线代课件2013程版-第四次课逆矩阵

§2.2

可逆矩阵主要内容一、可逆矩阵的定义二、可逆矩阵的性质三、初等矩阵四、用初等变换求逆矩阵§2.3

可逆矩阵概念的引入:在数的运算中，当数时，

有引例2.1

（１）设验证

定义对于n阶矩阵A,如果有一个n阶矩阵B,使得则说矩阵A是可逆的,并把矩阵B称为A的逆矩阵.如设B、C都是A的逆，则B=BE=BAC=EC=CAB=BA=EAC=CA=E逆矩阵是唯一的如果A可逆,则其逆矩阵是唯一的,记作定理2.1证明：（体会证明技巧）例1设可以验证特别地有如例2设若可以验证可逆且二、可逆矩阵的性质说明1、设为同阶可逆矩阵，则也可逆,且2、设可逆，但不一定可逆。思考：反例？即使也可逆，一般地线性方程组记则线性方程组用矩阵乘法表示为有唯一解，且解可表示为阶方阵，设是如果A可逆，则方程组定理2.2证明：（1）说明是的解（2）说明是的唯一解【定理1.1】

每个非零矩阵都可以经过有限次初等行变换化为行阶梯形矩阵,进而化为行最简阶梯形矩阵.知识回顾思考题：可逆矩阵可以经过初等行变换化成什么样？

把单位矩阵分别作第一、第二、第三种初等行变换得到的矩阵分别称为第一、第二、第三种初等矩阵。定义记号三、初等矩阵-11-记号úúúûùêêêëé100010001úúúûùêêêëé100010001记号

初等矩阵的两种理解

初等矩阵都是可逆的，且其逆矩阵仍是同一种初等矩阵。性质可作如下验证：计算计算(“左行右列”原则)

对一个矩阵施行一次初等行变换，相当于在它的左边乘以一个相应的初等矩阵；对一个矩阵施行一次初等列变换，相当于在它的右边乘以一个相应的初等矩阵。结论例7初等变换通过矩阵相乘表示方法：第一种初等行变换第二种初等行变换第三种初等行变换

即方阵可逆的充分必要条件是可经过有限次初等行变换化成单位矩阵。定理2.3阶方阵可逆的充分必要条件是行等价于阶单位矩阵证明：必要性A可逆行变换成单位矩阵充分性：设即有初等矩阵使得问作一次行变换再作一次行变换继续…考虑对作行变换求逆矩阵的初等变换法-21-

解例4-22--23-练习：用初等行变换求可逆矩阵A的逆矩阵-24--25-例8

将矩阵A表示成初等矩阵的乘积解-26-若作初等行变换时,出现全行为0，则：矩阵不可逆!求逆时,若用初等行变换必须坚持始终,不能夹杂任何列变换.注：思考：矩阵方程AX=B(假设A可逆)，如何求解？方法一：先求，再计算方法二：则矩阵方程AX=B(假设A可逆)，如何求解？方法一：先求，再计算方法二：则方法一：求，再计算XA=B

(假设A可逆)？方法二：提示：该方程组可记为有惟一解为思考：如何利用逆矩阵解下列线性方程组因为A可逆，则方程组其中设例4解用初等行变换可以判断

即方阵可逆的充分必要条件是可经过有限次初等行变换化成单位矩阵。定理2.3阶方阵可逆的充分必要条件是行等价于阶单位矩阵-33-(1)n阶方阵A可逆的充分必要条件是A可以表示为若干个初等矩阵的乘积。推论2.1证明必要性由定理，知,即存在初等矩阵，使得又因为初等矩阵可逆，则等号两边左乘初等矩阵的逆矩阵仍为初等矩阵，故得证。充分性推论2.1（2）方阵A可逆的充分必要条件齐次线性方程组只有零解；（3）方阵A可逆的充分必要条件非齐次线性方程组有惟一解。定理2.4方阵A可逆的充分必要条件是存在方阵B

使得证明必要性显然,取即可。下面证明充分性。即证明：若只有零解。则即由可知即设有解方阵A可逆的充分必要条件是存在方阵B

使得推论例5设方阵A满足证明A和A+2E都可逆,并求其逆.证定理2.5设均为阶矩阵，则（1）行等价的充分必要条件是存在阶可逆矩阵（2）