2023年人教版高考数学总复习第二部分考点培优训练考点二十九平面向量的数量积及应用

二十九平面向量的数量积及应用基础落实练♦ 3()分钟60分一、单选题(每小题5分，共20分)(2021•武汉模拟)已知平面向量a=(l,-3),b=(4,-2),若4a—6与6垂直，则4=()A.-1B.1C.-2D.2【解析】选D.由已知得/a—b=(八一4,—3儿+2),因为4a—b与6垂直，所以(4a—6)*b=0,即(4一4,一34+2)•(4,—2)=0,所以44一16+64-4=0,解得4=2.(2020•全国卷HI)已知向量a,2＞满足/&/=5,/•/=6,a• 6,则cos〈a,a+b)=()13 19 17 19A.-35一记C-35D-35【解析】选D.由a•(a+b)=/a/2+a•力=25—6=19,又|a+b|=7#+2a•b+6=7,z,ma-(a+b) 19 19所以cos〈a,a+b〉=-|a||a+b|=药=记.(2021•长沙模拟)已知向量a,6满足〃/=2/a/=2,a与b的夹角为120°,则—2引=()A.gB.①C.13D.21【解析】选B.由题意知/a/=l,〃/=2,a,b=l,所以/a—2b/=、(a—2b)?=yj1ali-4a•b+41bli .已知在矩形4腼中，46=4,AD=2,若E,6分别为48,8C的中点，则庞•房=( )A.8B.10C.12D.14【解析】选B.方法一：（定义法）根据题意，得庞-DF=（DA+窟）•（应'+中）=而-DC+DA•CF+AE•DC+AE•CF=0+2XlXcos0+2X4Xcos0+0=10.方法二：（坐标法）

以点4为坐标原点，建立如图所示的平面直角坐标系.则/(0,0),8(4,0),。(4,2),〃(0,2).因为其6分别为48,%的中点，所以£(2,0),网4,1).因为庞=(2,-2),为=(4,—1),所以庞«DF=2X4+(-2)X(-1)=10.二、多选题(每小题5分，共10分，全部选对得5分，选对但不全的得2分，有选错的得0分)(2022保定模拟)已知向量a=(/,1),b=(cos0,sin。)，则下列说法正确的是( )A.存在〃G(0,3,使得a_L力B.存在0 ,使得C.对于任意(0，—,a, (1,2]D.对于任意°e(0, ,\a-b\^[\,小)【解析】选BCD.对A：a•b=y[3cos0+sin0=2sin[。+勺)，若&，力，则2sin(夕+号)=°，因为3,此时。无解，故A错误；对B：若a〃b,则(sin。-cos0=0,因为。e(0,—|,JT所以好不，故B正确;因为夕£(0,4(因为夕£(0,4对C：a•b=2sinI乡+彳ji(兀5、所以。+可《可，R,

则sin 小所以a,6=2sinfG(1,2],故C正确;对D：|a-b\="\/(-\/3—cos—。)'+11—sin—9)J=\5-4cos(0一至j，因为0G所以cos（，一高/1,则|a—6|w[l,y[i）,故D正确.（2022•珠海模拟）已知是边长为2的等边三角形，D,E分别是4?的中点，BD与应交于点0,则下列说法正确的是（）AB-CE=-1B.BD=^BC+}:BAC.=0C.=07D-前在比方向上的投影数量气【解析】选BC.依题意可知，。是等边三角形力比'的重心.A选项，1BLCE,AB-CE=0,A错误.B选项，BD=1（BC+BA） 反'+）及I,B正确.乙 乙 乙C选项，|游+办I■笳I=I20E+0c\=I0I=o，c正确.D选项，|应J=*T=小,ZECB=^,所以初在度方向上的投影数量为EC•cos看二小X乎=|,D错误.三、填空题（每小题5分，共10分）.已知单位向量a,b的夹角为45°,松一6与a垂直，则在=.【解析】由题意，得a•b=/a/•"/cos45°=多.因为向量4a—6与a垂直，所以(Aa—力)•a—ka-a•b—k~~=0,解得仁坐.答案:当.已知正方形4用力的边长为2,点P满足力=；(AB+AC)，则|协|=；PB•协【解析】方法一：如图，在正方形力腼中，由9(法+而)得点尸为比的中点,所以I协=#,PB>Pb=丽*(PC+CD)=磅•PC+PB•CD=磅•PC=1X1Xcos180°=-l.方法二：因为力(AB+AC),所以P为6。的中点.以力为坐标原点，建立如图所示的平面直角坐标系，由题意知力(0,0),8(2,0),C(2,2),〃(0,2),尸(2,D，所以口(2-0)2+(1-2)2=#，或=(0,-1),~PD=(-2,1),所以磅'PD=(0,-1)•(-2,1)=-1,答案：邓-1四、解答题(每小题10分，共20分).在平面直角坐标系X以中，点力(一1,—2),5(2,3),。(一2,-1).⑴求以线段力。为邻边的平行四边形两条对角线的长.(2)设实数t满足(宓-tOC)•充=0,求力的值.【解析】(1)由已知费=(3,5),衣=(-1,1),则AB+AC=(2,6),AB-AC=(4,4).所以I拔+AC|=2、/历，\AB-AC|=4*.所以所求的两条对角线的长分别为，2®.(2)由已知，OC=(-2,-1),AB-tOC=(3+2力，5+)由(宓-t充)•充=0得(3+235+力•(-2,-1)=0,所以5£=—11,10.在如图所示的平面直角坐标系中，已知点力(1,0)和点6(—1,0),|充|=1,且=x,其中。为坐标原点.Q冗(1)若*=丁，设点〃为线段的上的动点，求|%+必I的最小值.n~| 一(2)若0,—,向量勿=6。，n=(1—cosx,sinx—2cosx),求必•〃的最小值及对应的X值.【解析】⑴设〃(t,0)(0W1WD,当户牛时,可得《一平‘用,所以应'+ob=(—乎+3乎］，所以国+应「=，—阴 (OWtWl),

所以当k平时，|充+应「取得最小值为T,故|%+勿I的最小值为多.(2)由题意得C(cosx,sinx),m=BC=(cosx+1,sinx),则m•〃=l—cos'x+sir?x-2sinxcosx=1-cos2x-sin2x=1—y[2sin[刀+彳).ji因为0,—,ji n5nTOC\o"1-5"\h\z所以下《2x+二 .4 4 4n ji ji所以当2x+丁=—,即x——时，4 / om•n=l—取sin(2*+1)取得最小值1一第，所以卬的最小值为1—m,此时*=看.素养提升练 20分钟4（）分1.已知非零向量1.已知非零向量a,6满足|a=2b,且（a—，）_L6,则a与b的夹角＜?为（C.D.5C.D.5ji~6【解析】选B.因为(a—b)_L6,所以(a—b)•b=a•b—万=0,所以a•b=6,f-rpi ,,a'b _1所以cose=\a,\b=可而=2'所以a与b的夹角为g.2.（多选题）（2022•广州模拟）已知e,a是两个单位向量，入£1?时，|3+46」的最小值

,则下列结论正确的是（）Ji 2nA.e”。的夹角是7 B.e”色的夹角是飞-C.I61+02I 0.I61+ftI=1【解析】选ABD.因为e，⑨是两个单位向量，且必+乂员|的最小值为手,所以（e,+人金尸的最小值为,，3（61+儿8）：=,a+1的最小值为牙，即A+2461•比+:=0在儿GR上有唯 个解,所以/=（2良•段）2—1=0,所以6•a=土），所以61与仇的夹角为《或等，所以A,B乙 OO正确，所以I6+a|2=1或3,所以ledal=1或，5,所以D正确.幽画【加练备选】（2021•承德模拟）已知△46。中，AB=2,47=1,AB•AC=1,。为△46。所在平面内一点，且9+208+3OC=0,则而•BC的值为（ ）A.-1B.1C.4D.-4【解析】选A.因为汤+2OB+WC=0,所以9+2（汤+布）+3（而+而）=0,所以油衣衣

*成_6

一成1-3

-2而1-2.若向量a=（〃，3）,6=（1,4）,c=（2,1）,已知2a—36与c的夹角为钝角，则A的取值范围是.【解析】因为2a—3b与c的夹角为钝角，所以（2a—36）•c<0,即（24—3,-6）-（2,1）

<0,2A-—3 Q所以44—6—6V0,所以〃V3.若2a—3人与c反向共线，则一--=—6,解得力=一弓，此乙 乙时夹角不是钝角，综上所述，女的取值范围是一8U3时夹角不是钝角，综上所述，女的取值范围是一8U3H【加练备选】(2021•威海模拟)己知向量a=(2,-6),b=(3,ni),若/a+6/=/a-b/,则/=.【解析】方法一：因为a=(2,-6),b—(3,ni),所以a+6=(5,/zz—6),a-b—(—1,—m—6),由|a+b/=/a-/>/得5°+(加一6尸=(-1)'+(一/一6尸，解得勿=1.方法二：由/a+b/=/a—b/,两边平方得a•/>=(),因为a=(2,-6),b=(3,血，所以2X3+(—6)X勿=0,解得/=1.答案：1.如图，已知等腰△月肉中，AB=AC=3,BC=\,点P是边宛上的动点，则9«(AB+AC)【解析】取比1的中点。，易知而+AC=2AD,^.ADLBC.所以力•(AB+AC)=2AP•AD=2AD2.又AB=AC=?>,BC=4,所以AD=y/32-22=^5.故力•(AB+AC)=2AD-=10.答案：10皿1【加练备选】已知平面向量a,6满足/a/=l,㈤=2,1a+b\ ，则a在6方向上的投影等于.【解析】因为|a1=l,b\=2,\a+b\=^/3,所以(a+6)=a-+b\2+2a*Z>=5+2a•b=3,所以a•b=l,所以a在b方向上的投影为若=-1.答案：6.（2022•重庆模拟）已知平面直角坐标系中，向量a=（V,1）,b=（-2,1+x）.⑴若al.by求x\（2）当x>0时，求;a—b的最小值.【解析】⑴因为a_L6,所以a•6=0,Bp—2x2+l+^=0,解得x=l或x=-g；(2)a—A=(x+2,—x),则[a—51//2।c、2।; lx+5x+4=-q(、+2)+(-X)-=yjp—=q.+[+5 =3(x>0),4 L当且仅当片=,即x=*时取等号，故最小值为3.6.（能力挑战题）如图，正方形力用刀的边长为6,点£,b分别在边力〃，BC上,豆DE=2AE,CF=2BF.若有入G（7,16）,则在正方形的四条边上，求使得庵•用'=4成立的点〃的个数.【解析】以〃为坐标原点，〃。所在直线为*轴，%所在直线为y轴，建立平面直角坐标系,如图，则£（0,4）,尸（6,4）,①若P在Q?上，设P(x,0),0W后6,所以庵=(—x,4),PF=(6—x,4),所以庵•序' -6x+16=(x-3¥+7,因为xG[0,6],所以7W庵•PF^16,PE•PF=A,4G(7,16)成立的P点有2个；②若P在上，设P(0,y),0<j<6,所以庵=(0,4—y),PF=(6,4—y),所以距•PF=(4一力2,因为(KK6,所以0《诙•PF<16,PE•PF=A,儿W(7,16)的夕点有1个；③若夕在45上，设P(x,6),0<后6,诙