9中考二次函数压轴题专题分类训练

中考二次函数压轴题专题分类训练题型一：面积问题【例1】(2009湖南益阳)如图2,抛物线顶点坐标为点 C(1,4),交x轴于点A(3,0),交y轴于点B(1)求抛物线和直线AB的解析式；(2)求^CAB勺铅垂高CD及Sacab;(3)设点P是抛物线(在第一象限内)上的一个动点，是否存在一点 P,使&PAA9S；ACAB,8若存在，求出P点的坐标；若不存在，请说明理由.【变式练习】1.(2009广东省深圳市)如图，在直角坐标系中，点 A的坐标为(—2,0),连结OA将线段O砥原点O顺时针旋转120。，得到线段OB(1)求点B的坐标；(2)求经过AOB三点的抛物线的解析式；(3)在(2)中抛物线的对称轴上是否存在点 C,使△BOC勺周长最小？若存在，求出点C的坐标；若不存在，请说明理由.(4)如果点P是(2)中的抛物线上的动点，且在x轴的下方，那么△PAB是否有最大面积？若有，求出此时P点的坐标及△PAB的最大面积；若没有，请说明理由.

(2010绵阳)如图，抛物线y=ax2+bx+4与x(2010绵阳)如图，抛物线y=ax2+bx+4与x轴的两个交点分别为A(—4,0)、B(2,0),与y轴交于点C,顶点为D.E(1,2)为线段BC的中点,BC的垂直平分线与x轴、y轴分别交于F、G(1)求抛物线的函数解析式，并写出顶点 D的坐标;(2)在直线EF上求一点H,使4。口U勺周长最小，并求出最小周长;(3)若点K在x轴上方的抛物线上运动，当K运动到什么位置时，△EFK的面积最大？并求出最大面积.(2012铜仁)如图，已知：直线yx3交x轴于点A,交y轴于点B,抛物线y=ax2+bx+c经过A、RC(1,0)三点.(1)求抛物线的解析式；(2)若点D的坐标为(-1,0),在直线yx3上有一点P,使AABO与AADP相似,求出点P的坐标；(3)在(2)的条件下，在x轴下方的抛物线上，是否存在点 E,使AADE的面积等于四边形APC目勺面积？如果存在，请求出点 E的坐标；如果不存在，请说明理由.题型二：构造直角三角形【例2】(2010山东聊城)如图，已知抛物线 y=ax2+bx+c(aw0)的对称轴为x=1,且抛物线经过A(—1,0)、C(0,—3)两点，与x轴交于另一点B.(1)求这条抛物线所对应的函数关系式；(2)在抛物线的对称轴x=1上求一点M使点M到点A的距离与到点C的距离之和最小，并求此时点M的坐标；(3)设点P为抛物线的对称轴x=1上的一动点，求使/PCB=90o的点P的坐标.第”题图【变式练习】(2012广州)如图，抛物线y=- —卫算十3与x轴交于A、B两点(点A在点B的左o4侧)，与y轴交于点C.(1)求点A、B的坐标；(2)设D为已知抛物线的对称轴上的任意一点， 当4ACD的面积等于△ACB的面积时，求点D的坐标；(3)若直线l过点E(4,0),M为直线l上的动点，当以ABM为顶点所作的直角三角形有且只有三个时，求直线l的解析式.(2009成都)在平面直角坐标系 xOy中，已知抛物线y=a(x1)2c(a0)与x轴交于AB两点(点A在点B的左侧)，与y轴交于点C,其顶点为M,若直线MC的函数表达式为. 一 3\10kx3,与x轴的交点为N,且CO&BCO= 10(1)求此抛物线的函数表达式；(2)在此抛物线上是否存在异于点C的点巳使以NP、C为顶点的三角形是以NC为一条直角边的直角三角形？若存在，求出点 P的坐标：若不存在，请说明理由；(3)过点A作x轴的垂线，交直线MCT点Q.若将抛物线沿其对称轴上下平移，使抛物线与线段NQ总有公共点，则抛物线向上最多可平移多少个单位长度 ？向下最多可平移多少个单位长度？1.।IJ3I■■一O.1 x3.(2012杭州)在平面直角坐标系内，反比例函数和二次函数 y=k(x2+xT)的图象交于点A(1,k)和点B(-1,-k).(1)当k=-2时，求反比例函数的解析式；(2)要使反比例函数和二次函数都是 y随着x的增大而增大，求k应满足的条件以及x的取值范围；(3)设二次函数的图象的顶点为 Q,当4ABQ是以AB为斜边的直角三角形时，求k的值4.如图(1),抛物线y x4.如图(1),抛物线y x2图(1)图(2)x4与y轴交于点A,E(0,b)为y轴上一动点，过点E的直线yxb与抛物线交于点RC(1)求点A的坐标；(2)当b=0时(如图(2)),1ABE与^ACE的面积大小关系如何？当b4时，上述关系还成立吗，为什么？(3)是否存在这样的b,使得&BOC是以BC为斜边的直角三角形，若存在，求出 b;若不存在，说明理由.第26题题型三：构造等腰三角形【例3】如图，已知抛物线yax2bx3(aw0)与x轴交于点A(1,0)和点B(—3,0),与y轴交于点C.(1)求抛物线的解析式；(2)在x轴上是否存在一点Q使得△ACQ为等腰三角形？若存在，请直接写出所有符合条件的点Q的坐标；若不存在，请说明理由；(3)设抛物线的对称轴与x轴交于点M，问在对称轴上是否存在点巳使4CMP为等腰三角形？若存在，请直接写出所有符合条件的点 P的坐标；若不存在，请说明理由.【变式练习】.如图，在平面直角坐标系中，点 A的坐标为(m,nj),点B的坐标为(n,-n),抛物线经过A、QB三点，连接OAOBAB,线段AB交y轴于点C.已知实数mn(m<n)分别是方程x2-2x-3=0的两根.(1)求抛物线的解析式；(2)若点P为线段OB上的一个动点(不与点。B重合)，直线PC与抛物线交于DE两点(点D在y轴右侧)，连接ODBD.①当4OPC为等腰三角形时，求点P的坐标；②求ABOD面积的最大值，并写出此时点 D的坐标.

.如图，抛物线yax25ax4经过△ABC的三个顶点，已知BC//x轴，点A在x轴上，点C在y轴上，且AC=BC(1)写出A,B,C三点的坐标并求抛物线的解析式；△PAB是等腰三角(2)探究：若点P是抛物线对称轴上且在 x△PAB是等腰三角形.若存在，求出所有符合条件的点 P坐标；不存在，请说明理由..(2010黄冈)已知抛物线yax2bxc(a0)顶点为C(1,1)且过原点。.过抛物线5 上一点P(x,y)向直线y—作垂线，垂足为M,连FM(如图).4(1)求字母a,b,c的值；(2)在直线x=1上有一点F(1,-),求以PM为底边的等腰三角形PFM勺P点的坐标，并证4明此时△PFM为正三角形；(3)对抛物线上任意一点P,是否总存在一点N(1,t),使PM=PN恒成立，若存在请求出t值，若不存在t#说明理由.

题型四：构造相似三角形【例4】(2011临沂)如图，已知抛物线经过A(-2,0),B(-3,3)及原点O,顶点为C.(1)求抛物线的解析式；(2)若点D在抛物线上，点E在抛物线的对称轴上，且A、QDE为顶点的四边形是平行四边形，求点D的坐标；(3)P是抛物线上的第一象限内的动点，过点 P作PMLx轴，垂足为M,是否存在点P,使若不存在，请说明理得以P、MA为顶点的三角形^BOC相似？若存在，求出点M,是否存在点P,使若不存在，请说明理【变式练习】-2)三点.1.(2012天水)如图，已知抛物线经过A(4,0),B(1,0),C-2)三点.(1)求该抛物线的解析式；(2)在直线AC上方的该抛物线上是否存在一点 D,使彳DCA的面积最大？若存在，求出点D的坐标及^DCA0积的最大值；若不存在，请说明理由.(3)P是直线x=1右侧的该抛物线上一动点，过P作PMLx轴，垂足为M是否存在P点,使得以A、P、M为顶点的三角形与△OACf似？若存在，请求出符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由.2.如图，二次函数的图象经过点D(0,7；3),且顶点C的横坐标为4,该图象在x轴上截9得的线段AB的长为6.(1)求二次函数的解析式；(2)在该抛物线的对称轴上找一点 P,使PA+PDt小，求出点P的坐标；(3)在抛物线上是否存在点Q使△QA。4ABC相似？如果存在，求出点Q的坐标；如果不存在，请说明理由.【例5】(2012苏州)如图，已知抛物线 y=^x2--(b+1)x+-(b是实数且b>2)与x轴的4 4 4正半轴分别交于点AB(点A位于点B的左侧)，与y轴的正半轴交于点C.(1)点B的坐标为，点C的坐标为(用含b的代数式表示)；(2)请你探索在第一象限内是否存在点 巳使得四边形PCOB勺面积等于2b,且4PBC是以点P为直角顶点的等腰直角三角形？如果存在， 求出点P的坐标；如果不存在，请说明理由；(3)请你进一步探索在第一象限内是否存在点 Q,使彳QCO△QOA和△QAB中的任意两个三角形均相似(全等可作相似的特殊情况)？如果存在，求出点 Q的坐标；如果不存在，请说明理由.1.(2012上海宝山)如图，平面直角坐标系xOy中，已知点A(2,3),线段AB垂直于y轴,垂足为B,垂足为B,将线段AB绕点A逆时针方向旋转90。，点B落在点C处，直线BC与x轴的交于点D.(1)试求出点D的坐标；(2)试求经过A、B、D三点的抛物线的表达式，并写出其顶点E的坐标；(3)在(2)中所求抛物线的对称轴上找点F,使得以点A、E、F为顶点的三角形与4ACD相似.（图7）12.(2012上海杨浦区)已知直线y—x1与x轴交于点A与y轴交于点B,将△AO就2点O顺时针旋转90,使点A落在点C,点B落在点D,抛物线yax2bxc过点ADC,其对称轴与直线AB交于点P,(1)求抛物线的表达式；(2)求/POC勺正切值； y(3)点MF&x轴上，且^ABM!△APDK似，求点M的坐标。13.(2012宁波)如图，二次函数y=ax2+bx+c的图象交x轴于A(—1,0),B(2,0),交y轴于C(0,-2),过A,C画直线.求二次函数的解析式；点P在x轴正半轴上，且PA=PC,求OP的长;点M在二次函数图象上，以①若M在y轴右侧，且4CHMM为圆心的圆与直线AC相切，切点为H.“△AOC(点C与点A对应)，求点M的坐标;2(备用图)题型五：构造梯形【例6】已知，矩形OABCE平面直角坐标系中位置如图 1所示，点A的坐标为(4,0),点C2的坐标为(0,2),直线y —x与边BC相交于点D.3(1)求点D的坐标；(2)抛物线yax2bxc经过点A、DQ求此抛物线的表达式；(3)在这个抛物线上是否存在点 M使QDAM为顶点的四边形是梯形？若存在，请求出所有符合条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由.(3)(3)记(1)中抛物线的顶点为的坐标及梯形AOMNJ面积.【变式练习】.已知平面直角坐标系xOy中，抛物线y=ax2—(a+1)x与直线y=kx的一个公共点为A(4,8).(1)求此抛物线和直线的解析式；(2)若点P在线段OA上，过点P作y轴的平行线交(1)中抛物线于点Q求线段PQ长度的最大值；M点N在此抛物线上，若四边形AOM恰好是梯形，求点N

.(2011义乌)已知二次函数的图象经过 A(2,0)、Q0,12)两点，且对称轴为直线x=4,设顶点为点P,与x轴的另一交点为点B.(1)求二次函数的解析式及顶点 P的坐标；(2)如图1,在直线y=2x上是否存在点D,使四边形OPB时等腰梯形？若存在，求出点D的坐标；若不存在，请说明理由；(3)如图2,点M是线段OP上的一个动点(QP两点除外)，以每秒寸吃个单位长度的速度由点P向点O运动，过点M作直线MN/x轴，交PB于点N.将^PM的直线MN寸折，得到△RMN在动点M的运动过程中，设^P1MN＜梯形OMNBJ重叠部分的面积为S,运动时间为t秒，求S关于t的函数关系式.33.如图1,二次函数yx2pxq(p0)的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C(0,—1),△ABC勺面积为-.4(1)求该二次函数的关系式；(2)过y轴上的一点M(0,mj彳y轴的垂线，若该垂线与△ABC勺外接圆有公共点，求m的取值范围；(3)在该二次函数的图象上是否存在点 D,使以A、RCD为顶点的四边形为直角梯形？若存在，求出点D的坐标；若不存在，请说明理由.

题型六：构造平行四边形【例71(2010陕西)如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过 A(-1,0),B(3,0),C(0,—1)三点。(1)求该抛物线的表达式；(2)点Q在y轴上，点P在抛物线上，要使以点QP、AB为顶点的四边形是平行四边形，(S)求所有满足条件的点P(S)【变式练习】1.(2012成都)如图，在平面直角坐标系 xOy中，一次函数尸|工十it(m为常数)的图象与x轴交于点A(-3,0),与y轴交于点C.以直线x=1为对称轴的抛物线y=ax2+bx+c(a,b,c为常数，且a为)经过A,C两点，并与x轴的正半轴交于点B.(1)求m的值及抛物线的函数表达式；(2)设E是y轴右侧抛物线上一点，过点E作直线AC的平行线交x轴于点F.是否存在这样的点E,使得以A,C,E,F为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点E的坐标及相应的平行四边形的面积；若不存在，请说明理由；(3)若P是抛物线对称轴上使4ACP的周长取得最小值的点， 过点P任意作一条与y轴不平行的直线交抛物线于M1(x1,y1),M2(x2,y2)两点，试探究:/是否为定值,MJNo并写出探究过程.

2.如图1,在平面直角坐标系中，已知抛物线经过 A(—4,0)、B(0,—4)、C(2,0)三点.(1)求抛物线的解析式；(2)若点M为第三象限内抛物线上一动点，点 M的横坐标为mAMAB勺面积为S,求S关于m的函数关系式，并求出S的最大值；(3)若点P是抛物线上的动点，点Q是直线y=—x上的动点，判断有几个位置能使以点 P、QB、O为顶点的四边形为平行四边形，直接写出相应的点 Q的坐标.3.占八、、(2011威海)如图，抛物线y=ax2+bx+c交x轴于点A(-3,0),点B(1,0),交y轴于E(0,-3).点C是点A关于点B的对称点，点F是线段BC的中点，直线l过点F且与y轴平行.直线y=-x+m过点C,交y轴于D3.占八、、(1)求抛物线的函数表达式；(2)点K为线段AB上一动点，过点K作x轴的垂线与直线CD交于点H,与抛物线交于点G求线段HGK度的最大值；(3)在直线l上取点M,在抛物线上取点N,使以点A,C,M,N为顶点的四边形是平行四3的图像与y轴交于点A,【例8】已知平面直角坐标系xOy3的图像与y轴交于点A,点M在正比仞^函数y9x的图像上，且MO=MA二次函数2y=x2+bx+c的图像经过点A、M(1)求线段AM勺长；(2)求这个二次函数的解析式；(3)如果点B在y轴上，且位于点A下方，点C在上述二次函数的图像上，点D在一次函数y2x3的图像上，且四边形4ABCD1菱形，求点C的坐标.【变式练习】1.将抛物线ci：yJ3x2点沿x轴翻折，得到抛物线C2,如图1所示.(1)请直接写出抛物线C2的表达式；(2)现将抛物线C1向左平移m个单位长度，平移后得到新抛物线的顶点为 M与x轴的交点从左到右依次为AB；将抛物线C2向右也平移m个单位长度，平移后得到新抛物线的顶点为N,与x轴的交点从左到右依次为DE.①当RD是线段AE的三等分点时，求m的值；②在平移过程中，是否存在以点 A、NE、M为顶点的四边形是矩形的情形？若存在，请求出此时m的值；若不存在，请说明理由.题型七：线段最值问题【例9】(2011荷泽)如图，抛物线y=_ix2+bx-2与x轴交于A,B两点，与y轴交于C点,3且A(T,0).(1)求抛物线的解析式及顶点 D的坐标；(2)判断△ABC的形状，证明你的结论；MC+M的值最小时，求m的值.(3)点M(m,0)MC+M的值最小时，求m的值.【变式练习】(2009山东省荷泽市)如图，已知抛物线 y=ax2+bx+c与y轴交于点A(0,3),与x轴分别交于B(1,0)、C(5,0)两点.(1)求此抛物线的解析式；(2)若一个动点P自OA勺中点M出发，先到达x轴上的某点(设为点E),再到达抛物线的对称轴上某点(设为点F),最后运动到点A.求使点P运动的总路径最短的点E、点F的坐标，并求出这个最短总路径的长.(2011广东深圳)如图13,抛物线y=ax2+bx+c(aW0)的顶点为(1,4),交x轴于A、B,交y轴于D,其中B点的坐标为(3,0)(1)求抛物线的解析式(2)如图14,过点A的直线与抛物线交于点E,交y轴于点F,其中E点的横坐标为2,若直线PQ为抛物线的对称轴，点G为PQ上一动点，则x轴上是否存在一点H,使D>GF、H四点围成的四边形周长最小.若存在，求出这个最小值及GH的坐标；若不存在，请说明理由.(3)如图15,抛物线上是否存在一点T,过点T作x的垂线，垂足为M过点M作直线MN//BD,交线段AD于点N,连接MD使△DNMh△BMD若存在，求出点T的坐标；若不存在，说明理由.【能力提升】.(2011福州)已知，如图11,二次函数yax22ax3a