初等数论模拟试题四套附答案

初等数论模拟试题四套初等数论模拟试题四套(附答案)PAGEPAGE13/13初等数论模拟试题二一、单项选择题1、(0,b)（C ）.A b B b C b D 2、如果ba，ab，则(D ).A ab B ab C ab D ab3、如果(a,b)1，则(ab,ab)=（C A a B b C 1 D ab4、小于30的素数的个数A 10 B 9 C 8 D 75、大于10且小于30的素数有（C）.A 4个 B 5个 C 6个 D 7个6、如果3n，5n，则15（A ）n.A 整除 B 不整除 C 等于 D不一7、在整数中正素数的个数）.A 有1个 B 有限多 C 无限多 D 不一定二、计算题1、 求24871与3468的最大公因解：24871=34687+5953468=5955+493595=4931+102493=1024+85102=851+1785=175,,(24871,3468)=17.2、 求[24871,3468]=?解：因为（24871,3468）=17所以[24871,3468]= 24871346817=50736842487134685073684。3、求[136,221,391]=?解：[136,221,391]=[[136,221],391]=[136221,391]=[1768,391]17三、证明题

=1768391=104391=40664.171、 如果a,b是两个整数,b0,则存在唯一的整数对q,r,使得abqr,其中0rb.证明：首先证明唯一性.设qrabqr,0rb.bqrbqrqrrbqqrrrb,0rb,所以rrb.如果qq,则等式bqqrr不可因此qqrr.其次证明存在性.我们考虑整数的有序列……,3b,2b,b,0,……则整数a应介于上面有序列的某两数之间,即存在一整数q使qba我们设raqb,则有abqr0rb.2、 证明对于任意整数n,数nn2

n3

是整数.n

n2

3 2 6n3=n(23nn2)=1n(n2),3 2 6 6 62,33数,并且(2,3)=1,所以从2n(n和3n(n1)(n有6n(n1)(n,n

n2

n3是整数.3 2 63、 任意一个n位数anan1a2a1与其按逆字码排列得到的数a1a2an1an的差必是9的倍数.证明：因为aan

aa2

a 10n1n

n1

10n2a2

10a,1aa1 2

a=an1 n 1

10n1a2

10n2

n1

10a,n所以,aa aa-aaa a=n n1 2 1 1 2 n1 na(10n11)n

n1

10(10n31)a10n3)a2

10n1).94、 证明相邻两个偶数的乘积是8的倍证明:设相邻两个偶数分别为2n,(2n2)所以2n(2n2)=4n(n1)2即4n(n1)8.初等数论模拟试题三一、单项选择题1、如果(A),则不定方程axbyc有解.A (a,b)c B c(a,b) C ac D (a,b)a2、不定方程525x231y210（A ）.A 有解 B 无解 C 有正数解 D有负数二、求解不定方程1、9x21y144.解：因为（9，21）=33144，所以有解；化简得3x7y48；考虑3x7y1，有x,y1，所以原方程的特解为x96,y48，因此，所求的解是x967t,y483t,tZ。2、6x17y18.解：因为(6,17)18,所以有解;考虑6x17y1xy1;所以x54,y18是特解,即原方程的解是x5417t,y183、107x37y25.解：因为（107，37）=125，所以有解；考虑107x37y1，有x,y26，所以，原方程特解为x925=225y2625=-650，所以通解为x22537t,y650107t求不定方程25x13y7z4解我们将它分为两个二元一次不定方程来求解25x+13y=t,t+7z=4.利用求二元一次不定方程的方法,因为25(-t)+13(2t)=t,32+7(-4)=4,所以,上面两个方程的解分别为xt

t327k,.2,. 1 y25k z4k1 2消去tx3213k

7k2,21y6425k1z4k

14k22这里kk1 2求不定方程4x9y5z8解我们将它分为两个二元一次不定方程来求解4x-9y=t,t+5z=8.利用求二元一次不定方程的方法,因为4(-2t)-9(-t)=t,48+5(-8)=8,所以,上面两个方程的解分别为x2t9k1yt4k

,t485k2.z8k1 2消去tx969k

10k2,21y484k1z8k

5k22这里kk1 2初等数论模拟试题四一、选择题1、整数5874192能被(B)整除.A 3 B 3与9 C 9 D 3或92、整数637693能(C )整除A 3 B 5 C 7 D 93、模5的最小非负完全剩余系(D ).A -2,-1,0,1,2 B -5,-4,-3,-2,-1 C 1,2,3,4,5 D 0,1,2,3,44、如果ab(modm),c是任意整,则（A ）A acbc(modm) B ab C acbc(modm) D ab二、解同余式（组）（1）45x21(mod132).解因为(45,132)=3¦21,所以同余式有3个解.将同余式化简为等价的同余方程15x7(mod44).我们再解不定方程15x44y7,得到一解(21,7).于是定理4.1中的x 21.0因此同余式的3个解为x21(mod132),x21132(mod132)65(mod132),3x212132(mod132)109(mod132).3（2）12x150(mod45)解因为(12,45)=3¦15,又同余式等价于4x50(mod15,即4x515y.我们利用解不定方程的方法得到它的一个解是(10,3),即定理4.1中的x 10.03x10(mod45),x1045(mod45)25(mod45),3x10245(mod45)40(mod45).3（3）111x75(mod321).解因为(111,321)=3¦753将同余式化简为等价的同余方程37x25(mod107).我们再解不定方程37x107y25,于是定理4.1中的x08.因此同余式的3个解为x8(mod,x8321(mod99(mod,3x82321(mod206(mod.3x1(mod7)（4）x2(mod.x9)解因为(7,8,9)=1,所以可以利用定理5.1.我们先解同余式72x7),63x8),56x9),得到x1

7),x2

1(mod8),x3

4(mod9).于是所求的解为x724163256(4)494)510(mod494)478(mod494).x2)（5）x（5）x3(mod7).x(mod9)(参考上题)三、证明题1、 如果整数a的个位数是5,则该数是5的倍.证明设a是一正整,并将a写成10进位数的形10

a=an

10n

10n1 an1

,0 ai

10.所以我们得到

aa0(mod所以整数a的个位数是5,则该数是5的倍数.2、证明当n是奇数时，有(2n.证明因为21(mod3),所以2n1n3).于是,当n是奇数时,我们可以令n2k1.从而有2n12k1,即(2n.初等数论模拟试题四一、计算：1、判断同余式x2438(mod593)是否有解？(答：无解。方法参照题2)2、判断同余式x2365(mod1847)是否有解？365 18471847 如果其值是1,则所给的同余式有解,否则无解.365573

365 5 73 因为 ,所以1847 . 1847184754),734)

5 184721再 , 所 以

1847

5

5 , 73184722211

1847 73 73 737317371141.11 11 7 7 36536518473、11的平方剩余与平方非剩余.解因为111552又因为12

1,22

4,

9,42

5,523,115811429 4、计算563 429(1)4291.5631563 563

2 2 429563134 2 6767

8 429 429 429429 42967671.4291429429 2 2 429

67

6727271.6716767 2 2 67 27 27132712711..27 2 2 13 13 , 429563383 5、计算443 二、证明题：1、证明相邻两个整数的立方之差不能被5整除.证明因为(n1)3

n3

3n

3n1,所以只需证明3n2

3n1(mod.而我们知道模5的完全剩余系由-2,-1,0,1,2构成,所以这只需将n=0,±1,±2代入3n2

3n11，7，1，19，7.5,

3n11，7，1，19，71，2，4所以

3n1(mod所以相邻两个整数的立方之差不能被5整除。2、证明形如4n1的整数不能写成两个平方数的和.证明设n是正数,并且n1(mod4),如果nx2y2,4,x,y0,1,2,-1x2y20,1x

y

0,1,2(mod4),而这与n1(mod4)的假设不符,即定理的结论成立.3、一个能表成两个平方数和的数与一个平方数的乘积,仍然是两个平方数的和;两个能表成两个平方数和的数的乘积,也是一个两个平方数和的数.（11分）证明（1）设ma2

b2,则显然r2m(ra

(rb)2.（2）如果nc2d2,那么mn(a2b2)(c2d2)a2c2a2d2b2c2b2d2=(a2c

b2d

2abcd)(a2d

b2c

2abcd) =(acbd)

(adbc)2.3、素数写成两个平方数和的方法是唯一的.证明

pa2b2c2d

,则 p2(a2b2)(c2d2)=(acbd)2(adbc)2=(acbd)(acbd)(adbc)

(adbc)2.