2023年人教版高考数学总复习第一部分考点指导第六章平面向量、复数第五节复数

第五节复数【考试要求】.理解复数的基本概念..理解复数相等的充要条件..了解复数的代数表示及其几何意义..能进行复数代数形式的四则运算..了解复数代数形式的加、减运算的几何意义.【高考考情】考点考法：近3年高考在此处都有命题，主要考查复数及其有关概念、复数的四则运算，属于中低档题目.核心素养：直观想象、数学运算6 ---如谓赫理二思健激话.---o归纳•知识必备.复数的概念形如a+6i(a,6WR)的数叫做复数，其中a,6分别是它的实部和虚部.若b=0,则a+历为实数，若b#0,则a+6i为虚数，若a=0且6W0,则a+历为纯虚数..复数相等川a+bi=c+dioa=c且b=d(a,b,c,dGR)..共枕复数.fa=c,a+6i与c+di共聊(a,b,c,</GR).[b=-d注解1利用复数相等a+6i=c+di列方程时，注意a,b,c,dGR的前提条件..复平面建立直角坐标系来表示复数的平面，叫做复平面.x轴叫做实轴,y轴叫做虚轴.实轴上的点都表示实数;虚轴上的点除了原点都表示纯虚数；各象限内的点都表示实部不为0的虚数.复数集C和复平面内的点组成的集合是一一对应的，复数集C与复平面内所有以原点为起点的向量组成的集合也是 对应的..复数的模

向量应的模不叫做复数z=a+bi的模，记作Iz|或|a+历|,即|z|=|a+bi\=Ja'+b，..复数的运算法则设Z1=a+6i,z2=c+cii(a,b,c9d《R),贝(j(1)加法：zx+z2=(a+历)+(c+di)=(a+c)+(6+o)i.(2)减法：Zi—22=(a+6i)—(c+di)=(lc)+(b—d)L(3)乘法：Z\•Z2=(a+6i)•(c+di)=(ac—bd)+(ad+bd)i.,、7人心©a+bi(a+bi)(c—di)⑷除法:z=淘=•…)一(二左=ac+bd+(bc-ad)i(c+片却)C?+d27.复数加法的运算定律复数的加法满足交换律、结合律，即对任何Zi，Z2,Z：£C,有Zi+z2=Zz+Z],(Zi+Z2)+Z3=©+(处+Z3).智学•变式探源1.必修二P69例12.必修二P79例51.(改变条件)已知复数(l+i)(a+i)为纯虚数，其中a为实数，i为虚数单位，则a=()A.1B.-1C.2D.-2a—1=0【解析】选A.(1+i)(a+i)=a+i+ai+i?=a—1+(a+1)i,它为纯虚数，则＜ ,a卢+1WO=L.(改变数值)i是虚数单位，复数柒=.【解析】依题意得.A【解析】依题意得.AI1(2+i)(2-i)=-5-答案：3-2i-慧考•四基自测3.基础知识4.基本方法5.基本应用6.基本能力.(复数的几何意义)在复平面内，向量贬对应的复数是2+i,向量蕾对应的复数是一1一3i,则向量洒对应的复数是(C.3+4iD.-3-4i【解析】选D.Ml=CB+BA=CB-AB=-l-3i-2-i=-3-4i.TOC\o"1-5"\h\z4.（复数的模）设复数z满足丁匚=i,则|z|等于（ ）1—zA.1B.y[2C.mD.2]+z i-1【解析】选A.—=i,则2=不=匕所以|z|=L1—Z 1+11-I-5.（复数的概念）已知复数又为纯虚数（其中i为虚数单位），则实数a= .OI1.、u,an有皿1+ai （1+ai） （3—i） 3+a 3a—1 .'生有皿[触析]由题意得，复数z=„,.=~,„।.77rr- „+~~1,因为复数z3十1 （3十1） （3-1） 11（ 11）f3+a=0为纯虚数，可得.，一八，解得a=-3.[3a—17=0答案：一36.（复数的运算）已知（l+2i）,=4+3i,则2=.TOC\o"1-5"\h\z-，、— ，*— 4+3i （4+3i）（l-2i） cri,【解析】由（1+21）z=4+31得，z.7-= ； =2-1.所以z=21+21 5+i.答案：2+io .、考点探法培优,一 Q，考点一复数的概念睦行透（2020•浙江高考）已知a6R,若a—l+（a—2）i（i为虚数单位）是实数，则a=（ ）A.1B.-1C.2D.-2【解析】选C.因为a—1+（a—2）i为实数，所以a—2=0,a—2.（2020•全国卷HI）复数不三的虚部是（）1—J1TOC\o"1-5"\h\z3 1 1 3a—r—— 「—d—10 10 10 10【解析】选D.因为[=—r-_1_Q.、+17i，所以复数1 的虚部为白•1—31 （1—31）（1+31） 10 10 1—31 103.（多选题）（2022•广州模拟）下列说法中错误的是（）A.若复数z满足/GR,则zGRB.若复数z满足)V0,则zGRC.若复数z满足』GR,则zCRzD.若复数z”Z2满足©•z2eR,则zi=z2【解析】选ABD.根据题意，依次分析选项：对于A,若2=匕则此时z2=i2=-lGR,但RR,所以A的说法错误；对于B,复数z满足/V0,令/=-6,b>0,所以z=土的i,所以z是虚数，所以B的说法错误；对于C,设z=a+6i,则,=-/,:=~T~\2(a—bi),若。GR,必有6=0,贝!|zCR,所以CZ O1|Z| Z的说法正确；对于D,若4=i,a=-2i,则4Z2=2GR,但Zi#Z2，所以D的说法错误.(2022•黄冈模拟)设i是虚数单位，若复数a+EY(a£R)是纯虚数，则a=( )A.-1B.1C.-2D.25i 5i(1—2i)【解析】选C.由已知，得a+-J,--=a+/1 ―K-=a+2+i,由题意得a+21~rzi 11-rzi)11—zi)=0,所以a=-2.,规律方法解决复数概念问题的方法及注意事项(1)求一个复数的实部与虚部，只需将已知的复数化为代数形式z=a+历(a,6GR),则该复数的实部为a,虚部为6.(2)复数是实数的条件：①z=a+历eR<=>6=0(a,6GR)；②zGR=z=z；③zGRqz?2。.(3)复数是纯虚数的条件：①z=a+6i是纯虚数=&=0且6W0(a,6GR)；②z是纯虚数+z=0(a0)；③z是纯虚数oz2Vo.以【加练备选】如果复数需是纯虚数，那么实数勿等于()

0或10或一1/+/+（1—万）i=1+^因为此复数为纯虚数,r/m啡n>+i（序+i0或10或一1/+/+（1—万）i=1+^因为此复数为纯虚数,[nf+/z7=0,听以L 一八解得/Z7=—l或0.・考点二复数的几何意义讲练互动[典例1](1)(2021•开封模拟)在复平面内，复数本对应的点位于直线y=x的左上方，则实数a的取值范围是()A.(一°°,0) B.(—8,1)C.(0,+8) D.(1,+8)(a+i)(1—i)_=(1+i)(1-i)=【解析】选A.因为中【解析】选A.因为中(a+1)+(1—a)i【解析】由题意，©=i,良=2—i,出(2-i)复数工对应的点在直线尸X的左上方，所以l—a>a+l,解得aVO.故实数复数工对应的点在直线尸X的左上方，所以l—a>a+l,解得aVO.故实数a的取值范围是(一8,0).(2)如图所示，在复平面内，网格中的每个小正方形的边长都为1,点46对应的复数分别是©,Z2,则I二|= .Z1 所以I—I- ： =二一=―—=5.Z1 1 1 |1I答案：5(3)★(命题•新视角)若复数z满足|z-i|W/(i为虚数单位)，则z在复平面内所对应的图形的面积为.【解析】设2=&+庆，a,6GR,则|z-i|=Ia+(6—1)i| (a—0)，+(6—1)《小‘所以(a-OF+B—1TW2,复数z在复平面内所对应的图形是以(0,1)为圆心，木为半径的圆，面积为28.答案：2n，规律方法复数几何意义解题策略自主完善，老师指导(1)已知复数对应点的位置求参数范围，可依据点所在位置建立不等式求解.(2)已知复数对应的点进行运算时，可建立方程求解.(3)研究复数模的问题，可利用数形结合法，考虑模的几何意义求解.(4)若复数z=x+yi(x,yGR),则|z|=r,点Z在以(0,0)为圆心,二为半径的圆上.，对点训练★(命题•新视角)设复数z满足z在复平面内对应的点为(x,y),则()A.(x+l)2+/=l B.(a—1)2+y=1C.C+(y-OF D.C+(y+1)2=1【解析】选C.由题意可知z=x+yi,所以Iz—i|=|x+(y—1)i|=胃+(y—1)'=1.所以*+(y-l)2=l.2.已知z=(m+3)+(加一l)i在复平面内对应的点在第四象限，则实数力的取值范围是( )A.(-3,1)B.(-1,3)C.(1,+8)D.(-8,-3)历+3>0,【解析】选A.由已知可得复数z在复平面内对应的点的坐标为(勿+3,加-1),所以[/^―1<0,解得一3VrV1.■考点三复数的四则运算I多维探究高考考情：近几年高考都在此处命题，主要考查复数的四则运算法则、共枕复数的概念、复数的模，并且经常交汇命题，属于中低档题目.•角度1求复数的值[典例2](2021・全国甲卷)已知(1一:1)22=3+2匕则z=( )TOC\o"1-5"\h\z3 3A.-1--i B.-1+/i3. 3C--2+iD.-2-i【解析】选B.(1一迷》=3+2i,3+2i (3+2i)•i-2+3i ,3.-2i -2i•i 2 2•角度2求共辗复数[典例3](金榜原创•易错对对碰)1——i —(1)已知i是虚数单位，且z=T,则Z在复平面内对应的点在()A.第一象限 B.第二象限C.第三象限 D.第四象限1-i (1-i)(—i) — —【解析】选B.z=——=—:—―--=-l-i,所以z=-l+i,则z在复平面内11•1—17对应的点为(-1,1),所以二在复平面内对应的点在第二象限.1-i(2)已知i是虚数单位，且z=一1,则z在复平面内对应的点在( )A.第一象限 B.第二象限C.第三象限 D.第四象限1-i(1—i)(—i)【解析】选C.z=——=―—―--=-l-i,所以z在复平面内对应的点在第三象11,(—1)限.•角度3求复数的模[典例4](2020•全国卷I)若z=l+i,则|/—2z|=()A.0B.1C.y[2D.2【解析】选D.因为z=l+i,所以z?—2z=(1+i)-—2(1+i)=l+2i+/-2—2i=-2,所以I/—2z|=-2—2.，规律方法

1.复数乘法和除法的解题策略(1)复数的乘法，类似于多项式的四则运算，可将含有虚数单位i的看为同类项，不含i的看为同类项，分别合并即可.(2)复数的除法关键是分子分母同乘以分母的共辗复数，解题中要注意把i的暴写成最简形式..求一个复数的共枕复数的步骤(1)将此复数整理成标准的代数形式；(2)实部不变，虚部变为相反数，即得原复数的共聊复数.，多维训练l—3iTOC\o"1-5"\h\z(2022•长沙模拟)复数门=( )(1—1)(1+21)3 4A.~ —iB. — —— i5 5 5C.11D.—i【解析】选D.【解析】选D.(1-i)(l+2i)l-3i3+i(l-3i(l-3i)(3-i)-IQiTOC\o"1-5"\h\z - (3+i)(3-i) 10I.2.(2021•南昌模拟)复数z满足 =1—i,则|z|=( )2iB.2C.iD.1【解析】选D.方法一：2=卢4=得=i,则|z|=l.1-1 L3.(多选题)(2022•武汉模拟)欧拉公式e''=cos夕+isin。(其中i为虚数单位，^GR)是由瑞士著名数学家欧拉创立的，该公式将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数与指数函数的关系，在复变函数论里占有非常重要的地位.被誉为数学中的“天桥”.依据欧拉公式，下列选项正确的是()n.e9为纯虚数e米的共枕复数为3—乎iD.已知复数©=e",z2=e-3i,则复数z”0在复平面内的对应点关于虚轴对称【解析】选ABC.A选项：e7=cos~+isin~ i»故A正确；。五九不B选项:e2=cos—+isin—=i,所以e?为纯虚数，故BB选项:—i ji j