《统计学教程》课件（第九章、第十章）

统计学第九章

时间序列分析本章知识点：时间序列

水平变动描述

速度变动描述

时间序列的分解

长期趋势测定

季节变动测定移动平均法指数平滑法2时间序列定义：是同一现象按照时间顺序排列而成的一组观测值；由现象在不同时间上的观测值和现象所属的时间构成。

图形是展示时间序列特征最直观、有效的形式，通常作为时序分析的第一步。给定一个时间序列，可以首先通过作图来观察数据随时间变化的规律，然后在此基础上展开分析和建模。3【例9.1】表9.1以年份形式给出1996—2011年我国国内生产总值、年末总人口、人口自然增长率、居民消费价格指数四个时间序列，通过作图描述这四个时间序列的特征和变化趋势。4解：根据表9.1作图，可以判断我国国内生产总值呈现上升的趋势，并且增长率逐年增加；年末总人口一直在增长，但增长率逐渐减少；人口自然增长率呈现线性下降的趋势；居民消费价格指数序列没有明显的趋势，但呈现出一定的循环变动。5表9.1国内生产总值等指标的时间序列表6年份国内生产总值（亿元）年末总人口（万人）人口自然增长率（‰）居民消费价格指数199671176.612238910.42108.3199778973.012362610.06102.8199884402.31247619.1499.2199989677.11257868.1898.6200099214.61267437.58100.42001109655.21276276.95100.72002120332.71284536.4599.22003135822.81292276.01101.22004159878.31299885.87103.92005184937.41307565.89101.82006216314.41314485.28101.52007265810.31321295.17104.82008314045.41328025.08105.92009340902.81334504.8799.32010401512.81340914.79103.32011472881.61347354.79105.4资料来源：《中国统计年鉴2012》，中国统计出版社，2013年。图9.1不同时间序列的图形描述7国内生产总值年末总人口居民消费价格指数人口自然增长率水平变动描述时间序列水平变动包括发展水平、平均发展水平、增长量。1．发展水平

在时间序列中，令

表示现象所属的时间，表示现象在不同时间上的观测值，也称为发展水平。例如，广东省2016年GDP总量为7.93万亿元。8水平变动描述发展水平是时间序列中最基础的要素，可以分为基期发展水平和报告期发展水平。报告期水平和基期水平进行对比，可以反映现象变动情况。92.平均发展水平是整个观测期发展水平的平均数。反映发展水平的指标可以分为时期指标（如产值）和时点指标（如人口数），所以计算平均发展水平方式略有不同。103.增长量增长量用来描述现象在观测期内增长的绝对数量，由报告期发展水平减去基期发展水平得到。11增长量按基期的选择可以分为逐期增长量和累计增长量。累计增长量是各逐期增长量之和。12速度变动描述反映速度变动指标有发展速度和增长速度。1．发展速度

13速度变动描述根据对比的基期不同，发展速度可以分为环比发展速度和定基发展速度:环比速度描述现象逐期变化程度，定基速度描述现象在观测期内总的变化程度。14设时间序列观测值为

，发展速度为

，计算公式为环比发展速度：

（

）定基发展速度：

（

）各期环比发展速度的连乘积等于相应的定基发展速度：152．增长速度(增长率)根据基期的不同选择，增长速度可以分为环比增长速度和定基增长速度。3.

平均发展速度与平均增长速度平均发展速度

平均增长速度=平均发展速度-116时间序列的分解事物发展变化受诸多因素影响，这些因素表现为：长期趋势（T）季节变动（S）循环变动（C）不规则变动（I）171．长期趋势长期趋势是时间序列在较长时期内持续上升或下降的发展态势；可以是线性的，也可以是非线性的；通常由某种固定性因素长期作用于事物产生，其发展具有持续性，有利于根据以往的观测值对未来进行预测。182．季节变动

季节波动是时间序列在一年内重复出现的周期性波动；“季节”不仅指一年中的四季，还可以指一年中任何一种周期，如月、周、日、时等；季节波动多是由于自然因素和生产或生活条件的影响引起的，其波动具有重复性。193．循环变动循环变动是时间序列较长时间内（通常为一年以上）上下起伏的周期性波动。循环变动是一种涨落相间的交替波动；循环变动的周期长短不一、幅度高低不同，不具有重复性。204．不规则变动不规则变动包含时间序列中所有没有明显规律性的变动；不规则变动是时间序列剔除长期趋势、季节变动、循环变动后的偶然性波动，又称剩余变动或随机变动。21构建时间序列分解模型(设Y为时间序列的指标值)加法模型：乘法模型：时间序列分析就是要分解出各个要素。22【例9.2】表9.2是2000-2008年我国社会消费品零售总额月度时间序列。选择恰当的分解模型将该时间序列分解，并分别测算各个变动。23表9.22000-2008年我国社会消费品零售总额月度数据

单位：亿元24图形描述25图9.2社会消费品零售总额月度时序图长期趋势测定对于含有长期趋势的时间序列，首先采用移动平均法剔除季节变动和不规则变动，再对得到的新时间序列拟合长期趋势。移动平均法是将一定时间间隔内的观察值平均，既有拟合功能，也有预测功能，是长期趋势变动分析常用的方法。后面我们还会通过例子介绍移动平均法的预测。26长期趋势测定本例中，移动平均值计算表格见教材，通过计算可以得到移动平均拟合序列，即下图中的TC27图9.3零售总额长期趋势图得到趋势序列TC后，进一步建立模型来拟合。长期趋势分为线性趋势和非线性趋势，对于线性趋势，采用直线模型描述；对于非线性趋势，常采用的模型有二次曲线模型、指数曲线模型等。各模型的形式和特点如下：28模型模型形式特点直线模型一次差分（

）相等二次曲线模型二次差分相等指数曲线模型一次比率相等通过9.3TC图形可知，它出现曲线上升趋势，进一步计算可以知道，它更符合指数曲线模型，也就是说时间序列TC的一次比率接近相等，因此这里采用指数曲线拟合，得到拟合线T,具体拟合过程见教材。29季节变动的测定在时间序列的乘法模型中，季节变动是通过季节指数来估算的；季节指数可以描述现象由于受季节因素的影响偏离其总平均水平的相对程度，季节指数计算步骤为：

30季节变动的测定1.对多年同季数据进行简单平均，以消除不规则运动。2.将同季平均数与总平均数作比，得到季节指数

。

季节指数计算表如下，表中数据是Y/TC，以反映季节变化。31表9-3运用按季平均法求季节指数单位：%月度200020012002200320042005200620072008同月平均季节指数1—111.26109.94108.41109.98108.41112.15108.5111.29109.99110.152—101.01100.99101.74100.05101.2199.86100.39100.74100.75100.893—94.6493.9894.8394.995.6695.0796.396.2395.295.334—92.0691.491.3292.491.793.394.8594.692.7192.835—94.895.1591.7994.7994.9498.4199.2999.1996.0496.186—93.2893.0893.9795.2893.9495.5496.5396.5894.7794.91790.7690.790.4992.5892.9992.0293.994.51—92.2492.37891.3191.2591.0992.6492.8792.3293.7893.85—92.3992.52998.1698.498.27100.79101.3599.1499.8398.71—99.3399.4710103.44104.36104.23105.41105.72103.83105.25103.01—104.41104.5511105.33105.98105.48103.96104.06103.12101.3199.22—103.56103.712123.74124.09123.46115.51115.15117.5110106.07—116.94117.1平均—————————99.86—33图9.4零售总额季节指数图将表中季节指数制图如下由图看到，我国商品零售总额季节变动规律是，冬季商品零售额最高，其次是春秋季，零售额最低的是夏季。34移动平均法移动平均是将一定时间内的观测值平均数作为趋势值或预测值的一种方法，可以分为简单移动平均和加权移动平均。1．简单移动平均法

设时间序列已有的

期观察值为

，取移动平均期数为

（

），则第

期的预测值：第

期的预测值：

35移动平均的期数K不同，结果会有差异。一般说来，K越大，参加计算的数据越多，得到的曲线越平滑，表现的长期趋势越清晰；但期数越大，滞后偏差越大，趋势对近期变化的反映不敏感。K的取值一般去K=3，或K=5。移动平均计算如下表所示。36表9-4我国城市居民消费价格指数的简单移动平均预测值年份价格指数k=3k=51990101.3——1991105.1——1992108.6——1993116.1105—1994125109.9—1995116.8116.6111.21996108.8119.3114.31997103.1116.9115.1199899.4109.6114199998.7103.8110.62000100.8100.4105.42001100.799.6102.2200299100.1100.52003100.9100.299.72004103.3100.21002005101.6101.1100.92006101.5101.9101.12007104.5102.1101.32008—102.5102.4图9-5城市居民消费价格指数的观测值与移动平均预测值由此制图如下2．加权移动平均法

简单移动平均给每个观察值赋予相等权数，然而实际中近期观测值比远期观测值的影响更大些，如考虑这个因素，可以给近期观测值赋予更大的权数。取移动期数为

（

），权数为（

），

加权移动平均第t+1期的预测值为其中，40指数平滑法指数平滑法是加权移动平均法的一种特殊形式，对距离越远的观测值赋予的权重越小，并且权重随着时间间隔的增大呈指数衰减，因而称为指数平滑。41指数平滑法指数平滑法包括一次指数平滑，二次指数平滑，多次指数平滑，这里介绍一次指数平滑法。一次指数平滑只有一个平滑系数，以第t期观测值与预测值的线性组合作为第t+1期的预测值，用公式表示为

42将上式展开，设（第1期预测值就用该期观测值），则t+1期预测值的完整式为

可以看出，任何一期预测值都是之前全部观测值的加权平均，并且权数呈指数递减。

43平滑系数的选择是一个关键问题。一般而言，对于比较平稳的序列，常取较小的，对近期变化剧烈的序列，可以取较大的。

44统计学第十章指数本章知识点：指数概念与分类

指数编制中的问题加权综合指数

拉氏指数帕氏指数

加权平均指数总量指数体系分析加权综合指数体系分析平均数变动因素分解46指数概念指数，或称统计指数，是综合反映由多种因素组成的经济现象在不同时间、不同空间条件下平均变动的相对数。

指数概念中的两个要点：1.测度多项内容，如物价指数（CPI)；2.动态相对数，反映现象随时间变化而变化的情况。47指数编制中的问题编制指数涉及到的问题1.选择项目。如代表规格品，不同指标等；2.确定基期。指数反映的时间跨度；如，按2010年不变价格计算；3.确定权数。每个项目在总指数中作用大小；4.计算方法。如何进行各项指标结果合成。48加权综合指数加权综合指数是指数方法论中最典型的代表。一是对每个项目确定合理权数，二是确定适当的计算公式。加权综合指数是反映不能直接加总的多项事物数量综合变动的相对数。方法要点：1.引进媒介因素，对复杂现象的数量进行综合；2.将媒介因素固定，以单纯反映被研究指标的变动。49【例10.1】表10.1是某商场甲、乙、丙三种商品基期和报告期的资料，其中，下标0表示为前期（基期），下标1表示为本期（报告期），表示价格，

表示销售量。50表10.1

某地各种商品的销售量及销售价格资料

销售量总指数（销售量综合指数）价格总指数（价格综合指数）

52式中和称为综合指数的"同度量因素”，因为它所起的作用是将“不能同度量的因素”转化为能够“同度量”；同度量因素对被研究指标（指数化指标）起加权的作用。同度量因素固定时期一般将数量指标指数的同度量因素（质量指标）固定在基期；

将质量指标指数的同度量因素（数量指标）固定在报告期。即：54如果研究的是数量指标的变动情况，则称为数量指标指数，如上面的销售量指数；如果研究的是质量指标的变动情况，则称为质量指标指数，如上面的价格指数。计算加权综合指数有不同的计算形式，常用的是拉氏指数和帕氏指数两种形式。55拉氏指数拉氏指数由德国统计学家拉斯贝尔斯（Laspeyres)于1864年首先提出，计算综合指数时将作为权数的同度量因素固定在基期。拉氏数量指标指数：拉氏质量指标指数：

56拉氏指数其中表示数量指标指数，表示质量指标指数，和分别表示基期和报告期的质量指标值，和分别表示基期和报告期的数量指标值。【例10.2】续【例10.1】，计算拉氏指数，见前表10.1。表10.1某地各种商品的销售量及销售价格资料销售量综合指数计算结果表明，报告期与基期相比，该地区三种商品销售量平均增长了27.27%，由于销售量的上升使销售额增加的绝对额为：

（万元）59价格综合指数计算结果表明，报告期与基期相比，该地区三种商品销售价格平均增长了16.36%，由于销售价格的上升使销售额增加的绝对额为：

（万元）60帕氏指数帕氏指数由德国统计学家帕舍（H.Paasche）于1874年提出，计算综合指数时将作为权数的同度量因素固定在报告期。帕氏数量指标指数：

帕氏质量指标指数：61仍以前面数据为例，计算帕氏指数。销售量综合指数计算结果表明，报告期和基期相比，三种商品销售量平均增长了26.56%，由于销售量的上升使销售额增加的绝对额为：

（万元）62价格综合指数计算结果表明，报告期和基期相比，三种商品销售价格平均上升了15.71%，由于销售价格上升使销售额增加的绝对额为：

63问题讨论拉氏指数和帕氏指数的权数选择基期不同，计算结果也不相同，表明它们具有不完全相同的经济分析意义。拉氏指数用基期的价格或销量

作为同度量因素，从经济意义上看，更适合计算数量指数，例如计算销售量指数时把价格定在基期，可以单纯反映出销售量综合变动水平，这正是数量指数所要求的。64帕氏指数把同度量因素定在报告期，可以看到目前消费结构下价格变动影响，比较符合价格指数的计算目的。在实际应用中，常采用帕氏公式计算价格、成本等质量指数。实际应用中，有时权数既不固定在基期，也不固定在报告期，而是固定在某个具有代表性的特定时期。这一加权方法的特点是，权数不受基期和报告期的限制，使指数的编制具有更大的灵活性。因此，权数定在基期、报告期、或是某个特定时期，主要取决编制指数的目的，以及通过指数要说明的问题。66加权平均指数是以个体指数为基础，通过对个体指数计算加权平均数来编制的指数。即先计算所研究现象各个项目的个体指数，然后根据所给的价值量指标——（产值或销售额）资料作为权数（或者是固定权数），对个体指数进行加权平均求得的指数。

计算指数的关键仍然是权数确定问题，权数可以选择基期，可以选择报告期，也可以选择某个固定权数。

67以基期总量加权的平均指数以基期总量加权的平均指数，是以基期总量为权数，对个体指数加权平均计算出来的指数，也称为加权算术平均数。

数量指数和价格指数的计算公式分别为其中，

为基期总量权数，

为个体数量指数，

为个体价格指数。682.以报告期总量加权的平均指数以报告期总量加权的平均指数，是以报告期总量为权数对个体指数加权平均计算出来的指数。质量指数和数量指数计算公式分别为：其中，

为基期总量权数，

为个体质量指数，

为个体数量指数。69

3.固定权数的平均指数固定权数是用某一时期经过调整后的数字作为不变权数，连续使用几年，这种权数多采用比重形式，其计算公式为：70式中，为个体指数或类指数；为权数。居民消费价格指数就是按固定权数计算的，先计算代表规格品个体指数，然后依据住户调查消费结构确定权数。固定权数只是相对基期和报告期而言，也是需要不断调整的。指数体系指的是，复杂的社会经济现象往往可以分解为若干个构成因素，其数量关系可以用指标体系的形式表现出来。这种指标体系反映了总量指标与因素指标之间的相互关系。它们之间这种联系同样表现为各指标指数之间的联系，这种由总量指数及其若干个因素指数构成的数量关系式称为指数体系。72总量指数体系分析

指数体系在经济统计分析中的作用1.对现象进行因素分析（相对数分析和绝对数分析），即分析现象的总变动中，各个因素的变动对总变动的影响程度。2.进行指数推算，即利用指数在数量上的对等关系，根据已知的指数推算未知的指数。73

在加权综合指数体系中，为使总量指数等于各因素指数的乘积，两个因素指数中通常一个为数量指数，另一个为质量指数，而且各因素指数中权数必须是不同时期的。

基期权数加权的数量指数（拉氏指数）和报告期权数加权的质量指数（帕氏指数）形成的指数体系74加权综合指数体系分析

因素影响差额之间的关系为：式中，

表示为报告期总量指标，

为基期总量指标；

、

为因素指标，其中

为数量指标，

为质量指标。75【例10.3】沿用表10.1数据，采用指数体系分别对销售额、销售量和价格进行分析。解：三种商品销售额的变动：

计算结果表明：报告期与基期相比，该商场三种商品的销售额增长了47.27%，增加的绝对值为：其中，（1）销售量变动的影响：计算结果表明：报告期与基期相比，该商场三种商品的销售量平均增长了27.27%，由于销售量的上升使销售额增加的绝对值为：（2）销售价格变动的影响：

计算结果表明：报告期与基期相比，该商场三种商品的销售价格平均增长了15.71%，由于销售价格上升使销售额增加的绝对值为：

由此可见，销售额增长了47.27%，是销售量平均增长了27.27%和销售价格平均增长了15.7%共同影响的结果，即：

销售额增加了2.6万元，是销售量增长使其增加1.5万元和销售价格上升使其增加1.1万元共同影响的结果，即：两个不同时期平均数之比称为平均指标指数，可以反映现象平均水平的变化。平均数变化也会受多个因素影响，例如平均房价指数既与不同类型