2021研究生考试数学一真题及答案解析

联立可得工'(1,1)联立可得工'(1,1)=0,《(1,1)=cinY(3)设函数/(》)=±骼在'1+X7(A)。=T,b=0,c= .6(C)a=-1,6=-l,c=——.6【答案】A.【解析】根据麦克劳林公式有、sinx/(X)=,2=1+X1,#(1,1)=f；(\.\)dx+^(1,\)dy=dyf故正确答案为C.=0处的3次泰勒多项式为ox+bx?+◎?,则7(B)a=l,b=0,c=—.6(D)。=-1,6=-l,c=2.6V-3 ,-1 、 ， 7, ,x +o(x3)・[1一厂+o(/)]=x x3+o(x3)6 6工'(1,1)+加/)=1，/'(1,1)+2欣,1)2021考研数学真题及答案解析数学(-)一、选择题(本题共10小题，每小题5分，共50分.每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求，把所选选项前的字母填在答题卡指定位置上.)，e*-1 「(1)函数/(x)= ，在x=0处[l,x=0(A)连续且取极大值. (B)连续且取极小值.(C)可导且导数为0. (D)可导且导数不为0.【答案】D.ex-1【解析】因为lim/(x)=lim——=1=/(0),故/(外在x=0处连续；TOC\o"1-5"\h\zx->0 xtOx/_]_]*因为lim"幻二——=lim匕二二=、，故/'(0)=1,正确答案为D.1。 x-0 1。x-0 1。x22 2(2)设函数可微，且/(x+l,e*)=x(x+l)2,f(x,x2)=2x2Inx,则4(1,1)=(A)t/r+力. (B)dx-dy. (C)dy. (D)-dy.【答案】C.[解析】f\x+1,ex)+e'fXx+l,ex)=(x+l)2+2x(x+1) ①(x,x2)+2xf^(x,x2)=4xInx+2x ②x=0[x=1 ……分别将八，带入①②式有y=0Iy=1

7故a=l,b=0,c=-q,本题选A.(4)设函数〃x)在区间［0,1］上连续，则=(A)limf/'隹」也)与斗.言\2n)2n …vIn)n(C).邙传平. (D)呵力仔)2…yy2nJn di\2nJn【答案】B.【解析】由定积分的定义知，将(0,1)分成〃份，取中间点的函数值，则［'f(x)dx=lim£/［^―5-1-,即选B.Jo八/“TOOhl，(2n)n(5)二次型/(a02，七)=(玉+》2)2+*2+七)2-(七一七)2的正惯性指数与负惯性指数依次为(A)2,0. (B)l,l. (C)2,l. (D)l,2.【答案】B.［解析］/(X］,,X3)=a+X2『+(X2+/)2—(/一XA=^-X2+^-X\X2+^X2X3+2须/‘0 1 1、所以4= 1 2 1 .故特征多项式为J 1 0>4-1—1

\AE-A\=-1-2-1=(2+l)(2-3)A-1-1A令上式等于零，故特征值为-1，3,0,故该二次型的正惯性指数为1,负惯性指数为1.故应选B.记夕i=q, =a2-kfll,p3=a3-Z1A-4A若四,%A两两正交，则4依次为(D)TOC\o"1-5"\h\z51 51(D)(A)—. (B).22 22【答案】A.【解析】利用斯密特正交化方法知Pl=aPl=a2［«2^|］因㈤A=«3故/叵®=故/叵®=2［无㈤2巴㈤【色，02]故选A.2(7)设48为〃阶实矩阵，下列不成立的是(A0\(A)r;=(A0\(A)r;=2rp)AtA)')(ABA\ /、©(0”产⑷(B)r(D)rBAAB=2r(i4)=2r(/)【答案】c.,(AO\ r ~【解析】(A"0=八(/)+〃(47)=2/(/).故71正确.[j (AO\OT=[0^J=r(j)+r(/4r)=2r(j).(C)BA的列向量不一定能由A的列线性表示.0At0At=r(A)+r(Ar)=2r(A).(D)B4的行向量可由A的行线性表示，r本题选C.(8)设力，8为随机事件，且0<尸(8)<1,下列命题中不成立的是(A)若P(*B)=P(A)，则P(A|5)=P(A).(B)若尸(川8)>尸(4),则尸(彳旧)〉尸(彳)(C)若P(A\B)>P(AI5),则P(A\B)>P(A).(D)若P(/l|4U8)> 1ZU8),则P(A)>P(B).【答案】D.【解析】P(A\AUB)【解析】P(A\AUB)=P(/(/U8))

P(AUB)P⑷P(A)+P(B)-P(AB)隔M|J8)=P(lQU8))=P(M)=P(B)-P(AB)P(A\JB)P(A\JB)P(A)+P(B)-P(AB)因为尸(力|4118)>尸(1|4118),固有P(4)>P(8)—尸(48),故正确答案为D.⑼设(乂片),(占心),…为来自总体/从,〃2吗2,云;0)的简单随机样本，令TOC\o"1-5"\h\z。=〃1一〃2,亍=1£匕,丫,七匕/=又一丫，则",=1n,=12 2(A)。是。的无偏估计，“小吧生-n2 2(B)。不是6的无偏估计，£>(。)=巧％v1n(C)。是e的无偏估计，.⑻=*圣2附%.v7 n(D)。不是6的无偏估计，研=4士瓜二型血'' n【答案】C.【解析】因为x,y是二维正态分布，所以灭与F也服从二维正态分布，则其-「也服从二维正态分布，即E®=E{X-F)=E(X)一E(F)=〃]一〃2=。，

。(。)=D(X-力=D(X)+D(Y)-cov(X,力=①十，一”。。2,故正确答案为C.(10)设%,,%2...,%16是来自总体N(〃,4)的简单随机样本，考虑假设检验问题：①(x)表示标准正态分布函数，若该检验问题的拒绝域为3=｛灭2其中又二-1-®',,则〃=11.5时，该检验犯第二类错误的概率为(D)1-0(2)(A)l(D)1-0(2)(C)l-0(1.5) ।【答案】B.__]【解析】所求概率为P{X<11}%~7V(11.5,-),►=1-0(1)故本题选B.二、填空题(本题共6小题，每小题5分，共30分.请将答案写在答题纸指定位置上.)尸dx(11)f = .J。x2+2%+2TT【答案】-4【解析】，x2【解析】，x2+2x+2J。(x+l)2+l(12)设函数(12)设函数y=y(x)由参数方程<y=4(t-\)e'+t2,x>Qdx2【答案】3.My.»力4k+2，Jy(4e'+4fe'+2)(2e'+l)-(4冶+2f)2e'【解析】由上=—■——.得一4=1 J―㈠ dx2e'+\dx2 (2e'+1)3将(=0带入得(13)欧拉方程x2y"+9'-4y=0满足条件y(l)=1,y'(\)=2得解为y=.【答案】x2.【解析】令x=e',则孙'=虫,//=鼻一空，原方程化为匕-4y=o,特征方程为dtdxdx dx~A2-4=0,特征根为4=2,4=一2,通解为^=。1'+。252'=。俨2+。2/2,将初始条件火1)=1,/(1)=2带入得。1=1,。2=0,故满足初始条件的解为y=F.(14)设Z为空间区域［(x,y,z)\x2+4y2<4,0<z<2］表面的外侧，则曲面积分X1dydz+y2dzdx+zdxdy=.【答案】47r.

【解析】由高斯公式得原式二JJJ(2x+2y+l)dP= JJdxdy=4tt.Q D(15)设4=%为3阶矩阵，4为代数余子式，若Z的每行元素之和均为2,41+421+/31= '3【答案】2T【解析】A1Aa=2a,2=2T【解析】A1Aa=2a,2=2,a=,则4的特征值为Hl

T对应的特征向量为A\\+41+41=]•&+“21+41412+422+”32、43+/23+43)(16)甲乙两个盒子中各装有2个红球和2个白球，先从甲盒中任取一球，观察颜色后放入乙盒中,再从乙盒中任取一球.令x,y分别表示从甲盒和乙盒中取到的红球个数，则x与y的相关系数.【答案】5'(0,0)(0,1)(1,0)(1,1)、'01>’01、【解答】联合分布率(x,y)〜31]_3,x〜11y〜11、105510><22>J2yTOC\o"1-5"\h\zcov(%,r)=—,DX=-,DY=-,^ =-20 4 4 ^5三、解答题(本题共6小题，共70分.请将解答写在答题纸指定位置上，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)(17)(本题满分10分)1+fe4 1求极限lim—% ；—.-0ex-1 sinx【答案】2【解析】解:sinx【答案】2【解析】解:sinx=limxtOsinx-1-iefdtJ。(ex-l)sinx又因为「丁力=£(1+/+0(/))^=》+，》3+。(1),故(x X'+o(x^))(l+x+—+o(x'))—x—x-+o(x〜)原式=lim - i0 X2^X2+O(X2)]=lim^——； =-.AO厂2

（18）（本题满分12分）设%(x)=e-m+—!—x"i(〃=l,2,…)，求级数S>"(x)的收敛域及和函数.〃(〃+1) n=i【答案】S（x）=<+(1-x)ln(1-x)+X,【答案】S（x）=<【解析】s（x）£（x）=£〃=【解析】s（x）£（x）=£〃=||»=|+—!—x"",，收敛域（0,1］，5。）=£"曲=，47户€（0,1］〃二1 1一0CD 1 8 „»+l0C„W+1S2(x)=Z--^x"+1=X-——ZJ=-xln(l-x)-ln(l-x)-x]+ n=1nM=in+1=(l-x)ln(l-x)+x,xg(0,1)S2(l)=limS2(x)=lx->r +(1-x)ln(1-x)+x,xe(0,1)S(x)=S(x)=2+4y2后,x=,（19）（本题满分12分）Y*+2u--z6" ,求。上的点到xoy坐标面距离的最大值.4x+2y+z=30【答案】66【解析】设拉格朗日函数L(x,y,z,九〃)=z?+丸12+2/一z-6)+〃(4x+2y+z-30)Lx=2x2+4w=0Ly=4y2+2〃=0L.=2z-2+m=0x2+2y2—z=64x+2y+z=30解得驻点:(4,1,12),(-8,-2,66)C上的点(-8,-2,66)到xoy面距离最大为66.(20)(本题满分12分)设DuR2是有界单连通闭区域，1(D)=^-x2-y2)dxdy取得最大值的积分区域记为D,.D⑴求/（A）的值.⑵计算J明,其中eq是。的正向边界.x2⑵计算J明,其中eq是。的正向边界.x2+4y2【答案】-n.【解析】（1）由二重积分的几何意义知：Z（D）=jj（4-x2-^2）Jcr,当且仅当4-X?-/在。上D大于0时，/（D）达到最大，故2：/+/44且/（口|）=（："，］：（4一/2）厂心=8%.⑵补。2：》2+”2=/（厂很小），取。2的方向为顺时针方向，，「+4厂+y)dx+(4ye“""厂-x)dy(xex+4v-\-y)dx-\-(4yex+4v-x)dy(xe'+y)rfr+(4j，'4'-x)dy阴+5D2x2+4y2dD2=——-erJxdx+4ydy——-erJydx-xdy=—JJ-2Ja——n.rsd2 raz)2 rd2(21)(本题满分12分)'a1-r已知力=1a-1.「1-1a>(1)求正交矩阵P，使得PTAP为对角矩阵;(2)求正定矩阵C,使得。2=(。+3)E-A.【答案】(1)P=【解析】：(2)C【答案】(1)P=【解析】：(2)C=1-355-31A-a-1(1)由 -1A-a11得4=q+2,4=4=a—1当4=a+2时'2-1((a当4=a+2时'2-1((a+2)E-A)=-12J1当4=4=4一1所'-1-1((a-\)E-A)=-1-10101、10,j1、的特征向量为%=171耳1耳131=\73-31a-k2-J鼾

zrk

-p令1](111r00、00I一正I正01%1忑2需.-八0的特征向量为。20;%+2则PtAP=A=nP'CPPTCP=4 =pTCP= 24 2(5 、--1-1n、 3T 5 1故C=P2PT=-1--.3 3I2) .15I33；(22)(本题满分12分)在区间(0,2)上随机取一点，将该区间分成两段,丫,令z=LX(1)求X的概率密度：(2)求Z的概率密度.(3