2022年中考数学压轴题押题及答案解析

2022年中考数学压轴题1.如图，以歹轴上正半轴上一点Oi为圆心的圆分别交x轴于彳、8两点，交y轴于尸(0,2+企)、G(0,V2-2).(1)求点力的坐标.(2)N(a,b)为OOi上第二象限内一点，且mb为方程/+(2-％)x-2%=0的两根,PG—PF且尸是标上一点，ft-的值是否为定值？若为定值，求出此值：若不是定值，求出其NP变化的范围.(3)点C是弧48上的一个动点(不与点4、8重合)，O\D^BC,O\E1.AC,垂足分别为D、E.设8。=/,△OOE的面积为S,求S关于t的函数关系式，并写出它的自变量取值范围.图1 图2 图3解：(1)连接。弘，如图1.VF(0,2+/)、G(0,V2-2),:.FG=(2+V2)-(V2-2)=4.：.O\A=O\F=O\G=2.：.O\O=OF-O\F=(2+V2)-2=V2.在RtAJOOi中，AO=JaOj2-OjO2=V2.点/的坐标为(一或，0).PG-PF ...是定值,等于企.理由如下：过点N作NQ1NP交PG于点。，连接NF、NOi、NG,如图2.解关于x的方程*+(2-左)x-24=0得：Xi=-2,xi=k.：N(a,b)在第二象限，且a,b为方程f+(2-k)x-2k—0的两根,'.a=-2,b=k,即点N的坐标为(-2,k)....点N到y轴的距离等于2,等于。Oi的半径.:点N在。Oi上，：.NO\LFG.：.NF=NG.：.NF=NG.,.•FG是OOi的直径，：.ZFNG=90°.1:PNLNQ,即NPN0=9O°,NNPG=*NOiG=45°,AZPQN=90°-45°=45°=NNPQ.：.NP=NQ.：.PQ=yf2PN.:/FNG=90°,NPN0=9O°,:"PNF=90°-4FNQ=/GNQ.在△PNF和△0NG中，(NP=NQ\lPNF=lQNG.Inf=ng，丛PNF94QNG.；・PF=QG..PG-PFPG-QGPQ r = =—=V2.NPNP PNv(3)连接。£),过点8作8RJ_。。交。。的延长线于??,过点D作DS1.OB于S,连接04、O\B,如图3."：O\GLAB,：.OA=OB=V2.:.AB=2&.'：OiA2+O\B2=S=AB2,.•.4018=90°.二宿的度数为90°....殖的度数为270°.・・・NZC8=135°.VOiDl^C,O\EVAC.:,BD=CD=t,AE=CE.：.ED=^AB=V2,ED//AB,：.ZO\HD=ZO\OB=90°.*：OB=OA,BD=DC,C.OD//AC.：.ZODB=ZACB=135°.：.ZBDR=45°.在RtABRD中，BR=BD・sin/BDR=苧，DR=BD,cosNBDR=乎/.在RtZXBRO中，11:S&odb=^OD・BR=*B・DS,.”ODBR6/8—27一图2，DS=~0B-= 4 -：.OH=DS="8-2t：一岳24：.O\H=O1O+OH=V2+t底咒一3=4^+t而产-侬.：.S=\ED-O^H=JxV2x4:+£7^^侬=4+tV^g：1t2.•点C是弧力8上的一个动点（不与点4、8重合），；.0<BC<AB.：.0<2t<2>/2.：.0<t<V2.：.S关于t的函数关系式为5=二巴自变量/的取值范围为

2.已知，如图：。为x轴上一点，以。为圆心作。Oi交x轴于C、D两点,交y轴于V、N两点，NCA/O的外角平分线交。01于点E,45是弦，AAB//CD,直线QA/的解析式为y=3x+3.(1)如图1,求。。1半径及点E的坐标.(2)如图2,过E作EF上BC于F,若/、8为弧CND上两动点且弦/8〃C£),试问：8尸+CF与4C之间是否存在某种等量关系？请写出你的结论，并证明.(3)在(2)的条件下，所交。。|于点G,问弦8G的长度是否变化？若不变直接写出8G的长（不写过程），若变化自画图说明理由.图1 图2解：（1）连接EC、EC、EOi、MO\,如图1,*：ME平分乙SMC,：.4SME=NEMC.'：ZSME=NECD,NEMC=NEDC,:.NECD=4EDC.：.ZEOiD=ZEOiC.VZ£OiD+Z£OiC=180°,/.ZEO\D=ZEO\C=90°.•.•直线QM的解析式为y=3x+3,.•.点M的坐标为（0,3）,点。的坐标为（-1,0）.二。。=1,OM=3.设。。1的半径为r,则MO\=DO\=r.在RtAMOOi中，（r-I）2+32=，.解得：r=5..♦.001=4,£Oi=5.•••OOi半径为5,点E的坐标为（4,5）.BF+CF=AC.证明：过点5作O1PLEG于尸，过点Oi作O10L5c于0,连接EOi、DB,如图2.:AB//DC,：.ZDCA=ZBAC.：.AD=BC.：.BD=AC.：.BD=AC.VOiP±£G,O\Q±BC,EF.LBF,：・/O\PF=/PFQ=/O\QF=90°.・・四边形O1PF0是矩形.：・O\P=FQ,NPOi0=9O0.：.ZEO\P=90°-ZPO\C=ZCO\Q.在△EPOi和△CQ0中，(Z-EO^P=乙CO、Q乙"。i="QOi.(O1E=OR:•△EPOW4CQO\.：.PO\=QOi.：.FQ=QO\.'：QO\±BC,：.BQ=CQ.：CO\=DO\,：.O\Q=^BD.：.FQ=々BD.:BF+CF=FQ+BQ+CF=FQ+CQ+CF=2FQ,:・BF+CF=BD=AC.(3)连接EOi，ED,EB,BG,如图3.・・OC是OO的直径，:,NDBC=90".•・NQ8C+N£F8=180°.：.EF//BD.：・NGEB=NEBD.：.BG=ED.:,BG=DE.VDOi=EOi=5,EOilDOh：.DE=5y/2.：.BG=5y/2.••弦8G的长度不变，等于5&.

.如图，在RtZ\/8C中，ZACB=90°,以斜边48上的中线C£＞为直径作。O,与BC交于点M,与48的另一个交点为E,过M作AWLZB,垂足为M(1)求证：MN是。。的切线；(2)若。。的直径为5,sin^=g,求EO的长.【解答】（1）证明：连接OM,如图1,"：OC=OM,：.乙OCM=ZOMC,在RtZ\Z8C中，8是斜边上的中线,：.CD=^AB=BD,:.NDCB=NDBC,：.ZOMC=NDBC,J.OM//BD,:MNLBD,：.OMLMN,：0知过O,...MN是。。的切线；（2）解：连接。M,CE, 图2,rc。是。。的直径，；.NCED=90°,ZDMC=90°,即£>A/J_8C,CEkAB,由（1）知：BD=CD=5,为8c的中点，3VsinB=g,

cosB=弓，在RtZ\5A/Q中，BM=BD・cgsB=4,：.BC=2BM=S,在RtACEB中，BE=BC・cgsB=停3? 7：.ED=BE-8。=』-5=可..已知/MPN的两边分别与OO相切于点儿B,。。的半径为八（1）如图1,点C在点力，8之间的优弧上，NMPN=80°,求N/C8的度数;（2）如图2,点C在圆上运动，当PC最大时，要使四边形4pBe为菱形，N/P8的度数应为多少？请说明理由；（3）若尸C交。。于点。，求第（2）问中对应的阴影部分的周长（用含r的式子表示）.A/BNPBNP bN图1 图2 （备用图）【解答】解：（1）如图1,连接CM,OB,图1;以，尸8为。。的切线，:・NPAO=NPBO=90°,VZAPB+ZPAO+ZPBO+ZAOB=360°,・・・N/P8+N/O8=180°,VZJP5=80°,AZAOB=\00°,/.ZACB=50°；(2)如图2,当N”8=60°时，四边形ZP6C是菱形,连接ON,OB,M图2由(1)可知，/4O8+N4P8=180°,VZAPB=60°,/.ZAOB=\20°,/.ZACB=60°=NAPB,・・,点C运动到PC距离最大，:.PC经过圆心，・・・Rh尸8为OO的切线，：.PA=PB,NAPC=/BPC=30°,又*：PC=PC,:AAPgABPC(SAS),；・NACP=NBCP=30°,AC=BCf：.ZAPC=ZACP=30°,：.AP=AC.:・AP=AC=PB=BC,・・四边形ZPBC是菱形；(3)・・・。。的半径为八：・OA=r,OP=2r,：.AP=V3r,PD=r,ZJOP=90°-ZAPO=60°,，前的长度=6：.丁=^r,lowo•・阴影部分的周长=%+尸。+而=8什〃+*=(V3+1+^)r.5.如图，以为OO的切线，尸8C为的割线，力。，OP于点O,ZVIOC的外接圆与8c的另一个交点为E.证明：NB4E=N4CB.【解答】证明：连接。1,OB,OC,BD.'/OA-LAP,AD.LOP,工由射影定理可得：PA2=PD*PO,%。2=尸。・。。…（5分）又由切割线定理可得PA2=PB・PC,:・PB・PC=PD・PO,:・D、B、C、。四点共圆，…（10分）:•/PDB=4PCO=NOBC=4ODC,NPBD=NCOD,:ZEDsAcOD,PDBD—=—,…（15分）CDOD:・bd・cd=pd・od=aN,.BDAD・•布=CD,又NBDA=NBDP+90°=NOOC+90°=ZADC,：・ABDAsAADC,:./BAD=NACD,：.AB是△ZOC的外接圆的切线,:・NBAE=/ACB.

76.如图，点4为y轴正半轴上一点,4,8两点关于x轴对称，过点力任作直线交抛物线y=^x2于尸，。两点.(1)求证：NABP=N4BQ（2）若点4的坐标为（0,1）,且NP8°=60°,试求所有满足条件的直线尸°的函数。作y。作y轴的垂线，垂足分别为C,D.设点力的坐标为（0,1）,则点8的坐标为（0,-Z）.设直线尸。的函数解析式为y=h+f,并设尸，。的坐标分别为（xp,yp）,（X0,y0）.由y=kx+ty=1x2工日 3,Hn,2JJ^XpXQ=—即t=-XpXq.29I4， 2n2 2, 、yp+t+t -Xpz-XpXQ -Xp(%p-Xq)yp+t-2 -2 2 —2%+, /q2+£ -XQ2-XpXQ -XQ(XQ-Xp)— xp”…BCPC又因 ="-，所以，7；=右XqBDQD因为NBCP=/BDQ=90°,所以ABCPsABDQ,故NABP=NABQ；(2)解：设尸C=a,DQ=b,不妨设。26>0,由(1)可知ZABP=ZABQ=30°,BC=V3a,BD=Wb,所以4c=8q—2,AD=2一6b