2023年人教版高考数学总复习第一部分考点指导第三章函数及其应用第六节对数、对数函数

第六节对数、对数函数【考试要求】L理解对数的概念及其运算性质，知道用换底公式将一般对数转化成自然对数或常用对数..通过具体事例，了解对数函数的概念.能用描点法或借助计算工具画出具体对数函数的图象，探索并了解对数函数的单调性与特殊点..知道对数函数y=log“x与指数函数尸ar(a>0,a#l)互为反函数.【高考考情】考点考法：高考命题常以考查对数的运算性质为主，考查学生的运算能力；对数函数的单调性及应用是考查热点，常以选择题或填空题形式出现.核心素养：数学抽象、逻辑推理、数学运算O -如谓梳理二思催激活一 0【归纳•知识必备】.对数的概念(1)本质：是求指数的运算；(2)指、对关系式：①a'=M=>x=logW(a〉0,且aW1).②a^gN= ；log'a』&(a>0,且aWl,A>0).M.对数的运算法则：若a〉0,且aWl,">0,川>0,则(1)log“(例=logMHogH；(2)log为=logJ/^logW；(3)logjy=nlog,MR)..换底公式⑴log“6=(a>0,且aWl；c>0,且cWl；Z?>0).logca注解1换底公式的推论：①log/Tog〃a=l；n②logmbn=-log力.am.对数函数的图象与性质片log.扰a>l0<a<l图象y=logoXy\j(LO)O八(1.0) Xo' y=logar定义域(0,+8)值域R性质过定点(L0),即A=1时，片0当x>l时,y>0;当0<Kl时,出当x>\时，［0;当0<Kl时,y〉0在(0,+8)上是增函数在(0.+8)上是减函数【智学•变式探》原】1.必修一P160T5(l)2.必修一P126T31.(改变条件)已知后={y|y=log2"，x>2},7V={x|y=ln(2—x)},则"AN等于( )A.(2,+8) B.(一8,2)C.(1,2) D.0【解析】选C.4避y=log2X,x>2}={y|y>l},N={^|y=ln(2—x)}={x|水2},MC\N=(1,2).2.(改变结论)若log力•log〃c•log,3=2,则a的值为【解析】由已知可得产•看•33=2,即詈=2,lgalgb1gc lga所以lg3=21ga,所以a?=3, .答案：小【慧考•四基自测】3.基础知识 4.基本方法 5.基本应用 6.基本能力.(对数运算)21og510+log50.25=.【解析】21og510+log50.25=log5100+log50.25=logs25=2.答案：2.(待定系数法)对数函数f(x)过点(9,2),则/2=.【解析】设f(x)=log“x(a〉0且aWl),log,9=2,所以#=9,所以a=3（舍a=-3）,所以Ax）=log3x,所以=l°gq=-1.答案：一1.（单调性的应用）已知a=log52,6=log83,c=1,则下列判断正确的是（ ）A.c<b<a B.b<a<cC.a<c<b D.a<b<c【解析】选C.a=log52Vlogs/=log82^/2<log83=^,即aVcVh36.（解对数不等式）若logq<l（a>0且aWl）,则实数a的取值范围是.3【解析】当0<水1时，logq<log“a=l,3所以0<水彳；3当〃>1时，log"<log,q=l,所以a>l.所以实数a的取值范围是（0, U（l,+8）.答案：（0,号U（1,+8）Q =一、才点榇一•愕法培优/一 =o彳考点一对数式的化简与求值 |自主练透（2022•绍兴模拟）已知x,y为正实数，则（）1g（*•力=（lgx）°+lgylg（x•近）=1gx+-1gye}nx+in>=x+ye=xy

(2021•开封模拟)若2=5〃=以且］+|W'则z的值可能为()A.SB.4C.7D.10★(命题•新视角)数列4=1+3+|+…+［通常被称为“调和级数”，是级数理论中最早被人们研究的级数之一.著名数学家欧拉在1734年就曾给出证明：当〃足够大时，gin(〃+1)+其中/为欧拉-马歇罗尼常数，其值约为0.57,在本题的计算中可以忽略不计.据此，"u与晶之比的近似值为(参考数据：1g2-0.30)()A.1.50B.1.35C.1.20D.1.05【解析】L选B.x,y为正实数，1g(y•y)=lgy+lgy=21gx+lgy,故A错误;lg(x•5)=lgx+lgg=lgx+glgy,故B正确；ei"'=灯，故C错误；eln"•e1",=elnx+1",=xy,故D错误..选D.设2"=5"=z°=A,则a=logz4,Z?=log5A,c=logX所以1+t=］1/+■；~-7=1ogA2+1ogA5=log*(2X5)=logA10=-=log«z,所以z=10.TOC\o"1-5"\h\zablog2Alog5A c3 %i In512 91n2 9.选B.由题意，— ~-=Tj~rz=5lg2=1.35.%In100 21n10 2，规律方法对数运算的一般思路(1)拆：首先利用幕的运算把底数或真数进行变形，化成分数指数塞的形式，使幕的底数最简，然后利用对数运算性质化简合并.(2)合：将对数式化为同底数的和、差、倍数运算，然后逆用对数的运算性质，转化为同底对数真数的积、商、塞的运算.事 【加练备选】1 9(2022•临汾模拟)已知4'=3'=如且一+-=2,则m=( )xyA.2BA.2B.4C.6D.9【解析】选C因为4=3'=0,则X=log",y=log3力,1 2 1 2所以一+-=-. +*j =log„4+21ogB3x ylogmlog?"=log"(4X3-)=2,所以〃=4X『=36,又m>0,所以勿=6.，考点二对数函数的图象及应用 |讲练互动[典例1](1)(多选题)若函数/U)=aL2,g(x)=log.|*|,其中a>0,且aWL则函数F(x),g(x)在同一坐标系中的大致图象可能是()(2)已知函数/'(x)是定义在R上的偶函数，且当x20时，f(x)=ln(x+1),则函数f(x)的大致图象为()(3)已知f(x)=logjx|(a>0,且aWl)满足f(—5)=1,则函数g(x)=log/x—11的减区间为【解析】(1)选AD.易知g(x)=log/x|为偶函数.当OVaVl时，f(x)=a"T单调递减，g(讣=logjx|在(0,+8)上单调递减，此时A选项符合题意.当a>l时，f(x)=a'T单调递增,g(x)=logJx|在(0,+8)上单调递增，此时D选项符合题意.(2)选C.先作出当x20时，/"(x)=ln(x+1)的图象，显然图象经过点(0,0),再作此图象关于y轴对称的图象，可得函数/'(X)在R上的大致图象，即选项C中的图象符合题意.(3)因为F(—5)=1,所以log,,5=1,即a=5,所以g(力=logs|x-11,图象如图所示,根据图象可得，函数g(x)的减区间为(-8,1).答案：(一8,1)，一题多变本例(3)条件不变，求函数h[x)=|log/|的增区间.【解析】因为a=5,所以力(x)=|logs',函数力(x)的图象如图所示:根据图象可得，函数力(x)的增区间为(1,+8).，规律方法对数函数的图象识别及应用自主完善，老师蒋事(1)在识别函数图象时，要善于利用对数函数的单调性及特殊点(与坐标轴的交点等)；(2)一些可通过平移、对称变换作出其图象的对数型函数，在求解其单调性(单调区间)、值域(最值)、零点时，常利用数形结合思想求解.提醒：对数函数图象进行左右平移时，一定要画出相应的渐近线.，对点训练.如图，若C”Cz分别为函数y=/o&,x和y=/og,x的图象，则()A.0<a<b<l B.0<b<a<lC.a>b>l D.b>a>l【解析】选8.作直线y=l,则直线与C”G的交点的横坐标分别为a,b易知0<b〈a〈l..函数y=2/og(l—x)的图象大致是()

【解析】选C函数y=2/密(l—x)的定义域为(一8,D,排除4B-,又函数y=2/og(l-x)在定义域内单调递减，排除〃.函数y=|Jo&(x+1)I的值域为,单调减区间为.【解析】函数y=I&(x+1)］的图象如图所示，由图象知，其值域为［0,+8),单调减区间是(一1，0］.答案：[0,+8)(-1,0]【加练备选】【加练备选】如图，直线x=t与函数f(x)=/cgx和g(x)=/o刍X—1的图象分别交于点A,B,若函数y=f(x)的图象上存在一点C,使得aABC为等边三角形，则t的值为()D.3m+3【解析】选6由题意A(t,logit),B(t,logit—V),|AB|=1,设C(x,Jog3x),因为AABC是等边三角形，所以点C到直线AB的距离为手，所以t—x=9,x=t一乎，中点坐标公式得log3t+log3t+log3t—11 t=10g3t--=lOgrr^a/st„ 3*\/3+3所以t—2=，解得t=47考点三7考点三对数函数的性质及应用多维探究高考考情：对数函数的性质及应用是高考命题热点，多以选择题或填空题的形式呈现，重点考查比较大小、解不等式等问题，难度中档.角度1比较大小2［典例2］(2020•全国卷IH)设a=/og,2,b=7o^3,c=-,则()oA.a<c<b B.a<b<cC.b<c<a D.c<a<b11 2【解析】选4因为a=glog^<-log^~=c,112b=glog^>~/侬25=g=c,所以aVcVb.角度2解方程或不等式［典例3］(1)方程9(x—l)=2—/。康(x+1)的解为.⑵已知f(x)是定义在R上的偶函数，且在［0,+8)上单调递增，40=0,则不等式彳1噬,>0的解集为.【解析】(1)原方程变形为lo解尸1)+log2程+D=log2(*—D=2,即V—1=4,解得x=±南，又”>1,所以*=十.答案：x=#(2)因为/1(*)是R上的偶函数，所以它的图象关于y轴对称.因为/Xx)在［0,+8)上单调递增，所以f(x)在(-8,o］上单调递减，由=0,得=0,函数的大致图象如图所示.解得x>2或0<K^,所以x£(0,g)U(2,+°°).答案：(0,3U(2,+°O)角度3对数函数性质的综合应用［典例4］(1)若函数/1(x)=log2(V—ax—3a)在区间(-8,—2］上是减函数，则实数a的取值范围是()(—8,4)(-4,4］(-8,-4)U［-2,+8)［—4,4)(2)(2021•洛阳模拟)已知函数f(x)=logz(l+4')-x,则下列说法正确的是( )A.函数f(x)在(-8,0］上为增函数B.函数f(x)的值域为RC.函数f(x)是奇函数D.函数/'(x)是偶函数【解析】(1)选D.由题意得ax—3a〉0在区间(-8,—2］上恒成立且函数ax—3a在(一8,-2］上单调递减，则］2—2且(-2)2—(一2)9-34>0,解得实数9的取值范围是［一4,4).(2)选D.根据题意，函数f(x)=log2(l+4”)—x,其定义域为R,有/'(-x)=log［l+*)+x5=log2(l+4')—x=f(x),所以函数/1(x)是偶函数，则D正确，C错误，对于A,/(—1)=log2->l=f(O),f(x)不是增函数，A错误，对于B,f(x)=1og2(1+4,)—x=log2+2〉，设t="+2”22,当且仅当x=0时等号成立，则［的最小值为2,故/'(x)21og22=l,即函数的值域为［1,+8),B错误.，规律方法.比较对数式大小的方法 |自主完善，老师指导(1)能化为同底的化为同底对数式，利用单调性比较大小:(2)不能化为同底，一般引入“1,0,一1”等中间量比较大小:(3)底数与“1”的大小不确定时，要分类讨论..形如log“x〉6的不等式，应化为log,x>6=log“a"的形式，用y=log.x的单调性求解..求与对数函数有关的函数值域和复合函数的单调性问题，一定要注意定义域及复合函数的构成.#多维训练(2022•上饶模拟)已知a=logs3,Z>=logIfi9,c=0.3")则a,b,c的大小关系是( )A.a>b>c B.a>c>bC.c>a>b D.c>b>a［解析］选D.a="jz,b=~. ~,log35log34因为1og：i5>1og：©>log;i3=1,所以a<b<\,a-2V0,所以0.3'-2>0.3°=1,所以c>6>a..已知函数f(x)的图象如图所示，则函数g(x)=log,f(x)的单调递增区间为()(—8,—3],[o,3][—3,0],[3,+°°)(—8,—5),[0,1)(—1,O],(5,+°°)【解析】选C.因为y=log|x在(0,+°°)上为减函数，所以要求y=F(x)的单调递减区间,且/1(*)>0.由题图可知，使得函数尸/tv)单调递减且满足/1(*)>0的x的取值范围是(―°°