2021年海南省高考数学试卷

20212021年海南省高考数学试卷利用平行线之间的距离公式可得:利用平行线之间的距离公式可得:由两点之间距离公式可得|AM|=7(2+4)2+32=3>/5-所畑嘶面积的最大值：卜3辰卑Ls22.已知函数/(%)=oeI-Inx+Ina.当时，求曲线(x)在点(1,/(!))处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积；若/(x)>1,求a的取值范围.【分析】(1)先求导数，再根据导数几何意义得切线斜率，根据点斜式得切线方程，求出与坐标轴交点坐标，最后根据三角形面积公式得结呆；(2)解法一：利用导数研究，得到函数/(x)得导函数广(x)的单调递增，当a=l时由广⑴=0得(1)=1,符合题意；当炉1时，可证广(》广(1)<0,从而广(x)存在零点兀〉0,使得f\xo)=aex^-—=0f得到fWmia,利用零点的条件，结合指数对数的运算化简后，利用基本不等式可以证得(x)hl恒成立；当0<c/v1时，研究f(l).即可得到不符合题意•综合可得a的取值范I制.解法二：利用指数对数的运算可将/(x)>1转化为严+血+x-1X严+lg令g(x)=ex+x上述不等式等价于g(加d+x—l)hg(加),注意到g(x)的单调性，进一步等价转化为Ina>bix-x+l，令力(x)=lnx-x+l,利用导数求得力(x),”©,进而根据不等式恒成立的意义得到关于a的对数不等式，解得a的取值范围.【详解】(1)v/(x)=ev-lnx+l,.-.fXx)=ex--,:.k=f\\)=e-1.X•••/(1)=幺+1,•••切点坐标为(1」+臥•••函数f(x)在点(1*1)处的切线方程为y-e-l=(e-l)(x-l)^y=(e-l)x+2,・•・切线与坐标轴交点坐标分别为(0,2),(上-,0),e-l-72•••所求三角形面积为-x2x|—|=—；e-le-l(2)解法一：•//W=aex^-hix+Inci,

广⑴=ae'~l-丄，且a>0x设g(x)=广⑴，则g'(x)=a严+丄>0,%-・•・g(x)在(0,2)上单调递增，即f\x)在(0,乜)上单调递增,当"1时,r(l)=0,.-./(x)w/|=/(!)=!,Z/W>1成立.11i-i.・.RT<1*/(—)/(D=G0-1)(。一1)v0,・•・存在唯一兀>0,使得广(Xo)=ae%T-—=0,且当xg(0,xo)时广(兀)<0,当xg(xo,+qo)时Aof\x)>0,.*•aex°~l=—,lna+x0-l=-\nx0,Ao因此/Wnun=/(X。)=-lnx0+1116/=-+\na+xQ-l+lna>21n«-l+x。Z/(x)>l,Z/(x)>l恒成立；当0va<1时，/(l)=a+Inavav1,/(I)<l,/(x)>l不是恒成立.综上所述，实数a的取值范闱是［1,+8).解法二：/(x)=aex~l-Inx+Ina=/"+1-Inx+Ina>1等价于严t+Ina+x-l>lnx+x=严+Inx,令g(x)=ex+x,上述不等式等价于g(Ina+x-1)>^(Inx),显然g(x)为单调增函数，•••又等价于lna+x-Y>lnx.即bm>lnx-x+l.11_r令h(^x)=bix-x+l,则/r(x)=—一1=—-X在(0J)上h»(x)>O,h(x)单调递增：在(1、