FIR数字滤波器的设计-等波纹最佳逼近法

FIR数字滤波器的设计--等波纹最佳逼近法一、等波最佳逼近的原理简介等波纹最佳逼近法是一种优化设计法，即最大误差最小化准则，它克服了窗函数设计法和频率采样法的缺点，使最大误差(即波纹的峰值)最小化，并在整个逼近频段上均匀分布。用等波纹最佳逼近法设计的FIR数字滤波器的幅频响应在通带和阻带都是等波纹的，而且可以分别控制通带和阻带波纹幅度，这就是等波纹的含义。最佳逼近是指在滤波器长度给定的条件下，使加权误差波纹幅度最小化。与窗函数设计法和频率采样法比较，由于这种设计法使滤波器的最大逼近误差均匀分布，所以设计的滤波器性能价格比最高。阶数相同时，这种设计法使滤波器的最大逼近误差最小，即通带最大衰减最小，阻带最小衰减最大；指标相同时，这种设计法使滤波器阶数最低。等波纹最佳逼近法的设计思想。用Hd()表示希望逼近的幅度特性函数，要求设计线性相位FIR数字滤波器时,Hd()必须满足线性相位约束条件。用H表示实际设计的滤波器的幅度特性函数。定义加权误差函数为WHdH式中，W为幅度误差加权函数，用来控制不同频带(一般指通带和阻带)的幅度逼近精度。等波纹最佳逼近法的设计在于找到滤波器的系数向量hn，使得在通带和阻带内的最大绝对值幅度误差为最小，这也就是最大误差最小化问题。二、等波纹逼近法设计滤波器的步骤和函数介绍1.根据滤波器的设计指标的要求：边界频率，通带最大衰减，阻带最大衰等估计滤波器阶数n，确定幅度误差加权函数W2.采用Parks-McClellan算法，获得所设计滤波器的单位脉冲响应 hn实现FIR数字滤波器的等波纹最佳逼近法的MATLAB信号处理工具函数为firpm和firpmord。firpm函数采用数值分析中的多重交换迭代算法求解等波纹最佳逼近问题，求的满足等波纹最佳逼近准则的FIR数字滤波器的单位脉冲响应hn。firpmord根据逼近指标,计算采用Parks-McClellan算法等波纹最佳逼近滤波器的最低阶数，误差加权向量 w,归一化边界频率向量f。3对firpm和firpmord的说明firpm函数功能：采用Parks-McClellan算法设计FIR滤波器函数格式：hn=firpm(n,f,m,w)n是滤波器的阶hn是数字滤波器的单位脉冲响应，其长度为n+1f是希望滤波器的边界频率向量，要求f是单调增向量，并且从0开始，以1结束，1对于数字频率m是与f对应的希望滤波器的幅度向量，m和f的长度相等，mk表示希望滤波器在频率点fk上的幅频响应，m和f给出了希望滤波器的幅度特性。w是误差加权向量，其长度为f的一半。w(i)表示对m中第i个频率段幅度逼近精度的加权值。w缺省时，函数默认w全为1，即每个频率段的逼近误差加权值相同。firpmord函数函数功能：根据逼近指标，计算采用Parks-McClellan算法等波纹最佳逼近滤波器的最低阶数 n，误差加权向量w和归一化边界频率f。其返回参数作为firpm函数的调用参数。函数格式：[n,f,m,w]=firpmord(f,m,rip,fs)f可以是归一化边界数字频率向量，也可以是模拟边界频率向量，但必须以0开始，以1结束或fs/2结束，并且其中省略了0和fs/2两个频率点。fs是时域采样频率，单位Hz。fs缺省时,函数默认fs=2Hz.但这是f的长度(包括省略0和fs/2两个频率点)是m的两倍，即m中的每个元素表示f给定的一个逼近频段上的希望逼近的幅度值。rip表示f和m描述的各逼近段允许的波纹振幅(幅频响应最大偏差)。4.注意事项：省略fs时，f必须是归一化的数字频率有时计算的阶数n略小，使设计结果达不到指标要求，这时要取n+1或n+2三、程序低通滤波器设计%Lowpassfilter:wp=0.4pi,ws=0.6pi,N=26%peakpassbandrippleis0.01,peakstopbandrippleis0.001clc;clear;clearall;wp_l=0.4*pi;ws_l=0.6*pi;N1=26;deltal_1=0.01;deltal_2=0.001; %初始化参数f_l=[0wp_lws_lpi]/pi;%设定归一化的firpm函数参数deltal=[deltal_1,deltal_2];a_l=[1100];%幅值[n,f,m,w_l]=firpmord(f_l(2:3),[10],deltal);%计算权值fil_l=firpm(N1,f_l,a_l,w_l);%生成滤波器figure(1);stem(fil_l,'.');title('impulseresponseoflowpassfilter');xlabel('timesequence');ylabel('amplitude');fft_l=fft(fil_l,1024);db_l=20*log10(abs(fft_l));%对数表示figure(2);plot([0:length(fft_l)-1]/length(fft_l),db_l); %将横坐归化到0-1,单位为1/1024title('Log-magnituderesponseoflowpassfilter');xlabel('Normalizedfrequency');ylabel('Magnituderesponse(dB)');axis([00.5-10010]); %设坐标轴的范围，只取0-2pi的一半afl=abs(fft_l);%取傅变的幅值afl_p=zeros(1,1024/2);afl_s=zeros(1,1024/2);%初始化两个一行512列的零序列afl_p(1:fix((wp_l/(2*pi))*1024))=afl(1:fix((wp_l/(2*pi))*1024))-1; %将通带幅值赋给序列一afl_s(fix((ws_l/(2*pi))*1024)+3:end)=afl(fix((ws_l/(2*pi))*1024)+3:end/2); %将阻带幅值赋给序列二figure(3);plot([0:1024/2-1]/1024,afl_p+afl_s);%将通带和阻带的波形显示到一幅图像上title('passbandandstopbandapproximationerroroflowpassfilter');xlabel('Normalizedfrequency');ylabel('Passbandandstopbandripple');带通滤波器设计%Bandpassfilter:ws1=0.2pi,wp1=0.28pi,wp2=0.72pi,ws2=0.8pi,N=80%peakpassbandrippleis0.01,eachpeakstopbandrippleis0.001ws_b1=0.2*pi;wp_b1=0.28*pi;wp_b2=0.72*pi;ws_b2=0.8*pi;N2=80;deltab_1=0.001;deltab_2=0.01;deltab_3=0.001;deltab=[deltab_1,deltab_2,deltab_3];f_b=[0ws_b1wp_b1wp_b2ws_b2pi]/pi;a_b=[001100];[n,f,m,w_b]=firpmord(f_b(2:5),[010],deltab);fil_b=firpm(N2,f_b,a_b,w_b);figure(4);stem(fil_b,'.');title('impulseresponseofbandpassfilter');xlabel('timesequence');ylabel('amplitude');fft_b=fft(fil_b,1024);db_b=20*log10(abs(fft_b));figure(5);plot([0:length(fft_b)-1]/length(fft_b),db_b);title('Log-magnituderesponseofbandpassfilter');xlabel('Normalizedfrequency');ylabel('Magnituderesponse(dB)');axis([00.5-10010]);afb=abs(fft_b);afb_p=zeros(1,1024/2);afb_s=zeros(1,1024/2);afb_p(fix((wp_b1/(2*pi))*1024)+3:fix((wp_b2/(2*pi))*1024))=afb(fix((wp_b1/(2*pi))*1024)+3:fix((wp_b2/(2*pi))*1024))-1;afb_s(fix((ws_b2/(2*pi))*1024)+2:end)=afb(fix((ws_b2/(2*pi))*1024)+2:end/2);afb_s(1:fix((ws_b1/(2*pi))*1024))=afb(1:fix((ws_b1/(2*pi))*1024));figure(6);plot([0:1024/2-1]/(1024),afb_p+afb_s);title('passbandandstopbandapproximationerrorofbandpassfilter');xlabel('Normalizedfrequency');ylabel('Passbandandstopbandripple');高通滤波器设计%Highpassfilter:ws=0.4pi,wp=0.55pi,N=34

%peakpassbandrippleis0.01,peakstopbandrippleis0.001ws_h=0.4*pi;wp_h=0.55*pi;N3=34;deltah_1=0.001;deltah_2=0.01;deltah=[deltah_1,deltah_2];f_h=[0ws_hwp_hpi]/pi;a_h=[0011];[n,f,m,w_h]=firpmord(f_h(2:3),[01],deltah)fil_h=firpm(N3,f_h,a_h,w_h);figure(7);stem(fil_h,'.');title('impulseresponseofhighpassfilter');xlabel('timesequence');ylabel('amplitude');fft_h=fft(fil_h,1024);db_h=20*log10(abs(fft_h));figure(8);plot([0:length(fft_h)-1]/length(fft_h),db_h);title('Log-magnituderesponseofhighpassfilter');xlabel('Normalizedfrequency');ylabel('Magnituderesponse(dB)');axis([00.5-10010]);afh=abs(fft_h);afh_p=zeros(1,1024/2);afh_s=zeros(1,1024/2);afh_p(fix((wp_h/(2*pi))*1024)+5:end)=afh(fix((wp_h/(2*pi))*1024)+5:end/2)-1;afh_s(1:fix((ws_h/(2*pi))*1024))=afh(1:fix((ws_h/(2*pi))*1024));figure(9);plot([0:1024/2-1]/(1024),afh_p+afh_s);title('passbandandstopbandapproximationerrorofhighpassfilter');xlabel('Normalizedfrequency');ylabel('Passbandandstopbandripple');仿真图