2023届新高考数学（新高考Ⅰ卷）模拟试卷十二（学生版+解析版）

绝密★启用前2023年普通高等学校招生全国统一考试

新高考I卷数学模拟卷十二学校：——姓名：一 —班级：一 —考号：一题号一二三四总分得分注意：本试卷包含【、II两卷。第I卷为选择题，所有答案必须用2B铅笔涂在答题卡中相应的位置。第II卷为非选择题，所有答案必须填在答题卷的相应位置。答案写在试卷上均无效，不予记分。第I卷(选择题)一'单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。.设全集U与集合M,N的关系如图所示，则图中阴影部分所表示的集合是()A.MnN B.MUN C.(CyM)UND.(gM)nN.已知向量,，石的夹角为60。，|a|=2,|石|=1,则|1+2至|=()A.2 B.3V2 C.2代 D.12.已知｛a.｝为正项等比数列，且a2a4=4,设7；为该数列的前〃项积，则3=()A.8 B.16 C.32 D.64.3男3女六位同学站成一排，则3位女生中有且只有两位女生相邻的不同排法种数是()A.576 B.432 C.388 D.216.抛物线C:y2=2px上一点(l,yo)到其焦点的距离为3，则抛物线C的方程为()A.y2=4xB.y2=8xC.y2=12xD.y2=16x.已知函数/'(x)=logaX(a>0,aH1),则y=/(|x|-1)的图象可能是()

.如图，在棱长为2的正方体ABCD-&B1C1D1中，过且与46平行的平面交当口于点P,贝IPG=()A.2 B.V3 C.V2 D.1.甲、乙两支田径队的体检结果为：甲队队员体重的平均数为60依，方差为200;乙队队员体重的平均数为70依，方差为300.又已知甲、乙两队的队员人数之比为1:4,那么甲乙两队全部队员的平均体重和方差分别是()A.65,280B.68,280C.65,296D.68,296二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对得5分，部分选对得2分，有选错的得。分。, 已知函数/'(x)=4sin(3X+(p)(A>0,>0,\<p\<》的部分图象如图所示，下列说法正确的是()A.函数f(x)的图象关于点(-，0)对称B.函数f(x)的图象关于直线3-瑞对称C.函数/(x)在［一早，一勺上单调递减3 6

D.函数f(x)图象向右平移g个单位可得函数y=2sinx的图象已知a>0,b>0,a+b2=l,则下列选项中正确的是(3a-b的最大值为3a-b的最大值为3bVH的最大值为:c.VH+b的最大值为企c.VH+b的最大值为企D-W+表的最小值为2已知函数/(x)=log2(l+4、)一x,则下列说法正确的是(A.函数/A.函数/'(x)是偶函数B.函数/(x)是奇函数C.函数f(x)在(一8,0］上单调递增 D.函数f(x)的值域为［1,+8).已知球。的半径为2,球心。在平面角大小为60。的二面角a-，一0内，二面角a-，-0的两个半平面分别截球面得两个圆。「02,若两圆01，。2的公共弦AB的长为2,E为AB的中点，四面体0Aoi。2的体积为V,则下列结论中正确的有()A.O,EA.O,E,01，。2四点共面B.。1。2=¥C.。。=;C.。。=;第II卷(非选择题)三'填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。.若sina= 贝kos2a=..在数列｛an｝中,%=2,Jan+i=/踵+V2,则数列｛册｝的通项公式时=..已知复数z满足方程：z2-3z+9=0,则忆|=..已知点M为双曲线C:《一£=1(。>02>0)在第一象限上一点，点尸为双曲线。的右焦点，0为坐标原点，且41Moi=4|MF|=7|0F|,则双曲线C的离心率为;若直线MF,MO分别交双曲线C于P、。两点，记直线QM与PQ的斜率分别为七，k2,贝味「心=.四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。.已知数列｛a",｛%｝满足bn=an-(-l)nn2,%+瓦=1,a24-b2=8,且数列｛bn｝是等差数列.(1)求数列｛an｝的通项公式；(2)设数列｛an｝的前〃项和为〃，若4=｛n|nW110且7；W110｝,求集合4中所有元素的和T..如图，已知圆锥40的底面半径为2,母线长为2国，点C为圆锥底面圆周上的一点，。为圆心，。是点，。为圆心，。是4B的中点，且乙8。。=今(1)求三棱锥。-0CB的表面积;(2)求A到平面OCD的距离..在A4BC中，内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且：=竺£=吗.bacosB⑴求A；(2)已知4B=2,。为AC的中点，点P在8。上，且满足而•丽=1,求AP4C的面积..某科技公司组织技术人员进行某新项目研发，技术人员将独立地进行项目中不同类型的实验甲、乙、丙，已知实验甲、乙、丙成功的概率分别为三、43 2(1)对实验甲、乙、丙各进行一次，求至少有一次成功的概率；(2)该项目研发流程如下：实验甲做一次，若成功，则奖励技术人员1万元并进行实验乙，否则技术人员不获得奖励且该项目终止;实验乙做两次，若两次都成功，则追加技术人员3万元奖励并进行实验丙,否则技术人员不追加奖励且该项目终止;实验丙做三次，若至少两次成功，则项目研发成功，再追加技术人员4万元奖励,否则不追加奖励且该项目终止.每次实验相互独立，用X(单位：万元)表示技术人员所获得奖励的数值，写出X的分布列及数学期望..已知椭圆cq+'=l(a>b>0)的右焦点为F,离心率为右直线，:y=x被椭圆截得的弦长为竽.(1)求椭圆C的标准方程；(2)若P是椭圆C上一点，。是坐标原点，过点尸与直线/平行的直线与椭圆C的两个交点为A,B,且灰=4成+”而，求"的最大值..已知函数/(x)=(x—2)ex-ax+alnx(aGR').(1)当a=-l时，求函数/(x)的单调区间；(2)讨论/(x)的零点个数.

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新高考I卷数学模拟卷十二学校:姓名：班级：考号：题号—二三四总分得分注意：本试卷包含I、II两卷。第I卷为选择题，所有答案必须用2B铅笔涂在答题卡中相应的位置。第【【卷为非选择题，所有答案必须填在答题卷的相应位置。答案写在试卷上均无效，不予记分。第I卷(选择题)一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。.设全集U与集合M,N的关系如图所示，则图中阴影部分所表示的集合是()~u~A.MnN B.MUN C.(C"M)UND.(QM)nN【答案】D【解析】【分析】本题主要考查集合关系，利用a〃〃图确定集合关系是解决本题的关键，比较基础.根据山＞〃〃图，得到集合关系为(QM)nN.【解答】解：由Ye”"图，元素属于N但不属于M,24.已知向量五,石的夹角为60。，|a|=2,A.2 B.3a【答案】C即阴影部分对应的集合为(QM)nM\b\=1,则|五+2石|=()C.2V3 D.12【解析】【分析】本题主要考查平面向量的数量积问题，考查向量的模长计算，属于基础题.对|1+2石|平方，再展开即可解题.【解答】解：由题意可知，|五+23」=|司2+4五•石+4|司2=|a|2+4|a||d|cos60。+4|h|=12,|a+2b|=2V3,故选C.25.已知｛a"为正项等比数列，且a2a4=4,设7；为该数列的前〃项积，则3=()A.8 B.16 C.32 D.64【答案】C【解析】【分析】本题考查等比数列的基本量计算，属基础题.首先根据等比数列的通项公式表示出a2a4=a/q4=4,再计算得所求前5项的积心=ajqi。=(a/q44，代入数据进行化简即可.9【解答】解：因为an=aiqn-i,因为%>0々>0,所以a2a4= =ajq4=4,5所以7*5=(aiq°)(ai<71)(ai(72)(a1(?3)(ai<?4)=a^q10=(a/q，”,s所以75=45=25=32.故选C.26.3男3女六位同学站成一排，则3位女生中有且只有两位女生相邻的不同排法种数是()A.576 B.432 C.388 D.216【答案】B【解析】【分析】本题考杳排列组合的应用，涉及分步计数原理的应用，属于基础题.根据题意，分2步进行分析：①先将3名男生排好，排好后有4个空位，②将女生分为1人和2人的两组，安排到4个空位中，考虑2个女生一组的顺序，由分步计数原理计算可得答案.【解答】解：根据题意，分2步进行分析：①先将3名男生排好，有题=6种排法，排好后有4个空位，②将女生分为1人和2人的两组，有玛=3种分组方法，安排到4个空位中，考虑2个女生一组的顺序，有2x掰=24种情况，贝I］有3x24=72种排法，则有6X72=432种不同排法，故选8.27.抛物线C:y2=2px上一点(l,y°)到其焦点的距离为3,则抛物线C的方程为()A.y2=4xB.y2—8xC.y2=12xD.y2=16x【答案】B【解析】【分析】本题主要考查了抛物线的定义，属于基础题.根据抛物线的方程写出其准线方程，进而求解p值即可得解.【解答】解：由抛物线方程可得其准线方程为％= 且p>0，所以点(1,%)到准线的距离等于其到焦点的距离为3,即1+^=3,所以p=4,则该抛物线的方程为/=8x.故选B.28.已知函数f(x)=loga%(Q>0,QH1),则y=/(闭一1)的图象可能是()

【答案】B【解析】【分析】本题考查了函数图象的识别，涉及函数的奇偶性，对数函数的值域，属于基础题.利用函数的奇偶性可以判断选项A,D,利用对数函数的值域即可判断选项B,C.【解答】解：函数/'(x)=bgaX(a>0,aH1),则y=f(|x|-1)=loga(l>-1)，因为y=f(|x|-l)是偶函数，故图象关于y轴对称，则选项A,D错误；•.-y=/(|x|-l)=loga(|x|-l),由对数函数的值域可知函数值有正有负，故排除C,选项B正确.故选：B..如图，在棱长为2的正方体ABCD-AiBiGD］中，过且与AC】平行的平面交B】G于点尸，则PG=()A.2【答案】DA.2【答案】DC.V2B.V3D.1【解析】【分析】本题考查直线与平面平行的判定定理与性质，考查空间想象能力，考查数学运算及逻辑推理核心素养，属于中档题.先得出4cl〃平面&BP.再由线面平行的性质得AC]〃PQ.可得PC1的值.【解答】解：连接AB1交4道于点Q,连接PQ,尸&,PB,则AG〃平面&BP.乂4Ciu平面A/C1，平面ABiGD平面为BP=PQ,所以AC】//PQ.又Q是AB】的中点，所以P是BiG的中点，所以PC1=1,故选DA] DxB.甲、乙两支田径队的体检结果为：甲队队员体重的平均数为60依，方差为200;乙队队员体重的平均数为70依，方差为300.又已知甲、乙两队的队员人数之比为1:4,那么甲乙两队全部队员的平均体重和方差分别是（）A.65,280B.68,280C.65,296D.68,296【答案】D【解析】【分析】本题考查了特征数的求解，解题的关键是掌握平均数与方差的计算公式，考查「逻辑推理能力与化简运算能力，属于基础题.先求出甲、乙两队队员所有队员中所占权重，然后利用平均数与方差的计算公式求解即可.【解答】解：由题意可知甲队体重的平均数为60,乙队体重的平均数为70,甲队队员在所有队员中所占权重为7^7=1+4 5

乙队队员在所有队员中所占权重为工=31+4 5则甲、乙两队全部队员的平均体重为£= 60+gx70=68,甲、乙两队全部队员体重的方差为s2=([200+(60-68)2]+，[300+(70-68)2]=296.故选：D.二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对得5分，部分选对得2分，有选错的得。分。.已知函数/(x)=?lsin(cox+(p)(A>0,a)>0,\(p\<》的部分图象如图所示，下列说法正确的是()A.函数f(x)的图象关于点(-，0)对称B.函数/(x)的图象关于直线x=-皆对称C.函数/(x)在[-第一勺上单调递减D.函数/'(x)图象向右平移，个单位可得函数y=2sinx的图象【答案】AB【解析】【分析】本题考杳函数y=4sin(3x+*)的图象与性质，属于中档题.由函数的图象得函数f(x)=2sin(2x+》，然后逐项判断即可求解.【解答】解：由函数的图象可得4=2,由L二=2-三，解得3=2,43 3 12再根据最值得2x1Q=24兀+]，kEZ；又⑷得W=f得函数/(%)=2sin(2x+；),当％=一？时，/(%)=0,所以函数y=/(%)的图象关于点(一？0)对称，所以A正确；当％=-患时，/(x)=-2,函数y=f(x)的图象关于直线4=-患对称，所以B正确;当xeW1时，2x+^e[-71,0],/(X)不是单调递减，所以C错误；将函数/(无)=2sin(2x+g)向右平移汐单位可得到y=2sin[21一+外=2sin2x的图象，故D错误.故选AB.32.已知a>0,b>0,a+b2=l,则下列选项中正确的是()A.3寸〃的最大值为3 B.b仿的最大值为C.VH+b的最大值为近 D.-二+右的最小值为2a+1炉【答案】BC【解析】【分析】本题考查了基本不等式的应用，掌握应用基本不等式的条件是关键，属于中档题.先判断出a,b的范围，对于A根据指数函数的性质可判断；对于BCD,根据基本不等式可得.【解答】解：因为a,b>0,a+b2=1,所以a=l—4〉。，所以0<a<L0cb<1,对于A：因为0cb<1,所以一1<一。<0,所以一所以3寸〃<31=3,故A错误：对于B：b\[a=Vl-a-Va< 当且仅当Vl-a= 即a=(时等号成立,所以从伍的最大值为(，故B正确：对于C：因为b=Vl—a,所以VH+b=Va+V1—a< =V2,当且仅当依=a/FK，即a=g时等号成立，故C正确；对于D：因为a+b2=1,所以](a+1+h2)=1,-L.+^=；(-L-+^)(a+l+h2)=1+k—+^)>l+；x2l-^--=2,a+1b22va+lb2/x J2va+lb27 2ya+1b2当且仅当乙=誓，即a=0,b=l时等号成立，又0<a<l,所以D错误，a+1b1故选：BC.33.已知函数f(x)=log2(l+4x)—x,则下列说法正确的是()A.函数/Xx)是偶函数 B.函数/(x)是奇函数C.函数f(x)在(-8,0］上单调递增 D.函数f(x)的值域为［1,+8)【答案】AD【解析】【分析】本题考查了函数奇偶性的判断、函数单调性的判断、函数值域的求法，属于中档题.根据/(-x)=/(x),即可判断为偶函数，再根据求导判断正负即可判断出函数的单调性，进而求取值域.【解答】解：易知XWR,因为f(-x)=log2(l+4-*)+x=log2(^-)+x=log2(l+4X)-log222x+x=log2(l+4x)-x=/(x),所以函数/(x)是偶函数，所以A正确，B错误；因为/(x)=log2(l+4、)-X,所以/(幻=6岛益X(4」n4)-1=(:;寓黑当xG(-8,0］,0<4X<1,0<ln2<1,所以1(x)=?黑著<0,所以f(x)在(-8,0］上为减函数，所以C错误；因为f(x)为偶函数，所以f(x)在［0,+8)上为增函数，所以/'(X)min=f(。)=1，当X趋向-8时，/(X)趋向+8,所以函数/(X)的值域为口,+8),所以D正确.故选40.34.已知球。的半径为2,球心。在平面角大小为60。的二面角a-内，二面角a-的两个半平面分别截球面得两个圆01，02,若两圆01，。2的公共弦AB的长为E为AB的中点，四面体0401。2的体积为匕则下列结论中正确的有()A.O,E,。「。2四点共面 B.。1。2=日C.。1。2=： D.V的最大值为经2 16【答案】ACD【解析】【分析】本题主要考查了球的几何性质的应用，余弦定理的应用，基本不等式的应用，考查了学生的空间想象，运算能力等，属于较难题.利用球的几何性质，余弦定理，基本不等式等依次验证每个选项的正误，进而得到答案.【解答】解：如图：显然公共弦AB在棱1上，连接0E,0止，02E,。1。2，0A,则0E=\IOA2-AE2=V3.因为二面角a-l-£的两个半平面分别截球面得两个圆01，02,0为球心，所以0。11a,00210,又4Bu平面a,所以。Oil4B,因为E为AB的中点由球的性质可知0E14B,OO1dOE=0,且。。1、0E均在平面001E内，所以4BJL平面。。止，同理可得48，平面。。2e，平面00道与平面。。25有公共点E,根据空间中过一点有且仅有一个平面与已知直线垂直，可知平面001E与平面。。2岳重合，故0,E,01，。2四点共面，故选项A正确；因为0011a,00210,又OiEu平面a,O2Eu平面0,00i10xE,002102E,则四边形。0遂。2共圆且设圆心为P,连接POi、P02,如图02又平面OO1EO2为二面角a—I-夕的棱1的垂面，故乙。花。2即为二面角a-l-0的平面角，即/。送。2=60°,则圆P的圆心角40止。2=120",设。。中点为Q.连接PQ.则4O/Q=60°,又OE为圆P的直径，则POi=PO2=与，则。1。2=2POiSin/OJQ=2Xysin60°=七，故选项B错误，选项C正确；设00]=OO2=d2f在△。。〔。2中，由余弦定理得：（。1。2）2=-=d/+d22+drd2>3由6/2，当且仅当d]=d2时等号成立，日屈?<-，c 3V3,,天0。[02-77,-.V=^xAExSa00i02<A即V的最大值为焉O **-1O 1O故选4CD.第II卷（非选择题）三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。35.若sina= 贝Ucos2a=.【答案】\【解析】【分析】本题主要考查了二倍角的余弦公式的应用，属于基础题.由二倍角的余弦公式化简所求后代入已知即可求值.【解答】2解：vsina=, , -41・•・cos2a=1-2sinza=1-2x-=-.99故答案为：i36.在数列｛an｝中,%=2,yjan+1=J最+V2,则数列｛an｝的通项公式即=.【答案】2n2【解析】【分析】本题考查了等差数列的通项公式和等差数列的判定与证明，是基础题.利用等差数列的判定得数列｛何｝是首项为a，公差为近的等差数列，再利用等差数列的通项公式计算得结论.【解答】解：'*' =2>，即+1=y/+V2,•••数列｛何｝是以何=疯为首项，企为公差的等差数列，:.y[a^=V2+（n-1）V2=>/2n,an=2n2.故答案为：2n237.已知复数z满足方程：z2-3z+9=0,则|z|=.【答案】3【解析】【分析】本题考查了发数模的求法，需要学生熟练掌握公式，属于基础题.设2=。+儿，a,可得= 解得a="b=±¥，再结合^2ab-3b=0 2 2复数模的公式，即可求解.【解答】解：设2=。+6，a,b£R,vz2-3z4-9=0,・•・Q?一炉+2abi—3a—3bi+9=0,•出：曦"3：+9=。,解得a1…芋,—3b=0 2 23.3V3.Az=-±—^3c 36.•••|z|=l（2）2+（±—）2=3.故答案为：3..已知点M为双曲线C$—\=l（a>O,b>O）在第一象限上一点，点尸为双曲线C的右焦点，O为坐标原点，且41Moi=4|MF|=7|。用，则双曲线C的离心率为;若直线MF,MO分别交双曲线C于P、Q两点，记直线QM与PQ的斜率分别为的，k2,贝妹「七=.【答案】4 -15【解析】【分析】本题考查双曲线的几何性质，双曲线的方程，直线与双曲线的位置关系，属于难题.根据题意知M在线段OF的中垂线上，从而可求得点华），代入双曲线方程，利用b2=c2一a2化简得4c4-65a2c2+16a4=o,进而求得4e4一65e2+16=0,从而解出e的值；设点P（xi，yj,由对称性可知点Q（-Xo，-y（））,将点M,P的坐标代入双曲线方程，两式作差可求得部"-kpQ=kpM-k2=专等=15.根据点M在线段0F的中垂线Xl~X0上，所以kpM=—=—的,从而求出七•B的值.【解答】解：设点^（而,先）,因为41Moi=4|MF|=7|OF|=7c,所以点M在线段OF的中垂线上.所以X。=\,y0=J|0“|2_罕=J等一，=华，将其代入双曲线方程得，鸟一盘=1，4az16bz即4b2c2-45a2c2=i6az/>2,又b?=c2—a2,所以4c4—4a2c2-45a2c2=16a2c2-16a3即4c4-65a2c2+16a4=0,两边同时除以a3得4e4-65e2+16=0,8P（4e2-l）（e2-16）=0,解得e2=1或e2=16,由e>l,所以e=4.4设点P（%i，yi）,由对称性可知，点Q（—Xo，—yo）,将点M,P的坐标代入双曲线方程得，fxo2=]।田一再一’两式作差得，耳=守，=1 a b\a2从一却即钊=[=¥=e2—l=15.xf-Xqa£q/因为kpM所以⑥M•kpQ=kpM•kz=及$空=钊=15.Q Xi-xo.Xi+XoXf-xg根据点M在线段OF的中垂线上，所以kpM=-%M=-ki.所以一七・k2=15,所以七・k2=-15.四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。.已知数列｛oj,｛匕｝满足bn=an-(一I)”2，%+瓦=1,a2+h2=8,且数列｛九｝是等差数列.(1)求数列｛Qn｝的通项公式；(2)设数列｛an｝的前〃项和为〃，若4=｛九|九三110且7；4110｝,求集合A中所有元素的和T.【答案】解：(1)由瓦!=an—(―I)71/可得小=b〔一1,a?=+4，因为由+仇=1,a2+62=8,所以瓦=1,b2=29因为数列｛5｝是等差数列，所以数列｛bn｝的公差d=西一瓦=1，所以“!=n,所以册=n+(-l)nn2;(2)由(1)得“=n+(-l)nn2,ar=0,所以Q2n+«2n+i=2n4-(2n)2+2n4-1-(2n4-l)2=0,可得7211-1=%+(&+%)+…+(。2n-2+^2n-l)=0+0+…+0=0，所以n为奇数时7；=0,故1,3,5,…，109都是集合A中的元素，又T2n=T2n-i+a2n=2n(2n+1),所以n为偶数时〃=n(n+1),由n(n+1)<110得n<10,所以2,4,6,8,10,是集合A中的元素，所以T=(1+3+•••+109)+(2+4+6+8+10)=x55+30=30254-30=3055.【解析】本题考查等差数列的通项公式，考查数列的求和，属于中档题.(1)先求出数列｛b｝的通项公式，即可得即=n+(-l)nn2;

(2)由(1)得an=〃+(-1尸/，讨论n为奇数或偶数可求得7；,即可得A中n的值，计算可得所求和..如图，已知圆锥AO的底面半径为2,母线长为2g,点C为圆锥底面圆周上的一点，。为圆心，点，。为圆心，。是AB的中点(1)求三棱锥。-OCB的表面积;(2)求A到平面OCD的距离.【答案】解：(1)由已知OCJ.OB,OC1OA,OBC\OA=0,OB,OCu面OBA,则OCX面OBA,ODu面OBA,则OC1OD,BPzCOD=90°,三棱锥。-OCB的表面积等于Saocb+S&OCD+S^ODB+S^cdb，S40cB=~x2x2=2,S&OCD=~x2xV10=V10,圆锥的高AO=J(2g)2-22=6,则，od8=1xix2x6=3,对于△CDB,CB=2V2,DB=同,CD=V22+10=V14,则cos"CB=覆瑞=9所以siWCB=Jl-(怜=册,则，cdb=ixVT4x2V2xj|=VT9,故三棱锥。-OCB的表面积为5+V10+V19;(2)因为D是AB的中点，则A到平面OCD的距离即为B到平面OCD的距离,过B作8H10D垂足为H,因为OC1面OBA,且。Cu面OCD,所以面0B4，面OCD,又BH1。。，面OBAnffiOCD=OD,BHu面OBA,则BH_L面OCD,则线段BH长度即为B到平面OCD的距离，・•.BH=丝迪=警=犯电，ODV10 5所以A到平面0C1)的距离为蜉.【解析】本题考查空间距离的求法以及三棱锥表面积的求法，属于中档题.(1)三棱锥D-OCB的表面积等于，ocb+Saocd+5a0DB+ShCDB，然后逐个计算即可求出结果；(2)4到平面OCD的距离即为B到平面OCD的距离，过B作BH10D垂足为H,即可得=受器”=髭即可求出结果..在aABC中，内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且9="£=包1.bacosB⑴求A；(2)已知AB=2,。为AC的中点，点P在8。上，且满足而•方=1,求APAC的面积.【答案】解：⑴由&=可得sinAcosB=sinBsinA,bcosB又sinAH0,则tanB=1,因为BW(0,tt),所以B=：,由2=史二可得02=>2+儿，BPcosF=a2+c-b-=—,ba 2ac2a所以c+b=2acosF,由正弦定理可得sinC+sinB=2sin4cos8,贝ijsin(4+8)+sinB=2sinAcos8,可得sinB=sin(4一B),则B=4-B或B+A-B=兀(舍去)，所以4=2B='(2)因为4=8=%所以4c=48=2,因为屈•方=1,所以I存I•I前I-cos乙4PC=1,又因为心=AP2+Cp2_2AP.CPCOS/.APC,所以AP2+cP2=6,因为CP?=CD2+DP2-2CD-DPcosz.CDP,AP2=AD2+DP2-2AD-DPcosZ.ADP,所以两式相加可得CP?+AP2=CD2+AD2+2DP2,解得DP=V2,过点P作PE1AC,皿［包必£_EP_DP_42加三嬴一而一记一再一T'又因为Saabc= ♦AC=2,所以【解析】本题主要考查正余弦定理以及三角形面积公式的运用，属于中档题.(1)由£=列上结合正弦定理整理可得tan8=l,可得8=3再由：=比，结合正余弦定理整理可得sinB=sin(4-8),进而可得A=2B=今(2)由福•而=1,得AP•CPcos乙4PC=1代入余弦定理可得AP?+cp2-6(分别用余弦定理求出CP?、AP2,两式相加解得DP=VL过点P作PE14L可求解受生，进而求解S-bc，可得结果.\&ABC.某科技公司组织技术人员进行某新项目研发，技术人员将独立地进行项目中不同类型的实验甲、乙、丙，已知实验甲、乙、丙成功的概率分别为去；、(1)对实验甲、乙、丙各进行一次，求至少有一次成功的概率；(2)该项目研发流程如下：实验甲做一次，若成功，则奖励技术人员1万元并进行实验乙，否则技术人员不获得奖励且该项目终止;实验乙做两次，若两次都成功，则追加技术人员3万元奖励并进行实验丙,否则技术人员不追加奖励且该项目终止;实验丙做三次，若至少两次成功，则项目研发成功，再追加技术人员4万元奖励,否则不追加奖励且该项目终止.每次实验相互独立，用X(单位：万元)表示技术人员所获得奖励的数值，写出X的分布列及数学期望.【答案】解：(1)记实验甲，乙，丙成功分别为事件A,B,C,且它们相互独立，故实验甲、乙、丙各进行一次，至少有一次成功的概率P=1-P(ABC)=l-ixix1=2324；(2)由题意可知，随机变量X的可能取值为0,1,4,8,所以P(X=0)=1-|P(X=l)=；x[l-(1)2]=^,P(X=4)=：x(乎端)3+(1)3]=1,P(X=8)=：x守端＞+(2=%所以X的分布列为:X0148P145121616故E(X)=0xi+lx—+4xi+8xi=里万元.【解析】本题考查了相互独立事件的概率乘法公式，对立事件的概率公式，离散型随机变量及其分布列和离散型随机变量期望的求解与应用，考查了逻辑推理能力与化简运算能力，属于中档题.(1)利用相互独立事件的概率乘法公式以及对立事件的概率公式求解即可；(2)先求出随机变量X的可能取值，然后求出其对应的概率，列出分布列，由数学期望的计算公式求解即可..已知椭圆C$+《=l(a>b>0)的右焦点为F,离心率为右直线l:y=x被椭圆截得的弦长为竽.(1)求椭圆C的标准方程；(2)若尸是椭圆C上一点，O是坐标原点，过点尸与直线/平行的直线与椭圆C的两个交点为A,B,且赤=4函+4而，求"的最大值.【答案】解：(1)由题可知e=：=5则42=牝2,又a2=4+c2,故廿=3c?①，ry=x联立卜2y2 解得％=±少篝，+T7=1 vaz+t>2所以va2+bz则弦长=&・%一打|=鱼・德=辛，解得c2=l,a2=4,炉=3,TOC\o"1-5"\h\z所以椭圆C的标准方程为［+<=1；4 3(2)由(1)知F(1,O),则直线AB的方程为y=x-l,(y=x-l联立/整理得7/一8%-8=0,4>0,( 1 =114 3设4(工1，%)8(如力)，则有％i+%2=*xix2=-7,同时3*+4y；=12,3/+4光=12,设P(x,y),由而=4成+〃而，得(x,y)=2(X1，%)+p(x2,y2)=(尢勺+nx2,4yl+国力)，所以(：=煞：”又因为点P在椭圆上，(y=%+ny2所以3/+4y2=3(5+〃*2)2+4(坟+4y2尸=A2(3xf+4yf)+42(3诏+4y分+2加(3/必+4yly2)=12A2+12g2+24〃(3》62+4yly2)=12,又因为34*2+4yly2=3x62+4(X1-1)(小-1)=7xxx2-4(*1+-2)+4=7x(--)-4x-+4=-y,代入上式得12矣+12/?+2vx(-y)=12,即X+H2—yAp=1.则1=%?+〃2—■入n>22〃——A/J.=—Ap,所以；I4< 当且仅当4=4时取“="，则4“的最大值为三4 4【解析】本题主要考查椭圆的方程及其性质，考查直线与椭圆的位置关系及考查学生的运算求解能力，综合性强，属于难题.(1)利用椭圆的性质，求得a,b即可得出椭圆的方程；(2)根据椭圆与直线的关系，联立方程组，结合方程根与系数的关系求解即可.44.已知函数/(x)=(x-2)ex-qx+alnx(aG/?).(1)当q=-1时，求函数f(x)的单调区间；(2)讨论/(%)的零点个数.【答案】(1)解：当q=-1时，/(%)=(x-2)ex+x-Inx,则八x)=(x—1)统+1—5=。-l)(e、+»因为xe(O,+8),则0*+：>0,所以x>l时，f'(x)>0,0cx<1时，f'(x)<0,所以函数f(x)在(0,1)上单调递减，在(1,+8)上单调递增，故/(X)的单调递减区间是(0,1),单调递增区间是(1,+8).(2)因为f(x)=(x—2)ex-ax+alnx.则r(x)=(x-l)ex-a+^=(x-l)(ex-*,(i)当a<0时，因为xC(0,+8),则e*-£>0,则x>1时，/'(x)>0,所以0<x<1时,f'(x)<0,所以函数/'(x)在(0,1)上单调递减，在(1,+8)上单调递增，f(1)=-e-a.当/'(1)=-e-a>0时，即£1<-e时，f(x)>/(I)>0,所以当a<-e时，函数f(x)没有零点，即函数/(x)零点个数为0；当f(l)=-e-a=0,即。=一€时，/(x)>/(1)=0,所以当a=-e时，函数/"(X)有且只有一个零点x=1,即函数f(x)的零点个数为1；当/'(1)=-e-a<0,即一e<a<0时，/(2