第十一章-曲线积分与曲面积分例题课件

第十一章曲线积分与曲面积分

§11-1对弧长的曲线积分定义：设L为面内的一条光滑曲线弧，函数上有界，在上任意插入一点列把L分成n个小段，设第个小段的长度为为第个小段上任意取定的一点，

第十一章曲线积分与曲面积分

§11-1对弧长的曲线1作乘积并作和如果当各小弧段的长度的最大值时，这和的极限总存在，则称此极限为函数在曲线弧上L上对弧长的曲线积分或第一类曲线积分，其中叫做被积函数，L叫做积分弧段。作乘积2例1．计算，其中L为圆周，直线及轴在第二象限内所围成的扇形整个边界。第十一章----曲线积分与曲面积分例题课件3例2．计算，其中为折线，这里依次为点例2．计算，其中4例３．计算，其中L为曲线。例３．计算5例4．计算，其中L为折线所围成的区域的整个边界

例4．计算6例5．计算半径为R，中心角为的圆弧L对于它的对称轴的转动惯量（设线密度）。例5．计算半径为R，中心角为7§11-2对坐标的曲线积分定义：设L为面内从点A到点B的一条有向光滑曲线弧，函数上有界，在L上沿L的方向任意插入一点列把L分成n个有向小弧线段§11-2对坐标的曲线积分定义：设L为8设为上任意取定点，如果当各小弧段长度的最大值时，的极限总存在，则称此极限为函数在有向曲线弧L上对坐标的曲线积分，记作，类似地，如果总存在，则称此极限为函数在有向曲线弧L上对坐标的曲线积分，设9记作其中叫做被积函数，L叫做积分弧段。以上两个积分也称为第二类曲线积分。记作10(一)定理：设在有向曲线弧L上有定义且连续，L的参数方程为，当参数单调地由变到时，点从L的起点A沿L运动到终点B，(一)定理：设11在以为端点的闭区间上具有一阶连续导数且则曲线积分存在，且

在以为端12例1．计算，其中L为抛物线上从点到点的一段弧。例1．计算，其中L为抛13例2．计算，其中L为（1）半径为，圆心为原点，按逆时针方向绕行的上半圆周。（2）从点沿轴到点的直线段。例2．计算，其中L为14例3．计算，其中L为（1）抛物线上从的一段弧。（2）抛物线上从的一段弧。（3）有向折线,这里O,A,B依次是点（0，0），（1，0），（1，1）.例3．计算15例4．计算

其中为椭圆若从轴正向看去，的方向是顺时针的。例4．计算16例5．设一个质点在处受到力F的作用，F的大小与M到原点O的距离成正比，F的方向恒指向原点，此质点由点沿椭圆按逆时针方向移动到点，求力F所做的功W。例5．设一个质点在处受到17例6．将对坐标的曲线积分化成对弧长的曲线积分，其中L为沿抛物线从点到点。例6．将对坐标的曲线积分18§11-3格林公式及其应用例1．求椭圆所围成图形的面积。§11-3格林公式及其应用例1．求椭圆19例2．设L是任意一条分段光滑的闭曲线，证明：例2．设L是任意一条分段光滑20例3．计算，其中D是为顶点三角形闭区域。例3．计算21例4．计算，其中L为一条无重点分段光滑且不经过原点的连续闭曲线，L的方向为逆时针方向。例4．计算22例5．计算其中L是曲线及所围成的区域的边界，按逆时针方向。例5．计算23例6．计算，其中L是以为顶点的三角形正向边界曲线。例6．计算24例7．计算，其中L为（1）圆周的正向。（2）正方形边界的正向。例7．计算25例8计算其中L为曲线

按增大的方向。例8计算26定理2设区域G是一个单连通域，函数在G内具有一阶连续偏导数，则曲线积分在G内与路径无关（或沿G内任意闭曲线的曲线积分为零）的充分必要条件是在G内恒成立。定理2设区域G是一个单连通域，函数27例9．计算曲线积分其中L是以点为中心，R为半径的圆周

取逆时针方向。例9．计算曲线积分28定理3设区域G是一个单连通域，函数在G内具有一阶连续偏导数，则在G内为某一函数的全微分的充分必要条件是

在G内恒成立。定理3设区域G是一个单连通域，函数29推论设区域G是一个单连通域，函数在G内具有一阶连续偏导数，则曲线积分在G内与路径无关的充分必要条件是：在G内存在函数，使推论设区域G是一个单连通域，函数30例10．验证在右半平面内是某个函数的全微分，并求出一个这样的函数。例10．验证在右半平31例11．验证：在整个面内，是某个函数的全微分，并求出一个这样的函数。例11．验证：在整个面32例12．验证：在整个面内，是某个函数的全微分，并求出一个这样的函数。例12．验证：在整个面内，33例13．求解方程例13．求解方程34§11-4对面积的曲面积分定义设曲面是光滑的，函数在上有界，把任意分成小块（同时也代表第小块曲面的面积），设是上任意取定的一点，作乘积§11-4对面积的曲面积分定义设曲面是光35并作和，如果当各小块曲面的直径的最大值时，这和的极限总存在，则称此极限为函数在曲面上对面积的曲面积分或第一类曲面积分，记作即其中叫做被积函数，叫做积分曲面。并作和36例1．计算曲面积分，其中是球面被平面截出的顶部。例1．计算曲面积分，其中37例2．计算曲面积分其中是介于之间的圆柱面。例2．计算曲面积分38例3．计算，其中是由平面及所围成的四面体的整个边界曲面。例3．计算，其中是39例4．计算，其中是圆锥面被柱面所截的部分。例4．计算40例5．设为椭球面的上半部分,点（Ⅱ为在点P处的切平面）为点到平面Ⅱ的距离，求例5．设为椭球面41§11-5对坐标的曲面积分定义设为光滑的有向曲面，函数在上有界，把任意分成块小曲面（同时又表示第块小曲面的面积），在面上的投影为上任意取定的一点，如果当个小块曲面的直径的最大值时，§11-5对坐标的曲面积分定义设为光滑的有向42总存在，则称此极限为函数在有向曲面上对坐标的曲面积分，记作即其中叫做被积函数，叫做积分曲面。总存在，则称此极限为函数43类似地可以定义函数在有向曲面上对坐标的曲面积分及函数在有向曲面上对坐标的曲面积分分别为类似地可以定义函数44以上三个曲面积分也称为第二类曲面积分。第十一章----曲线积分与曲面积分例题课件45例1．计算曲面积分其中是长方体的整个表面的外侧，例1．计算曲面积分46例2．计算曲面积分其中是球面外侧在的部分。例2．计算曲面积分47例3．计算，其中为锥面及平面所围成的空间区域的整个边界曲面的外侧。例3．计算48例4．计算曲面积分其中是旋转抛物面介于平面之间的部分的下侧。例4．计算曲面积分49例5．计算其中是平面在第一卦限部分的上侧。例5．计算50§11-6高斯公式通量与散度一、高斯公式（一）定理1设空间闭区域是由分布光滑的闭曲面所围成，函数在上具有一阶连续偏导数，则有§11-6高斯公式通量与散度一、高斯公式51这里的整个边界曲面的外侧，

处的法向量的方向余弦，上面公式叫做高斯公式。第十一章----曲线积分与曲面积分例题课件52例1．利用高斯公式计算曲面积分其中为柱面及平面所围成的空间闭区域的整个边界曲面的外侧。例1．利用高斯公式计算曲面积分53例2．利用高斯公式计算曲面积分

其中为锥面介于平面之间的部分的下侧，在点处的法向量的方向余弦。例2．利用高斯公式计算曲面积分54例3．计算曲面积分其中为上半球面的上侧。例3．计算曲面积分55例4．设函数在闭区域上具有一阶及二阶连续偏导数，证明：其中是闭区域的整个边界曲面为函数沿的外法线方向的方向导数，符号称为拉普拉斯算子，这个公式叫做格林第一公式。例4．设函数56二、通量与散度（一）通量定义设某向量场由给出，其中具有一阶连续偏导数，是场内的一片有向曲面，处的单位法向量，则二、通量与散度57叫做向量场A通过曲面向着指定侧的通量（或流量）第十一章----曲线积分与曲面积分例题课件58例5．求向量场穿过曲面流向上侧的通量，其中为柱面，被平面截下的有限部分。例5．求向量场59§11-7斯托克斯公式环流量与旋度一、斯托克斯公式（一）定理：设为分段光滑的空间有向闭曲线，是以为边界的分片光滑的有向曲面，的正向与的侧符合右手规则，函数

在曲面（连同边界）上具有一阶连续偏导数，则有§11-7斯托克斯公式环流量与旋度一、斯托克斯公式60上面公式叫做斯托克斯公式。第十一章----曲线积分与曲面积分例题课件61例1．利用斯托克斯公式计算曲线积分其中为平面

被三个坐标面所截成的三角形的整个边界，它的正向与这个三角形上侧的法向量之间符合右手规则。例1．利用斯托克斯公式计算曲线积分62例2．利用斯托克斯公式计算曲线积分其中是用平面截立方体的表面所得的截痕，若从轴的正向看去取逆时针方向。例2．利用斯托克斯公式计算曲线积分63二、环流量与旋度（一）环流量设有向量场

其中函数均连续，的定义域内的一条分段光滑的有向闭曲线,处的单位切向量，二、环流量与旋度64则积分称为向量场A沿有向闭曲线的环流量，其中是有向曲线处的切向量的方向余弦。则积分65例3．求向量场沿闭曲线的环流量，其中为锥面和平面的交线，从轴正向看为逆时针方向。例3．求向量场66例4．计算曲面积分其中是锥面在面上方的部分，单位法向量指向锥外。例4．计算曲面积分67例5．设函数（1）求梯度。（2）求向量场的散度

（3）计算向量场穿过曲面流向外侧的通量，其中是由曲面所围立体的表面。例5．设函数68第十一章曲线积分与曲面积分

§11-1对弧长的曲线积分定义：设L为面内的一条光滑曲线弧，函数上有界，在上任意插入一点列把L分成n个小段，设第个小段的长度为为第个小段上任意取定的一点，

第十一章曲线积分与曲面积分

§11-1对弧长的曲线69作乘积并作和如果当各小弧段的长度的最大值时，这和的极限总存在，则称此极限为函数在曲线弧上L上对弧长的曲线积分或第一类曲线积分，其中叫做被积函数，L叫做积分弧段。作乘积70例1．计算，其中L为圆周，直线及轴在第二象限内所围成的扇形整个边界。第十一章----曲线积分与曲面积分例题课件71例2．计算，其中为折线，这里依次为点例2．计算，其中72例３．计算，其中L为曲线。例３．计算73例4．计算，其中L为折线所围成的区域的整个边界

例4．计算74例5．计算半径为R，中心角为的圆弧L对于它的对称轴的转动惯量（设线密度）。例5．计算半径为R，中心角为75§11-2对坐标的曲线积分定义：设L为面内从点A到点B的一条有向光滑曲线弧，函数上有界，在L上沿L的方向任意插入一点列把L分成n个有向小弧线段§11-2对坐标的曲线积分定义：设L为76设为上任意取定点，如果当各小弧段长度的最大值时，的极限总存在，则称此极限为函数在有向曲线弧L上对坐标的曲线积分，记作，类似地，如果总存在，则称此极限为函数在有向曲线弧L上对坐标的曲线积分，设77记作其中叫做被积函数，L叫做积分弧段。以上两个积分也称为第二类曲线积分。记作78(一)定理：设在有向曲线弧L上有定义且连续，L的参数方程为，当参数单调地由变到时，点从L的起点A沿L运动到终点B，(一)定理：设79在以为端点的闭区间上具有一阶连续导数且则曲线积分存在，且

在以为端80例1．计算，其中L为抛物线上从点到点的一段弧。例1．计算，其中L为抛81例2．计算，其中L为（1）半径为，圆心为原点，按逆时针方向绕行的上半圆周。（2）从点沿轴到点的直线段。例2．计算，其中L为82例3．计算，其中L为（1）抛物线上从的一段弧。（2）抛物线上从的一段弧。（3）有向折线,这里O,A,B依次是点（0，0），（1，0），（1，1）.例3．计算83例4．计算

其中为椭圆若从轴正向看去，的方向是顺时针的。例4．计算84例5．设一个质点在处受到力F的作用，F的大小与M到原点O的距离成正比，F的方向恒指向原点，此质点由点沿椭圆按逆时针方向移动到点，求力F所做的功W。例5．设一个质点在处受到85例6．将对坐标的曲线积分化成对弧长的曲线积分，其中L为沿抛物线从点到点。例6．将对坐标的曲线积分86§11-3格林公式及其应用例1．求椭圆所围成图形的面积。§11-3格林公式及其应用例1．求椭圆87例2．设L是任意一条分段光滑的闭曲线，证明：例2．设L是任意一条分段光滑88例3．计算，其中D是为顶点三角形闭区域。例3．计算89例4．计算，其中L为一条无重点分段光滑且不经过原点的连续闭曲线，L的方向为逆时针方向。例4．计算90例5．计算其中L是曲线及所围成的区域的边界，按逆时针方向。例5．计算91例6．计算，其中L是以为顶点的三角形正向边界曲线。例6．计算92例7．计算，其中L为（1）圆周的正向。（2）正方形边界的正向。例7．计算93例8计算其中L为曲线

按增大的方向。例8计算94定理2设区域G是一个单连通域，函数在G内具有一阶连续偏导数，则曲线积分在G内与路径无关（或沿G内任意闭曲线的曲线积分为零）的充分必要条件是在G内恒成立。定理2设区域G是一个单连通域，函数95例9．计算曲线积分其中L是以点为中心，R为半径的圆周

取逆时针方向。例9．计算曲线积分96定理3设区域G是一个单连通域，函数在G内具有一阶连续偏导数，则在G内为某一函数的全微分的充分必要条件是

在G内恒成立。定理3设区域G是一个单连通域，函数97推论设区域G是一个单连通域，函数在G内具有一阶连续偏导数，则曲线积分在G内与路径无关的充分必要条件是：在G内存在函数，使推论设区域G是一个单连通域，函数98例10．验证在右半平面内是某个函数的全微分，并求出一个这样的函数。例10．验证在右半平99例11．验证：在整个面内，是某个函数的全微分，并求出一个这样的函数。例11．验证：在整个面100例12．验证：在整个面内，是某个函数的全微分，并求出一个这样的函数。例12．验证：在整个面内，101例13．求解方程例13．求解方程102§11-4对面积的曲面积分定义设曲面是光滑的，函数在上有界，把任意分成小块（同时也代表第小块曲面的面积），设是上任意取定的一点，作乘积§11-4对面积的曲面积分定义设曲面是光103并作和，如果当各小块曲面的直径的最大值时，这和的极限总存在，则称此极限为函数在曲面上对面积的曲面积分或第一类曲面积分，记作即其中叫做被积函数，叫做积分曲面。并作和104例1．计算曲面积分，其中是球面被平面截出的顶部。例1．计算曲面积分，其中105例2．计算曲面积分其中是介于之间的圆柱面。例2．计算曲面积分106例3．计算，其中是由平面及所围成的四面体的整个边界曲面。例3．计算，其中是107例4．计算，其中是圆锥面被柱面所截的部分。例4．计算108例5．设为椭球面的上半部分,点（Ⅱ为在点P处的切平面）为点到平面Ⅱ的距离，求例5．设为椭球面109§11-5对坐标的曲面积分定义设为光滑的有向曲面，函数在上有界，把任意分成块小曲面（同时又表示第块小曲面的面积），在面上的投影为上任意取定的一点，如果当个小块曲面的直径的最大值时，§11-5对坐标的曲面积分定义设为光滑的有向110总存在，则称此极限为函数在有向曲面上对坐标的曲面积分，记作即其中叫做被积函数，叫做积分曲面。总存在，则称此极限为函数111类似地可以定义函数在有向曲面上对坐标的曲面积分及函数在有向曲面上对坐标的曲面积分分别为类似地可以定义函数112以上三个曲面积分也称为第二类曲面积分。第十一章----曲线积分与曲面积分例题课件113例1．计算曲面积分其中是长方体的整个表面的外侧，例1．计算曲面积分114例2．计算曲面积分其中是球面外侧在的部分。例2．计算曲面积分115例3．计算，其中为锥面及平面所围成的空间区域的整个边界曲面的外侧。例3．计算116例4．计算曲面积分其中是旋转抛物面介于平面之间的部分的下侧。例4．计算曲面积分117例5．计算其中是平面在第一卦限部分的上侧。例5．计算118§11-6高斯公式通量与散度一、高斯公式（一）定理1设空间闭区域是由分布光滑的闭曲面所围成，函数在上具有一阶连续偏导数，则有§11-6高斯公式通量与散度一、高斯公式119这里的整个边界曲面的外侧，

处的法向量的方向余弦，上面公式叫做高斯公式。第十一章----曲线积分与曲面积分例题课件120例1．利用高斯公式计算曲面积分其中为柱面及平面所围成的空间闭区域的整个边界曲面的外侧。例1．利用高斯公式计算曲面积分121例2．利用高斯公式计算曲面积分

其中为锥面介于平面之间的部分的下侧，在点处的法向量的方向余弦。例2．利用高斯公式计算曲面积分122例3．计算曲面积分其中为上半球面的上侧。例3．计算曲面积分123例4．设函数在闭区域上具有一阶及二阶连续偏导数，证明：其中是闭区域的整个边界曲面为函数沿的外法线方向的方向导数，符号称为拉普拉斯算子，这个公式叫