2023年人教版高考数学总复习第一部分考点指导第二章不等式第一节不等式性质与基本不等式

第二章不等式第一节不等式性质与基本不等式【考试要求】.梳理等式的性质，理解不等式的概念，掌握不等式的性质..掌握基本不等式，元《变（a>0,6>0）,结合具体实例，能用基本不等式解决简单的最大值或最小值问题.【高考考情】考点考法：不等式的性质与基本不等式，是每年必考的重点内容，常常结合函数与导数、数列、解析几何等知识交汇命题，属于中档题.核心素养：数学抽象、数学运算、逻辑推理。 一知谓梳理二思催激活一 Q归纳•知识必备.两个实数比较大小的依据(a-b>Ooa>b(a,b£R),⑴作差法(a—6=0=a=b(a,6WR)，La-Z?<O<=>c?<Z?(a,Z?£R)；ra / 、(a£R,Z?>0),b(2)作商法<]=l=a=6(aER,6W0),a 、7<1<^>a<b(a£R,Z?>0)..不等式的基本性质(1)对称性：a>bobVa；(2)传递性：a>b,6>ga>c；(3)可加性：a>Zx=^a+c>_b+c；⑷加法法则：a>b,c>d^>a+c>b+d\(5)可乘性：a>b>c>0=ac>be；a>b,c<0=ac<be；(6)乘法法则：a>b>0,c>d>G=ac>bd；

(7)乘方法则：a>b>0=»a>b'1,〃WN)；(8)开方法则：b>0=>y[a>\[b(〃22,〃£N)..基本不等式4另《审(1)基本不等式成立的条件：a>0,b>0.(2)等号成立的条件：当且仅当a=6时取等号.(3)其中小叫做正数a,6的算术平均数，限叫做正数a,6的几何平均数.,注解1灵活把握基本不等式的两种常用变形(a,AeR,当且仅当己=6时取等号).(2)a+622以(a>0,b>0,当且仅当a=6时取等号)..利用基本不等式求最值⑵已知尤>0,y>0,则(1)如果积盯等于定值P,那么当且仅当x=y时,x+y有最小值是2、但一(简记:积定和最小).(2)如果和x+y等于定值S,那么当且仅当正匕时，灯有最大值是『(简记：和定积最大).注解2基本不等式求最值的三个常用结论a-+Z/⑴一^―/-、b、a、, 、⑵1+-22(20).力+下z力+下z 、—7—(a>0,Z?>0).智学-变式探源1.必修一P43T72.必修一P48T2L(改变结论)若a>6>0,c<d<09则()A.ad>be B.ad〈bcC.ac>bdC.ac>bdD.ac<bd【解析】选D.cVdVOn—c>—(/>0,则有一ac>—bd,所以acVba2.（改变数值）若用总长为20m的篱笆围成一个矩形场地，则矩形场地的最大面积是【解析】设矩形的一边长为xm,矩形场地的面积为1 x~\~（10—x）2ym2,则矩形另一边长为5X（20—2x）=（10—x）m,所以y=x（10—x）W -25（m2）,当且仅当x=10—x,即x=5时等号成立，则为,x=25.答案：25慧考•四基自测3.基础知识4.基本方法5.基本能力6.基本应用3.（不等式性质）设a,b,cWR,且a>6,则（）A.ac>bcB.~<7C.a>1）D.a>b'ab【解析】选D.取a=l,b=—2,c=-l,排除A,B,C..（比较大小）设+V10,6=/+V14,则a与6的大小关系为（）A.a=bB.a>bC.a<bD.无法判断【解析】选B.a?=17+2诉，^=17+2^42,由2诉>2^/42,知［百>8,又a>0,b>0,所以a>6..（求最值）若x>0,y>0,且x+y=18,则［后的最大值为（）A.9B.18C.36D.81【解析】选A.因为x+y=18,所以《弓？=9,当且仅当x=y=9时，等号成立.1 96.（求最值）已知x>0,y>0,且］+-=1,则x+y的最小值为.【解析】方法一：（1的代换）因为:+-=b所以x+y=（x+力・ =1°+；+：,因为x>0,y>0,所以1+— ~•—=6.xyxyy9x当且仅当/=—,即尸3x时，等号成立.xy19又一+一=1,所以x=4,y=12,所以才+y216.xy所以当x=4,尸12时，x+y取得最小值16.TOC\o"1-5"\h\z1 9 v方法二：(消元法)由- +- =1>得X= Q .x y y—9因为M>0,y>0,所以y>9.y y—9+9 9 9x+y=+y=y+ -=y+q+l=(y—9)++10.因为y>9,所以y—9y—y y—y y-y y—y>0,9 / 9-所以y—9H 22、/(y—9)•—-=6.y-9 \] y—99当且仅当y—9=,即y=12时等号成立，此时x=4,所以当x=4,y=12时，x+y取y—9得最小值16.1 9方法三：(配凑法)由-+-=1,得y+9x=xy,xy所以(x—1)(y—9)=9.所以x+y=10+(x—1)+(y-9)10+2\j(a-1)(y-9)=16.当且仅当x-l=y-9时等号成立.1 9又因为一+-=1,所以x=4,y=12.xy所以当x=4,y=12时，x+y取得最小值16.答案：16Q =--考点榇—•―法培优 ——Q，考点一比较大小与不等式的性质|自主练透1.(多选题)对于实数a,b,c,下列命题是真命题的为()A.若a>b,则』<~abB.若a>b,则acbeC.若a>0>b,则a~<-ab... abD.若c>a>b>09则 > ;c-ac-b【解析】选BD.A.根据a>6,取a=l,6=T,则：弓不成立'故A错误;B.因为a>6,所以由不等式的基本性质知ac226c2成立，故B正确；C.由a>0>6,取a=l,b=—l,则a?V-ab不成立，故C错误；D.因为c>a>6>0,所以（a—b）c>0,所以ac—ab>be—ab,即a（c—8）>6（c—a）,因为c—a>0,c—b>0,所以二一>~\,故D正确.c—ac—b（2019•全国卷H）若a>6,则（）A.In（a-b）>0 B.3"V3’C.a3-/?3>0 D.\a\>\b\【解析】选C.当a=3,6=2时，选项A错.由于a>6,而y=3"是增函数，所以3">3：故B错.当a=3,6=—5时，选项D错.因为尸/是增函数，故，>加，故C正确.TOC\o"1-5"\h\z.设a,6G[0,+8）,4=&+y[b,B=y[^+b,则46的大小关系是（ ）A.AWB B. C.A<B D.A>B【解析】选B.因为420,620,才一#=&+2仃+6—（a+6）=2，^20,所以42AJI JI.已知角a,£满足一丫<a—J3<—,0<a+<ti9贝Ij3。一£的取值范围是【解析】设3〃一£=力（〃一£）+〃（。+£）,则[勿+〃=33。一£=[m+n）a+（〃一卬）B.所以彳 ，[n/n=lf777=2解得《 ，所以3〃一£=2（。一£）+（〃+£）.[77=1JI JI由一万<a—>?<—得一nV2（a—£）Vn,所以一nV3。一£V2n.答案：（一八2n）,规律方法

(1)利用不等式性质判断命题正误，常用两种方法①直接使用不等式的性质逐个验证；②利用特殊值法排除错误答案.(2)比较大小常用的方法①作差(商)法：作差(商)=变形=判断；②构造函数法：利用函数的单调性比较大小；③中间量法：利用中间量法比较两式大小，一般选取0或1作为中间量.(3)由aVf(x,y)<b,c<g(x,y)Vd求C(x,y)的取值范围，要利用待定系数法解决，即设C(x,y)y)+ng[x,y),用恒等变形求得力，n,再利用不等式的性质求得力的取值范围.自m【加练备选】.(一题多解)若e"+n'，ei+L",则有()A.a+6W0 B.a-620C.a-bWO D.a+620e+l^l+—,成立，排除C.方法二：(单调性法)令/'(x)=e*—nT可知f(x)是增函数,所以F(a)2F(—e+l^l+—,成立，排除C.方法二：(单调性法)令/'(x)=e*—nT可知f(x)是增函数,所以F(a)2F(—6),所以心一6,即3+620.2.若a=18*6=16：则a与b的大小关系为 .a1R'6 "8、16 1 (9、【解析】易知a,b>0,所以°—*18—[16) x162—因为8啦所以0<f 〈I，所以aV6.答案：a<b・考点二利用基本不等式求最值多维探究因为e"一—》「一n”,16X©16 16当a=l,b=0时，1高考考情：利用基本(均值)不等式求最值，一般是已知两个非负数的和为定值求其乘积的最•角度1利用配凑法求最值3[典例1](1)设OVxV],则函数y=4x(3—2x)的最大值为.【解析】y=4x(3-2x)=2[2x(3-2x)]《2x+(3—2x) 2 92 o =三，当且仅当2x=3—2x,3即3即x=［时，等号成立.3-2

3

/(X

G3-4

为

因3 9所以函数y=4x(3—2x)(OVxV/)的最大值为5.9答案：2x2+2TOC\o"1-5"\h\z(2)函数y=-r(x>l)的最小值为 .X—1.mil. x-+2 (x2—2x+1)+(2x—2)+3【解析】y=-= 1 (X—1)+2(X—1)+3 /八I3 r;= ] =(x-D+r+222#3+2.X-1 X-1 v3 r-当且仅当(X—1)=7—k，即x=S+1时，等号成立.(X—1) V答案:2小+2•角度2常数代换法求最值[典例2]已知a>0,b>0,a+b=l,则 b1的最小值为 .ab【解析】因为a+b=l,所以,+2=|-+r|(a+b)=2+(-+^|22+2、=2+2=abva07 (abj vab4.当且仅当a=b=g时，等号成立.答案：4，一题多变

（1）（改变问法）若本例条件不变，则（1+（）的最小值为.【解析6+3（5）=。+噌甯=（2+5）（2+3=5+2*+己）2+4=9.当且仅当a=b=；时，等号成立.答案：9（2）（改变条件）本例中把“a+b=l”改为“a+2b=3”,则沁的最小值为 1 9所以！+bf|a+|b]=；+1T所以！+bf|a+|b]=；+1Tab（ab八3 3） 3 3当且仅当a=/b时，等号成立.答案：1+寸•角度3消元法求最值[典例3]（2021•上饶模拟）已知正数a,b1 1A.8B.2C.- D.~8 o【解析】选C因为a,b,c都是正数，ac ac ] <（2a+c）~4a*+4ac+c?4ale1一+一+4ca成立.,规律方法1自主完善，老师指导1.配凑法求最值的实质及关键点配凑法就是将相关代数式进行适当的变形a.2b./a2b 12d2卜+&21+2'/• —H--~.3b3a m3b3a 3,c满足2a—b+c=0,则点的最大值为（）且满足2a—b+c=0,所以b=2a+c,所以患=b〈 r;—— —a,当且仅当c—2a>0时等号2、丁7+4,通过添项、拆项等方法凑成和为定值或积为定值的形式，然后利用基本不等式求解最值的方法.配凑法的实质是代数式的灵活变形，拼系数、凑常数是关键..常数代换法求最值的步骤(1)根据已知条件或其变形确定定值(常数).(2)把确定的定值(常数)变形为L(3)把二L二的表达式与所求最值的表达式相乘或相除，进而构造和或积的形式.(4)利用基本不等式求解最值..消元法求最值的策略当所求最值的代数式中的变量比较多时，通常是考虑利用已知条件消去部分变量，凑出“和为常数”或“积为常数”,最后利用基本不等式求最值.,多维训练.已知x>0,y>0,且x+y=8,则(1+x)(1+y)的最大值为.【解析】因为x>0,y>0,且x+y=8,所以(1+x)(1+y)=1+(x+y)+xy=9+xy<9+ =9+16=25.当且仅当x=y=4时等号成立，所以(1+x)(1+y)的最大值为25.答案：25.已知正数x,y满足x°+2xy—3=0,则2x+y的最小值是.3—x23 1【解析】由x,+2xy—3=0,得y=九=—x,乙X乙X乙则2x+y=2x+/—1x=-y 22y1•微=3,当且仅当x=l时，等号成立，所以2x+y的最小值为3.答案：3.若函数f(x)=x+'7(x>2)在x=a处取最小值，则a= .x—2【解析】因为x>2,所以x—2>0,所以f(x)=x+二f=(x—2)H■—1+222+2=4.X—z X—2当且仅当x—2=」，即(x—2尸=1时等号成立，解得x=l或3.又因为x>2,所以x=3,即a=3时，函数f(x)在x=3处取得最小值.答案：3

翦【加练备选】（2019•天津高考）设x>0,y〉0,x+2y=5,则小土与乡士^的最小值为 ,\xy（x+1）（2y+l） 2xy+x+2y+l【解析】 /= = /= \xy A/xy(1)将该产品的利润(1)将该产品的利润y万元表示为促销费用x万元的函数；(2)促销费用投入多少万元时，厂家的利润最大？【解析】(1)由题意知，该产品售价为(4+，)元/件，所以入t-5x+i化问得丫-20 (x+i+x)(OWxWk).⑵y—20l+1+x)—21[+]+x+l)<212A/x+lX"I)I,4当且仅气TT-x+L即x-l时，上式等号成立.当k21时，促销费用投入1万元时，厂家的利润最大；y=（4+,）Xt—10—2t—x,代当且仅当xy=3时等号成立.故所求的最小值为4^3.答案:4小・考点三基本不等式的实际应用|讲练互访[典例4]某厂家举行大型的促销活动，经测算某产品当促销费用为x万元时，销售量t万件2满足t=5一干(其中OWxWk,k为正常数).现假定产量与销售量相等，已知生产该产品t万件还需投入成本(10+2t)万元(不含促销费用)，产品的销售价格定为(4+§)元/件.

故y=21—(，i+x+l)在OWxWk上单调递增.所以在x=k时，函数有最大值，即促销费用投入k万元时，厂家的利润最大.综上，当kel时，促销费用投入1万元时，厂家的利润最大；当OVkVl时，促销费用投入k万元时，厂家的利润最大.，规律方法基本不等式实际应用问题的解题技巧(1)根据实际问题抽象出函数的解析式，再利用基本不等式求得函数的最值.(2)解应用题时，一定要注意变量的实际意义及其取值范围.(3)在应用基本不等式求函数最值时，若等号取不到，可利用函数的单调性求解.，'对点训练某学校为了支持生物课程基地研究植物生长，计划利用学校空地建造一间室内面积为900/的矩形温室.在温室内划出三块全等的矩形区域，分别种植三种植物.相邻矩形区域之间间隔1加，三块矩形区域的前、后与内墙各保留1/宽的通道，左、右两块矩形区域分别与相邻的左右内墙保留3勿宽的通道，如图.设矩形温室的室内长为x(单位：加)，三块种植植物的矩形区域的总面积为S(单位：舟.则S关于x的函数解析式为；S的最大值为.【解析】由题设，得S=(x—8)[*-2)=-2x-Ly^+