2022届高考数学总复习讲义-概率与统计

2022届高考复习讲义 概率与统计（附全国各省市高考“概率与统计（理）”试题与答案）概率的有关概念和公式一、随机现象、随机事件、必然事件、不可能事件、频率、概率等概念（略）。二、等可能事件的概率如果一次试验中共有〃种等可能出现的结果，其中事件A包含的结果有m种，则事件A的概率P（A）=%.n三、互斥事件1,在同一次试验中不能同时发生的两个事件叫做互斥事件，也叫做互不相容事件。如果事件A,a2, 中任何两个都是互斥事件，则事件A，a2,A.彼此互斥。2,互斥事件中有一个发生的概率一一加法原理（1）两个互斥事件有一个发生的概率：如果两个事件A,B互斥,则事件A+8发生（即A,8中有一个发生）的概率P（A+B）等于4,8分别发生的概率P（A）、P（8）的和。即：P（A+B）=P（A）+于B）.注：互斥的两个事件A,8仅要求48=中，而不要求AU8=C.（①是空集，。是全集）（2）〃个互斥事件有一个发生的概率：如果〃个事件A，a2,…，A”互斥，则事件A+4+…+A,,发生（即A+&+…+A”中有一个发生）的概率尸（A+4+…+4）等于A，4，…，分别发生的概率尸（4）、P（为）、…、P（A“）的和。即：P（A+A2+…+A“）=P（A,）+P（A2）+-+P（A.）四、对立事件（两个互斥事件中的特殊情况）在一次试验中，如果两个互斥事件必然有一个发生，那么这两个事件叫做对立事件。

一个事件A的对立事件记作彳，则4+彳是一个必然事件，所以P(A)+P(才)=P(A+X)=1或P(X)=1—P(A)注：对立的两个事件A,8不仅要求A.B=<D,而且还要求AU3=Q.(①是空集,。是全集)五、相互独立事件如果第一个试验中事件A是否发生对第二个试验中事件8发生的概率没有影响；反之，第二个试验中事件8是否发生对第一个试验中事件A发生的概率也没有影响。那么，事件A和事件8就是相互独立事件。1,相互独立事件同时发生的概率——乘法原理(1)两个相互独立事件同时发生的概率两个相互独立事件A和8同时发生的概率网人用等于事件A和8分别发生的概率p(A)、P⑻之积。即：P(AB)=P(A)P(B)(2)〃个相互独立事件同时发生的概率〃个相互独立事件A,A2,…，a,同时发生的概率PCV4••…4)等于事件A,A2,…，A"分别发生的概率p(A)、「⑷、…、Ma,)之积。即：p(A4•a.)=p(a)M4)…p(a).六、独立重复试验将只有两种可能的试验独立地重复〃次，叫做独立重复试验。如果在一次试验中某事件发生的概率是P,那么在〃次独立重复试验中，这个事件恰好发生攵次概率匕⑥为：匕(4)=。：尸£(1-尸尸，实际上，它就是二项展开式[Q-p)+p]"的第仕+1)项。七、二项分布在一次随机试验中，事件A发生的概率为尸，事件A不发生的概率为q(4=1-p)重复的〃次试验中，事件A发生女的概率记为P(J=劝，其中，P《=k)=C：pkqi实际上，它就是二项展开式(q+p)”的第仕+1)项中的各个值。所以，称这样的随机变量&服从二项分布，记作：a〜B(〃，p),其中〃、p为参数。并记：为-C〃,p)即：C：pkqKT=Mk;〃,p).注：从上述知，独立重复试验中的随机变量g服从二项分布，所以在解题中，首先判断习题给出的条件是否是独立重复试验，如果是，就可以用二项分布的有关公式

进行计算。八、随机变量如果随机试验的结果可以用一个变量来表示，那么这样的变量叫做随机变量。九、离散型随机变量对于随机变量可能取的值，可以按一定次序一一列出，这样的随机变量叫做离散型随机变量。“注：连续型随机变量，不在课本要求之内(略)。”十、离散型随机变量的分布列设离散型随机变量&的所有可能取的值为X|、…X"，…，之取每一个值七(i=l,2,…)的概率?化=xJ=P,,则称表€•••・・・p「2•・•P.・♦・为随机变量&的概率分布，简称为1的分布列。离散型随机变量的分布列的性质：(1) >0,(i=l,2,…)； (2)巴+g+…=1.注：L离散型随机变量的分布列是解概率习题的关键，一定要熟练掌握。.对随机变量g的各种可能，一定要分析清楚，不能有遗漏和重复。.求概率p(€=%,)=匕,要利用排列、组合知识(尤其是组合知识)，要求计算准确。.要会利用分布列的性质。十一、数学期望如果离散型随机变量&的所有可能取的值是芭，x2,…Z，…，取这些值的概率分别是P|，尸2，…P"，…，那么，把垮=X/+X26+-+x.p”+…叫做随机变量目的数学期望，或平均数、均值，数学期望又简称期望。数学期望的性质：E(Y+8)="四+b在二项分布中，若&〜B(〃，p),则超=〃P.(其中〃、p为参数)注：数学期望塔是一个常数。十二、方差

如果离散型随机变量&的所有可能取的值是阳，/，…X.，…，取这些值的概率分别是舄，…P"，…，那么，把小=&-造）2P,+（x2-E^）28+…+（Z-塔…叫做随机变量C的均方差，简称方差。”的算术平方根而叫做随机变量4的标准差，记作臂.方差的性质：D（a^+b）=a-D^在二项分布中，若之〜B（n,p）,则£）J=〃pq.（其中4=1—p）十三、概率习题的结构试验事件主体（一个或者〃个）n试验事件的条件和结论n试验事件发生的过程（只有一个过程，或者有〃个各自独立的过程一一计算时用“加法原理”，即:取〃个各自独立的过程中事件发生的可能之和）n每个过程中的连续的几个试验步试验事件发生的各种可能数的和即：试验事件发生的概率=骤（计算时用“乘法原理”，取几个试验步骤中事件发生的可能试验事件发生的各种可能数的和即：试验事件发生的概率=十四、概率习题类型和解题方法步骤▲概率问题的难点：就是正确地用“排列、组合”的知识，求出“试验事件发生的概率”。计算等可能事件的慨率的关键是计算事件总数〃和发生事件数加，而〃八〃的计算，首先要弄清是排列还是组合，或者排列与组合的混合问题，第二要弄清是可重还是不重元素的排列、组合问题，第三要弄清是分类还是分步问题。也就是说，求“试验事件发生的概率”有着各种不同的情况与类型，不同的题目给出的条件也是不相同的，为了便于解决这个难点，就需要把概率问题，进行分析归类。▲概率习题基本分成两大类型：（-）题目只给出一个试验事件主体.这个只有两种可能的试验事件，只有一种试验的方法，这个试验的方法又分若干个试验步骤。题目要求只做一次试验，求试验事件发生的概率；具体的解法：首先把题目的条件变成式子，即：设试验事件为A,则事件发生的概率为P（A）,事件不发生的概率为P（©.首先，用排列、组合的知识求出每个试验步骤中事件A发生的概率，再把这些概率相乘，其结果就是P（A）.根据尸伍）=1-P（A）,就可以求出P（可..这个只有两种可能的试验事件，只有一种试验的方法，这个试验的方法又分

若干个试验步骤。题目要求做〃次独立的重复试验，求这个试验事件恰好发生“次的概率乙（左）；具体的解法：首先把题目的条件变成式子，即：设试验事件为A,则事件发生的概率为P（A）,事件不发生的概率为P（©.首先，用排列、组合的知识求出每个试验步骤中事件A发生的概率，把这些概率相乘，得出Ra）,则这个试验事件恰好发生k次的概率匕⑥为：e（&）=c：p*（i-P）""实际上，它就是二项展开式［（「p）+pT的第（k+D项。注：这里的试验事件的结果有k+1种，构成离散型随机变量如这个离散型随机变量4服从二项分布。.这个只有两种可能的试验事件，存在着多种不同的试验的方法，而每一种试验的方法又分若干个试验步骤。题目要求每一种试验的方法都要做一次试验，求题目要求的试验事件发生的概率；具体的解法：首先把题目的条件变成式子，即：设试验事件为A,则事件发生的概率为P（A）,事件不发生的概率为P（©.（1）首先，分别求出每一种试验的方法事件A发生的概率：即用排列、组合的知识求出这种试验的方法中，每个试验步骤中事件A发生的概率，把这些概率相乘,得出这种试验的方法中事件A发生的概率.（2）再把不同的试验的方法中事件4发生的概率相加，其结果就是P（A）.根据P（A）=1-P（A）,就可以求出吨）.（-）题目给出〃个试验事件主体1.〃个试验事件主体中的每个试验事件主体，都做相同的一个只有两种可能的试验，求这个试验事件恰好发生攵次的概率匕⑹；具体的解法：把题目转化为（一）中的2.来解，即变成：一个试验主体，独立重复做n次试验，求出的试验事件恰好发生人次的概率，就是题目要求的解；.〃个试验事件主体，合做一个试验事件，这个试验事件的每一个试验步骤是由其中的某个试验事件主体去完成，求题目要求的试验事件发生的概率；具体的解法：（1）假设〃个试验事件主体为甲、乙、丙…，再设甲的试验事件为A,事件发生的概率为P（A），事件不发生的概率为尸囚，乙的试验事件为B,事件发生的概率为p（b）,事件不发生的概率为「（动，丙的试验事件为c,事件发生的概率为p（c）,事件不发生的概率为p何，…，

(2)然后按试验步骤的顺序，用排列、组合的知识，求出每一步骤试验事件发生的概率，把这些概率相乘，所得到的积，就是试验事件发生的概率。.从〃个试验事件主体，取加个试验事件主体合做一个试验事件，完成这个试验事件只有一种办法，这个办法又有若干步骤，每一步骤由其中的某个试验事件主体去完成，求题目要求的试验事件发生的概率；具体的解法：(1)假设〃个试验事件主体为甲、乙、丙…，再设甲的试验事件为A,事件发生的概率为P(A),事件不发生的概率为P0),乙的试验事件为8,事件发生的概率为P(B),事件不发生的概率为P®),丙的试验事件为C,事件发生的概率为P(C),事件不发生的概率为P0),…，(2)从〃个试验事件主体中取〃7个试验事件主体是最后按试验步骤的顺序,用排列、组合的知识，求出每一步骤试验事件发生的概率，再把C：和这些概率相乘,所得到的积，就是试验事件发生的概率。.从〃个试验事件主体，取旭个试验事件主体合做一个试验事件，完成这个试验事件有若干种办法，每个办法又有若干步骤，每一步骤由其中的某个试验事件主体去完成，求题目要求的试验事件发生的概率；具体的解法：(1)假设〃个试验事件主体为甲、乙、丙…，再设甲的试验事件为A,事件发生的概率为P(A),事件不发生的概率为P0),乙的试验事件为B,事件发生的概率为P(B),事件不发生的概率为P(可，丙的试验事件为C,事件发生的概率为P(C),事件不发生的概率为P0),…，(2)从〃个试验事件主体中取〃7个试验事件主体是C,：；(3)对其中的每一种办法，分别这种办法的试验步骤的顺序，用排列、组合的知识，求出每一步骤试验事件发生的概率，把这些概率相乘，所得到的积，就是这种办法的试验事件发生的概率；(4)把每一种办法的试验事件发生的概率相加，求其和；(5)把与和相乘，所得到的积，就是试验事件发生的概率。统计的有关概念与公式一、各种抽样方法

.简单随机抽样：设一个总体的个数为N,如果通过逐个不放回地抽取方法，从中抽取一个样本,且每次抽取时各个个体被抽到的慨率相等，这种抽样方法叫做简单随机抽样。如果用简单随机抽样。从个体数为N的总体中，抽取一个容量为〃的样本（〃WN）,那么每个个体被抽到的慨率都等于N.系统抽样：当总体中个体的数较多时，采取简单随机抽样显得较为费事，这时，可将总体分成均衡的几个部分，然后按照预先定出的规则，从每一部分抽取1个个体，得到所需要的样本，这种抽样方法叫做系统抽样。说明：（1）系统抽样与简单随机抽样的联系是：将总体均分后的每一部分进行抽样时，采取的是简单随机抽样，在整个抽样过程中每个个体被抽取的慨率仍然相等。（2）系统抽样的步骤：①采取随机的方式将总体中的个体编号，为简便起见，有时可直接利用个体所带有的号码；②为将整个的编号进行分段（即分成几个部分），要确定分段的间隔0当总（Nn为总体中的个体数，〃为样本容量）是整数时，上=壮；当且不是整数时，通过从总nn体中剔除一些个体，使剩下的总体中个体数M能被〃整除，这时k=V；n③在第一段用简单随机抽样确定起始的个体编号/;④按照事先确定的规则抽取样本（通常是将/上加上间隔左，得到第二个编号l+k,再将/+左加上间隔3得到第三个编号/+2M这样继续下去，直到获取整个样本）。.分层抽样：当已知总体由差异明显的几部分组成时，为了使样本更充分地反映总体情况，常将总体分为互不交叉的几部分，然后按照各部分所占的比例进行抽样，这种抽样叫做分层抽样，其中所分成的各部分叫做层。.不放回抽样与放回抽样：在抽样时，如果每次抽出个体后，不再将它放回总体，称这样的抽样叫做不放回抽样；如果每次抽出个体后，再将它放回总体，称这样的抽样叫做放回抽样。二、用样本估计总体

用样本估计总体的方法有两种：一种是用样本的频率分布估计总体的分布，另一种是用样本的数字特征估计总体的数字特征。.用样本的频率分布估计总体的分布首先，要对在实际统计中记录下来的数据进行整理和分析。(1)求极差：即一组数据最大值与最小值的差(2)决定组距与组数：数据分组的组数与样本容量有关，一般样本容量越大，所分组数越多。当样本容量不超过100时，按照数据的多少，常分成8〜12组。为了方便起见，组距的选择力求“取整”(如取0.5等)。组数=极差+组距(3)将数据分组：按组距将数据分组，一般按组距从小到大分组。(4)列频率分布表：计算出各小组的频率：小组频率=小组频数+样本总数.(小组频率分布表略)(5)画频率分布直方图(图略)频率分布直方图的直角坐标系(第一象限)：横坐标是“各个分组”的组距，纵坐标是频率一组距.频率分布直方图是由若干个小长方形组成.小长方形面积=组距X(频率十组距)=频率.所以，小长方形面积总和等于1.2.用样本的数字特征估计总体的数字特征(如众数、中位数、平均数、标准差等)(1)众数：在全部样本数据中，出现的次数最多样本数据，就是众数。(2)中位数：将全部样本数据按从小到大的顺序排列，如果全部样本数据是奇数个，则中间的那个数就是中位数；如果全部数据是偶数个，则中间的那两个数的算术平均数就是中位数。(3)平均数：全部样本数据的算术平均数就是平均数。(4)标准差：考察样本数据分散程度的大小，最常用的统计量是标准差.它的计算公式是：假设样本数据是西，马，…，X"，同时，X表示这组数的平均数。则标准应用：对两组相同条件下的样本数据，那组样本数据的“质量”较高？可以用

上面的“平均数”、“标准差”来评估：①“平均数”越接近“要达到的标准数据”的，样本数据的“质量”越高;②若两组样本数据的“平均数”相差不大，那么样本数据“标准差”越小的，该样本数据的“质量”越高。三、“回归分析”的基本慨念及其初步应用.相关关系与回归分析①相关关系：自变量取值一定时，因变量的取值带有一定随机性的两个变量之间的关系叫做（如：人的身高与年龄、产品的成本与生产的数量、家庭的支出与家庭的收入等）。与函数关系不同，相关关系是一种非确定关系。②回归分析：对具有相关关系的两个变量进行统计分析的方法叫做回归分析。.散点图：表示具有相关关系的两个变量的一组数据的图形，叫做散点图（在平面直角坐标系上作图）。， tx^-nxyTOC\o"1-5"\h\z.回归直线方程： b=/=|w—————=号 — （1）J '（七-胡 基;-〃那] /=! i=lI a=y—bx （2）其中，①x=^±xity=^tyi; ②（x,y）称为样本点的中心.③利用上述公式（1）、（2）计算出外b后,就可用回归直线方程y=bx+a来解决：两个带有一定随机性的变量x与y之间“相关关系”的问题。即，己知x的值，可求出与x相对应的y的值。.线性回归分析：由回归直线方程，在平面直角坐标系上作出的相对应的直线叫做回归直线，用回归直线方程对两个变量所进行的统计分析叫做线性回归分析。.一点说明：以上只研究“线性回归”方程与分析，对于“非线性回归”方程与分析不再说明，从略。四、“独立性检验”的基本慨念及其初步应用

.分类变量：用变量不同的“值”表示个体所属不同的类别，这类变量称为分类变量。.列联表：一般地，假设有两个分类变量x、r,它们的可能取值分别为｛%,王｝和｛%,%｝，其样本频列联表（称为2x2列联表）%y2总计为:aba+bx2Cdc+d总计a+cb+da+b+c+d.利用“独立性检验”来考察两个分类变量x、r,是否有关系，并且能较精确地给出这种判断的可靠程度。具体做法是：（1）根据实际问题需要的可信程度确定临界值心，解题时所用的临界值热列表如下：P（K2>ka）0.500.400.250.150.100.050.0250.0100.0050.001k。0.4550.7081.3232.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828（2）利用公式：♦=7，『吗5姐: 其中〃=a+O+c+d为样本容量。[a^h\c+d\a+c^h+d）由观察数据b、c、d计算得到的随机变量Kz的观察女；（3）如果%>即，则（1-Mk2>%））x1oo%的数值，就是“x与丫有关系”的百分比的数值；如果这个百分比的数值很小，就说明样本观察数据没有提供“x与y有关系”的充分证据。（完）2010年全国各省市高考“概率与统计（理）”试题与答案（有▲符号为难题）▲1、安徽（理）21、（本小题满分13分）品酒师需定期接受酒味鉴别功能测试，一种通常采用的测试方法如下：拿出〃瓶外观相同但品质不同的酒让其品尝，要求其按品质优劣为它们排序；经过一段时间,等其记忆淡忘之后，再让其品尝这〃瓶酒，并重新按品质优劣为它们排序，这称为一轮测试。根据一轮测试中的两次排序的偏离程度的高低为其评为。现设"=4,分别以4/，/，%表示第一次排序时被排为1，2,3,4的四种酒在第二次排序时的序号，并令：X="力+|2-匈+|3-局+|4-⑷，则X是对两次排序的偏离程度的一种描述。(1)写出X的可能值集合；(2)假设%吗，生，%等可能地为1,2,3,4的各种排列，求X的分布列；(3)某品酒师在相继进行的三轮测试中，都有XW2,(i)试按(2)中的结果，计算出现这种现象的概率(假定各轮测试相互独立)；(ii)你认为该品酒师的酒味鉴别功能如何？说明理由。解：⑴X的可能值集合为{0,2,4,6,8}•・•在1,2,3,4中奇数与偶数各有两个，I.%，4中的奇数的个数等于卬，/中的偶数的个数，因此，卜R+|3-闻与B-4|+|4-4|的奇偶性相同，从而X=(|l-a,|+|3-a3|)+(|2-局+|4-%|)必为偶数.X的值非负，且易知其值不大于8.并容易举出使得X的值等于0,2,4,6,8各值的例子.(2)可用列表或树状图列出1,2,3,4的一共24种排列，计算每种排列下的X值，在等可能的假设下，得到X02468P124324724924424(3)⑴首先P(XW2)=P(X=0)+P(x+2)=摄=［，将三轮测试都有XW2的慨率记做由上述结果和独立性假设得：2=1=上6 216(ii)由于p=-L〈工是一个很小的慨率，这表明如果仅凭随机猜测得到三轮2161000测试都有XK2的结果的可能性很小，所以我们认为该品酒师确实有良好的味觉鉴别功能，不是靠随机猜测.解析：(1)的解法不是容易想到的，所以看似简单实是很难的，但是运用不多，因此了解就可以了。(2)求X在不同取值时的慨率，需要对24种排列，一计算，也是需要时间的。2、北京(理)(17)(本小题共13分)某同学参加3门课程的考试。假设该同学第一门课程取得优秀成绩的概率为%第二、第三门课程取得优秀成绩的概率分别为P，q(p>/，且不同课程是否取得优秀成绩相互独立。记e为该生取得优秀成绩的课程数，其分布列为€0123p6125ab24125(1)求该生至少有1门课程取得优秀成绩的概率； (2)求P,q的值；(3)求数学期望E&。解：事件4表示“该生第i门课程取得优秀成绩”，i=l,2,3,由题意知...P(AJ=1，P(4)=p,P(4)=g p(^)=1-^=1,尸(4)=1一p,呕(1)由于事件“该生至少有1门课程取得优秀成绩”与事件“J=0”是对立的,所以该生至少有1门课程取得优秀成绩的概率是：i_p(^=o)=i-A=112,125125(2)由题意知： Pe=O)=P(A^A)=』(l—p)(l—q)=j|-4 24P^=3)=P(AiA2AJ)=-pq=—整理得的=白，p+q=l 由p>q,可得p=°,4=2;(3)由题意知4=?(4=1)=2(4兀％)+2(44%)+2(44&)4 1 1 37=-0-P)O-^)+-pO-^)+-O-Pk=—CQ人PC=2)=l_PC=0)_PC=l-3)=再9酸=0xPC=0)+lxPC=l)+2PC=2)+3P(J=3)=-3、福建（理）（16）（本小题共13分）设S是不等式f一％一640的解集，整数机,〃eS.（1）记使得“加+〃=0成立的有序数组（孙〃）”为事件A,试列举A包含的基本事件;（2）设<=/，求J的分布列及其数学期望鹰.解：（1）由x2-x-6<0得-2<x<3§PS={a|-2<x<3},"m+〃=0成立的有序数组（加,〃）”为事件A A包含的基本事件为：（-2,2）,（-1,1）,（0,0）,（1-1）,（2,-2）.1,加的所有不同取值为：-2,-1,0,1,2,3.•••当zn=0时，/M2=0;当加=±1时，zn2=1;当机=±2时，〃?2=4;当nz=3时，，4=疗的所有不同取值为：0,1,4,9.1 9 1 O1 1且有P（J=0）=d，HJ=1）=W=葭P仁=4）=1=葭P（J=9）=x0149

P]_61_336故4的分布列为:所以，£,^=0x1+1x1+4x1+9x1=—6 3 3 6 64、广东（理）17.（本小题满分12分）某食品厂为了检查一条自动包装流水线的生产情况，随即抽取该流水线上40件产品作为样本算出他们的重量（单位：克）重量的分组区间为（490,495],（495,500], （510, 515],由此得到样本的频率分布直方图，如图4所示.（1）根据频率分布直方图，求重量超过505克的产品数量.（2）在上述抽取的40件产品中任取2件，设Y为重量超过505克的产品数量，求Y的分布列.（3）从流水线上任取5件产品，求恰有2件产品合格的重量超过505克的概率.解：（1）重量超过505克的产品数量是40x（0.05x5+0.01x5）=40x0.3=12（件）.（2）由（1）知重量不超过505克的产品数量是40-12=28（件），丫的分布列为:，丫的分布列为:Y012PJ低C；8c：2（3）从流水线上任取5件产品，恰有2件产品合格的重量超过505克的概率为28x27x2612x1108。；2_3x2x1 2x1_21x11_231C?n-40x39x38x37x36-37x19-7035x4x3x2xl5、湖北（理）（无，函数有两道题）6、湖南（理）17.（本小题满分12分）图4是某城市通过抽样得到的居民某年的月均用水量（单位：吨）的频率分布直方图（1）求直方图中x的值（2）若将频率视为概率，从这个城市随机抽取3位居民（看作有放回的抽样），求月均用水量在3至4吨的居民数X的分布列和数学期望。解：（1）依题意及频率分布直方图知，龙+0.37+0.39+0.1+0.02=1,解得x=0.12（2）由题意知，X〜8（3。1）,因此，P（X=0）=C；x0.93=0.729； P（X=l）=C>0.1x0.92=0.243；P（X=2）=C3x0.12x0.9=0.027； =3）=C3x0.13=0.001故随机变量X的分布列为：X0123P0.7290.2430.0270.001所以X的数学期望：EX=Ox0.729+1x0.243x0.027+3x0.001=0.3。7、江苏（文、理）22.本小题满分10分）某工厂生产甲、乙两种产品，甲产品的一等品率为80%,二等品率为20%；产品的一■等品率为90%,二等品率为10%。生产1件甲产品，若是一■等品则获得利润4万元，若是二等品则亏损1万元；生产1件乙产品，若是一等品则获得利润6万元,若是二等品则亏损2万元。设生产各种产品相互独立。（1）记X（单位：万元）为生产1件甲产品和1件乙产品可获得的总利润，求X的分布列；（2）求生产4件甲产品所获得的利润不少于10万元的概率。解：（1）由题设知，X的可能取值为（1）甲、乙都是一■等品x=10（2）甲是二等品、乙一■等品x=5>（3）甲是一■等品、乙二等品x=2>（4）甲、乙都是二等品x=-3,且p（x=10）=0.8x0.9=0.72;P（x=5）=0.2x0.9=0.18;P（x=2）=0.8x0.1=0.08;P（x=-3）=0.2x0.1=0.02.由此得X的分布列X1052-3为:P0.720.180.080.02（2）设生产的4件甲产品中一等品有〃件，则二等品有4-〃件。由题设知4〃-（4-〃）210,解得〃N廿,又〃eN,得〃=3,或〃=4。所求概率为p=C：x0.83xO.2+0.84=0.8192答：生产4件甲产品所获得的利润不少于10万元的概率为0.81920▲8、江西（理）18.（本小题满分12分）某迷宫有三个通道，进入迷宫的每个人都要经过一扇智能门。首次到达此门，系统会随机（即等可能）为你打开一个通道，若是1号通道，则需要1小时走出迷宫；若是2号、3号通道，则分别需要2小时、3小时返回智能门。再次到达智能

门时，系统会随机打开一个你本到过的通道，直至走完迷宫为止。令4表示走出迷宫所需的时间。（1）求自的4后疝 （2）求J的数学期望。解：（1）按题意，只有要走到1号通道才能走出迷宫，若走到2号、3号通道，则是返回智能门，系统会随机打开一个你木到草的通道，直至走完迷宫为止。这样走出迷宫的可能有五种（列举法）： •••①直接进入1号通道，则需要1小时走出迷宫；②首先进入2号通道，第二次就进入1号通道，则需要3小时走出迷宫；③首先进入3号通道，第二次就进入1号通道，则需要4小时走出迷宫；④首先进入2号通道，第二次就进入3号通道，最后进入1号通道，则需要6小时走出迷宫；⑤首先进入3号通道，第二次就进入2号通道，最后进入1号通道，则需要6小时走出迷宫；可能的取值为1,3,4,6P(J=4)=-x-=—>P(J=4)=-x-=—>326晦=6)=2xgx：x13自1346P3626]_3分布列为:p(g=3)=：x'=),326(2)EJ=lx1+3xL4xL6xLN小时

3 6 6 329、辽宁（理）（18）（本小题满分12分）为了比较注射A,B两种药物后产生的皮肤疱疹的面积，选200只家兔做试验,将这200只家兔随机地分成两组，每组100只，其中一组注射药物A,另一组注射药物B。（I）甲、乙是200只家兔中的2只，求甲、乙分在不同组的概率；（II）下表1和表2分别是注射药物A和B后的试验结果.（疱疹面积单位：mm2）表1:注射药物A后皮肤疱疹面积的频数分布表疱疹面积[60,65), [65,70), [70,75), [75,80)

频数30, 40, 20, 10表2：注射药物B后皮肤疱疹面积的频数分布表疱疹面积[60,65),[65,70), [70,75),[80,85)[75,80),频数10,30, 1525,20,(i)完成下面频率分布直方图，并比较注射两种药物后疱疹面积的中位数0.080.070.060.050040.030.080.070.060.050040.030.020.01注射药物B后皮肤疱建面枳的频率分布直方图距0807.06.05.043.02,010组66O.O.O.O.OOL/^j_i_I_I_l_L-►606570758085疱瘩面枳图I注射药物A后皮肤疱刑面枳的频率分布直方图图11(ii)完成下面2X2列联表，并回答能否有99.9%的把握认为“注射药物A后的疱疹面积与注射药物B后的疱疹面积有差异”.表3：疱疹面积小于70〃7帆2疱疹面积不小于10mm2合计注射药物Aa=b=注射药物Bc=d=合计n=附.小二〃标-历)2(a+b\c+d\a+cXb+J)

解：（I）甲、乙两只家兔分在不同组的概率为尸=吗=吧。第199(II)⑴图I注射药物A后皮肤疱疹面积的频率分布直方图 图II注射药物B后皮肤疱疹面积的频率分布直方图可以看出注射药物A后的疱疹面积的中位数在65至70之间，而注射药物B后的疱疹面积的中位数在70至75之间，所以注射药物A后疱疹面积的中位数小于注射药物B后疱疹面积的中位数。(ii)表3：疱疹面积小于70mm2疱疹面积不小于10mm2合计注射药物A70b=30100注射药物Bc=35d=65100合计10595n=200200x(70x65-35x30)2= «24.50100x100x105x95由于K2>10.828,所以有99.9%的把握认为“注射药物A后的疱疹面积于注射药物B后的疱疹面积有差异二评析：这类题目只要记得相关的慨念与公式，就会解题。没有什么“灵活与技巧”,因此，应当属于简单的题。10、全国（一）（理）（18）（本小题满分12分）投到某杂志的稿件，先由两位初审专家进行评审.若能通过两位初审专家的评审，则予以录用；若两位初审专家都未予通过，则不予录用；若恰能通过一位初审专家的评审，则再由第三位专家进行复审，若能通过复审专家的评审，则予以录用，否则不予录用.设稿件能通过各初审专家评审的概率均为0.5,复审的稿件能通过评审的概率为0.3.各专家独立评审.（I）求投到该杂志的1篇稿件被录用的概率；（II）记X表示投到该杂志的4篇稿件中被录用的篇数，求X的分布列及期望.解：（I）令事件A表示：“能通过第一位初审专家的评审”，事件为表示：“能通过第二位初审专家的评审”，事件8：“能通过复审专家的评审”，事件C：“投到该杂志的1篇稿件，稿件被录用”则P（c）=尸（A•A2）+P（A仄+4•4）-P（B）=（O.5）2+C；（0.5）2xO.3=0.4（II）由题意X的所有可能取值分别为0,1,2,3,4,且X〜5（4,0.4）E（X=0）=（1-0.4）4=0.1296, E（X=1）=C：x0.4x（l-0.41=0.3456,E（X=2）=C：x（0.4）2*。_o.4）2=0.3456, E（X=3）=C：x（0.4）3x（l-0.4）=0.1536,E（X=4）=（0.4）4=0.0256故随机变量X的分布列为：X01234p0.12960.34560.34560.15360.0256所以X的数学期望:EX=0x0.1296+1x0.3456+2x0.3456+3x0.1536+4x0.0256=1.6(注：,:X〜8(4,0.4),，X的数学期望为：EX=4xO.4=L6.)11、全国(二)(理)(20)(本小题满分12分)如图，由4到N的电路中有4个元件，分别标为工，％北，北，电流能通过T\,T2,看的概率都是p,电流能通过般 的概率是0.9.电流能否通过各元件相互独立.已 一内一 知九M 1仆| 1:| N4,3中至少有一个能通过电流的概率为 ,― 0.999. S (1)求夕；(2)求电流能在〃与N之间通过的概率；&表示7],£, 工中能通过电流的元件个数，求J的期望.解：记A,表示事件：电流通过工，i=1,2,3,4.4表示事件：小7；,7；中至少有一个能通过电流，3表示事件：电流能在M与N之间通过.(1) •/,=可.耳,且A, 4,A3相互独立，，p(H=市•4仄)=(1--又•.,吨)=1-P(4)=1-0.999=0.001,故(1-p)3=0.001,p=0.9,+ +.•.p(8)=p(4+覆十人+覆耳/人)=M4)+呕.A4)+呕次44)=m4)+呕网4)m&)+a)啕)=0.9+0.1x0.9x0.9+0.1x0.1x0.9x0.9=0.9891（3）由于电流通过各元件的慨率都是0.9,且电流能否通过各元件相互独立,故J〜5（4,0.9）超=4x0.9=3.612、全国（新）（19）（本小题12分）为调查某地区老人是否需要志愿者提供帮助，用简单随机抽样方法从该地区调查了500位老年人，结果如下:建F耍要志愿性别男女而聚4030不需要160270（1）估计该地区老年人中，需要志愿者提供帮助的老年人的比例;（2）能否有99%的把握认为该地区的老年人是否需要志愿者提供帮助与性别有关？（3）根据（2）的结论，能否提供更好的调查方法来估计该地区老年人，需要志愿帮助的老年人的比例？说明理由附：P(K2>K)0.0500.0100.001K3.8416.63510.828n(ad—bcf(a+b\c+d\a+c\b+d)解：（1）调查的500位老年人中有70位需要志愿者提供帮助，因此该地区老年人中，需要帮助的老年人的比例的估算值为得"200x300x70x430(2)仁=500x(40x27。-30x160)2=9,967。

200x300x70x430由于9.967>6.635,所以有99%的把握认为该地区的老年人是否需要帮助与性别有关。（3）由⑵的结论知，该地区老年人是否需要帮助与性别有关，并且从样本数据能看出该地区男性老年人与女性老年人中需要帮助的比例有明显差异，因此在调查时，先确定该地区老年人中男、女的比例，再把老年人分成男、女两层并采用分层抽样方法比采用简单随机抽样方法更好.▲13、山东（理）（20）（本小题满分12分）某学校举行知识竞赛，第一轮选拔共有A，B,C,。四个问题，规则如下：①每位参加者计分器的初始分均为10分，答对问题A,B,C,。分别加1分、2分、3分、6分，答错任一道题减2分；②每回答一题，计分器显示累计分数，当累计分数小于8分时，答题结束，淘汰出局；当累计分数大于或等于14分时，答题结束，进入下一轮；当答完四题，累计分数仍不足14分时，答题结束，淘汰出局；当累计分数大于或等于14分时，答题结束，进入下一轮；当答完四题，累计分数仍不足14分时，答题结束，淘汰出局；③每位参加者按问题4,B,C,。顺序作答,直至答题结束.假设甲同学对问题A,B,C,O回答正确的慨率依次为且各题回答4234正确与否相互之间没有影响，（1）求甲同学进入下一轮的慨率；（2）用《表示甲同学本轮答题结束时答题的个数，求J的分布列和数学的期望解：（1）用“列举法”列出可能的情况：（在草稿纸上可以用“树图”分析）⑴甲同学回答A题正确，得11分；8题正确，得13分；。题正确，得16分；即进入下一轮，，慨率为：=

（2）甲同学回答A题正确，得11分；B题正确，得13分；C题出错，得11分；。题正确，得17分；即进入下一轮，慨率为：2xlxfl-lLl=±；4213j416（3）甲同学回答A题正确，得11分；8题正确，得13分；。题出错，得11分；D题出错，得9分；即被淘汰出局，慨率为：42<3八^）16（4）甲同学回答A题正确，得11分；B题出错，得9分；C题正确，得11分；。题正确，得17分；即进入下一轮，慨率为：=4V2j3432（5）甲同学回答A题正确，得11分；8题出错，得9分；C题正确，得11分；。题出错，得9分；即被淘汰出局，慨率为：沙卜卜-£|=卷（6）甲同学回答A题正确，得11分；8题出错，得9分；C题出错，得7分；即被淘汰出局，慨率为：一；）=；；⑺甲同学回答A题出错，得8分；B题正确，得10分；C题正确，得12分，。题正确，得14分；即进入下一轮，慨率为：（1、卜卜!=』；[4J23496（8）甲同学回答A题出错，得8分；8题正确，得10分；。题正确，得12分，。题出错，得1。分；即被淘汰出局，慨率为：-m；14；23V4j32⑼甲同学回答A题出错，得8分；8题正确，得10分；。题出错，得8分，。题正确,得14分；即进入下一轮，慨率为：卜

⑩甲同学回答A题出错，得8分；8题正确，得10分；C题出错，得8分，D题出错，得6分；即被淘汰出局，慨率为:116即被淘汰出局，慨率为:116（ID甲同学回答A题出错，得8分；8题出错，得6分;即被淘汰出局，慨率为：=由上面分析知：所以⑴、⑵、⑷、⑺、（9）为：1+-L+-L+-L+—=—=-816329648964，甲同学进入下一轮的慨率为：y；4（2）4（2）4可取2（第⑪），3（第⑴、⑹），4（第⑵、⑶、⑷、（5）、（7）、（8）、⑼、（10））,' 16163232963248162则P（J=2）=（;尸6=3）="' 16163232963248162所以4的分布列为官234P]_838j_2•••数学期望埼=2x』+3x3+4xL红8 8 2 814、陕西（理）（19）（本小题满分12分）为了解学生身高情况，某校以10%的比例对全校700名学生按性别进行分层抽样调查，测得身高情况的统计图如下:

调查，测得身高情况的统计图如下:（1）估计该校男生的人数；（2）估计该校学生身高在170〜185c/n之间的慨率；（3）从样本中身高在165〜180加之间的女生中任选2人，求至少有1人身高在170〜180cm之间的慨率；解：（1）样本中男生的人数为40人，由分层抽样比例为10%,估计全校男生的人数为400人；（2）由统计图知，样本中身高在170〜185c机之间的学生有14+13+4+3+1=35人,样本容量为70,所以样本中学生身高在170〜185cm之间的频率/嗡=0.5,故由/估计该校学生身高在170〜185c，〃之间的慨率p=0.5;（3）样本中女生身高在165〜180加之间的人数为10人，身高在170〜180c机之间的人数为4人，设A表示事件''从样本中身高在165〜180c机之间的女生中任选2人，求至少有1人身高在170〜180cm之间”，则尸（A）=l-与=2； （或者：=2）Go3 Go315、上海（理）（无慨率题，大题只出了五道题）16、四川（理）（17）（本小题满分12分）某种有奖销售的饮料，瓶盖内印有“奖励一瓶”或“谢谢购买”字样，购买一瓶若其瓶盖内印有“奖励一瓶”字样即为中奖，中奖概率为J.甲、乙、丙三位同学每人6购买了一瓶该饮料。

(1)求甲中奖且乙、丙都没有中奖的概率；(2)求中奖人数f的分布列及数学期望解：(1)设甲、乙、丙中奖的事件分别为A、B、C,那么P(A)=P(8)=尸(C)=L6