2022年中考数学压轴难题附答案解析

2022年中考数学压轴题1.如图，已知/C,8。为。O的两条直径，连接48,BC,OE1AB于点E,点尸是半径OC的中点，连接EF.(1)设。。的半径为1,若N8/C=30°,求线段M的长.(2)连接BF,DF,设OB与EF交于点P,①求证：PE=PF.②若DF=EF,求N8/C的度数.(1)解：'JOELAB,N84c=30°,OA=\,：.ZJOE=60°,O£=|(?J=1,AE=EB=WOE=与,•.zc是直径，/.ZJSC=90",.,.NC=60°,'：OC=OB,：.C\OCB是等边三角形，"：OF=FC,：.BF±AC,：.ZAFB=90°,•；AE=EB,:.EF=(2)①证明：过点尸作尸G_L/8于G,交。8于〃，连接£77.•:NFGA=NABC=9G°,.,.FG//BC,:.△OFHsROCB,FHOF1 OE1・，.—=—=~,同壬里—=一,BCOC2 BC2:.FH=OE,9：OELAB.FHLAB,C.OE//FH,・•・四边形OEM7是平行四边形,：.PE=PF.@9：OE//FG//BC,EGOF•_= =i^GB~FC~，:・EG=GB,:・EF=FB,•；DF=EF,:・DF=BF,:DO=OB,:.FOLBD,，405=90°,：OA=OB,•・△498是等腰直角三角形,：.ZBAC=45°.2.如图①所示，己知正方形N8C£）和正方形4EFG,连接OG,BE.（1）发现：当正方形ZEFG绕点/旋转，如图②所示.①线段DG与BE之间的数量关系是DG=BE;②直线DG与直线BE之间的位置关系是DGLBE（2）探究：如图③所示，若四边形/BCD与四边形都为矩形，且40=2/8,AG=2ZE时，上述结论是否成立，并说明理由.（3）应用：在（2）的情况下，连接BG、DE,若ZE=1,AB=2,求8G2+O/2的值（直接写出结果）.解：⑴①如图②中,B⑵•••四边形ABCD和四边形AEFG是正方形，：.AE=AG,AB=AD,NBAD=NEAG=9Q°,；.NBAE=NDAG,在△48E和△DIG中，(AB=AD\aBAE=/.DAG,(4E=AG：.^ABE^/^ADG(SAS),：.BE=DG-.②如图2,延长BE交4)于7,交.DG于H.由①知，/\ABE冬ADAG,・•・/ABE=/ADG,•；NATB+NABE=90°,AZATB-^ZADG=90°,*.•/ATB=/DTH,：.ZDTH+ZADG=90°,；・NDHB=90°,：・BELDG,故答案为：BE=DG,BE工DG；(2)数量关系不成立，0G=28E,位置关系成立.如图③中，延长8£交力。于7,交。G于从③,/四边形ABCD与四边形AEFG都为矩形,:.NBAD=NEAG,:・NBAE=/DAG,9：AD=2AB,AG=2AE,ABAE1••• —»ADAG2：.△ABEsdADG,BE1JNABE=/ADG,—=",DG2:・DG=2BE,VZATB+ZABE=90°,ZJTO+ZJ£>G=90°,,/NATB=NDTH,：.ZDTH+ZADG=90°,；・NDHB=90°,：.BELDGx(3)如图④中，作£T_L4£)于T, 交84的延长线于设AT=y."HGsAATE,GHAHAG：.—=—=—=2,ETATAE：.GH=2x,AH=2y9A4x2+4y2=4,Ax24^2=1,：.BG2+DE2=(2x)2+(2八2)2+f+(4-y)2=5x2+5/+20=25..如图，在中，NACB=90：以斜边力5上的中线CD为直径作。0,与BC交于点M,与的另一个交点为E,过“作MNJ_48,垂足为M(1)求证：是OO的切线；(2)若OO的直径为5,sin5=^，求EO的长.【解答】（1）证明：连接OM,如图1,"：OC=OM,：.乙OCM=ZOMC,在RtZ\Z8C中，8是斜边上的中线,：.CD=^AB=BD,:.NDCB=NDBC,：.ZOMC=NDBC,J.OM//BD,:MNLBD,：.OMLMN,：0知过O,...MN是。。的切线；（2）解：连接。M,CE, 图2,rc。是。。的直径，；.NCED=90°,ZDMC=90°,即£>A/J_8C,CEkAB,由（1）知：BD=CD=5,为8c的中点，3VsinB=g,cosB=弓，在RtZ\5A/Q中，BM=BD・cgsB=4,：.BC=2BM=S,在RtACEB中，BE=BC・cgsB=停3? 7：.ED=BE-8。=』-5=可..已知/MPN的两边分别与OO相切于点儿B,。。的半径为八（1）如图1,点C在点力，8之间的优弧上，NMPN=80°,求N/C8的度数;（2）如图2,点C在圆上运动，当PC最大时，要使四边形4pBe为菱形，N/P8的度数应为多少？请说明理由；（3）若尸C交。。于点。，求第（2）问中对应的阴影部分的周长（用含r的式子表示）.A/BNPBNP bN图1 图2 （备用图）【解答】解：（1）如图1,连接CM,OB,MBN图1;以，尸8为。。的切线，:・NPAO=NPBO=90°,VZAPB+ZPAO+ZPBO+ZAOB=360°,・・・N/P8+N/O8=180°,VZJP5=80°,AZAOB=\00°,/.ZACB=50°；(2)如图2,当N”8=60°时，四边形ZP6C是菱形,连接ON,OB,M图2由(1)可知，/4O8+N4P8=180°,VZAPB=60°,/.ZAOB=\20°,/.ZACB=60°=NAPB,・・,点C运动到PC距离最大，:.PC经过圆心，・・・Rh尸8为OO的切线，：.PA=PB,NAPC=/BPC=30°,又*：PC=PC,:AAPgABPC(SAS),；・NACP=NBCP=30°,AC=BCf：.ZAPC=ZACP=30°,：.AP=AC.:・AP=AC=PB=BC,・・・四边形ZPBC是菱形；(3)・・・。。的半径为八：・OA=r,OP=2r,：.AP=V3r,PD=r,VZJOP=90°-ZAPO=60°,，前的长度=6：.丁=^r,lowo・•・阴影部分的周长=%+尸。+而=8什〃+*=(V3+1+^)r.5.如图，以为。。的切线，尸8c为。。的割线，451.0尸于点。，△4JC的外接圆与8c的另一个交点为E.证明：NB4E=NACB.【解答】证明：连接CM,OB,OC,BD.,：OAVAP,AD1.OP,二由射影定理可得：P42=PD,PO,AD1=PD-OD.•••（5^-）又由切割线定理可得PA1=PB-PC,:.PB・PC=PD,PO,:.D、B、C、。四点共圆，…（10分）二ZPDB=4PC0=NOBC=NODC,NPBD=乙COD,:.MBDsACOD,PDBD：.—=—,…（15分）CD0D：.BD*CD=PD-OD^AD2,.BDAD"-AD=CD'又NBDA=NBDP+90°=ZODC+90°=ZADC,:.ABDAsAADC,:.NBAD=NACD,：.AB是△4DC的外接圆的切线，：.NBAE=NACB.

76.如图，点4为y轴正半轴上一点,4,8两点关于x轴对称，过点力任作直线交抛物线y=^x2于尸，。两点.(1)求证：NABP=N4BQ（2）若点4的坐标为（0,1）,且NP8°=60°,试求所有满足条件的直线尸°的函数设点力的坐标为（0设点力的坐标为（0,1）,则点8的坐标为（0,-Z）.。作y轴的垂线，垂足分别为C,D.设直线尸。的函数解析式为y=h+f,并设尸，。的坐标分别为（xp,yp）,（X0,y0）.由y=kx+ty=1x2工日 3,Hn,2JJ^XpXQ=—即t=-XpXq.29I4， 2n2 2, 、yp+t+t -Xpz-XpXQ -Xp(%p-Xq)yp+t-2 -2 2 —2%+, /q2+£ -XQ2-XpXQ -XQ(XQ-Xp)— xp”…BCPC又因 ="-，所以，7；=右XqBDQD因为NBCP=/BDQ=90°,所以ABCPsABDQ,故NABP=NABQ；(2)解：设尸C=a,DQ=b,不妨设。26>0,由(1)可知ZABP=ZABQ=30°,BC=V3a,BD=Wb,所以4c=8q—2,AD=2一6b.因为尸。〃。0,所以.口PCACnay/3a—2于是=—,即―= 尸一，DQADb2一