2022年全国硕士研究生招生考试302数学二预测卷3和答案解析

2022年全国硕士研究生招生考试

数学（二）预测卷（三）

（科目代码：302）考生注意事项.答题前，考生须在试题册指定位置上填写考生编号和考生姓名；在答题卡指定位置上填写报考单位、考生姓名和考生编号，并涂写考生编号信息点。.选择题的答案必须涂写在答题卡相应题号的选项上，非选择题的答案必须书写在答题卡指定位置的边框区域内。超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题册上答题无效。.填（书）写部分必须使用黑色字迹签字笔书写，字迹工整、笔迹清楚；涂写部分必须使用2B铅笔填涂。.考试结束，将答题卡和试题册按规定交回。（以下信息考生必须认真填写）考生编号考生姓名一、选择题：1〜10小题,每小题5分，共50分.下列每题给出的四个选项中，只有一个选项是最符合题目要求的..对任意的工€(一8,+8),有/(工+1)=尸(工),且/(0)=e,/(0)=eln2•则/(D=A.2eln2.B.eln2. C.2e2ln2. D.e2ln2..若函数/(.r)=Jz工在(一8,十8)内处处连续.则常数〃的取值范围为A.a<0. B.a>e-1.a•<e1. D.0VaVe1..圆域D={(x,y)|(了一")2+(y—〃)zWk}(6>R>0)绕直线y=-1旋转一周所形成的旋转体的体积为A.4k2(6+1)R2. B.2/S+DR2.C.4jr2(6-1)R2. D.2/(6—DR，..设/(工)=(工一2)1(1一工)一配,则在(0,1)内函数fGr)A.单调增加且其图形是凹的.B.单调增加且其图形是凸的.C.单调减少且其图形是凹的.D.单调减少且其图形是凸的..设函数/(2x+3)=xe，，则/<*>(2x+3)=A.(―l)"(n—x)e-x. B.(- -n)eJ.C.(—I")(n—x)e-x. D.(—当)(x—n)e~x..设函数/(x)在闭区间［a,幻上非零且可导，且/(外与/(h)同号，则当I6(a")时，有A.f(a-)>/(a). B.f(x)>/(〃).C.|/(x)|>|/(a)|. D.|/(x)|>|/(6)|..设函数z=zCr,y)由方程F©专)=0确定，其中F具有一阶连续偏导数.若ar案.+的富一2=0,则A.a=1=-1. B.a=—1,。=1.C.a=1,6=1. D.a=-1=-1..设4=::为可逆矩阵，若A有特征值箱,%.则*+*=A.+/+2加. B.a2+d2-2/x.C.17+c2+2ad. D.b2+c2-2ad..设ai=(1,4,3,—l)T,a2=(2,z,-1,-l)T.a(=(-2,3,1"+Dl则A.当，=0时.a?.a,线性相关.B.当t=-3时,a1，处,a,线性相关.C.只有当，#0且，W—3时,aaa才线性无关.D.对任意的实数/.a.4.小均线性无关..实对称矩阵A正定的充分必要条件是A.二次型x'Ar的负惯性指数为零.B,存在可逆矩阵P,使得PA/>=E.C.存在n阶矩阵P,使得A=PP.A的逆矩阵与单位矩阵合同.二、填空题：11〜16小题，每小题5分，共30分..要使函数八力=㊀弋石淅工在闭区间[一],口上连续.则应补充定义/(0)=..已知函数3=/(x)具有二阶导数,且物丛产^=2,则需=..设函数y=小=ez=e"—e，+1-是某二阶常系数非齐次线性微分方程的三个特解，则该微分方程满足初始条件y(0)=3.y'(0)=4的特解为..1x(sin6x+cos6x)dr=.15,设D={(1，、)|X2+2y2(»,则lim:4drdy=.1a—1(AB)T'.设A.B都是3阶可逆矩阵.若|A|=2,I川=32,C=°人,则l(2C)[-三、解答题：17〜22小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤..(本题满分10分)设丁1>0，工1rH=arctan,求lim(三 -)..（本题满分10分）求二元函数f（x,y）=x3+>3— -3>的极值.19.（本题满分11分）设常数a>O，L=炉齐出，比较A与h的大小•20.（本题满分12分）计算二重积划（才+皿&曲,其中I）21.（本题满分15分）设函数/（上）在［0,1］上连续，且单调减少,证明：（1）对任意的7e（o.1）.有「/（，）出＞工厂/（1）”；J0 J0（2）对任意的rG（0,11,有「（工一/）/（/）&＞〈Jo ZJo（3）fz/（Z）drV《f/（j'）da-.Jo ZJo22.(本题满分12分)设向量a=(1.1.1).^=(1.2,3)'.A=afi'-Hpa.(1)证明矩阵A与B相似；(2)求一个可逆矩阵P,使PAP=B.参考答案与分析卷（三）一、选择题L【答案】【分析】C由已知条件不难得到=ej且/(外在上=0处连续,所以/(I)=lim 一/⑴=lim.小)TAz a一口 Ar—lim上~- ■[/(D+e]^r-*0 Zxr=limZ(4rl-/(0).E/(Ar)+e]Ar*OAl*=2e/，(0)=2ezIn2.应选C..【答案】B【分析】令g(x)=xe'—a,则函数/(z)=欢」二口在(一8,十8)内处处连续等价于函数g(x)在(-8.+8)内没有零点./(工)=e-x(1—x).令/(/)=0,得.r=L因为当zV1时,&(%)单调增加•当工>1时如①)单调减少，所以maxg(j-)=g(l)=e-1—a.故当maxg(x)=e~l—aV。时♦即当。>多时.函数g(“)没有零点.此时，函数/(x)在(一8,十8)内处处连续.应选B..【答案】B【分析】V=K[，S+1+/咫一(工一"]2一[6+1一/彦一(7一0)2了｝山=4n(6+1)JrJR”—(a:—a-dx=4芯(6+1)•-ynR2=2/S+DR2应选R【注】这里定积分J.,JR?-Cr-a)'<k的计算运用了定积分的几何意义..【答案】A【分析】 /Cr)=ln(l——+产一/(工)=八彳、？,I-jt (1—xr由于当0VhV1时,/Cr)>0,因此函数/(J-)的图形在(0,1)内是凹的,且函数/(工)在[0.1)上单调增加,从而当0c工<1H-t./(j-)>/(0)=0.于是.函数人外在(0,1)内单调增加.应选A..【答案】D【分析】因为[f(2_r+3)]<*=2'/(">(2x+3),(xe^)("1=WaH'"(er)<i>=](一1尸/‘=(-1尸(工一”)/，.A=O所以/",(2j+3)=(--1-)*(x-n)e-\应选D..【答案】C【分析】因为函数/(外在闭区间[a.瓦)上可导.且，(工)与人力同号,所以在[a,句上，[/(工)]'=2/(j)/(工)>0.从而函数产(])在上单谢增加.于是•当x€(a，6)时，有/(/)>/(a).即I/(J)I>1/(«)|.应选C.

.【答案】C【分析】令G(h,"z)=则U=-/E,G；=勺1一$刊,比=乎匕于是,匹=_4=__干.=匹=_今=_."二二2=:上凡+产♦a，gT±f/7凡'力比±F；赤•y2 y2由于org+®?—z=0,而Ar,dy<?z.,（）z y2K।.—它耳+zzFZ （a-6）它兄+（b-DzzF；dx（）y jrFi xyr2 j-F2因此a=6=1.应选C..【答案】A【分析】由特征值的性质知A+入2=tr(A)=。+乩入也=\A\=ad-be.于是.A?+Az=(Ai+22产-2AiAz=(a+d¥—2(ad—〃c)=a[+J2+2bc.应选A..【答案】D【分析】对矩阵(a.&，/)作初等行变换：由于对任意的实数i，i与，+3不可能同时为零.故厂(Qi.5.a,)=3.从而向量组a.a.柒线性无关.应选D..【答案】I)【分析】因为A正定QA1正定CA」与E合同，所以实对称矩阵A正定的充分必要条件是A的逆矩阵与单位矩阵合同.应选D.二、填空题.【答案】【分析】【分析】故要使函数八/)=照号」在闭区间[-5上连续,则应补充定义八。)=1..【答案】【分析】因为函数y=/("具有二阶导数.且1淅小==2.所以r^OX

f(0)=lim，(jr)= —2H+2=0+2=2,l。 j-*0从而f(0)=lim位二a=lim—从而f(0)=limh-0loz dyf(x)d2.r/'(7)drf(n)d炉 匚[(工)于dyr/(x)]3㈣一_dy2lx=o-E/(0)J3-13.【答案】【分析】y=2e"+e-x13.【答案】【分析】+工炉+工€<,则由线性微分方程解的记V(1)=e2r+靖，了2(工)=e+工炉+工€<,则由线性微分方程解的性质知,M(x)—>a(x)=e］，与2M(工)一［於(力+»(Z力=/都是与原微分方程相应的齐次方程的解,且“(力一》行)+北(］)是原微分方程的一个特解,故原方程的通解为y=G/+Cte-4r+ ,上式对z求导，得y=2Cie"—G。一’+(1+1*.将初始条件3(0)=3,y(0)=4代入上面两式，得G=2,C2=1.于是•所求特解为y=2e2r+e-J14.【答案】【分析】令/=1■一九则J"x(sin6j-Fcos6^)^=[(宠—/)(cos6Z4-sin6/)d/=春[(cos"f+sin〃)df—[/(cos6/+sin6/)d/ZJo Jo=北("1"乂"4"X、Xg)—[x(cos6.r+sin“工)dr'6 4ZlfJo=扇—-Jx<cos6j-4-sin6j'JcLr*故]"N(sir?z+cos%)"=2/.【答案】7【分析】由二裁积分中值定理知•存在(£.6D,即F+2炉42,使得TOC\o"1-5"\h\zIId(Lrdy=¥"冲♦冗・〃• 2膏.口 /2工于是,lim—|Pe,Z4-2,2drd^=lim- =lim2户谓=卑兀一+,闸 / (&巾-3.0)北 L.【答案】1【分析】由于|C|=「(：「卜1。旧|=品可=击=另因此I(20,|=|2d5=(26|c|)5=2311|C|;=2MX(-)=1.

三、解答题.【解】已知4>0,对任意iE整数K若A>0,则=arctan4>0,从而由tH纳法原理知，对任意正整数”.均有x.>0,因此数列〈了”}有下界.令/（力=H-arctanhG>0）.则/（工）=：>0（工>0）,故/'（外在［0,+8）上单调增加，从而当工>0时•/（1）>/（0）=0,即上>arctan7.于是,zm=arctan〈工》,.因此,数列（/}唯调减少.由单调有界准则知存在.设limz”=。，令8,对等式11rH=arclan/J两边取极限，得a=arctana.由函数/（x）=］一ir-«ooarctanx的单调性知，方程a=arctana有唯一实根a=0.从而,limz”=0.于是则©一土则©一土）=!蚂受三..(arctan )2一后令工”=lim-yr ~Sx*(arctanxn)..(arctanfy一产二?/2(arctant)2=limCretan?=limCretan?…+ I4re^'dr一lim吟步二!•limf-M>*I o+' 1lim与「•lim(短臀+1)r-*o+ & -+=2,勺忘%=一,.【解】 —(jr,y)=3/一3,/^(z.y)=3,一3,/：(/，3)=61,八(1，W=0，乙(/~)=6y/(•r,y)=0, (x2—1=0,由, ‘即 解得/的驻点(1,1),(一1,一1),(1,一1),(一1.1).145丁)=0， -1=0,对于驻点（1,1）,A=6,B=0.C=6,由于&'一曰=36>0,且A>0,故f（l,D=-4是极小值.对于驻点（一1.-1）力=-6,3=0.。=-6,由于40—8!=36>0,且4<0,故/（-1,-1）=4是极大值.对于驻点=6.3=09=—6.由于4—82=-36V0,故/（I,一D不是极值.对于驻点（一LD，A=-6,3=0,C=6,由于AC-lf=-36V0,故/（一1,1）不是极值..【解】因为a>0,且当OVzV1•时,0VzV}-x*sin cosz,从而UV(1■-z),e**nj<Ce0°*所以Il卜_（手一工）"］（曹’即h>h.20.【解】积分区域D如图中阴影部分所示,记D在v轴右侧的部分为Di即h>h.20.【解】积分区域D如图中阴影部分所示,记D在v轴右侧的部分为Di•则由对称性，有JJ(i+y)cLrd.y=21[I)ydjdy=1J；［8csd夕一看脸历1m十(sin0+cos8)—^-(cos0-sin6)(sin0+cos0)3 曲 -d^+4-§评（。十农）d《sin夕+cos6)(sin6+cos夕A史+_1co&+工)产_J___1 3 6 ' 4'|’ 6(sin8+cos6)"|,16 1 1 613 6 12-12,2】,【证］⑴令奴工）=十。⑴位.则由于函数/S在［0,1］上连续.故函数仪外在（0,11上可导.且由积分中值定理知.存在£€（0.1），使得，（、_八工）工一］/（，）山 f⑺工一八加 ”工）一“£）r r JC£ X由于函数/（工）在［0.1］上单调减少.故/（.r）V0（0V_r&D,从而飙，）在（0,口上单调减少.于是,对任意的工610,1）.总有奴工）＞中（1）.即［］/（，）&＞，/（，）&.也即令奴工）=J；（工一，）/（/）出一.「/Cr）dr,则欧'（工）=Jf（，）d，一1j/（r）dr{04N41）.由（1）知.对任意的上6（0」）,3'（外＞0,故次外在［0,1］