2022届福建省三明市高三6月质量检测数学试题（解析版）

福建省三明市第一中学2022届高三6月质・检测数学试题一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。TOC\o"1-5"\h\z1.已知i是虚数单位，若^一\=a+h\(a,b&R},则a-b的值是( )+1A.—1 B.— C.~ D.13 2.设集合A={1,2,4},8={x|x2+3x-4=0},则Au8=( )A.{^l,1,2,4) B. {-1,1,2,4} C. {1} D.{4}.已知一个圆柱的底面直径与高都等于球。的半径，则该圆柱的表面积与球O的表面积之比为()A.3:16 B. 1:4 C. 3:8 D.1:1.已知某地区中小学生人数比例和近视情况分别如图甲和图乙所示，图甲 图乙图甲 图乙为了了解该地区中小学生的近视形成原因，用分层抽样的方法随机抽取1%的学生进行调查，其中被抽取的小学生有80人，则样本容量和该地区的高中生近视人数分别为()A.200,25B.200,2500A.200,25B.200,2500C.5.已知tana=-3,则sin|=+a|・sina=A.10C.8000,25D.8000,25003 八9— D.—10 10.公元五世纪，数学家祖冲之估计圆周率冗的范围是：3.1415926V乃＜3.1415927,为纪念祖冲之在圆周率方面的成就，把3.1415926称为“祖率”，这是中国数学的伟大成就.某教师为帮助同学们了解“祖率”，让同学们把小数点后的7位数字1,4,1,5,9,2,6进行随机排列，整数部分3不变，那么可以得到大于3.14的不同数字的个数为()A.720 B.1440 C.2280 D.4080.已知圆O：f+y2=g,圆M:(x-a)2+(y-l)2=l,若圆M上存在点P,过点P作圆O的两条切线，7T切点分别为A,B,使得= 则实数。的取值范围是（）A.[-715,715] B.[-6,6] C.[^,715] D.[-V15,->/3]U[73,715].己知e为自然对数的底数，a,人均为大于1的实数，若ae"M+6<blnb,则（）A.b<eo+l B.h>eo+l C.ab<e D.ab>e二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。.设圆锥曲线C的两个焦点分别为月,用，若曲线C上存在点P满足|P£|：|耳闻：|尸周=4:3:2,则曲线C的离心率可以是（）TOC\o"1-5"\h\z2 3A・： B.- C.- D.23 2.已知向量£=（—1,2）,b=（m,m-2）,其中meR,下列说法正确的是（ ）A.若。〃力,则％=§C.若£与石的夹角为钝角，则机<4.已知x,yeR,且一>，>0,x+y=2,xyB.若（£+山（力），则⑹卜石D.若m=2,向量£在办方向上的投影为-1则下列不等式中一定成立的是（）C.x 1 cA. B.-+->2xy+y2 1 cA. B.-+->2xy.己知红箱内有6个红球、3个白球，白箱内有3个红球、6个白球，所有小球大小、形状完全相同.第一次从红箱内取出一球后再放回去，第二次从与第一次取出的球颜色相同的箱子内取出一球，然后再放回去，依此类推，第k+1次从与第上次取出的球颜色相同的箱子内取出一球，然后再放回去.记第〃次取出的球是红球的概率为匕，则下列说法正确的是（）A.B.3心/匕=1122 139C.第5次取出的球是红球的概率为石 D.前3次取球恰有2次取到红球的概率是氐三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。.写出一个满足对定义域内的任意x,y,都有/（盯）=/（》）+/（y）的函数f（x）：..已知函数/（x）=Gsin2x-2cos%+l,且方程/（x）-a=0在-（，7内有实数根，则实数。的取值范围是..已知正方体ABCO-ABGA中，AB=2G，点E为平面48。内的动点，设直线4E与平面所成的角为a，若sina=2叵，则点E的轨迹所围成的面积为.5.己知双曲线C:[•-5=1仅＞0)的左、右焦点分别为环、尸2,过人作C的一条渐近线的垂线，垂足为A,连接A鸟，若直线A6与另一条渐近线交于点B,且而=%，则6=；AAf；居的周长为四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。.已知aABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且c=2b-2acosC.⑴求角A；⑵若M为8c的中点，AM=6,求aABC面积的最大值..如图，四边形ABC。为菱形，AB=2,ZABC=6O°,将/XACO沿AC折起，得到三棱锥O-ABC,点M,N分别为△A8。和aABC的重心.(1)证明：8〃平面BMN：(2)当三棱锥的体积最大时，求二面角N-BM-。的余弦值..设数列血｝的前〃项和为S“，若4=l,S“=a,,,「l.(1)求数列｛%｝的通项公式；(2)设求数列出｝的前〃项和乙..当前，新一轮科技革命和产业变革蓬勃兴起，以区块链为代表的新一代信息技术迅猛发展，现收集某地近5年区块链企业总数量相关数据，如下表年份20172018201920202021编号X12345企业总数量y(单位：千个)2.1563.7278.30524.27936.224(1)根据表中数据判断，"a+加与尸ce"(其中e=2.71828…为自然对数的底数)，哪一个回归方程类型适宜预测未来几年我国区块链企业总数量？(给出结果即可，不必说明理由)，并根据你的判断结果求y关于X的回归方程；(2)为了促进公司间的合作与发展，区块链联合总部决定进行一次信息化技术比赛，邀请甲、乙、丙三家区块链公司参赛.比赛规则如下：①每场比赛有两个公司参加，并决出胜负：②每场比赛获胜的公司与未参加此场比赛的公司进行下一场的比赛；③在比赛中，若有一个公司首先获胜两场，则本次比赛结束，该公司获得此次信息化比赛的“优胜公司已知在每场比赛中，甲胜乙的概率为g,甲胜丙的概率为g,乙胜丙的概率为若首场由甲乙比赛，求甲公司获得“优胜公司”的概率.TOC\o"1-5"\h\z5 5 5 5参考数据：Xx=74.691, =312.761,^z,.=10.980,Z"E=40.457(其中z=lny).i=l i=l is| /=!“ ^x^-nxy

附：样本a，»)(i=l,2,…M的最小二乘法估计公式为族=母 ，a^y-bx.E2 -2xi-nxi=l.如图，已知抛物线＞2=4x的焦点为椭圆C：鸟+耳=1(。＞6＞0)的右焦点F,点尸为抛物线与椭

ab~圆C在第一象限的交点，且(1)求椭圆C的方程；(2)过点尸的直线/交抛物线于A,C两点,交椭圆于B,。两点(A,B,C,£)依次排序)，且|AB|-|CD|=y,求直线/的方程..已知函数/(x)=e*-(x+a)ln(x+a)+x,aeR.(1)当。=1时，求函数f(x)的图象在x=0处的切线方程;(2)若函数/(x)在定义域上为单调增函数.①求”最大整数值;②证明：ln2+(ln-)2+(ln-)3+L+(ln-/<—.2 3 ne-1参考答案:D【解析】【分析】根据复数的运算法则，得到;二=-i,结合复数相等的条件，求得的值，即可求解.【详解】由复数的运算法则，可得Qi.<=一】,因为？=a+bi(a,beR),即a=0,6=-l,所以a-b=l.+i故选：D.A【解析】【分析】先求出集合B,然后取并集即可.【详解】8=,*+3)-4=0}={<1},集合A={1,2,4},则Au8={T』,2,4),故选：AC【解析】【分析】设球的半径为火,分别求出球和圆柱的表面积即可求解.【详解】设球的半径为R,则该圆柱的底面半径为:，高为R2所以圆柱的表面积为：2%(四］+2%四次=3%/?)球的表面积为：MR?V2； 2 2则圆柱的表面积与球的表面积之比为2"六=34了解一左故选：CB【解析】

【分析】on由扇形分布图观察小学生在整个样本中占40%,可得样本的容量为义=200,再以此推出样本中高中生的人数为200x25%=50,结合抽样比和条形图中高中生的近视率占比可算出该地区高中生的近视人数.【详解】由由扇形分布图结合分层抽样知识易知样本容量为3=200,40%则样本中高中生的人数为200x25%=50,易知总体的容量为塔一SOOO,结合近视率条形图得该地区高中生近视人数为5000x50%=2500.故选：B.B【解析】【分析】利用诱导公式结合弦化切可求得所求代数式的值.【详解】.(n、. . sinacosatana3sin—+asina=sinacosa=——； ；—=—— = .\2 ) sin*a+cos'atan*a+1 10故选：B.C【解析】【分析】以间接法去求解这个排列问题简单快捷.【详解】一共有7个数字，且其中有两个相同的数字1.这7这7个数字按题意随机排列，可以得到々=2520个不同的数字.当前两位数字为11或12时，得到的数字不大于3.14当前两位数字为11或12时，共可以得到28=240个不同的数字,则大于3.14的不同数字的个数为2520-240=2280故选：CD【解析】【分析】由题意求出。尸的距离，得到P的轨迹，再由圆与圆的位置关系求得答案.【详解】由题可知圆。的半径为圆M上存在点P,过点P作圆。的两条切线，切点分别为A，8,使得NAP3=60。，则NAPO=30。，在RtZXPAO中，|P0|=3,所以点P在圆x?+y2=9上，由于点P也在圆M上，故两圆有公共点.又圆M的半径等于1,圆心坐标.•.3-l<|OA/|<3+l,•*-2<>Ja2+l<4>••.4W[-岳，-6]U【G,炳.故选：D.B【解析】【分析】由题意化简得到erneyglng,设〃x)=xlnx,得到f(e")</自，结合题意和函数〃x)的单调性，即可求解.【详解】由ere"”+0<blnb,nT^ae^1<b\nb-b=b(]nb-\)=b\n—,即e"Ine"<,e ee设/Xx)=xlnx,可得/(e")</§),因为a>0,可得e">l,又因为尔Inb-1)>0,。>0,所以ln%>l,即8〉e,所以^>1,e当x>l时，/'(x)=lnx+l>0,可得函数/(x)在(1,+00)为单调递增函数，所以e"<^,即6>e"".e故选：B.【解析】【分析】结合椭圆和双曲线的定义和离心率的求法，即可求得结果.【详解】c2rIffI3i若曲线是椭圆则其离心率为e=片五=舟七布=5；若曲线是双曲线则其离心率为"（=葛=萧褊=2=1故选：AC10.ABD【解析】【分析】利用共线向量的坐标表示可判断A选项；利用向量垂直结合向量的模长公式可判断B选项；由已知且£、行不共线，求出机的取值范围，可判断C选项；利用平面向量的几何意义可判断D选项.【详解】对于A选项，若“〃力，则2帆=2-6，解得机=§,A对；对于B选项,若（〃+「）_1（°-1）,则（〃+4（a—5）=〃一斤=0,所以，W=M=B对；对于C选项，若£与坂的夹角为钝角，则。％=-6+2（2）=6-4<。，可得加<4,2 2且£与坂不共线，则机工：，故当£与5的夹角为钝角，则机<4且机工：，C错；一, 、 ab-2 .对于D选项，若〃7=2,则6=（2,0）,所以，向量［在坂方向上的投影为秆=彳二-1,D对.故选：ABD.BC【解析】【分析】由不等式的性质与基本不等式判断.【详解】>0, 0<x<y,A错；,.,0<x<y,x+y=2,

11)・・・一+二N2成立，即11)・・・一+二N2成立，即B正确；-/X2-2x4-1=(%-1^>0,xy51324141514前3次取球恰有2次取至IJ红球的概率是+ 附+2xgx*=当且仅当y=l时取等号，又•.•o<x<y,即x,y不同时等于1,，x2+y2>2x+2y-2,C正确；当x=：,y=1时，fx+-1+y2=1+-=—,D错.2 2 2) 44故选：BCAC【解析】【分析】依题意求出6,设第〃次取出球是红球的概率为匕，则白球概率为(1-G概率，即可得到月从而可判断各个选项.【详解】依题意设第〃次取出球是红球的概率为2,则白球概率为(1-4),对于第〃+1次，取出红球有两种情况.①从红箱取出的概率为《《，②从白箱取出的概率为(1-匕)(，TOC\o"1-5"\h\z7 1 1 1对应七=§々+§(1-匕)=/+§，即3*=匕+1,故B错误：所以匕=1 2令4=*：，则数列｛(｝为等比数列，公比为:，因为片=彳，所以q=-2 3 3 ।故2=49''+；'所以6=1,6=黑故选项A'C正确；o\37 2 9 2432第1次取出球是红球的概率为匕=彳，第2次取出球是红球的概率为A=•3 114,即可求出第〃+1次取出红球的104,即可求出第〃+1次取出红球的104243故D错误；故选：AC./W=lnx(答案不唯一)【解析】【分析】利用对数的运算性质可知函数/(x)=lnx符合题意.【详解】若函数f(x)=\nx,则f(xy)=ln(Ay)=lnx+lny=f(x)+f(y)满足题意，故答案为：f(x)=lnx(答案不唯一)[-2,1]【解析】【分析】rrtt由题意可得在一二，士内有实数根，。的取值范围即为函数“幻的值域.36_【详解】f(x)=>/3sin2x-2cos2x+l=>/3sin2x-cos2x=2sin(2x),6jrtt jrtt方程/(幻-。=0在-彳，工内有实数根，即a=/(x)在一丁,三内有实数根，_36」 L36_7T7T~\ 7T 547Txe,2x--e—,得一24/(幻41,即。的取值范围是,_36」 6166故答案为：[-2,1]15.兀【解析】【分析】连接4a交平面AB。于。，连接E。，则有四面体4-AB。为正三棱锥，由题意可得E在平面内的轨迹是以O为圆心，半径为1的圆即可得答案.【详解】解：如图所示，连接AG交平面A8。于。，连接EO,由题意可知平面AS。，所以NAEO是AE与平面AB。所成的角，所以NA£O=a.由sina=2叵可得tana=2,即丝=2.5 EO在四面体A-AB。中，BD=AD=AB=2瓜 AB=AD=AAt=2y/3,所以四面体A-A8O为正三棱锥，。为△8D4,的重心，如图所示：所以解得80=中、2"=20,AO=yjAB2-BO2=2，AD又因为二;=2.EO所以EO=1,即E在平面AB。内的轨迹是以0为圆心，半径为1的圆，所以S=7txl2=7t.故答案为:兀.. 2 2+2石+40【解析】【分析】求出直线AG的斜率，分析可知44//OB,可得出可求得正数b的值，计算出恒制，利用余弦定理可求得进而可求得八大乙的周长.【详解】h双曲线C的渐近线方程为丫=土]X,如下图所示:h不妨设点A在第三象限，则直线的方程为丫=三》，2因为4F|J_OA,则％=-二，b・・•丽=瓯，则8为A6的中点，又因为。为耳人的中点，则A耳〃03,所以，"a="os，叩一丁=一不，则从=4,，山>。,解得力=2,b2所以，kg=1,即直线的倾斜角为(，・・・a=b=2,则=26t，|例=|*|=•。周=孝、2血=2,在鸟中，|A用=2,恒周=4a,NA£6=(,由余弦定理可得卜用=[m用。恒用2-2卜/讣|耳用cos?=2>5，因此，的周长为1A用+|A段+内段=2+26+40.故答案为：2;2+26+4夜..⑴A=：⑵G【解析】【分析】(1)解法一：根据正弦定理边化角求解即可；解法二：利用余弦定理将cosC用边表示再化简即可； .1—.—.(2)解法一：根据基底向量的方法得AM=5(AB+AC),两边平方化简后可得从+c2=12-6c,再结合基本不等式与面积公式求面积最大值即可;解法二：设= 再分别在△ABM,八4。0和△4打；中用余弦定理，结合cosZAMB+cosZAMC=0可得从+/=12-〃c,再结合基本不等式与面积公式求面积最大值即可解法一：因为c=2人-2acosC,由正弦定理得：sinC=2sinB-2sinAcosC,所以sinC=2sin(A+C)-2sinAcosC=2sinAcosC+2cosAsinC-2sinAcosC=2cosAsinC,因为sinCwO,所以2cosA=l,cosA=4，2为OvAv兀，所以4=1.解法二：因为c=2h—2ocos。，由余弦定理得：c=2b-2。,—_-,2ab整理得be=b2+c2—a2即a2=b2+C1-be，又由余弦定理得=b2+c2-2/?ccosA所以2cosA=l,cosA=',2因为0<4vn,所以A=%解法一：因为M为8c的中点，所以而=：(而+祝)，所以戒2=L^ab2+2AB-AC+AC2y即3=:卜+b2+2/>C-C0Sy^,即/+/=12-be,而从+(^23c,所以12-be22bc即be<4,当且仅当b=c=2时等号成立所以aABC的面积为Saam=LcsinAd4x@4Ji.△aw2 2 2即aABC的面积的最大值为耳.解法二：设BM=MC=/n,在aABM中，由余弦定理得c2=3+/n2-2xJjxcosNAMB,①在ZV1CM中，由余弦定理得从=3+/-2xgxcosNAMC,②因为NAM3+NAMC=7t,所以cosNAA!B+cosNAAfC=0所以①+②式得=6+2疗.③在aABC中，由余弦定理得4m2=人+(?-2xbccosA.而A=1，所以4/n2=b，+c2-be，④联立③④得：2b2+2c2-12=6+c2-bc，即/+。2=12-历，而从+/>2bc,所以12-秘2乃c,即从44,当且仅当。=c=2时等号成立.所以aABC的面积为S*8c=；%csinA4gx4x*46.即aABC的面积的最大值为(1)证明见解析(2)-亚5【解析】【分析】(1)延长交AO于点P,延长BN交AC于。点，连接P。,证明PO〃C£)即可.(2)证明而，反,而两两垂直，以O为坐标原点，OB.OC.8分别为x,y,z轴建立空间直角坐标系。xyz,求出两个平面的法向量，利用二面角的向量公式求解即可.延长BM交A£>于点P,延长8N交AC于。点，连接P0.因为点M,N分别为△ABD和aABC的重心，所以点尸，。分别为A£>和AC的中点，所以PO〃C£>,

又CDa平面BMN，P。u平面BMN,所以CD〃平面BMN.⑵当三棱锥。-ABC的体积最大时，点O到底面ABC的距离最大，即平面D4CJ•平面ABC,连接因为aAQC和aABC均为正三角形，于是£>O，AC,BO，AC,又平面£>4Cc平面ABC=AC,所以DO_L平面ABC,所以丽，云,而两两垂直，所以而=-x/3-1以。为坐标原点，OB.OCQD分别为x,y,z轴建立空间直角坐标系。dz,则o（o,o,o）,a（o,-i,o）,b（V5,o,o）,o（o,o,x/5）,po,所以而=-x/3-1,BD=(-73,0,x/3),OB=(>/3,0,0),OP=0,-1,2又二面角可一8时一£)即二面角0-8尸-£),, 设平面的一个法向量为7=(x,y,z),贝“",t-。，n-BD=0[->/3x-—y+—z=0 ，一r可得j2 2 ,取z=l,贝=[ -a/3x+>/3z=0同理设平面OBP的一个法向量为而=(ahc),(所.OB-0 [6a=0则”=即1J3,取b=5则而=(o,Gi),[in-OP=0 ——/?+—c=0I2 2

TOC\o"1-5"\h\zm“ /\ mn -3+1 J5所以cos(m,〃)==——=—l= ，\/\m\-\n\2\J5 5由图可知二面角N-BM-D为钝角,所以二面角N-BM—O的余弦值为-好.5(l)«n=2n,(neN-)；一人〃+2⑵(=2-亍•【解析】【分析】(1)根据凡=[)"'〃][及等比数列的定义即可求得答案;(2)由错位相减法即可求得答案.⑴因为q=1,S„=a„+I-1.所以岳=。2-1,解得q=2.当〃22时，Sn_,=a„-1,所以为=S,-5“t ，所以2%=4"],即乎■=2.an因为”=2也满足上式，所以｛4｝是首项为1,公比为2的等比数列，所以q=2"T(〃eN).4(2)由(1)知G=2",所以“吟，所以＜=1x；+2x(；J+3x6[+...+〃x(5…①唔)+2x(9+.•.+唔)+2x(9+.•.+(〃一唱+咽…②+•••+1——2一+2=邛+羽，所以72-噤.20.(l)y=V适宜；y=⑵』10【解析】【分析】(1)根据题目中给的数据及公式进行计算可得回归方程；(2)由概率的加法公式与乘法公式进行计算即可得到答案.根据表中数据y=e"适宜预测未来几年我国区块链企业总数量.y=cedt,Iny=6£t+lnc,令z=lny,贝ijz=dr+lnc,5i=1坦整=2/96,5i=1坦整=2/96,

55x=-^—51+2+3+4+5」 =3Zx，z，-〃B40457-3x1098由公式计算可知母 = =0.7517E2 - —45X：-nxInc=7-^=2.196-0.7517x3=-0.0591/.Iny=0.7517x-0.0591,即y=e075,7x-00591.设事件M="甲公司获得“优胜公司”“，事件A="在一场比赛中，甲胜乙”,事件8=''在一场比赛中，甲胜丙“，事件C="在一场比赛中，乙胜丙”，1 3 _ ——则P(A)=5，P(8)=-,P(C)=-,M=A8UABCAUAC8A,因为A,B,C,4耳,。两两独立，AB,ABCA,ACBA两两互斥，由概率的加法公式与乘法公式得P(M)=P(ABuABCAuACBA)=P(AB)+P(ABCA)+P(ACBA)=尸(A)P(B)+P(A)P(B)P(C)P(A)+P(A)P(C)P(B)P(A)1112311211 3=x—d-x-x—x—|—x-x—x—=——,232352253210

3所以甲公司获得“优胜公司”的概率为伍.21.(1)—+^-=14 3⑵>=曰*-1)【解析】【分析】(1)确定抛物线即椭圆的右焦点坐标，继而求得点r2,亚)，由此列出方程组，即可求得椭圆方程;33(2)设直线方程，和抛物线以及椭圆分别联立，求得相应的弦长，即IAC8。|的表达式，利用\AB\-\CD\=\AC\-\BD\=y,解方程可得答案.由抛物线y2=4x可知：尸(1,0),a2=4h2=3故由IP尸1=3得：|PF|=Xp+l=g,Xp=|，故%2=g,则R2,亚)，a2=4h2=34 24 ，解得、万十万=1故椭圆方程为：工+上=1；4 3过点尸的直线/的斜率不存在时，则有IA3RCDI不符合题意,故设直线/的斜率为2,则直线方程为y=A(x-D,联立抛物线方程:y=联立抛物线方程:y=k（x-V）y2=4x整理得：小/一(2公+4口+/=0,, 4设A（X],）,。（工2,%）9则X+七=2+,4|AC|=X|4-x24-2=4+—y,K,'y=k（x-l）联立lx?v2，整理得：