2022年中考数学压轴大题押题附答案解析

2022年中考数学压轴题.如图1,在△48C中，NACB为锐角,点。为射线8c上一点，连接NO,以AD为一边且在AD的右侧作正方形ADEF.(1)如果 ZBAC=90°,①当点O在线段8c上时(与点8不重合)，如图2,线段CG8。所在直线的位置关系为「宜，线段CF、BD的数量关系为②当点O在线段8c的延长线上时，如图3,①中的结论是否仍然成立，并说明理由；(2)如果/BWAC,N5/1C是锐角，点。在线段8c上，当N/C8满足什么条件时，CFJL8C(点C、尸不重合)，并说明理由.证明：（1）①正方形4CE/中，AD=AF,•：NBAC=NDAF=9Q°,:.NBAD=NCAF,y.,：AB^AC,:.△DABEdFAC,:.CF=BD,NB=NACF,：.ZACB+ZACF=90Q,BPCFLBD.②当点D在BC的延长线上时①的结论仍成立.由正方形ZOE尸得｛。=｛尸，ND4F=90度.VZ5/4C=90°,...ZDAF=NBAC,:.NDAB=NE4C,又,：AB=AC,：.4DAB"4FAC,

：.CF=BD,NACF=NABD.90°,AB=AC,：.ZABC=45°,/.Z/4CF=45",...NBCF=NACB+NACF=90度.即CFA.BD.（2）当NZC8=45°时，CFLBD（如图）.理由：过点4作/G_LZC交C8的延长线于点G,则/G4C=90°,；//C8=45°,4GC=90°-ZACB,：.ZJGC=90°-45°=45°,/.ZACB=ZAGC=45°,：.AC=AG,,.•/D4G=/用。（同角的余角相等），AD=AF,：.4GAD94CAF,：.ZACF=ZAGC=45°,NBCF=NACB+NACF=45"+45°=90°,BPCF±BC.2.如图，。。的2.如图，。。的直径48=26,P是上(不与点4、8重合)的任一点,上的两点，若NAPD=NBPC,则称NCPD为直径48的“回旋角(1)若NBPC=NDPC=60°,则NCPO是直径Z8的"回旋角”吗？13(2)若丽的长为”，求“回旋角”NCPO的度数；(3)若直径48的“回旋角”为120°,且△PC。的周长为24+1375,长.点C、。为。。并说明理由；直接写出4P的解：NCPD是直径48的“回旋角”，理由：VZCPD=Z5PC=60°,-60°=60°,，N4PD=180°-Z.CPD-ZSPC=180°-60°=60°,:.NBPC=NAPD,：.NCPD是直径AB的“回旋角”；(2)如图1,,.18=26,:.OC^OD=OA=\3,设NCW="°,13•丽的长为不，.7UTX1313 = 7T,180 4・・・〃=45,：.ZCOD=45°,作CE_L4B交。。于E,连接PE,:・/BPC=NOPE,•：NCPD为直径AB的“回旋角”,：./APD=NBPC,：・/OPE=/APD,VZJPD+ZCPD+ZBPC=180°,•••NOPE+NC尸。+N5PC=180°,:•点、D,P,E三点共线,/.ZCED=|ZCOD=22.5°,：.ZOPE=90°-22.5°=67.5°,:・/APD=NBPC=67.5°,：.ZCPD=45°,即：“回旋角”NCPO的度数为45°,（3）①当点尸在半径。1上时，如图2,过点C作C凡LZ8交。。于尸，连接尸况:.PF=PC,同（2）的方法得，点D,P,厂在同一条直线上，•直径43的“回旋角''为120°,：.ZAPD=ZBPC=30°,.,.ZCPF=60°,APCF是等边三角形，:.NCFD=60°,连接OC,OD,：.ZCOD=\20°,过点。作OG_LC。于G,1:・CD=2DG,ZDOG=W/COD=60。,/.DG=ODsinADOG=13Xsin60°=ACD=13V3,VAPCZ）的周长为24+138，・・・PO+PC=24,■:PC=PF,:・PD+PF=DF=24,过。作OH上DF于H,・・・DH=*DF=12,在RtZ\O〃Q中，OH=、OD2-DH2=5,在RtZ\O〃尸中，NOPH=30°,：.OP=\0,：.AP=OA-。尸=3；②当点P在半径OB上时，同①的方法得，BP=3,：.AP=AB-BP=23,

即：满足条件的4尸的长为3或23.3.如图，在RtZXZBC中，ZJCB=90°,以斜边N8上的中线CO为直径作。O,与BC交于点M,与43的另一个交点为E,过M作垂足为M(1)求证：MN是。。的切线；(2)若的直径为5,sinB=S，求E。的长.【解答】（1）证明：连接。Vf,如图1,•：OC=OM,：・4OCM=4OMC,在RtZ\X8C中，CQ是斜边上的中线,：・CD=%B=BD,:"DCB=/DBC,：,/OMC=/DBC,：・OM〃BD,■:MN工BD,,.•0M过O,是。。的切线;（2）解：连接。M,CE, 国2是。。的直径，/.ZC£D=90°,NDMC=90°,即。A/_L8C,CELAB,由（1）知：BD=CD=5,.♦.A/为8c的中点，3VsinB=引. 4..cosB=耳,在RtZ^BA/Q中，BM=BDsB=4,:・BC=2BM=8,42在RtAC£15中，BE=BC・cosB=拳32 7：.ED=BE-BD=苦-5=4.已知/MPN的两边分别与。。相切于点儿B,。。的半径为八（1）如图1,点C在点Z,8之间的优弧上，NMPN=80°,求N/1C8的度数；（2）如图2,点C在圆上运动，当尸C最大时，要使四边形4PBe为菱形，N4P8的度数应为多少？请说明理由；（3）若尸C交。。于点。，求第（2）问中对应的阴影部分的周长（用含，的式子表示）.

图1 图2 （备用图）【解答】解：（1）如图1,连接04,OB,图1'：PA,尸8为。。的切线，:.NPAO=NPBO=90°,VZAPB+ZPAO^ZPBO+ZAOB=360°,・・・NZP8+N4O6=180°,VZJP5=80°,・・・408=100°,ZACB=50°；(2)如图2,当乙4尸8=60°时，四边形彳尸8。是菱形,连接。Z,OB,图2由(1)可知，ZAOB+ZAPB=\SO°,•・•/力尸8=60°,/.ZAOB=\20°,/.ZACB=60°=/APB,•点C运动到PC距离最大，.••PC经过圆心，■：PA,P8为。。的切线，：.PA=PB,NAPC=NBPC=3Q°,又,：PC=PC,:AAPCq4BPCCSAS）,：.ZACP=ZBCP=30°,AC=BC,：.^APC=ZACP^30°,：.AP=AC,:.AP=AC=PB=BC,二四边形AP8C是菱形；;。。的半径为r,：.OA=r,OP=2r,：.AP=V3r,PD=r,VZAOP=90°-//尸。=60°,.•.油的长度=6哈筋=介，ioUJ，阴影部分的周长=总+尸。+而=倔+/+察=（V3+l+^）r..如图，以为。。的切线，PBC为。。的割线，4DL0P于点D,△4力C的外接圆与8c的另一个交点为£证明：NBAE=NACB.【解答】证明：连接CM,OB,OC,BD.'：OA±AP,AD±OP,，由射影定理可得：PA2=PD-PO,AD2=PD'OD.…（5分）又由切割线定理可得P/=PB-PC,:.PB・PC=PD・PO,:.D、B、C、。四点共圆，…(10分):・/PDB=/PCO=/OBC=/ODC,/PBD=/COD,：・APBDsRCOD,PDBD...(15^-):.BD-CD=PD-OD=AD2,.BDAD"-AD=CD'又NBDA=NBDP+9Q°=NODC+90°=ZADC,:.△BDAs^ADC,:.NBAD=NACD,：.AB是△4OC的外接圆的切线，：.NBAE=NACB..如图，点4为y轴正半轴上•点,48两点关于x轴对称，过点4任作直线交抛物线y=|x2于尸，0两点.(1)求证：NABP=NABQ；(2)若点4的坐标为(0,1),且NP8Q=60°,试求所有满足条件的直线P。的函数解析式.【解答】（1）证明：如图，分别过点尸，。作y轴的垂线，垂足分别为GD.设点4的坐标为（0,t）,则点5的坐标为（0,-t）.设直线尸。的函数解析式为并设尸，0的坐标分别为（xp,yp）,（x。，由y=kx+ty=1x2,2?得石/—kx—t=0,于是%p%q=—1t,即t=—1xpXq.TOC\o"1-5"\h\z2 2 2 2BC yp+£ /2+t ^xp2—-Xp(xp-XQ) xP=- =2 —2 2 —2 =——BD y(?+t jXQ2+t -XQ2--XpXQ §XQ(XQ—Xp) Xq—e,PC xn〜，BC PC又因为一,所以一=—.QD xQBD QD因为N8CP=N8£>2=90°,所以ABCPs^BDQ,故尸=N4B0；（2）解：设PC=a,DQ=b,不妨设a》b>0,由（1）可知ZABP=ZABQ=30°,BC=V3a,BD=片,所以AC=Ha-2,AD=2-V3Z）.因为PC〃OQ,所以△ZCPs/\/O0.工f，PCACSl,