全国中考试卷分类汇编（二次函数）

2008年全国中考试卷分类汇编（二次函数）一、选择题1.(2008四川绵阳)二次函数y=ax2+bx+c的部分对应值如下表：x－3－2－1012345y1250－3－4－30512利用二次函数的图象可知，当函数值y＜0时，x的取值范围是（）．A．x＜0或x＞2B．0＜x＜2C．x＜－1或x＞3D．－1＜x＜3【答案】：D2.（2008年武汉市）下列命题：①若，则；②若，则一元二次方程有两个不相等的实数根；③若，则一元二次方程有两个不相等的实数根；④若，则二次函数的图像与坐标轴的公共点的个数是2或3.其中正确的是（）．Ａ.只有①②③Ｂ．只有①③④Ｃ．只有①④Ｄ．只有②③④．【答案】：B。3.（2008年湖北省仙桃市潜江市江汉油田）如图，抛物线的对称轴是直线，且经过点（3，0），则的值为A.0B.－1C.1––1331【答案】：A解析：本题考查二次函数的有关知识，由已知条件和图象可知抛物线与轴的另一个交点为（-1，0），所以当=-1时，==04.（2008福建福州）已知抛物线与轴的一个交点为，则代数式的值为（）A．2006 B．2007 C．2008 D．2009【答案】：D【解析】：①本题考察了二次函数和一元二次方程的相关系．抛物线与轴交点的横坐标，就是一元二次方程的两根．②由题意得：，即，所以原式=2009，选D答案．③结合数形结合的思想方法，可运用函数的观点解一元二次方程、不等式等相关题目．5.(2008江苏宿迁)在平面直角坐标系中,函数与的图象大致是【答案】：D6.(2008山东烟台)如图，四幅图象分别表示变量之间的关系，请按图象的顺序，将下面的四种情境与之对应排序．①②③④a．运动员推出去的铅球（铅球的高度与时间的关系）b．静止的小车从光滑的斜面滑下（小车的速度与时间的关系）c．d．小明从A地到B地后，停留一段时间，然后按原速度原路返回（小明离A地的距离与时间的关系）正确的顺序是（）A．B．C．D．【答案】：D7.（四川省资阳市）在平面直角坐标系中，如果抛物线y＝2x2不动，而把x轴、y轴分别向上、向右平移2个单位，那么在新坐标系下抛物线的解析式是A．y＝2(x－2)2+2 B．y＝2(x+2)2－2C．y＝2(x－2)2－2 D．y＝2(x+2)2+2【答案】：B【解析】：本题考查了平移函数时解析式的变化情况。把x轴、y轴分别向上、向右平移2个单位相当于把函数向下，向左平移2个单位，即y＝2(x+2)2－2，故选B。8.（2008嘉兴市）一个函数的图象如图，给出以下结论：①当时，函数值最大；②当时，函数随的增大而减小；③存在，当时，函数值为0．其中正确的结论是（）A．①② B．①③ C．②③ D．①②③【答案】：C9.（2008年上海市）在平面直角坐标系中，抛物线与轴的交点的个数是（）A．3 B．2 C．1 D．0【答案】：B【解析】：本题考察了二次函数与一元二次方程的联系。抛物线与轴的交点即x-1=0。由于方程x-1=0有两个不相等的实数根，故抛物线与轴有两个交点，所以选B10.（山东滨州）若A（-4，y1），B（-3，y2），C（1，y3）为二次函数y=x2+4x-5的图象上的三点，则y1，y2，y3的大小关系是（）A、y1＜y2＜y3B、y2＜y1＜y3C、y3＜y1＜y2D、y1＜y3【答案】：B11.(08长春中考试题)抛物线的顶点坐标是【】A.（－2，3）B.（2，3）C.（－2，－3）D.（2，－3）【答案】：A12.(08吉林长春)二次函数的图象与轴有交点，则的取值范围是【】A． B．C．D．【答案】：D13.（2008年巴中市）二次函数的图象如图4所示，则下列说法不正确的是（）A． B． C． D．【答案】：D 14.（2008年芜湖市）函数在同一直角坐标系内的图象大致是（）【答案】：C【解析】：本题主要考察二次函数与一次函数的图像及性质。一次函数中a>0时图像经过一、三象限，a<0时图像经过二、四象限，b>0时与y轴交点在x轴的上方，b<0时与y轴交点在x轴的下方；二次函数中a>0时开口向上，a<0时开口向下，ab>0时，对称轴在y轴左侧，ab<0时，对称轴在y轴右侧，分别对每个图像进行分析得出只有C正确，所以选C。(08长春中考试题)已知反比例函数的图象如下右图所示，则二次函数的图象大致为（）【答案】：D15.(2008年温州市)抛物线的对称轴是（）A．直线 B．直线 C．直线 D．直线【答案】：A16.(2008·东营市)若A（），B（），C（）为二次函数的图象上的三点，则的大小关系是（）A． B．C． D．【答案】：B【解析】：本题考查二次函数的性质和图像的知识.由二次函数解析式可知其对称轴为x=-2且开口向上，在坐标系中画出函数图像，描出各点即可判断其y值的大小17.(2008·达州市)已知二次函数的图象如图所示，当时，的取值范围是（）A． B． C． D．或xxyO3【答案】：A【解析】：本题考查二次函数图像的知识，在坐标系中，当函数值y＜0时,函数图像在x轴的下方，因此x的取值在-1和3之间，所以的取值范围为.故选A.18.（08四川凉山州）已知二次函数的大致图象如图所示，那么函数的图象不经过（）A．一象限 B．二象限 C．三象限 D．四象限答案：A，由抛物线的开口向下，所以a＜0，又对称轴在y轴的左侧，＜0，所以b<0,故一次函数的图象不经过第一象限。xxy0119.（2008年河北省）如图，正方形的边长为10，四个全等的小正方形的对称中心分别在正方形的顶点上，且它们的各边与正方形各边平行或垂直．若小正方形的边长为，且，阴影部分的面积为，则能反映与之间函数关系的大致图象是（）xxADCByx10O100A．yx10O100B．yx10O100C．5yx10O100D．答案：D20.（2008湖北黄石）在反比例函数中，当时，随的增大而减小，则二次函数的图象大致是下图中的（）xxyOA．xyOB．xyOC．xyOD．【答案】：A21.（2008年义乌市）已知：二次函数的图像为下列图像之一，则的值为A.－1B．1C.－3D.－4答案A22.（2008年泰州市）二次函数的图像可以由二次函数的图像平移而得到，下列平移正确的是A．先向左平移2个单位，再向上平移1个单位B．先向左平移2个单位，再向下平移1个单位C．先向右平移2个单位，再向上平移1个单位D．先向右平移2个单位，再向下平移1个单位【答案】：B23.（2008威海市）已知二次函数的图象过点A（1，2），B（3，2），C（5，7）．若点M（-2，y1），N（-1，y2），K（8，y3）也在二次函数的图象上，则下列结论正确的是A．y1＜y2＜y3 B．y2＜y1＜y3 C．y3＜y1＜y2 D．y1＜y3＜y2【答案】：B24.（2008年潍坊市）若一次函数的图象过第一、三、四象限，则函数（）A．有最大值 B．有最大值 C．有最小值 D．有最小值答案：D25.（2008年贵阳市）二次函数的最小值是（）A． B． C． D．【答案】：B.【解析】：本题主要考查二次函数的最值.当a>0时，函数有最小值，并且当x=，y最小值=；当a<0时，函数有最大值，并且当x=，y最大值=.当把二次函数解析式化为的形式时，可知当，其有最大值或最小值.本题，所以最小值为2.26.(2008山东省临沂市)如图，已知正三角形ABC的边长为1，E、F、G分别是AB、BC、CA上的点，且AE＝BF＝CG，设△EFG的面积为y，AE的长为x，则y关于x的函数的图象大致是（）答案:C.第一部分:本题考查了三角形的有关面积以及函数图形综合题,解答时根据已知首先求得△EFG的面积y的函数解析式，然后根据解析式判断函数图象.第二部分：因为正三角形ABC的边长为1，所以其面积为.因为AE＝BF＝CG=x，所以BE=FC=AG=1-x，又因为∠A=∠B=∠C=60°，所以△AEG≌△BFE≌△CGF，所以△AEG、△BFE、△⊥AG于H，易求得EH=x，所以△AEG的面积为x(1-x)，所以y=-3×x(1-x)=x-x+.因为-4ac<0，所以与x轴五交点.故应选C.27.(2008绍兴)．已知点，均在抛物线上，下列说法中正确的是（）A．若，则 B．若，则C．若，则 D．若，则【答案】：D28.（2008湖北孝感）把抛物线向左平移1个单位，然后向上平移3个单位，则平移后抛物线的解析式为（）A． B．C． D．【答案】：D【解析】此题考查二次函数图象的平移.抛物线经过平移后，顶点由（0，0）移到（29.（2008湖南长沙）二次函数的图象如图所示，则下列关系式不正确的是（）A、＜0 B、 C、＞0 ＞0...【答案】：C【解析】；此题考查二次函数的图象及性质.图象开口向下，所以＜0；对称轴<0，所以b<0，图象与y轴次于y轴正半轴，因此c>0，因此；当x=1时，由图象知，y<0，即<0；图象与x轴有两个交点，故＞0.30.（2008深圳市）将二次函数的图象向右平移1个单位，再向上平移2个单位后，所得图象的函数表达式是Ａ．Ｂ．Ｃ．Ｄ．【答案】：A31.（2008年黑龙江佳木斯市）对于抛物线，下列说法正确的是（）A．开口向下，顶点坐标 B．开口向上，顶点坐标C．开口向下，顶点坐标 D．开口向上，顶点坐标【答案】：A32.（2008年甘肃省庆阳市）10．若，则由表格中信息可知与之间的函数关系式是（）Ａ． Ｂ．Ｃ． Ｄ．【答案】：A【解析】：本题考察了二次函数关系式的确定.要能从表格中获取信息，确定待定字母的值.由x=1可得a=1；由x=0可得c=3，再由x=－1算出b=－4，所以本题选A.33.（2008年甘肃省兰州市）9．已知二次函数（）的图象如图所示，有下列4个结论：①；②；③；④；其中正确的结论有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个--1Ox=1yx【答案】：B【解析】：本题考察了二次函数的系数的符号的确定.从图象可以看出，开口向下得a＜0，抛物线交y轴的正半轴可得c＞0，再由对称轴x=1可得b＞0，所以①是错误的；由抛物线与x轴的交点的横坐标是－1和3可得②是错误的，③是正确的；由顶点在第一象限可得④是对的.所以本题选B.34.（湖南常德）把抛物线向右平移2个单位，再向上平移1个单位，所得的抛物线的解析式为A.1B.1C.1D.【答案】：A35.（2008天津）把抛物线向上平移5个单位，所得抛物线的解析式为（）A． B． C． D．【答案】：A36.（2008年甘肃省兰州市）10．下列表格是二次函数的自变量与函数值的对应值，判断方程（为常数）的一个解的范围是（）A． B．C． D．答案：C【解析】：由二部分组成本题考察了二次函数与一元二次方程的关系.一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠y=ax2+bx+c(a≠0)与x轴的交点也会有三种情况:当方程有两个不相同的实数根时，抛物线与x轴有两个交点；当方程有两个相等的实数根时，x的值只能算一个，所以抛物线与x轴有一个交点；当方程没有实数根时，抛物线与x轴没有交点.重点把握二次函数图象与x轴（或y=h）交点的个数与一元二次方程的根的关系．掌握此点，关键是理解二次函数y=ax2＋bx＋c图象与x轴交点，即y=0，即ax2＋bx＋c=0，从而转化为方程的根，再应用根的判别式，求根公式判断，求解即可，二次函数图象与x轴的交点是二次函数的一个重要内容，在其考查中也有重要的地位．所以本题选C.37.（2008年龙岩市）已知函数的图象如图所示，则下列结论正确的是（） A．a＞0，c＞0 B．a＜0，c＜0 C．a＜0，c＞0 D．a＞0，c＜0第15题图【答案】：D【解析】：此题考查二次函数的图象与二次函数的各项系数的对应关系:对于二次函数,二次项系数a决定抛物线的开口方向,当二次项系数a>0时,二次函数的图象开口向上;当二次项系数a<0时,二次函数的图象开口向下;一次项系数b与二次项系数a共同决定对称轴的位置，当a,b同号时对称轴位于x轴的负半轴上（y轴的左侧），当a,b异号时对称轴位于x轴的正半轴上（y轴的右侧）；c决定着抛物线与y轴的交点位置,当c>0时,抛物线与y轴的交点位于y轴的正半轴,当c<0时,抛物线与y轴的交点位于y轴的负半轴.反之,亦成立.此题由图象开口向上可以判定a>0,因为抛物线与y轴交于负半轴,所以c<0,故此题选D.38.（2008陕西）已知二次函数（其中），关于这个二次函数的图象有如下说法：①图象的开口一定向上；②图象的顶点一定在第四象限；③图象与轴的交点至少有一个在轴的右侧．以上说法正确的个数为（）A．0 B．1 C．2 D．3【答案】：C。【解析】：因为，所以图象的开口一定向上；又，所以这个二次函数的图象的对称轴位于轴的右侧，由于，进而可以判断图象的顶点一定在第四象限；所以关于这个二次函数的图象有说法有2个正确的。故选C。39.（2008四川乐山）已知二次函数的图象如图所示，令，则()－21－210A．M>0B.M<0C.M=0D.M的符号不能确定【答案】：B。40.（2008年泰安市）在同一直角坐标系中，函数和（是常数，且）的图象可能是（）xxyOＡ．xyOＢ．xyOＣ．xyOＤ．【答案】：D41.（2008年泰安市）如图所示是二次函数的图象在轴上方的一部分，对于这段图象与轴所围成的阴影部分的面积，你认为与其最接近的值是（）ＯＯxyA．4 B． C． D．答案：B42.（2008恩施自治州）将一张边长为30㎝的正方形纸片的四角分别剪去一个边长为ｘ㎝的小正方形,然后折叠成一个无盖的长方体.当ｘ取下面哪个数值时,长方体的体积最大A.7B.6C.5D.4答案：C43.（2008年沈阳市）二次函数的图象的顶点坐标是（）A． B． C． D．【答案】：A.【解析】：本题主要考查二次函数的顶点式的顶点坐标为（h,k）.44.(2008年山西省)抛物线经过平移得到，平移方法是A．向左平移1个单位，再向下平移3个单位B．向左平移1个单位，再向上平移3个单位C．向右平移1个单位，再向下平移3个单位D．向右平移1个单位，再向上平移3个单位【答案】:D45．（2008年镇江市）福娃们在一起探讨研究下面的题目：函数函数（为常数）的图象如左图，如果时，；那么时，函数值（）A． B． C． D．xxyOx1x2参考下面福娃们的讨论，请你解该题，你选择的答案是（）贝贝：我注意到当时，．晶晶：我发现图象的对称轴为．欢欢：我判断出．迎迎：我认为关键要判断的符号．妮妮：可以取一个特殊的值．【答案】:C46.(2008年衢州）把抛物线向右平移2个单位得到的抛物线是()A、B、C、D、【答案】：D47．(08牡丹江)对于抛物线，下列说法正确的是（）A．开口向下，顶点坐标 B．开口向上，顶点坐标C．开口向下，顶点坐标 D．开口向上，顶点坐标【答案】：A48.(2008年南充市)二次函数的图像如图所示，则点在（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限yyxO【答案】：C49.(2008呼和浩特市）已知二次函数的图象如图（1）所示，则直线与反比例函数，在同一坐标系内的大致图象为（）OOyx（1）ABABCDOxyOxyOxyOxyABCD【答案】：B50.(2008浙江诸暨)抛物线y=ax2+2ax+a2+2的一部分如图所示，那么该抛物线在y轴右侧与x轴交点的坐标是……………()A．（EQ\F(1,2)，0）；B．（1，0）；C．（2，0）；D．（3，0）【答案】：B51.（2008甘肃甘南）二次函数的顶点坐标是（）A.（-1,3）B.（-1,-3）C.（1,3）D.（1,-3）【答案】：C52.（2008河北天门）已知二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象如图所示，下列结论：①abc＞0；②2a＋b＜0；③a－b＋c＜0；④a＋c＞0，其中正确结论的个数为（）．A、4个B、3个C、2个D、1个-1-1O1xy答案：C二、填空题1.（2008年湖北省咸宁市）抛物线与轴只有一个公共点，则的值为．【答案】：8【解析】：本题考查根的判别式，抛物线与轴只有一个公共点，则b2-4ac=0，所以82-4×2m=0，所以m=82.（2008苏州）初三数学课本上，用“描点法”画二次函数的图象时，列了如下表格：…012………根据表格上的信息回答问题：该二次函数在时，．【答案】：-4【解析】：本题考查二次函数的对称性.根据二次函数的对称性可知，其对称轴为直线x=1,所以时的函数值与x=-1时相等，为-4.3.(2008常州市)已知函数的部分图象如图所示,则c=______,当x______时,y随x的增大而减小.答案：-3，＞2解析：根据图形可知二次函数图像经过点（3，0）,即-9+6+c=0，解得c=-3，当x＞2时,y随x的增大而减小.4.（枣庄市）已知二次函数（）与一次函数的图象相交于点A（－2，4），B（8，2）（如图所示），则能使成立的的取值范围是．【答案】：x＜－2或x＞85.（2008年义乌市）李老师给出了一个函数，甲、乙、丙三位学生分别指出这个函数的一个特征．甲：它的图像经过第一象限；乙：它的图像也经过第二象限；丙：在第一象限内函数值y随x增大而增大．在你学过的函数中，写出一个满足上述特征的函数解析式．【答案】：形如6.(08长春中考试题)将抛物线向下平移3个单位，再向左平移4个单位得到抛物线，则原抛物线的顶点坐标是。【答案】：（３，１０）7.(2008年安徽省)如图为二次函数y=ax2＋bx＋c的图象，在下列说法中：①ac＜0；②方程ax2＋bx＋c=0的根是x1=－1,x2=3③a＋b＋c＞0④当x＞1时，y随x的增大而增大。正确的说法有_____________。(把正确的答案的序号都填在横线上)【答案】：①②④【解析】：本题主要考察二次函数的图像和性质。二次函数的图像为抛物线，由a的取值决定开口方向，由a和b的值决定对称轴，由c决定抛物线与y轴的交点，抛物线与x轴的交点的横坐标是方程ax2＋bx＋c=0的根。本题中抛物线开口向上，所以a＞0，与y轴交于负半轴，所以c＜0，得到ac＜0；根据图像知与x轴的交点的横坐标为-1和3得到方程ax2＋bx＋c=0的根是x1=－1,x2=3；当x=1时，由图像知y＜0，即a＋b＋c＜0；利用抛物线的对称性由图像与x轴的两个交点知对称轴为x=1，在对称轴的右边y随x的增大而增大，从而知①②④正确。在解决此类问题时要综合利用抛物线的图像和特殊值来解题。8.（2008年甘肃省庆阳市）二次函数的最小值是．【答案】：4【解析】：本题考察了二次函数的极值（最大值或最小值）问题.抛物线开口向上，当x=0时，二次函数有最小值y=4.所以本题填4.9.（2008年甘肃省庆阳市）兰州市“安居工程”新建成的一批楼房都是8层高，房子的价格y（元/平方米）随楼层数x（楼）的变化而变化（x=1，2，3，4，5，6，7，8）；已知点（x，y）都在一个二次函数的图像上（如图所示），则6楼房子的价格为元/平方米．【答案】：2080【解析】：本题考察了从二次函数的图象上获取信息，确定函数关系式，并求出函数值.根据抛物线的对称性，当x=2时和6时的函数值相等，所以6楼房子的价格为2080元/平方米.所以本题填208010.（2008年甘肃省兰州市）15．在同一坐标平面内，下列4个函数①，②，③，④的图象不可能由函数的图象通过平移变换、轴对称变换得到的函数是（填序号）．【答案】：④【解析】：本题考察了二次函数的图象的平移.抛物线的形状、大小相同才能通过平移变换、轴对称变换得到.只有二次函数的二次项系数的绝对值相等抛物线的形状、大小相同.因为只有④二次项的绝对值不等于2，所以它的图象不可能由函数的图象通过平移变换、轴对称变换得到.所以本题填④.11.（2008年甘肃省兰州市）农村常需要搭建截面为半圆形的全封闭蔬菜塑料暖房如图所示，则需要塑料布（m2）与半径（m）的函数关系式是（不考虑塑料埋在土里的部分）．22R米30米【答案】：【解析】：本题考察了二次函数关系式的确定.y=×2πR×30＋πR2=30πR＋πR2.所以本题填.12.（2008年甘肃省白银市）抛物线y=x2+x－4与y轴的交点坐标为．答案：(0，－4)解析：考查二次函数解析式及平面直角坐标系内点的坐标特征。根据y轴上的点的横坐标为0的特征，可得y=02+0－4=－4，所以所求交点坐标为(0，－4)。(2008年内江市)如图1，小明的父亲在相距2米的两棵树间拴了一根绳子，给他做了一个简易的秋千，拴绳子的地方距地面高都是，绳子自然下垂呈抛物线状，身高1米的小明距较近的那棵树时，头部刚好接触到绳子，则绳子的最低点距地面的距离为米．【解析】本题主要考查学生应用二次函数的知识解决实际问题的能力.可建立如图2所示的坐标系，设此二次函数的解析式为y=ax+c，根据题意，点（-0.5，1）、（1，2.5）在抛物线上，从而确定二次函数的解析式为y=2x+0.5，顶点的纵坐标为0.52米2米图11米Oyx2米图21米13.（2008天津）.已知抛物线，若点（，5）与点关于该抛物线的对称轴对称，则点的坐标是．【答案】：（4，5） 14.（2008黄冈市）抛物线y=2(x-2)2+3的对称轴为直线________【答案】：x=215.（2008襄樊市）如图，一名男生推铅球，铅球行进高度（单位：m）与水平距离（单位：m）之间的关系是．则他将铅球推出的距离是m．答案：1016.（2008青海）二次函数图象如图所示，则点在第象限．【答案】：四OOxy17.（2008年南昌市）将抛物线向上平移一个单位后，得到的抛物线解析式是．【答案】 .【解析】:本题主要考查二次函数的平移规律：任意二次函数（a≠0,a、b、c是常数）都可以转化为的形式，因此可以由经过平移得到，具体做法是将的图像向右（h＞0）［向左（h＜0）］平移个单位，并向上（k＞0）［向下（k＜0）］平移个单位.18.(2008年山西省太原市)抛物线的顶点坐标是．【答案】:（1，1）19.(2008年山西省)二次函数的图象的对称轴是直线.【答案】:20.（2008浙江台州）如图，从地面垂直向上抛出一小球，小球的高度（单位：米）与小球运动时间（单位：秒）的函数关系式是，那么小球运动中的最大高度．hh21.（2008河南省）如图是二次函数图像的一部分，该图在轴右侧与轴交点的坐标是答案：（1，0）三、解答题1.（2008年湖北省宜昌市）如图1，已知四边形OABC中的三个顶点坐标为O（0，0），A（0，n），C（m，0），动点P从点O出发一次沿线段OA，AB，BC向点C移动，设移动路程为x，△OPC的面积S随着x的变化而变化的图像如图2所示，m，n是常数，m>1，n>0.（1）请你确定n的值和点B的坐标；（2）当动点P是经过点O、C的抛物线y=ax2＋bx＋c的顶点，且在双曲线y=上时，求这时四边形OABC的面积.解：（1）n=2，B点的坐标是（1，2）.（2）由点A(0,2)、B(1,2)的坐标可知AB∥x轴∵动点P是经过点O、C的抛物线y=ax2＋bx＋c的顶点∴点P在AB上∴此时点P的纵坐标为2∵此时点P还在双曲线y=上，∴2=得所以此时点P坐标为（，2），根据抛物线的轴对称性可得C点坐标为（，0）由B、C两点的坐标可知，AB==1,OC==∴AB≠OC，又AB∥OC∴四边形OABC是直角梯形，=(AB+OC)×=2.（2008年武汉市）某商品的进价为每件30元，现在的售价为每件40元，每星期可卖出150件。市场调查反映：如果每件的售价每涨1元（售价每件不能高于45元），那么每星期少卖10件。设每件涨价元（为非负整数），每星期的销量为件．⑴求与的函数关系式及自变量的取值范围；⑵如何定价才能使每星期的利润最大且每星期的销量较大？每星期的最大利润是多少？解：⑴且为整数；⑵当售价为42元时，每周的利润最大且销量较大，最大利润为1560元；3.（2008年武汉市）如图1，抛物线经过A（－1，0），C（3，2）两点，与轴交于点D，与轴交于另一点B。⑴求此抛物线的解析式；⑵若直线将四边形ABCD面积二等分，求的值；⑶如图2，过点E（1，－1）作EF⊥轴于点F，将△AEF绕平面内某点旋转180°后得△MNQ（点M，N，Q分别与点A，E，F对应），使点M，N在抛物线上，求点M，N的坐标．OEOEBDAF图2ACOBD图1解.⑴；⑵；⑶M（3，2），N（1，3）4.(2008常州市)如图,抛物线与x轴分别相交于点B、O,它的顶点为A,连接AB,把AB所的直线沿y轴向上平移,使它经过原点O,得到直线l,设P是直线l上一动点.求点A的坐标;以点A、B、O、P为顶点的四边形中,有菱形、等腰梯形、直角梯形,请分别直接写出这些特殊四边形的顶点P的坐标;设以点A、B、O、P为顶点的四边形的面积为S,点P的横坐标为x,当时,求x的取值范围.解：（1）y=x2+4x=(x+2)2-4,所以A(-2,-4)(2)当y=0时，x2+4x=0,解得x1=0,x2=-4所以B（-4,0），此时△ABO是等腰直角三角形，若以AB、OA为边作平行四边形，此时四边形ABPO是菱形，点P与点A关于x轴对称，P（-2，4）.若以AB、OB为边作等腰梯形，此时P(,)若以AB为底、OA为一腰作直角梯形，此时P(,).（2）当S=4+6时，因为S△OAB=8,所以S△OAP=6-4××=6-4,解得=.当S=6+8时，因为S△OAB=8,所以S△OAP=8-2××=8-2,解得=.所以x的取值范围是.5.（2008苏州）如图，抛物线与轴的交点为．直线与轴交于，与轴交于．若两点在直线上，且，．为线段的中点，为斜边上的高．（1）的长度等于；，．（2）是否存在实数，使得抛物线上有一点，满足以为顶点的三角形与相似？若不存在，说明理由；若存在，求所有符合条件的抛物线的解析式，同时探索所求得的抛物线上是否还有符合条件的点（简要说明理由）；并进一步探索对符合条件的每一个点，直线与直线的交点是否总满足，写出探索过程．DDxyNOMPACBH解：（1）；，．（2）设存在实数，使抛物线上有一点，满足以为顶点的三角形与等腰直角相似．以为顶点的三角形为等腰直角三角形，且这样的三角形最多只有两类，一类是以为直角边的等腰直角三角形，另一类是以为斜边的等腰直角三角形．①若为等腰直角三角形的直角边，则．由抛物线得：，．，．的坐标为．把代入抛物线解析式，得．抛物线解析式为．即．②若为等腰直角三角形的斜边，则，．的坐标为．把代入抛物线解析式，得．抛物线解析式为，即当时，在抛物线上存在一点满足条件，如果此抛物线上还有满足条件的点，不妨设为点，那么只有可能是以为斜边的等腰直角三角形，由此得，显然不在抛物线上，因此抛物线上没有符合条件的其他的点．当时，同理可得抛物线上没有符合条件的其他的点．当的坐标为，对应的抛物线解析式为时，和都是等腰直角三角形，．又，．，，总满足．当的坐标为，对应的抛物线解析式为时，同理可证得：，总满足．【解析】：这是一到典型的坐标几何题，融丰富的函数图象与几何图形于一题，用几何的方法研究函数问题；包含的知识点较多；代数变换（包括数式变换、方程变换、不等式变换）与几何推理巧妙融合，交相辉映，数形结合思想和方法得到充分运用.6.（2008无锡）已知抛物线与它的对称轴相交于点，与轴交于，与轴正半轴交于．（1）求这条抛物线的函数关系式；（2）设直线交轴于是线段上一动点（点异于），过作轴交直线于，过作轴于，求当四边形的面积等于时点的坐标．解：（1）由题意，知点是抛物线的顶点，，，抛物线的函数关系式为．（2）由（1）知，点的坐标是．设直线的函数关系式为，则，，．由，得，，点的坐标是．设直线的函数关系式是，则解得，．直线的函数关系式是．设点坐标为，则．轴，点的纵坐标也是．设点坐标为，点在直线上，，．轴，点的坐标为，，，，，，，，当时，，而，，点坐标为和．【解析】：解决本题的关键是表示出四边形OPEF的面积，建立方程.7.（2008年泰州市）已知二次函数y1=ax2＋bx＋c（a≠0）的图像经过三点（1，0），（－3，0），（0，－）．（1）求二次函数的解析式，并在给定的直角坐标系中作出这个函数的图像；（2）若反比例函数y2=（x＞0）的图像与二次函数y1=ax2＋bx＋c（a≠0）的图像在第一象限内交于点A(x0，y0)，x0落在两个相邻的正整数之间，请你观察图像，写出这两个相邻的正整数；（3）若反比例函数y2=（x＞0，k＞0）的图像与二次函数y1=ax2＋bx＋c（a≠0）的图像在第一象限内的交点A，点A的横坐标x0满足2＜x0＜3，试求实数k的取值范围．【参考答案】：29（1）设抛物线解析式为y=a(x-1)(x+3)（只要设出解析式正确，不管是什么形式给1分）将（0，—）代入，解得a=.∴抛物线解析式为y=x2+x-（无论解析式是什么形式只要正确都得分）画图（略）。（没有列表不扣分）（2）正确的画出反比例函数在第一象限内的图像由图像可知，交点的横坐标x0落在1和2之间，从而得出这两个相邻的正整数为1与2。（3）由函数图像或函数性质可知：当2＜x＜3时，对y1=x2+x-,y1随着x增大而增大，对y2=（k＞0），y2随着X的增大而减小。因为A（X0，Y0）为二次函数图像与反比例函数图像的交点，所心当X0=2时，由反比例函数图象在二次函数上方得y2＞y1，即＞×22+2-，解得K＞5。同理，当X0=3时，由二次函数数图象在反比例上方得y1＞y2，即×32+3—＞，解得K＜18。所以K的取值范围为5＜K＜18【解析】本题是一道反比例函数与二次函数的综合题。（1）考查学生确定二次函数解析式的能力。题目中给了三个点的坐标，可以设一般形式也可以设双根式，代入数值确定系数，得到二次函数的解析式。描点画图。（2）作反比例函数y2=（x＞0）的图像，观察发现：交点的横坐标x0落在1和2之间，从而得出这两个相邻的正整数为1与2。（3）数形结合，转化为不等式来解决问题。8.（2008年南京市）已知二次函数中，函数与自变量的部分对应值如下表：…………（1）求该二次函数的关系式；（2）当为何值时，有最小值，最小值是多少？（3）若，两点都在该函数的图象上，试比较与的大小．【参考答案】解：（1）根据题意，当时，；当时，．所以解得所以，该二次函数关系式为．（2）因为，所以当时，有最小值，最小值是1．（3）因为，两点都在函数的图象上，所以，，．．所以，当，即时，；当，即时，；当，即时，．【解析】本题是对二次函数有关知识的考查。（1）应用待定系数法，确定所给表达式中b和c和值；（2）要求最值，可把二次函数的一般式化为顶点式；（3）应用求差法比较与的大小，；然后，分三种情况讨论得出结果。9.（2008枣庄市）在直角坐标平面中，O为坐标原点，二次函数的图象与y轴交于点A，与x轴的负半轴交于点B，且．（1）求点A与点B的坐标；（2）求此二次函数的解析式；（3）如果点P在x轴上，且△ABP是等腰三角形，求点P的坐标．解：（1）由解析式可知，点A的坐标为（0，4）．∵，∴BO=3．∴点B的坐标为（-3，0）．（2）把点B的坐标（-3，0）代入，得．解得．∴所求二次函数的解析式为．（3）因为△ABP是等腰三角形，所以①当AB=AP时，点P的坐标为（3，0）．②当AB=BP时，点P的坐标为（2，0）或（-8，0）．③当AP=BP时，设点P的坐标为（x，0）．根据题意，得．解得．∴点P的坐标为（，0）．综上所述，点P的坐标为（3，0）、（2，0）、（-8，0）、（，0）．10.(2008年西宁市)如图，已知半径为1的与轴交于两点，为的切线，切点为，圆心的坐标为，二次函数的图象经过两点．（1）求二次函数的解析式；（2）求切线的函数解析式；（3）线段上是否存在一点，使得以为顶点的三角形与相似．若存在，请求出所有符合条件的点的坐标；若不存在，请说明理由．yyxOABMO1解：（1）圆心的坐标为，半径为1，，二次函数的图象经过点，可得方程组解得：二次函数解析式为（2）过点作轴，垂足为．是的切线，为切点，（圆的切线垂直于经过切点的半径）．yyAHFMOP1P2O1xB在中，为锐角，，在中，．．点坐标为设切线的函数解析式为，由题意可知，切线的函数解析式为（3）存在．①过点作轴，与交于点．可得（两角对应相等两三角形相似），②过点作，垂足为，过点作，垂足为．可得（两角对应相等两三角开相似）在中，，，在中，，，符合条件的点坐标有， 11.（2008年广东湛江市）如图所示，已知抛物线与轴交于A、B两点，与轴交于点C．（1）求A、B、C三点的坐标．（2）过点A作AP∥CB交抛物线于点P，求四边形ACBP的面积．（3）在轴上方的抛物线上是否存在一点M，过M作MG轴于点G，使以A、M、G三点为顶点的三角形与PCA相似．若存在，请求出M点的坐标；否则，请说明理由．CCPByA解：（1）令，得解得令，得∴ABC（2）∵OA=OB=OC=∴BAC=ACO=BCO=∵AP∥CB，∴PAB=过点P作PE轴于E，则APE为等腰直角三角形令OE=，则PE=∴P∵点P在抛物线上∴解得，（不合题意，舍去）

∴PE=∴四边形ACBP的面积=AB•OC+AB•PE=(3)．假设存在∵PAB=BAC=∴PAAC∵MG轴于点G，∴MGA=PAC=在Rt△AOC中，OA=OC=∴AC=在Rt△PAE中，AE=PE=∴AP=设M点的横坐标为，则M①点M在轴左侧时，则GGM图2CByPA(ⅰ)当AMGPCA时，有=∵AG=，MG=即解得（舍去）（舍去）(ⅱ)当MAGPCA时有=即解得：（舍去）∴M②点M在轴右侧时，则(ⅰ)当AMGPCA时有=GGM图3CByPA∵AG=，MG=∴解得（舍去）∴M(ⅱ)当MAGPCA时有=即解得：（舍去）

∴M∴存在点M，使以A、M、G三点为顶点的三角形与PCA相似M点的坐标为，，）12.（2008年湖北省咸宁市）如图①，正方形ABCD中，点A、B的坐标分别为（0，10），（8，4），点C在第一象限．动点P在正方形ABCD的边上，从点A出发沿A→B→C→D匀速运动，同时动点Q以相同速度在x轴上运动，当P点到D点时，两点同时停止运动，设运动的时间为t秒．（1）点在边AB上运动时，点Q的横坐标（长度单位）关于运动时间t（秒）的函数图象如图②所示，请写出点Q开始运动时的坐标及点P运动速度；(2)求正方形边长及顶点C的坐标；(3)在(1)中当t为何值时，△OPQ的面积最大，并求此时P点的坐标．附加题：（如果有时间，还可以继续解答下面问题，祝你成功！）如果点P、Q保持原速度速度不变，当点P沿A→B→C→D匀速运动时，OP与PQ能否相等，若能，写出所有符合条件的t的值；若不能，请说明理由．解：（1）(1,0)点P运动速度每秒钟1个单位长度．(2)过点作BF⊥y轴于点，⊥轴于点，则＝8，.∴.在Rt△AFB中，.过点作⊥轴于点,与的延长线交于点.∵∴△ABF≌△BCH.∴.∴.∴所求C点的坐标为（14，12）(3)过点P作PM⊥y轴于点M，PN⊥轴于点N，则△APM∽△ABF.∴..∴.∴.设△OPQ的面积为(平方单位)∴(0≤≤10)∵<0∴当时,△OPQ的面积最大.此时P的坐标为(，).(4)当或时,OP与PQ相等.13.（2008年荆州市）已知：如图，Rt△AOB的两直角边OA、OB分别在x轴的正半轴和y轴的负半轴上，C为OA上一点且OC＝OB，抛物线y=(x－2)(x－m)－(p-2)(p-m)（m、p为常数且m+2≥2p>0）经过A、C两点．（1）用m、p分别表示OA、OC的长；（2）当m、p满足什么关系时，△AOB的面积最大．OOBCAxy解：⑴令y＝0得：整理得：∴∵，∴∴OA＝，OC＝⑵∵OC＝OB，OA·OB∴S△AOB＝OC·OA＝p（m+2－p）＝p2+（m+2）p∴p＝时，S△AOB最大．14.（2008年荆州市）“5•12”汶川大地震后，某健身器材销售公司通过当地“红十字会”向灾区献爱心，捐出了五月份全部销售利润．已知该公司五月份只售出甲、乙、丙三种型号器材若干台，每种型号器材不少于8台，五月份支出包括这批器材进货款64万元和其他各项支出（含人员工资和杂项开支）3.8万元.这三种器材的进价和售价如下表，人员工资y1(万元)和杂项支出y2（1）求y1与x的函数解析式；（2）求五月份该公司的总销售量；（3）设公司五月份售出甲种型号器材t台，五月份总销售利润为W（万元），求W与t的函数关系式；（销售利润＝销售额－进价－其他各项支出）（4）请推测该公司这次向灾区捐款金额的最大值.0020By1y2x(台)y(万元)⑴设，则：解得：∴与的函数关系式为⑵依题意得：＝解得＝60∴五月份该公司的总销售量为60台⑶设五月份售出乙种型号器材p台，则售出丙种型号器材（60－t－p）台0.9t+1.2p+1.1（60－t－p）＝64解得p＝2t－20⑷依题意有，解得14≤t≤24又∵t为正整数∴t最大为24∵W是t的一次函数，由⑶知W随t的增大而增大∴当t＝24（台）时，W最大＝0.5×24+4.2＝16.2（万元）2008年全国中考数学试题分类汇编（二次函数）第二部分15.（2008年荆州市）如图，等腰直角三角形纸片ABC中，AC＝BC＝4，∠ACB＝90º，直角边AC在x轴上，B点在第二象限，A（1，0），AB交y轴于E，将纸片过E点折叠使BE与EA所在直线重合，得到折痕EF（F在x轴上），再展开还原沿EF剪开得到四边形BCFE，然后把四边形BCFE从E点开始沿射线EA平移，至B点到达A点停止.设平移时间为t（s），移动速度为每秒1个单位长度，平移中四边形BCFE与△AEF重叠的面积为S.（1）求折痕EF的长；（2）是否存在某一时刻t使平移中直角顶点C经过抛物线的顶点？若存在，求出t值；若不存在，请说明理由；（3）直接写出S与t的函数关系式及自变量t的取值范围.OOCxAC1F1E1B1BFEyP⑴∵折叠后BE与EA所在直线重合∴FE⊥EA又Rt△ABC中AC＝BC∴∠CAB＝45°∴EF＝EA∵A（1，0）∴OA＝OE＝1，AE＝∴折痕EF＝⑵存在．设CP∥BA交y轴于P，则△POC为等腰直角三角形，直角顶点C在射线CP上移动．∵AC＝4，OA＝1∴OC＝OP＝3可求得PC所在直线解析式为：∵抛物线∴抛物线顶点为（－2，－1）代入得．∴点（－2，－1）在直线CP上即直角顶点C在移动中经过此抛物线的顶点∵四边形BCFE沿射线EA移动速度为每秒1个长度单位，∠BAC＝45°∴四边形BCFE向水平方向移动速度为1×cos45°＝（长度单位/秒）∵直角顶点C从（－3，0）位置移到（－2，－1）时，水平移动距离为｜1－2－（－3）｜＝1（长度单位）∴直角顶点C从开始到经过此抛物线顶点移动的时间t＝（s）⑶S＝16.（2008年湖北省仙桃市潜江市江汉油田）如图，直角梯形中，∥,为坐标原点，点在轴正半轴上，点在轴正半轴上，点坐标为（2，2），∠=60°，于点.动点从点出发，沿线段向点运动，动点从点出发，沿线段向点运动，两点同时出发，速度都为每秒1个单位长度.设点运动的时间为秒.（1）求的长；（2）若的面积为（平方单位）.求与之间的函数关系为何值时，的面积最大，最大值是多少？（3）设与交于点.=1\*GB3①当△为等腰三角形时，求（2）中的值.=2\*GB3②探究线段长度的最大值是多少，直接写出结论.解：（1）∵∥∴在中，,∴，∴而∴为等边三角形∴…（3分）（2）∵∴∴=（）即∴当时，（3）=1\*GB3①若为等腰三角形，则：（=1\*romani）若，∴∥∴即解得：此时（=2\*romanii）若，∴过点作，垂足为，则有：即解得：此时（=3\*romaniii）若，∴∥此时在上，不满足题意.=2\*GB3②线段OM长的最大值为17.（2008山东烟台）如图，抛物线交x轴于A，B两点，交y轴于M点抛物线向右平移2个单位得到抛物线，交x轴于C，D两点．（1）求抛物线对应的函数表达式；（2）抛物线或在x轴上方的部分是否存在点N，使以A，C，M，N为顶点的四边形是平行四边形．若存在，求出点N的坐标；若不存在，请说明理由；（3）若点P是抛物线上的一个动点（P不与点A，B重合），那么点P关于原点的对称点Q是否在抛物线上，请说明理由．解：（1）令，得，，．．抛物线向右平移2个单位得抛物线，抛物线为，即．（2）存在．令，得，．抛物线是向右平移2个单位得到的，点在上，且，．又，．四边形为平行四边形．、同理，上的点满足，．四边形是平行四边形．，即为所求．、（3）设是上任意一点，则点关于原点的对称点，且，、将点的横坐标代入，得，点不在抛物线上．18.(2008年扬州市)红星公司生产的某种时令商品每件成本为20元，经过市场调研发现，这种商品在未来40天内的日销售量m（件）与时间t（天）的关系如下表：时间t（天）1361036…日销售量m（件）9490847624…未来40天内，前20天每天的价格y1（元/件）与时间t（天）的函数关系式为（且t为整数），后20天每天的价格y2（元/件）与时间t（天）的函数关系式为（且t为整数）。下面我们就来研究销售这种商品的有关问题：（1）认真分析上表中的数据，用所学过的一次函数、二次函数、反比例函数的知识确定一个满足这些数据的m（件）与t（天）之间的关系式；（2）请预测未来40天中哪一天的日销售利润最大，最大日销售利润是多少？（3）在实际销售的前20天中，该公司决定每销售一件商品就捐赠a元利润（a<4）给希望工程。公司通过销售记录发现，前20天中，每天扣除捐赠后的日销售利润随时间t（天）的增大而增大，求a的取值范围。解：(1)将和代入一次函数m=kx+b中，有∴∴m=－2x+96.经检验，其它点的坐标均适合以上解析式，故所求函数解析式为m=－2x+96.(2)设前20日销售利润为P1元，后20日销售利润为P2元，由P1=(－2x+96)(t+5)=－t2+14t+480=－(t－14)2+578.∵1≤t≤20且t为整数∴当t=14时，P1有最大值578元.由P2=(－2x+96)(－t+20)=t2－88t+1920=(t－44)2－16∵21≤t≤40且对称轴为t=44，∴函数P2在21≤t≤40上随t的增大而减小，∴t=21时，P2有最大值为(21－44)2－16=513元.∵578＞513，故第14天时，销售利润最大为578元.(3)P1=(－2x+96)(t+5－a)=－t2+(14+2a)t+480－96a对称轴为t==14+2a.∵1≤t≤20，∴当t=14+2a≥20即a≥3时，P1又∵a＜4，∴3≤a＜4.19.（2008盐城）如图，直线经过点B(，2)，且与x轴交于点A．将抛物线沿x轴作左右平移，记平移后的抛物线为C，其顶点为P．（1）求∠BAO的度数；（2）抛物线C与y轴交于点E，与直线AB交于两点，其中一个交点为F．当线段EF∥x轴时，求平移后的抛物线C对应的函数关系式；（3）在抛物线平移过程中，将△PAB沿直线AB翻折得到△DAB，点D能否落在抛物线C上？如能，求出此时抛物线C顶点P的坐标；如不能，说明理由．OOBxyOBxy备用图解析：(1)∵点B在直线AB上,求得b=3,∴直线AB：,∴A（，0），即OA=．作BH⊥x轴，垂足为H．则BH=2，OH=，AH=．∴．(2)设抛物线C顶点P（t，0），则抛物线C：，∴E（0，）∵EF∥x轴，∴点E、F关于抛物线C的对称轴对称,∴F（2t，）．∵点F在直线AB上,∴抛物线C为.(3)假设点D落在抛物线C上，不妨设此时抛物线顶点P(t，0)，则抛物线C:，AP=+t，连接DP，作DM⊥x轴，垂足为M．由已知，得△PAB≌△DAB，又∠BAO＝30°，∴△PAD为等边三角形．PM=AM＝，∴∵点D落在抛物线C上，∴当时，此时点P，点P与点A重合，不能构成三角形，不符合题意，舍去．所以点P为（，0）∴当点D落在抛物线C上顶点P为（，0）.把B(，2)代入直线得，∴b=3，直线为，当时，，所以，，∴∠BAO=30°。【解析】：本题把二次函数与图形变换有机地结合起来，非常新颖别致，体现了方程思想、数形结合的思想。20.(2008年宁波市)如图，中，，点的坐标是，以点为顶点的抛物线经过轴上的点．（1）求点的坐标．（2）若抛物线向上平移后恰好经过点，求平移后抛物线的解析式．yyxOABCD解：（1）在中，且，点的坐标为设抛物线的对称轴与轴相交于点，则，点的坐标为．（2）由抛物线的顶点为，可设抛物线的解析式为，把代入上式，解得．设平移后抛物线的解析式为把代入上式得平移后抛物线的解析式为．即．21.（2008嘉兴市）如图，直角坐标系中，已知两点，点在第一象限且为正三角形，的外接圆交轴的正半轴于点，过点的圆的切线交轴于点．（1）求两点的坐标；（2）求直线的函数解析式；（3）设分别是线段上的两个动点，且平分四边形的周长．试探究：的最大面积？解：（1），．作于，为正三角形，，．．连，，，．．（2），是圆的直径，又是圆的切线，．，．．设直线的函数解析式为，则，解得．直线的函数解析式为．（3），，，，四边形的周长．设，的面积为，则，．．当时，．点分别在线段上，，解得．满足，的最大面积为．22.(2008年湘潭)已知抛物线经过点A（5，0）、B（6，-6）和原点.（1）求抛物线的函数关系式；（2）（3）过点C作平行于x轴的直线交y轴于点D，在抛物线对称轴右侧位于直线DC下方的抛物线上，任取一点P，过点P作直线PF平行于y轴交x轴于点F，交直线DC于点E.直线PF与直线DC及两坐标轴围成矩形OFED（如图），是否存在点P，使得OCD与CPE相似？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由.xyFxyF-2-4-6ACEPDB521246G解得故抛物线的函数关系式为（2）在抛物线上，点坐标为（2，6），、C在直线上解得直线BC的解析式为设BC与x轴交于点G，则G的坐标为（4，0）（3）存在P，使得∽设P，故若要∽，则要或即或解得或又在抛物线上，或解得或故P点坐标为和,得一特殊的三元一次方程组,解之得a=－1,b=5,c=0.(2)考查函数值与一次函数解析式的求法及一次函数与坐标轴的交点的求法,三角形面积的计算.由已知点C的横坐标和点C在抛物线上,可求出点c的纵坐标m=6,进而可求出k=－3,b=12,最后将三角形OBC面积拆分成两个三角形OCG和OBG的面积和来求,.(3)考查相似三角形的性质及函数图象与图象上点的坐标的关系与分类讨论解决探求性问题.假设存在这样的点p(m,n),则m,n满足第个条件:－m2＋5m=n.满足第二个条件是:两个三角形相似对应边成比例,由于只明确了对应边--斜边,其余两条直角的对应关系没定,所以分类讨论得两种情形,情形一:OD与CE,CD与EP分别是对应边有:.情形二:OD与EP,CE与CD分别是对应边有:,把这两个式子分别与－m2＋5m=n结合,求出m,n即可得点P的坐标.若点P的坐标无意义或求n,m时,无解,则不存在这样的点P满足条件.23.(2008年益阳)我们把一个半圆与抛物线的一部分合成的封闭图形称为“蛋圆”，如果一条直线与“蛋圆”只有一个交点，那么这条直线叫做“蛋圆”的切线.如图12，点A、B、C、D分别是“蛋圆”与坐标轴的交点，已知点D的坐标为(0，-3)，AB为半圆的直径，半圆圆心M的坐标为(1,0)，半圆半径为2.请你求出“蛋圆”抛物线部分的解析式，并写出自变量的取值范围；(2)你能求出经过点C的“蛋圆”切线的解析式吗？试试看；(3)开动脑筋想一想，相信你能求出经过点D的“蛋圆”切线的解析式.AAOBMDCyxE解：(1)解法1：根据题意可得：A(-1,0)，B(3,0)；则设抛物线的解析式为(a≠0)又点D(0，-3)在抛物线上，∴a(0+1)(0-3)=-3，解之得：a=1∴y=x2-2x-3自变量范围：-1≤x≤3解法2：设抛物线的解析式为(a≠0)根据题意可知，A(-1,0)，B(3,0)，D(0，-3)三点都在抛物线上∴，解之得：∴y=x2-2x-3自变量范围：-1≤x≤3(2)设经过点C“蛋圆”的切线CE交x轴于点E，连结CM，在Rt△MOC中，∵OM=1，CM=2，∴∠CMO=60°,OC=在Rt△MCE中，∵CM=2，∠CMO=60°，∴ME=4∴点C、E的坐标分别为(0，)，(-3,0)∴切线CE的解析式为【解析】:这是函数与圆相结合的综合题.解决这样的综合题,不光要把握题设条件,还要善于识别图象提供的条件.象这道题中的横轴,纵轴互相垂直,点A,B,D的坐标,蛋圆的圆心位置,同学们在解题时都要结合图形去发掘.24.(2008年永州)如图，二次函数y＝ax2＋bx＋c(a＞0)与坐标轴交于点A、B、C且OA＝1，OB＝OC＝3．（1）求此二次函数的解析式．（2）写出顶点坐标和对称轴方程．（3）点M、N在y＝ax2＋bx＋c的图像上(点N在点M的右边)，且MN∥x轴，求以MN为直径且与x轴相切的圆的半径．解:（1）依题意分别代入 1分解方程组得所求解析式为（2）顶点坐标，对称轴（3）设圆半径为，当在轴下方时，点坐标为把点代入得同理可得另一种情形圆的半径为或【解析】:考查二次函数的解析式的确定及相关性质.(1)可求三点坐标.利用三点坐标求二次函数的解析式,一般是用待定系数法列方程组来解决.(2)二次函数顶点坐标和对称轴方程的求法.可用公式法也可用配方法.(3)一般是结合图形列出方程或方程组来解决.25.（2008年重庆市）已知：如图，抛物线与y轴交于点C（0，4），与x轴交于点A、B，点A的坐标为（4，0）。（1）求该抛物线的解析式；（2）点Q是线段AB上的动点，过点Q作QE∥AC，交BC于点E，连接CQ。当△CQE的面积最大时，求点Q的坐标；（3）若平行于x轴的动直线与该抛物线交于点P，与直线AC交于点F，点D的坐标为（2，0）。问：是否存在这样的直线，使得△ODF是等腰三角形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由。解：（1）由题意，得解得所求抛物线的解析式为：．（2）设点的坐标为，过点作轴于点．由，得，．点的坐标为．，．，．，即．．．又，当时，有最大值3，此时．（3）存在．在中．（ⅰ）若，，．又在中，，．．．此时，点的坐标为．由，得，．此时，点的坐标为：或．（ⅱ）若，过点作轴于点，由等腰三角形的性质得：，，在等腰直角中，．．由，得，．此时，点的坐标为：或．（ⅲ）若，，且，点到的距离为，而，此时，不存在这样的直线，使得是等腰三角形．综上所述，存在这样的直线，使得是等腰三角形．所求点的坐标为：或或或．【解析】：解决面积最大问题，我们常常要联想到二次函数，本题建立△CQE的面积与点Q的横坐标之间的函数关系，利用二次函数的最值解决问题。分类讨论思想是近几年中考常见解题法，分类时应作到不重不漏。本题使得△ODF是等腰三角形，则可分为：（ⅰ）若（ⅱ）若（ⅲ）若26.（2008年上海市）如图，在平面直角坐标系中，为坐标原点．二次函数的图像经过点，顶点为．xxyA（1）求这个二次函数的解析式，并写出顶点的坐标；（2）如果点的坐标为，，垂足为点，点在直线上，，求点的坐标．答案：（1）二次函数的图像经过点，，得，所求二次函数的解析式为．则这个二次函数图像顶点的坐标为；（2）过点作轴，垂足为点．在中，，，，．在中，，又，可得．．过点作轴，垂足为点．由题意知，点在点的右侧，易证．．其中，．设点的坐标为，则，，①若点在的延长线上，则．得，，，所以点的坐标为；②若点在线段上，则．得，，，所以点的坐标为．综上所述，点的坐标为或．【解析】：已知函数图象过某点，则可用待定系数法求出函数表达式。点在直线上，需分类①点在的延长线上，②点在线段上。假设点的坐标，用坐标表示线段的长度，建立等量关系，列出方程求解。27.（2008山东淄博）一条抛物线经过原点与点，顶点在直线上．将这条抛物线先向上平移个单位，再向右平移个单位，得到的抛物线的顶点仍然在直线上，点移动到了点．（1）求值及原抛物线的表达式；（2）求使的面积是6032的值．简解：（1）可求得=1，抛物线的解析式为：（2）28.（2008年广州市）如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB=AD=DC=2cm，BC=4cm，在等腰△PQR中，∠QPR=120°，底边QR=6cm，点B、C、Q、R在同一直线l上，且C、Q两点重合，如果等腰△PQR以1cm/秒的速度沿直线l箭头所示方向匀速运动，t秒时梯形ABCD与等腰△PQR重合部分的面积记为S平方厘米（1）当t=4时，求S的值（2）当，求S与t的函数关系式，并求出S的最大值解：（1）t＝4时,Q与B重合，P与D重合，重合部分是＝(2)当QB=DP=t-4,CR=6-t,AP=6-t由∽∽得,S＝当t取5时，最大值为当t取6时，有最大值综上所述，最大值为【解析】：本题主要考查了四边形中的梯形和二次函数相结合问题。此题综合性较强，涉及函数、相似性等代数、几何知识。解题中要注意随着自变量不同，解析式也不同。经过探索可以得出S与t之间的函数关系式，并且是二次函数，则可以用顶点式求得答案。二次函数的最值求法是函数当x=h时，函数取得最大值和最小值。29.（2008年广东省中山市）将两块大小一样含30°角的直角三角板，叠放在一起，使得它们的斜边AB重合，直角边不重合，已知AB=8，BC=AD=4，AC与BD相交于点E，连结CD．(1)填空：如图9，AC=，BD=；四边形ABCD是梯形.(2)请写出图9中所有的相似三角形（不含全等三角形）.(3)如图10，若以AB所在直线为轴，过点A垂直于AB的直线为轴建立如图10的平面直角坐标系，保持ΔABD不动，将ΔABC向轴的正方向平移到ΔFGH的位置，FH与BD相交于点P，设AF=t，ΔFBP面积为S，求S与t之间的函数关系式，并写出t的取值值范围.EDEDCHFGBAPyxDCBAE解：（1），，等腰；（2）共有9对相似三角形.（写对3－5对得1分，写对6－8对得2分，写对9对得3分）①△DCE、△ABE与△ACD或△BDC两两相似，分别是：△DCE∽△ABE，△DCE∽△ACD，△DCE∽△BDC，△ABE∽△ACD，△ABE∽△BDC；(有5对)②△ABD∽△EAD，△ABD∽△EBC；(有2对)③△BAC∽△EAD，△BAC∽△EBC；(有2对)所以，一共有9对相似三角形.KK（3）由题意知，FP∥AE，∴∠1＝∠PFB，又∵∠1＝∠2＝30°，∴∠PFB＝∠2＝30°,∴FP＝BP.过点P作PK⊥FB于点K，则.∵AF＝t，AB＝8，∴FB＝8－t，.在Rt△BPK中，.∴△FBP的面积，∴S与t之间的函数关系式为：，或.t的取值范围为：.【解析】：本题是中考常见的动点问题，主要考查梯形和二次函数相结合的问题。此题综合性较强，涉及函数、相似、解直角三角形等代数、几何知识。是一道综合性极强的一道题目，也是很难的一道题目。30.(08长春市)已知，如图，直线经过和两点，它与抛物线在第一象限内相交于点P，又知的面积为4，求的值.解：由△AOPA的面积可知P是AB的中点，从而可得△OAP是等腰直角三角形，过P作PC⊥OA于C可得P（２，２），所以ａ＝31.(08长春市)如图，足球场上守门员在处开出一高球，球从离地面1米的处飞出（在轴上），运动员乙在距点6米的处发现球在自己头的正上方达到最高点，距地面约4米高，球落地后又一次弹起．据实验测算，足球在草坪上弹起后的抛物线与原来的抛物线形状相同，最大高度减少到原来最大高度的一半．（1）求足球开始飞出到第一次落地时，该抛物线的表达式．（2）足球第一次落地点距守门员多少米？（取）（3）运动员乙要抢到第二个落点，他应再向前跑多少米？（取）解：（1）如图，设第一次落地时，

抛物线的表达式为

由已知：当时

即

表达式为

（或）（2）令

（舍去）．

足球第一次落地距守门员约13米．

（3）解法一：如图，第二次足球弹出后的距离为

根据题意：（即相当于将抛物线向下平移了2个单位）

解得

（米）．

解法二：令

解得（舍），

点坐标为（13，0）．

设抛物线为

将点坐标代入得：

解得：（舍去），

令

（舍去），

（米）．

解法三：由解法二知，

所以

所以

答：他应再向前跑17米．32.如图，在平面直角坐标系中，点的坐标分别为．（1）请在图中画出，使得与关于点成中心对称；（2）若一个二次函数的图象经过（1）中的三个顶点，求此二次函数的关系式．xxOyACBP解：（1）如图所示．xxOyACBP（2）由（1）知，点的坐标分别为．由二次函数图象与轴的交点的坐标为，故可设所求二次函数关系式为．将的坐标代入，得，解得．故所求二次函数关系式为．33.（2008年巴中市）王强在一次高尔夫球的练习中，在某处击球，其飞行路线满足抛物线，其中（m）是球的飞行高度，（m）是球飞出的水平距离，结果球离球洞的水平距离还有2m．（1）请写出抛物线的开口方向、顶点坐标、对称轴．（2）请求出球飞行的最大水平距离．（3）若王强再一次从此处击球，要想让球飞行的最大高度不变且球刚好进洞，则球飞行路线应满足怎样的抛物线，求出其解析式．答案：（1）抛物线开口向下，顶点为，对称轴为（2）令，得：解得：，球飞行的最大水平距离是8m．（3）要让球刚好进洞而飞行最大高度不变，则球飞行的最大水平距离为10m抛物线的对称轴为，顶点为设此时对应的抛物线解析式为又点在此抛物线上，34.（2008年巴中市）已知：如图14，抛物线与轴交于点，点，与直线相交于点，点，直线与轴交于点．（1）写出直线的解析式．（2）求的面积．（3）若点在线段上以每秒1个单位长度的速度从向运动（不与重合），同时，点在射线上以每秒2个单位长度的速度从向运动．设运动时间为秒，请写出的面积与的函数关系式，并求出点运动多少时间时，的面积最大，最大面积是多少？答案：（1）在中，令，，又点在上的解析式为（2）由，得，，（3）过点作于点由直线可得：在中，，，则，此抛物线开口向下，当时，当点运动2秒时，的面积达到最大，最大为．35.（2008年自贡市）抛物线的顶点为M，与轴的交点为A、B（点B在点A的右侧），△ABM的三个内角∠M、∠A、∠B所对的边分别为m、a、b。若关于的一元二次方程有两个相等的实数根。（1）判断△ABM的形状，并说明理由。（2）当顶点M的坐标为（－2，－1）时，求抛物线的解析式，并画出该抛物线的大致图形。（3）若平行于轴的直线与抛物线交于C、D两点，以CD为直径的圆恰好与轴相切，求该圆的圆心坐标。答案：（1）令得由勾股定理的逆定理和抛物线的对称性知△ABM是一个以、为直角边的等腰直角三角形（2）设∵△ABM是等腰直角三角形∴斜边上的中线等于斜边的一半又顶点M(－2，－1)∴，即AB＝2∴A(－3，0)，B(－1，0)将B(－1，0)代入中得∴抛物线的解析式为，即图略（3）设平行于轴的直线为解方程组得，（∴线段CD的长为∵以CD为直径的圆与轴相切据题意得∴解得∴圆心坐标为和36.(2008年安徽省)杂技团进行杂技表演，演员从跷跷板右端A处弹跳到人梯顶端椅子B处，其身体(看成一点)的路线是抛物线的一部分，如图。（1）求演员弹跳离地面的最大高度；（2）已知人梯高BC＝，在一次表演中，人梯到起跳点A的水平距离是4米，问这次表演是否成功？请说明理由。解：（1）=∵，∴函数的最大值是。答：演员