a+2)(a—2)a-2q-2cl-3a—3(a+2)(a—2)a-2a—3=a+2,要使(-g-J"4 ；g有意义,必须a—2h0,3—a羊0,a+2#0,即a不能为2,3,-2,取a=4,当a=4时，原式=4+2=6.【解析】(1)先根据分式的减法法则进行计算，再根据分式的除法分式把除法变成乘法，算乘法，最后代入求出答案即可；(2)先约分，再根据分式的减法法则进行计算，再根据分式的除法分式把除法变成乘法，算乘法，根据分式有意义的条件求出a不能为2,3,-2,取a=4,最后代入求出答案即可.本题考查了分式的化简求值，能正确根据分式的运算法则进行化简是解此题的关键，注意运算顺序.20.【答案】解：(1)原式=xy+2x-2y-4=xy+2(x一y)—4,把xy=36,x—y=5代入上式得：原式=36+2x5-4=42；%*x—y=5,xy—36,(x—y)2=25,(x+y)2=(x—y)2+4xy=25+4x36=169,•・x+y=±13,原式=x2-2xy4-y2+xy4-x4-y=(x-y)24-xy+x+y当x+y=13,原式=25+36+13=74,当％+y=-13,原式=25+36—13=48.【解析】(1)利用多项式乘多项式的法则进行计算，再把孙=36,%—y=5整体代入,计算后即可得出答案；(2)根据完全平方公式进行变式求出x-y和x+y的值，再代入原式求解即可得出答案.本题主要考查了多项式乘多项式及完全平方公式，掌握多项式乘多项式的法则及完全平方公式是解题的关键.21.【答案】(1)证明：・・・4。为△4BC边3C上的高..%AD1BC,・・乙BDE=AADC=90°,在 和Rt/MDC中，(BE=ACSf=DC•・Rt△BDE=/?t△ADC(HL),•・乙DBE=4DAC；(2)解：，SBDE、ADC,・・CD=DE=2,BD=AD,・・AE=4,•・AO=4E+OE=4+2=6,•BC=BD+CD=6+2=8,i i:.S08c=&BC-AD=-x8x6=24.【解析】(1)利用HL定理判断出△BDEAADC,根据全等三角形的性质即可得出结论.(2)由全等三角形的性质得出CD=CE=2,BD=AD,求出和BC的长，则可求出答案.此题主要考查了全等三角形的判定与性质，三角形的面积，掌握全等三角形的判定定理是解本题的关键.22.【答案】解：(1)vAB=AC,:.乙B=乙C,・・FE1BC,•・zF+ZC=90°,乙BDE+ =90°,•・ZF=(BDE,而乙BDE=乙FDA,:.zF=Z.FDA,:.AF=AD♦・・ZMDF是等腰三角形；(2)•・•DE工BC,:.Z.DEB=90°,・・・乙B=60°,BD=4,・•.Z.BDE=30°1:・BE=±BD=2,2vAB=AC,ABC是等边三角形，:.BC=AB=AD+BD=6,:・EC=BC-BE=6-2=4.【解析】(1)由AB=AC，可知乙B=nC,再由可知乙尸+zT=90°,LBDE4-ZF=9O°,然后余角的性质可推出乙F=4BDE,再根据对顶角相等进行等量代换即可推出NF=4FD4于是得到结论；(2)根据含30。角的直角三角形和等边三角形的判定与性质即可得到结论.本题主要考查等腰三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、余角的性质、对顶角的性质等知识点，关键根据相关的性质定理，通过等量代换推出=即可推出结论.23.【答案】1—三—124x+2【解析】解：(1)端=甯=1-京，故答案为：1—X+2@x2-8x+15=x2-8x+42-42+15=(x-4)2-1,(x-4)2>0,•••(x-4)2-1>-1.当。一4)2=0时，即x=4时，。+4)2—1的值最小，最小值是一1.Ax2-8x+15的最小值是一1,故答案为：—1;③令a=4Xfb=—,X

则由q+h>2\[ab>得4x+军工2/4x-=24,xyjx当且仅当得4x=至时，即x=2时，式子有最小值，最小值为24.X故答案为：24.(2)设这个长方形的长为xm,宽为ym,由题意得：xy=32,则y=篱笆的总长度=x+2y=x+2-—=%+—,“ X X令Q=X,b=—,x则由Q+bZ2V5F,得x+上工2%•处=16,xyjx当且仅当％=丝时，即x=8时，式子有最小值，最小值为16.x.•・当且仅当x=8,y=4时，所用的篱笆最短，最短的篱笆是16〃?；这个长方形的长为8根、宽为4胆时，所用的篱笆最短，最短的篱笆是16m.3x2-3x+7X2-X+4TOC\o"1-5"\h\z5 3x2-3x+7X2-X+43-^—=3-,\3=3 1VX2-X+4 Xz-X+7+37 （X-；）+3?4 4 2 4, ,1、2-3、15..（x+3+3->-,

_1_<±（寸+3：-15当且仅当*=士时，即x=2时，3--J有最小值，最小值为:.当当（x-?2=0时,即x=；时,3-，：3的值最小,最小值是:.・••当X 时，3X/3X：7当有最小值,最小值是[2 X2-x+4 33x2-4x+12 3（x2-x+4）-xnxo1n17 *= 7 ■=3j7=J 4=3 4»xz-x+4 x^-x+4 X^-X+4 X-1+- X+--1X X令Q=X,b=—,X则由Q+bN2V^F,得x+±N21X.±=4,xy]x4Xd 1N3,xX X+L 3.•.当X=2时，3--4X+12有最小值,最小值为Jxz-x+4 3(1)①利用阅读材料(1)中的方法解答即可；②利用阅读材料(2)中的方法解答即可；③利用阅读材料(3)中的方法解答即可；然后用(2)设这个长方形的长为x米，宽为y米，根据长方形的面积为32,得到丫=三,含有x的式子表示篱笆长，利用材料3中的方法求得最小值；然后用理解并(3)将假分式化为带分式，然后利用材料(1)和材料(2)中的方法解答，求得最值.本题主要考查了二次根式的应用、分式的加减法、配方法，本题是阅读型题目，应用实例中的方法是解题的关键.理解并24.【答案】解：(1)作CMlx轴于M,图1图1vC(2,-2),CM=2,0M=2,vAB1AC,・・Z.BAC=Z.AOB=Z.CMA=90°,・・Z-BAO+乙