2022年中考数学复习三角形

2022年中考数学复习新题速递之三角形（2021年11月）一.选择题（共io小题）1.（2021秋•西湖区校级期中）等腰三角形的“三线合一”指的是（ ）A.中线，高线，角平分线互相重合B.腰上的中线，腰上的高线，底角的平分线互相重合C.顶角的平分线，中线，高线三线互相重合D.顶角的平分线，底边上的中线及底边上的高线三线互相重合（2021秋•荔湾区校级期中）如图工人师傅砌门时，常用木条E/固定门框ABCC,使其不变形，这种做法的根据是（ ）A.两点之间线段最短C.两点确定一条直线B.垂线段最短D.三角形具有稳定性（2021秋•费县期中）如图是三个等边三角形随意摆放组成的图形，则N1+/2+N3的度120°180° 120°180° D.无法确定（2021秋•费县期中）如图，ZACB=90",AC=BC.AD±CE,BE1.CE,垂足分别是点。、E,4O=3cm,BE=\cm,则OE的长是（A.1.5cmA.1.5cm B.2cmC.2.5cmD.3cm（2021秋•海淀区校级期中）如图，点。为△4BC的边BC上一点，且满足4O=OC,作BELAD于点E,若N&4C=70°,ZC=40°,AS=6,则BE的长为（ ）A（2021秋•梁溪区期中）在△ABC中，NA、NB、NC的对边分别为a、b、c,下列条件TOC\o"1-5"\h\z中，不能判断△4BC为直角三角形是（ ）A.ZA=ZB+ZC B.a2=l,b2=2,c2=3C.（b+c）（b-c）=d D.NA：NB：ZC=3：4：5（2021秋•建华区校级期中）如图，在三角形A8C中，AQ=PQ,PR=PS,PR_LA8于点R,PSJ_AC于点S,则下列结论：®AS=AR；©QP//AR；③△BPR丝△QSP.其中结论正确的是（ ）A.①0③ B.①② C.① D.①③（2021秋•岳池县期中）两组邻边分别相等的四边形叫做“筝形”，如图，四边形A8CO是一个筝形，其中4O=CO,AB=-CB,在探究筝形的性质时，得到如下结论：①△ABO丝△CBC；②4CLBD；③点。到四条边的距离都相等，④AO=OC.其中正确的结论有（ ）个.BA.4 B.3 C.2 D.1（2021秋•岳池县期中）如图，已知CD=CA,NO=NA,添加下列条件中的（ ）仍不能证明△ABC之ADEC.A./DEC=/BB./ACD=/BCEC.CE=CB D.DE=AB（2021秋•九龙坡区期中）如图，等腰△A3C中A5=AC,ZACB=15°,。是边3C上

一点，且ND4C=45°,作点C关于直线4。的对称点C',连接AO、AC'、CC'、BC,DC,则下列结论：®ZBC0=75°：②△■灰）是等腰三角形：③CD+AD=BD.其中正确的个数是（ ）二.填空题（共5小题）（2021秋•建华区校级期中）如图，在△ABC中，AC的垂直平分线交8C于点。，垂足为点E,△ABO的周长为10cm,AC=4cm,则△ABC的周长为.（2021秋•岳池县期中）如图，在△ABC中，AB=-AC,AB的垂直平分线交AB于M,交AC于M连接NB,若AB=8c/„,△NBC的周长是14c”?，则8C=cm.（2021秋•海淀区校级期中）如图，要在河流的右侧、公路的左侧M区建一个工厂，位置的选择要满足到河流和公路的距离相等，小红说工厂应该建在河流与公路夹角的平分（2021秋•肇源县期中）如图，ZkABC的周长为25c/n,4c的垂直平分线OE交BC于£）,E为垂足，AE^5cm,则△AB。的周长为cm.

（2021秋•海淀区校级期中）如图，CC是△4BC的中线，EB是△BCD的中线，如果△A8C的面积是8c，/,则阴影部分面积是cm1.三.解答题（共5小题）（2021秋•和平区校级期中）己知等腰三角形A8C的底边BC=10c〃?，O是腰A8上一点,且CD=Scm,BD=6cm.（1）求证：CD1AB；（2）求该三角形的腰的长度.（2021秋•费县期中）如图，点8为AC上一点，AD//CE,NADB=NCBE,BD=EB.求证：AC=AD+CE.EE（2021秋•海淀区校级期中）在△ABC中，NA=60°,BD,CE是△ABC的两条角平分线，且B£）,CE交于点F.（1）用等式表示BE,BC,CO这三条线段之间的数量关系，并证明你的结论.（2）当"时，BF=CA.（2021秋•梁溪区期中）（1）如图1,图中共有三角形个；如图2,若增加一条线，则图中共有三角形个；（2）如图3,若增加到10条线，请你求出图中的三角形的个数.数.（2021秋•于洪区期中）等腰RtaAOB中，NAO8=90°,点。为射线AB上一动点,以。。为腰作等腰Rt^COO（点A,C在直线08的同侧），ZCOD=90°,连接AC.（1）如图1,点。在线段A8上运动，请判断AC与8。的关系;（2）当点O在线段4B的延长线上运动时，（1）的结论是否仍然成立，请在图2中画出相应的图形并说明理由;(3)若(3)若OB=2近，当BD=1时，请直接写出CD的C2022年中考数学复习新题速递之三角形（2021年11月）参考答案与试题解析选择题（共10小题）（2021秋•西湖区校级期中）等腰三角形的“三线合一”指的是（ ）A.中线，高线，角平分线互相重合B.腰上的中线，腰上的高线，底角的平分线互相重合C.顶角的平分线，中线，高线三线互相重合D.顶角的平分线，底边上的中线及底边上的高线三线互相重合【考点】等腰三角形的性质.【专题】等腰三角形与直角三角形；推理能力.【分析】根据等腰三角形的性质判断即可.【解答】解：等腰三角形的“三线合一”指的是顶角的平分线，底边上的中线及底边上的高线三线互相重合，故选：D.【点评】本题考查了等腰三角形的性质，熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键.（2021秋•荔湾区校级期中）如图工人师傅砌门时，常用木条E尸固定门框ABCC,使其不变形，这种做法的根据是（ ）A.两点之间线段最短A.两点之间线段最短B.垂线段最短C.两点C.两点确定一条直线D.三角形具有稳定性【考点】直线的性质：两点确定一条直线；线段的性质：两点之间线段最短；垂线段最短；三角形的稳定性.【专题】三角形；推理能力.【分析】根据三角形具有稳定性解答即可.【解答】解：用木条EF固定门框ABCC,得出△CEF,使其不变形，这种做法的根据三角形的稳定性，故选：D.

【点评】本题考查的是三角形的稳定性，掌握三角形具有稳定性是解题的关键.（2021秋•费县期中）如图是三个等边三角形随意摆放组成的图形，则N1+/2+N3的度数为（ ）A.90° B.120° C.180° D.无法确定【考点】等边三角形的性质.【专题】等腰三角形与直角三角形；推理能力.【分析】先根据图中是三个等边三角形可知三角形各内角等于60°,用Nl,Z2,Z3表示出△ABC各角的度数，再根据三角形内角和定理即可得出结论.【解答】解：•.•图中是三个等边三角形，/.Zl=180°-60°-ZA5C=120°-AABC,Z2=180°-60°-ZACB=120°-ZACB,Z3=180°-60°-ZBAC=120°-ZBAC,'：ZABC+ZACB+ZBAC=l30°,.*.Zl+Z2+Z3=360°-180°=180°,【点评】本题考查的是等边三角形的性质，三角形的内角和，熟知等边三角形各内角均等于60°是解答此题的关键.（2021秋•费县期中）如图，N4CB=90。，4C=BC.ADICE,BE±CE,垂足分别是点。、E,AD=3cm,BE=\cm,则OE的长是（ ）A.\.5cm2cmA.\.5cm2cm2.5ctn3cm【考点】全等三角形的判定与性质；等腰宜角三角形.【专题】图形的全等：等腰三角形与直角三角形；推理能力.【分析】根据条件可以得出NE=/4OC=90°,进而得出△CEBgZVIOC,就可以得出BE=DC,就可以求出。E的值.【解答】解：'：BELCE,AD1.CE,：.ZE=ZADC=90a,:.NEBC+NBCE=90°.•.,NBCE+NACO=90°,：.ZEBC=ZDCA.在△CEB和△AOC中，2e=nadc-ZEBC=ZDCA-BC=AC.,.△CEB学AADC(AAS),：.BE=DC=\cm,CE=AD=3cm.：.DE=EC-CD=3-1=2(cm),故选：B.【点评】本题考查全等三角形的判定和性质、熟练掌握全等三角形的判定和性质是解决问题的关键，学会正确寻找全等三角形，属于中考常考题型.(2021秋•海淀区校级期中)如图，点。为△ABC的边BC上一点，且满足4O=OC,作BELAD于点E,若NBAC=70°,ZC=40°,AB=6,则BE的长为( )A.2 B.3 C.4 D.5【考点】含30度角的直角三角形.【专题】等腰三角形与直角三角形；推理能力.【分析】根据等边对等角可得NZMC=40°,根据角的差可得NB4E=30°,根据含30°角的直角三角形的性质可得BE的长.【解答】解：..工。=。，/.ZDAC=ZC=40°,\"ZBAC=70°,：.ZBAE=10°-40°=30°,BELAD,AZAEB=90°,：.BE=1AB=^X6=3.2 2故选：B.【点评】此题主要考查了等腰三角形的性质，含30°角的直角三角形的性质，解本题的关键是得出NBAE=30°.（2021秋•梁溪区期中）在AABC中，NA、ZB、NC的对边分别为a、b、c,下列条件中，不能判断△ABC为直角三角形是（ ）NA=NB+NC B.=1）序=2,d=3（b+c）（b-c）=a2 D.NA：ZB：ZC=3：4：5【考点】三角形内角和定理；勾股定理的逆定理.【专题】等腰三角形与直角三角形；几何直观.【分析】利用直角三角形的定义和勾股定理的逆定理逐项判断即可.【解答】解：A、由条件NA=N8+NC,且NA+NB+NC=180°,可求得NA=90°,故△43C是直角三角形；B、Va2=l,b2=2,c2=3,.,.a2+b2=3=c2,故△ABC是直角三角形；C、由条件可得到/+c2=b2,满足勾股定理的逆定理，故△ABC是直角三角形：VZA：NB：ZC=3：4：5,且NA+NB+NC=180°,可求得NCW90°,故AABC不是直角三角形.故选：D.【点评】本题主要考查直角三角形的判定方法，掌握判定直角三角形的方法是解题的关键，可以利用定义也可以利用勾股定理的逆定理.（2021秋•建华区校级期中）如图，在三角形A8C中，AQ=PQ,PR=PS,PR1AB于点R,PS,4c于点S,则下列结论：①AS=AR；®QP//AR；③△BPR2ZXQSP.其中结论正确的是（ ）R,A.③ B.(D® C.① D.®®【考点】全等三角形的判定.【专题】图形的全等；推理能力.【分析】根据已知，易证AARP会所以AS=AR；根据等腰三角形的性质知，Z1=N2,N3=N2,所以N1=N3,内错角相等，所以「。〃AR；根据①②的结论，易证③正确.【解答】解：,:PR=PS,PRLABTR,PSJ_AC于S,...点P在的平分线上：AQ=PQ,①正确，•••点P在NA的平分线上，/. (AAS).J.AS^AR.②正确，•.•点P在NA的平分线上；/.Z2=Z3.又；4Q=PQ,.\Z1=Z2.Z1=Z3.：.QP//AR.③正确，・・・△ABC为等边三角形，.\ZB=ZC.又〈PR工AB于R,PS_LAC于S,：・NBRP=NCSP.又・；BP=CP,：./\BRP^/^QSP(AAS).故选：A.B PC【点评】本题考查等边三角形的性质、全等三角形的判定和性质、角平分线的性质定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型.（2021秋•岳池县期中）两组邻边分别相等的四边形叫做‘'筝形"，如图，四边形48co是一个筝形，其中AO=CC,AB=CB,在探究筝形的性质时，得到如下结论：①△4BO丝△CBC；②ACLBZ）；③点。到四条边的距离都相等，④AO=OC.其中正确的结论有A.4 B.3 C.2 D.1【考点】全等三角形的判定；角平分线的性质.【专题】图形的全等；等腰三角形与直角三角形：推理能力.【分析】根据SSS推出△ABZ注△CB。，根据全等三角形的性质得出ZADB=ZCDB,根据等腰三角形的性质和角平分线的性质逐个判断即可.【解答】解：在和△CB。中，'AD=CD'BD=BD>AB=CB/. （SSS）,:.ZABD=NCBD,ZADB=NCDB,"：AD=CD,：.DB±AC,AO=OC,"：NABD=NCBD,ZADB=NCDB,：.0到BA和BC的距离相等，O到AD和CD的距离相等，但是O到AD和AB的距离不一定相等，故①②④正确，③错误，故选：B.【点评】本题考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判定定理和角平分线的性质，能熟记全等三角形的判定定理是解此题的关键，注意：①全等三角形的判定定理有SAS,ASA,AAS,SSS,两直角三角形全等还有②角平分线上的点到角两边的距离相等.（2021秋•岳池县期中）如图，已知CO=CA,ZD=ZA,添加下列条件中的（ ）仍不能证明△ABC四△OEC.NDEC=NBB.NACD=NBCEC.CE=CB D.DE=AB【考点】全等三角形的判定.【专题】图形的全等；推理能力.【分析】根据全等三角形的判定定理逐个判断即可.【解答】解：A.NDEC=NB,NO=NA,CD=CA,符合全等三角形的判定定理A4S,能推出△ABC四△OEC,故本选项不符合题意；:NACD=NBCE,ZACD+ZACE=NBCE+NACE,即NDCE=ZACB,条件NOCE=NACB,CD=CA,ZD=ZA,符合全等三角形的判定定理ASA,能推出△A8C丝△£>£（7,故本选项不符合题意；CE=CB,CD=CA,/A=/O,不符合全等三角形的判定定理，不能推出△ABCg△DEC,故本选项符合题意；DE=AB,NO=NA,CD=CA,符合全等三角形的判定定理SAS,能推出△ABC会△DEC,故本选项不符合题意；故选：C.【点评】本题考查了全等三角形的判定定理，能熟记全等三角形的判定定理是解此题的关键，注意：全等三角形的判定定理有SAS,ASA,AAS,SSS,两直角三角形全等还有HL.（2021秋•九龙坡区期中）如图，等腰△ABC中48=AC,ZACB=15°,D是边BC上一点，且/QAC=45°,作点C关于直线4。的对称点C',连接40、AC'、CC'、BC'、DC',则下列结论：①NBC'0=75°；②△?1£；£）是等腰三角形：@CD+AD=BD.其中正确的个数是（ ）A.0个 B.1个 C.2个 D.3个【考点】全等三角形的判定与性质；等腰三角形的判定与性质；轴对称的性质.【专题】图形的全等；等腰三角形与直角三角形；推理能力.【分析】①先由轴对称的性质得到NACO=NACO=15°、ND4C=ND4C=45°,AC=AC,再由AB=AC、NACB=15°得至UA8=4C、NBAC=60°,从而得到△ABC为等边三角形，进而得到NACB=60°,最后得到NBCO的度数；②先由NO4c和NACO的度数得到N4OC的大小，然后结合轴对称的性质求出NE4O与N4OE的大小，从而判断△4灰）的形状；③在B£）上截取BF=CD,连接A凡然后利用SAS证明△ABFgAAC。，进而证明△△£）「为等边三角形，最后得证CC+AO=BD【解答】解：①由轴对称的性质得NACO=NACO=15°,ZDAC=ZDAC=45°,AC=AC,"：AB=AC,NACB=15°,：.AB=AC,：.ZBAC=ZACB=15°,.*.ZBAC=150°,：.ZBAC=ZBAC-ACAD-ZDAC=150°-45°-45°=60°,...△A8c为等边三角形，AZACB=60°,AZBCD=ZACB+ZACD=60Q+15°=75°,故①正确，符合题意；②；NOAC=45°,ZACD=\5°,，NA£)C=180°-ZDAC-ZACD=180°-45°-15°=120°,由轴对称得，ZADC=ZADC=\20°,：.ZEDC=ZADC+ZADC-180°=120°+120°-180°=60°，：.ZEDA=ZADC-ZEDC=120°-60°=60°,又；ND4C=45°,：.ZAED=\80°-ZADE-ZD/1C=180°-45°-60°=75°,...△4EO不是等腰三角形，故②错误，不符合题意；③在80上截取BF=CQ,连接4F,；AB=AC,ZABF=ZACD,.•.△ABFgAACOCSAS),：.ZBAF=ZCAD=45°,AF=AD,：.ZDAF=ZBAC-ZBAF-ZCAD=150°-45--45°=60°,...△AO尸是等边三角形，：.AD=DF,：.CD+AD=BF+FD=BD,故③正确，符合题意；正确的选项有2个.故选：C.【点评】本题考查了轴对称的性质、等腰三角形的性质、等边三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质，解题的关键是通过等腰三角形的性质准确作出辅助线构造三角形全等.二.填空题（共5小题）（2021秋•建华区校级期中）如图，在△ABC中，AC的垂直平分线交BC于点。，垂足为点E,△AB£）的周长为10cm,AC=4cm,则△ABC的周长为14a”.【考点】线段垂直平分线的性质.【专题】线段、角、相交线与平行线；推理能力.【分析】根据线段的垂直平分线的性质得到DA=DC,根据三角形的周长公式计算，得到答案.【解答】解：是线段4C的垂直平分线，：.DA=DC,•.•△480的周长为lOc/w,：.AB+BD+AD=10cm,：.AB+BD+AD=AB+BD+DC=AB+BC=10(cm),.♦.△ABC的周长=AB+BC+AC=14Cem),故答案为：14cm.【点评】本题考查的是线段的垂直平分线的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键.(2021秋•岳池县期中)如图，在△A8C中，AB=AC,AB的垂直平分线交AB于交AC于N,连接NB,若AB=8cvn,Z\NBC的周长是14cvn,则BC=6an.【考点】线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质.【专题】等腰三角形与直角三角形；推理能力.【分析】根据线段的垂直平分线的性质得出AN=BN,根据△NBC的周长=BN+CN+8C=AN+NC+BC=AC+BC就可求得.【解答】解：•••"可是AB的垂直平分线，:.AN=BN,：.BN+CN=AN+CN=AC,'•"AB—AC—Scm)：.BN+CN=8cm,•.,△NBC的周长是14cm..*.BC=14-8=6(cm).故答案为：6.【点评】本题考查了等腰三角形的性质，线段的垂直平分线的性质，求出4N=8N是解题的关键.（2021秋•海淀区校级期中）如图，要在河流的右侧、公路的左侧M区建一个工厂，位置的选择要满足到河流和公路的距离相等，小红说工厂应该建在河流与公路夹角的平分线上，请你帮小红说出她的理由角平分线上的点到角两边的距离相等..【考点】角平分线的性质.【专题】线段、角、相交线与平行线；推理能力.【分析】由已知条件及要求满足的条件，根据角平分线的性质作答.【解答】解：理由：角平分线上的点到角两边的距离相等.故答案为：角平分线上的点到角两边的距离相等.【点评】此题考查角平分线的性质：熟练掌握角平分线上的任意一点到角的两边距离相等是解题的关键.（2021秋•肇源县期中）如图，△4BC的周长为25cm,4c的垂直平分线OE交BC于Q,E为垂足，AE=5cm,则△ABC的周长为15cm.BDC【考点】线段垂直平分线的性质.【专题】线段、角、相交线与平行线：推理能力.【分析】先利用垂直平分线得出AO=C。，AC=2AE,进而求出AC,再利用△ABC的周长求出AB+BC=15,即可得出结论.【解答】解：•••£>£是AC的垂直平分线，：.AD=CD,AC=2AE,.*.AC=10c/?b■:△48C的周长为25cm,.\AB+BC+AC=25c7小.'.AB+BC=25-AC=15(cm),.♦.△ABO的周长为4B+8O+AO=A8+BO+CO=4B+BC=15(cm),故答案为：15.【点评】此题主要考查了线段的垂直平分线定理，三角形的周长公式，解本题的关键是求出AB+BC的值.(2021秋•海淀区校级期中)如图，CD是△ABC的中线，E8是△BCO的中线，如果△48c的面积是8c«j2,则阴影部分面积是2cw?.【考点】三角形的面积.【专题】三角形；推理能力.【分析】根据三角形的中线把三角形分成面积相等的两个三角形解决问题即可.【解答】解：是△ABC的中线，：.AD=DB,Sabcd=XSaA8C=4(cm2).2丁BE是△BCD的中线，：.DE=EC,Sri=-S^BDC=2(cm2),2故答案为：2.【点评】本题考查三角形的面积，解题的关键是理解三角形的中线把三角形分成面积相等的两个三角形.三.解答题(共5小题)(2021秋•和平区校级期中)己知等腰三角形A8C的底边BC=10cvn,力是腰AB上一点,且CO=8an,BD=6cm.(1)求证：CDLAB；(2)求该三角形的腰的长度.,1D/【考点】等腰三角形的性质；勾股定理的逆定理.【专题】等腰三角形与直角三角形；推理能力.【分析】(1)根据勾股定理的逆定理求出NB£>C=90°,求出NAOC=90°即可；(2)在Rt/XAOC中，由勾股定理得出(a-6)2+82,求出a即可.【解答】证明：(1)设AB=AC=aan,VBC=10cm,CD=8cm,BD=6cm,：.BDr+CD1=BC1,/.ZBDC=90°,即NAOC=90°,/.CDLAB-.VZADC=90°,在RtZXAOC中，由勾股定理得：AC2=AD1+Cb2,即a2=(a-6)2+82,解得：a=空，3即AB—^-cm.3【点评】本题考查了勾股定理，等腰三角形的性质，勾股定理的逆定理等知识点，能根据勾股定理的逆定理求出NAOC=90°是解此题的关键.(2021秋•费县期中)如图，点B为AC上一点，AD//CE,NADB=NCBE,BD=EB.求证：AC=AD+CE.【考点】全等三角形的判定与性质.【专题】图形的全等；推理能力.【分析】根据平行线的性质和全等三角形的判定定理即可得到结论；根据全等三角形的性质和线段的和差即可得到结论.【解答】证明：；AO〃CE,

ZA=ZC,在△ABO与△CEB中，fZA=ZC<ZADB=ZCBE>BD=EB.♦.△ABO丝△CEBCAAS）；：.AD=BC,AB=CE,'：AC=AB+BC,：.AC=AD+CE.【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键.（2021秋•海淀区校级期中）在△ABC中，ZA=60°,BD,CE是△ABC的两条角平分线，且CE交于点尸.（1）用等式表示BE,BC,CO这三条线段之间的数量关系，并证明你的结论.（2）当NABC=40°时，BF=CA.【考点】全等三角形的判定与性质；角平分线的性质.【专题】图形的全等；推理能力.【分析】（1）利用角平分线得出进而得出丝求出NBFM,即可判断出NCFM=NCFD,即可判断出丝△尸CO,即可得出结论：（2）先求出相关角的度数，进而判断出BG=CE,进而判断出△BGF/△CEA,即可得出结论.【解答】解：（1）BE+CD=BC,理由如下：

ABA在BC上取一点M,使,:BD,CE是△ABC的两条角平分线，nfbc=Lnabc,nbcf=Lnacb,2 2在△ABC中，NA+/ABC+NACB=180°,,.•/A=60°,.,.ZABC+ZACB=180°-ZA=120°,.".ZBFC=180°-(NCBF+NBCF)=180°-A(ZABC+ZACB)=120°,2:.NBFE=6Q°,：.NCFD=NBFE=6O°：8。是/ABC的平分线，:.NEBF=NMBF,在△8EF和△8MF中，fBE=BMZEBF=ZMBF>,BF=BF:.△BE04BMF(SAS),：.ZBFE=ZBFM=f>0°,:.NCFM=NBFC-NBFM=60°,:.NCFM=NCFD=60°,•；CE是NACB的平分线，:.ZFCM=ZFCD,在△FCM和中，fZCFM=ZCFDCF=CF，ZFCM=ZFCD...△FCM丝△FCO(ASA),：.CM=CD,：.BC=CM+BM=CD+BE；(2)当NABC=40°时，BF=CA,理由如下:在△ABC中，NA=60。，NABC=40。，.•.乙4cB=80°,,:BD,CE是△ABC的两条角平分线，ZABD=ZCBD=AzaBC=20°,ZBCE=ZACE=AzACB=40",

2 2ZAEC=ZABC+ZBCE=S0°,NABC=NBCE,：.BE=CE,在△ABC的边AB左侧作N4BG=20°,交CE的延长线于G,：.NFBG=NABANABG=40°=NACE.；N4EC=80°,AZBEG=80°,.".ZG=180°-NABG-NBEG=80°=NBEG=NAEC,：.BG=BE,：.BG=CE,在△BGF和△CEA中，'NFBG=NACE=40°BG=CE ，ZBGF=ZAEC=80°：.4BGFmACEA(ASA),：.BF=AC.故答案为：40.【点评】主要考查了角平分线的定义，三角形内角和定理，全等三角形的判定和性质，解本题的关键是(1)判断出NCFM=NCF£>,(2)作出辅助线，判断出8G=CE.(2021秋•梁溪区期中)(1)如图1,图中共有三角形10个:如图2,若增加一条线，则图中共有三角形21个:条线，请你求出图中的三角形的个图3条线，请你求出图中的三角形的个图3【专题】规律型；三角形；推理能力.【分析】（1）给每个小三角形分别标上序号，然后将小三角形进行组合计算；（2）结合图1与图2中的三角形个数得到增加2条线的时候的三角形个数进行归纳，然后得到增加10条线时的三角形个数.【解答】解：（1）如图1,给每个小三角形分别标上序号，二单个三角形有4个，两个小三角形组成的三角形有3个，三个小三角形组成的三角形有2个，四个小三角形组成的三角形有1个，.•.图1中的三角形共有4+3+2+1=10（个），由图1可知，顶点与直线1之间的三角形中有10个三角形，大三角形中有10个较小的三角形，其中，图中2还有一个单独的小三角形，.•.图2中的三角形共有10+10+1=21（个），故答案为：10,21.（2）当增加2条线时，图形在图2的基础上增加10个三角形和左下角部分增加2个，共计21+10+2=33个，•.•增加0条线时，三角形的个数为10个，增加1条线时，三角形的个数为21个，21=2X10+1,增加2条线时，三角形的个数为33个，33=3X10+1+2,*,增加10条线时，三角形的个数为10X10+l+2+«+10=155个.【点评】本题考查了三角形的定义，解题的关键是找到每增加一条线时三角形增加个数的规律.（2021秋•于洪区期中）等腰RtZXAOB中，/AOB=90°,点。为射线AB上一动点，以。。为腰作等腰RtZ\COO（点A,C在直线08的同侧），ZCOD=90°,连接AC.

（1）如图1,点O在线段48上运动，请判断4c与80的关系；（2）当点。在线段AB的延长线上运动时，（1）的结论是否仍然成立，请在图2中画出相应的图形并说明理由；(3)若OB=当(3)若OB=当BD=1时，请直接写出CD的长图1【考点】三角形综合题.【专题】图形的全等；等腰三角形与宜角三角形；推理能力.ZCAO=ZOBA=45°,【分析】（1）由“SAS”可证△AOC丝△BOO,可得AC=8£）,可证AC_LAB；(2)由“SAS”可证△AOC四△B。。，可得AC=BD,ZC40=ZOBD=135°ZCAO=ZOBA=45°,AC1AB；（3）分两种情况讨论，由全等三角形的性质和等腰直角三角形的性质可求AC,AO的长,由勾股定理可求解.【解答】解：（1）AC=BD,ACrBD,VZXO5=ZCOD=90°,AO=BO,：.ZAOC=ZBOD,ZOAB=ZOBA=45°,又：AO=BO,CO=DO,：.AAOC^/\BOD(SAS),：.AC=BD,ZCAO=ZOBA=45°,：.ZCAO+ZOAB=9Q0=NC4B,（2）当点。在线段A8的延长线上运动时，（1）的结论是否仍然成立，理由如下:如图2,VZAOB=ZCOD=90°，AO=BO,：.ZAOC=ZBODfNOAB=NO84=45°,：.ZOBD=\35°,•；AO=BO,CO=DO,ZAOC=ZBOD,•••△AOC/ZXBO。(SAS),：.AC=BD,NCAO=NO8£)=135°,：.ZCAB=ZCAO-ZBAO=90°,：.AC±AB；(3)如图1,・.・O8=OA=2&,NAO8=90°,・"B=4,：.AD=3,AC=BD=l,VZCAB=90°,CD=yJ+卜口2=71+9=如图2,,・：0B=0A=2&,NAOB=90°,：.AB=4,•；BD=1,：.AD=5,AC=BD=\,*：ZCAB=90°,•**CD=\耽2+卜口2={25+1=综上所述：CC的值为万或，【点评】本题是三角形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理等知识，证明三角形全等是解题的关键.考点卡片.直线的性质：两点确定一条直线(1)直线公理：经过两点有且只有一条直线.简称：两点确定一条直线.(2)经过一点的直线有无数条，过两点就唯一确定，过三点就不一定了..线段的性质：两点之间线段最短线段公理两点的所有连线中，可以有无数种连法，如折线、曲线、线段等，这些所有的线中，线段最短.简单说成：两点之间，线段最短..垂线段最短(1)垂线段：从直线外一点引一条直线的垂线，这点和垂足之间的线段叫做垂线段.(2)垂线段的性质：垂线段最短.正确理解此性质，垂线段最短，指的是从直线外一点到这条直线所作的垂线段最短.它是相对于这点与直线上其他各点的连线而言.(3)实际问题中涉及线路最短问题时，其理论依据应从“两点之间，线段最短”和“垂线段最短”这两个中去选择..三角形(1)三角形的概念：由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形.组成三角形的线段叫做三角形的边.相邻两边的公共端点叫做三角形的顶点.相邻两边组成的角叫做三角形的内角，简称三角形的角.(2)按边的相等关系分类：不等边三角形和等腰三角形(底和腰不等的等腰三角形、底和腰相等的等腰三角形即等边三角形).(3)三角形的主要线段：角平分线、中线、高.(4)三角形具有稳定性..三角形的面积(1)三角形的面积等于底边长与高线乘积的一半，即以=工义底X高.2(2)三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分..三角形的稳定性当三角形三边的长度确定后，三角形的形状和大小就能唯一确定下来，故三角形具有稳定性.这一特性主要应用在实际生活中..三角形内角和定理(1)三角形内角的概念：三角形内角是三角形三边的夹角.每个三角形都有三个内角，且每个内角均大于0°且小于180°.(2)三角形内角和定理：三角形内角和是180°.(3)三角形内角和定理的证明证明方法，不唯一，但其思路都是设法将三角形的三个内角移到一起，组合成一个平角.在转化中借助平行线.(4)三角形内角和定理的应用主要用在求三角形中角的度数.①直接根据两已知角求第三个角;②依据三角形中角的关系，用代数方法求三个角；③在直角三角形中，已知一锐角可利用两锐角互余求另一锐角..全等三角形的判定(1)判定定理1：SSS--三条边分别对应相等的两个三角形全等.(2)判定定理2：SAS--两边及其夹角分别对应相等的两个三角形全等.(3)判定定理3：ASA--两角及其夹边分别对应相等的两个三角形全等.(4)判定定理4：AAS--两角及其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等.(5)判定定理5：HL--斜边与直角边对应相等的两个直角三角形全等.方法指引：全等三角形的5种判定方法中，选用哪一种方法，取决于题目中的已知条件，若已知两边对应相等，则找它们的夹角或第三边；若已知两角对应相等，则必须再找一组对边对应相等，且要是两角的夹边，若已知一边一角，则找另一组角，或找这个角的另一组对应邻边..全等三角形的判定与性质(1)全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具.在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件.(2)在应用全等三角形的判定时，要注意三角形间的公共边和公共角，必要时添加适当辅助线构造三角形..角平分线的性质角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等.注意：①这里的距离是指点到角的两边垂线段的长；②该性质可以独立作为证明两条线段相等的依据，有时不必证明全等；③使用该结论的前提条件是图中有角平分线，有垂直角平分线的性质语言：如图，在NA08的平分线上，CDLOA,CE±OB：.CD=CE.线段垂直平分线的性质（1）定义：经过某一条线段的中点，并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线（中垂线）垂直平分线，简称“中垂线”.（2）性质：①垂直平分线垂直且平分其所在线段.—②垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等.—③三角形三条边的垂直平分线相交于一点，该点叫外心,并且这一点到三个顶点的距离相等..等腰三角形的性质（1）等腰三角形的概念有两条边