2022届中考数学压轴大题押题附答案

2022年中考数学压轴题1.对于二次函数给出如下定义：在平面直角坐标系X0P中，二次函数^=/+灰+，(a,b,c为常数，且aWO)的图象顶点为P(不与坐标原点重合)，以OP为边构造正方形OPMN,则称正方形0PA7N为二次函数yna？+bx+c的关联正方形，称二次函数^=/+岳+’为正方形OPMN的关联二次函数.若关联正方形的顶点落在二次函数图象上，则称此点为伴随点.(1)如图，直接写出二次函数y=(x+l)2-2的关联正方形OPMV顶点N的坐标(-2,1)或(2,-1),并验证点N是否为伴随点否(填"是"或”否”)：(2)当二次函数y=-f+4x+c的关联正方形OPMN的顶点尸与N位于x轴的两侧时，请解答下列问题：①若关联正方形0PMN的顶点A/、N在x轴的异侧时，求c的取值范围：②当关联正方形。PMN的顶点M是伴随点时，求关联函数y=-f+4x+c的解析式；③关联正方形。尸被二次函数y=-f+4x+c图象的对称轴分成的两部分的面积分别为S与S2，若S1WqS2，请直接写出c的取值范围.解：（1）如图1,过点尸作RlLr轴于点儿过点N作NBLc轴于点8ZPAO=NOBN=90°•.•二次函数、=（/1）2-2顶点尸（-1,-2）：.PA=2,OA=\'：四边形OPMN是正方形：.OP=ON,NPON=90°...ZAOP+ZBON=NBON+NBNO=9Q°，NAOP=4BNO

在ABON与AAPO中(“BN=乙PA。l^BNO=UOP(ON=PO:.△BON9XAPO(//S):.BO=PA=2,BN=AO=1若MV在OP左侧，则点N在第二象限，N(-2,1)Vx=-2时，y=(-2+1)2-2=-g.,.点N不在二次函数的图象上:.N(-2,1)不是伴随点若MN在OP右侧，则点N在第四象限，N(2,-1)；x=2时，y=(2+1)2-2=7W-1：.N(2,-1)不是伴随点故答案为：(-2,1)或(2,-1)；否.(2)过点尸作目_Lx轴于点4过点N作轴于点8由(1)可得：ABON丝AAPO"'y=-x2+4x+c=-(x-2)2+c+4：.P(2,c+4)：.BN=OA=2,BO=PA=\c+^\①i)如图2,若点尸在第一象限•?与N位于x轴的两侧，点M、N在x轴的异侧...点N在第四象限，PA>BNfc+4fc+4>0lc+4>2解得：c>-2//)如图3,若点尸在第四象限...点N在第一象限，PA>BN解得：c<-6l-(c+4)>2综上所述，点V、N在x轴的异侧时，c的取值范围为c<-6或c>-2.②过点M作MCLPA于点C・•・ZMCP=ZPAO=90°:.NPMC+/MPC=NMPC+NOP4=90°:・/PMC=/OPA在4PCM与4OAP中(Z.PCM=Z-OAP卜PMC=Z.OPA(PM=OP:APCMQAOAP(AAS)：.CM=PA=\c^\,PC=OA=2i)如图2,若点尸在第一象限，则c+4>0xm=OA+CM=2+c+4=c+6,yM=yp-PC=c+4-2=c+2:・M(c+6,c+2)丁点M是伴随点，即点〃在二次函数y=-图象上工-(c+6)2+4(c+6)+c=c+2解得：c\=-4-V2(舍去)，C2=-44-a/2")如图3,若点尸在第四象限，则点M在点尸上方・•二次函数图象开口向下工点A/不可能在二次函数图象上，即不可能为伴随点综上所述，关联函数的解析式为y=-W+4x+&-4(5),ISi4，S1+S2=S正方形OPMN・・S223sl・・Si+S224sl"•51<正»*,OPMNz)如图4,当点P、M在x轴同侧时(由①可知eV-6或c>-2),对称轴与ON交于点。：.S}=S^pod=^OP'OD1,：.-OP'OD<4op24/.OD<^OP,即OD<|ON■:AD〃BN:.ROADsK）BNOAOD1—= <一OBON-21：.OA<^OB1***2</+4|解得：c20或cW-8n）如图5,当点P、M在x轴异侧时（-6<c<-2）,对称轴与MN交于点E延长MC交BN于F：.MF=OA=21:.St=S&pme=2PM♦ME：.^PM-ME<^PM2：.MC</.|c+4|^l且c¥-4,解得：-5WcW-3且cW-4.综上所述，Si<|s2时c的取值范围为cW-8或--3且cW-4或c20.

2.如图，抛物线^=苏+队+2经过(2,3),(-2,-3)两点，交x轴于4,B两点,交y轴于点C,与过点C且平行x轴的直线交于另一点£>,点P是抛物线上一动点.(1)求抛物线解析式：(2)求点4,B,。的坐标；(3)点E在x轴上，若以4,E,D,P为顶点的四边形是平行四边形，求此时点尸的坐标；(4)过点尸作直线8的垂线，垂足为0,若将△CP。沿C尸翻折，点。的对应点为Q'.是否存在点尸，使。恰好落在x轴上？若存在，直接写出此时点尸的坐标；若不存在，说明理由.

解：(1)将(2,3),(-2,-3)代入抛物线表达式得2,解得故抛物线的表达式为尸-#+Jr+2；⑵对于产-#+1%+2，令x=0,则y=2,令尸一#+$什2=0,解得x=4或-1,故点/、B、C的坐标分别为(-1,0)、(4,0),(0,2),故函数的对称轴为x=W(4-1)=1,故点O(3,2),即点4,B,。的坐标分别为(-1,0)、(4,0)、(3,2)；(3)A,E两点都在x轴上，4E有两种可能:当ZE为一边时，AE//PD,：.P(0,2),当AE为对角线时，根据平行四边形对顶点到另一条对角线距离相等,可知P点、。点到直线AE(即x轴)的距离相等，点的纵坐标为-2,代入抛物线的解析式：一界+|x+2=-2,解得：x=岑”-2))3-V41-2))••.P点的坐标为(一y—,-2),(―y—,-2)；3-\/41 -2)；综上所述：P(0,2)或(---,-2)或(---,(4)存在满足条件的点尸，显然点P在直线CD下方，设直线尸0交x轴于凡点尸的坐标为(加，—%/+多〃+2),又,：NCQ'O+ZFQ'尸=90°,NCOQ'=N。'FP=90°,AZFQ'P=ZOCQ',Q'CQPmyTn^—m:.△COQ's20FP,则夫=3即T=―^―，* " COFQ?、2 Q午：.Q'F=m-3,：.OQ'=OF-Q'F=m-(w-3)=3,则CQ=CQ'=J(702+0Q2=V32+22=V13,—9+3V13此时点尸的坐标为(旧，——-——).3.定义：在平面直角坐标系中，。为坐标原点，△/8C的边平行于X轴.若△/8C的三个顶点都在二次函数、=。/+以+。(aWO)的图象上，则称△4BC为该二次函数图象的“伴随三角形”.△ABC为抛物产=一界+x+|的“伴随三角形”.(1)若点Z是抛物线与y轴的交点，求点8的坐标.(2)若点C在该抛物线的对称轴上，且到边48的距离为2,求△AB。的面积.(3)设力、。两点的坐标分别为(加，y\)>(2m,/)，比较yi与”的大小，并求加的取值范围.(4)/\ABC是抛物线丁=一系+内一方2+2〃.3的“伴随三角形”，点A在点B的左侧，且4B=2,点C的横坐标是点A的横坐标的2倍,设该抛物线在n-1 -2上最高点的纵坐标为yo，当时，直接写出〃的取值范围和△ABC面积的最大值.解：(1)当x=0时，y=|,.M(0,1),函数的对称轴:故点3的坐标为：(2,I)；(2)当x=l时，y=-1+l+|=3,：.C(1,3),；.y/=yB=3-2=1,1 c：•当y—1时，即一2、2+%+,=1,解得：X1=-1,尤2=3,：.A(-1,I),B(3,1),C.AB—3-(-1)=4,1Smbc=2x4X2=4;(3)点力(zw,—,混+加+,),点C(2m9-2m2+2m+^)9当小=1时，△ABC不成立，当一*7712+根+5=一2m2+2m+怖时，2解得："u=0,m2=此时，△48。不成立；①当OOnV^时，y\<y2^②当且〃?#1时，歹1>",③当阳V0时，y\>y2f综上：当OOnV"!时，y\<yi;2当mVO或m>W且wRl时，y\>yi;(4)尸一,2+2〃-3=-2(%-〃)2+2〃-3,故函数的顶点为(加2/7-3),①当2〃-2W〃时，即〃W2,当x=2n~2时，y0=—々(2n—2—n)2+2n—3——*层+4n—5,1 …1 1V-WyoW6,则5<—于2+4〃-5W6,解得：4—V5<n<2；②当2n-2>n时，即〃>2,„1yo=2n-3,则5<2n-3W6,7 9；・一<n<-；4 2综上，〃的取值范围为：4—V5<n<^；当71=3时，y=_^(X_?)2+6,当%8=芋时，y=_*+6=*,当%4=(时，xc=7时，y=_4(7-W)2+6=等，・ 112321・・n=l■一石=石’/\ABC面积的最大值=1x2x^=笄.,,一〜一E. L 9 一■D一，21故〃的取值氾围为：4—V5<n<«■,△/8C面积的最大值为4.如图，是。。的直径，点C是。。上一点(与点48不重合)，过点C作直线P。,使得NNCQ=N48C.(1)求证：直线尸。是。。的切线.(2)过点/作4。，尸。于点。，交。。于点E,若。。的半径为2,sinN£MC=*,求图中阴影部分的面积.

解：（1）证明：如图，连接解：（1）证明：如图，连接0C,,:AB是。。的直径,/.ZACB=90°,'：OA=OC,：.ZCAB=ZACO.A'：NACQ=NABC,,即OCLPQ.：.ZCAB+ZABC=ZACO+ZACQ=NOC0=9O°直线P。是,即OCLPQ.(2)连接OE,VsinZD/4C=ADVPQ,：.ZDAC=30°,ZACD=60°.ZABC=ZACD=60°,・・・NC/8=90°-60°=30°,ZEAO=ZDAC^ZCAB=60°,又・；O4=OE,：.^AEO为等边三角形，ZAOE=60°.:*S阴影=S扇形-S^aeo1=S扇形一/CM・OE・sin60°607r 12c点=x2^-,qx2X2x-5-□oU l z吟-以，图中阴影部分的面积为弓-V3.5.如图，在△NBC中，ZJC5=90°,将△48C沿直线48翻折得到连接8交4B于点M.E是线段CM上的点，连接8E.尸是△8£>E的外接圆与4。的另一个交点，连接所，BF.(1)求证：4BEF是直角三角形;(2)求证：/\BEFsABCA；(3)当28=6,3C=加时，在线段CA/上存在点E,使得E尸和45互相平分，求加的(1)证明：VZACB=90°,将△力8c沿直线翻折得到△480,/.ZADB=ZACB=90°,:/EFB=/EDB,/EBF=/EDF,:・/EFB+/EBF=/EDB+NEDF=/ADB=90°,:・/BEF=9G,•・△BE尸是直角三角形.(2)证明：•:BC=BD,:・/BDC=/BCD,.*/EFB=/EDB,：./EFB=/BCD,9：AC=AD,BC=BD,：.AB±CD,・・・NZMC=90°,VZBCD+ZACD=ZACD-^ZCAB=90o,:./BCD=NCAB,:・/BFE=/CAB,VZACB=ZFEB=90°,:ABEFsABCA.(3)解：设EF交AB于J.连接:EF与AB互相平分，・・四边形AFBE是平行四边形，AZEFA=ZFEB=90°,BPEF±AD,:BDLAD,:・EF〃BD,•：AJ=JB,：.AF=DFf：.FJ=^BD=y,:.EF=m,'：/\ABCsACBM,：.BCzMB=AB：BC,m2:・BM=*，o:XBEJs赳BME,：.BE：BM=BJ：BE,vn3浮•.•△BEFsABCA,,ACBC• —,EFBE

V36—m2 m即 =—.解得加=28（负根已经舍弃）.6.如图1,已知四边形/8C。是菱形，G是线段C。上的任意一点时，连接8G交AC于尸,punr过F作FH〃CD交BC于H,可以证明结论其=少成立.（考生不必证明）ABBG（1）探究：如图2,上述条件中，若G在CO的延长线上，其它条件不变时，其结论是否成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由；（2）计算：若菱形中48=6,ZADC=60°,G在直线CZ）上，且CG=16,连接6G交力C所在的直线于R过尸作FH〃C£）交8c所在的直线于〃，求8G与尸G的长.FHPG（3）发现：通过上述过程，你发现G在直线C。上时，结论二=二还成立吗？AdBGFHPG【解答】解：（1）结论g==成立AddG证明：由已知易得户FHHCAB~BC'

'：'：FH//GC,HCFGBC~BGFHFGAB-BG；G在直线CD上,，分两种情况讨论如下：①G在的延长线上时，£)G=10,如图1,过8作8。1.8于。，由于四边形是菱形，ZJDC=60°,：.BC=AB=6,NBCQ=60°,二80=3俗C0=3,BH就'：.BG=192+(3y/3)2=2BH就'又由FH//GC,,FH

可得=

又由FH//GC,而△CFH是等边三角形,：.BH=BC-HC=BC-FH=6-FH,FH_6一—”16一648：.FH=言,FHFG由⑴知而=而；,FG=瞎坐Q师笔标②G在。C的延长线上时，CG=16,如图2,过8作82_LCG于0,,四边形X8C。是菱形，ZJDC=60°,：.BC=AB=6,NBCQ=60°.：.BQ=3y/3,CQ=3.：.BG=132+(3V3)2=14.-, FHBH又由FH〃CG,可得力二亍,GCDCFHBH16~6■:BH=HC-BC=FH-BC=FH-6,:・:・FH=48,:FH〃CG,■BF’.前FHCG48■BF’.前FHCG48.,.5F=14x-^4-16=42/.FG=14+-g-=112一一・，，，，、，,FH48 8G在DC的延长线上时，方==+6=g,FHFG—=》成立.AddG