定积分概念-课件

第五章积分§5.1定积分的概念1º定积分问题的提出问题一:曲边梯形面积的计算

设y=f(x)0,x[a,b]计算:由曲线y=f(x),y=0,x=a,x=b所界的曲边梯形abcd的面积Aabxyo第五章积分§5.1定积分的概念1º定积分问题的提出1abxyoabxyo（四个小矩形）（九个小矩形）用矩形面积近似取代曲边梯形面积

可以看到,小矩形越多,小矩形的总面积越接近于曲边梯形面积Aabxyoabxyo（四个小矩形）（九个小矩形）用矩形面积近2(1)分割:使[a,b]被划分为n个子区间[xi-1,xi

],记[xi-1,xi

]上小曲边梯形的面积为∆Ai

,

y=f(x)∆Ai(1)分割:使[a,b]被划分为n个子区间3则(2)近似:若区间[a,b]被分割的很细,即每个子区间

[xi-1,xi

]的长度很小,则f(x)在[xi-1,xi]上近似于常数,小曲边梯形近似于矩形.任取若记

∆xi=

xi-

xi-1,

则则(2)近似:若区间[a,b]被分割的很细,即每个4(3)精确化:可以看出,将区间分割得越小,则式

(1)

的近似越精确

(1)则有(2)记(分割的最大直径)

(3)精确化:可以看出,将区间分割得越小,则式(5问题二:变速直线运动的路程设运动物体以速度v=v(t)作直线运动,求在时刻t=a到t=b这段时间内,物体行经的路程S.(1)分割:使记时间段[ti-1,ti

]内,物体行经的路程∆Si

,则问题二:变速直线运动的路程设运动物体以速度v=v(t)作6(2)近似:若子区间很小,则速度v(t)在上近似不变(即近似于常数)任取(3)(3)精确化:可以看出,越小,

则式

(3)

的近似程度越高记则有(4)(2)近似:若子区间很小,则速度v(t)在7说明:(1)

问题一,问题二是不同背景的问题,但面临同一数学问题,即和式极限的计算(2)在问题的处理过程中,都使用了

“以不变处理变”

的思想说明:(1)问题一,问题二是不同背景的问题,但面临820定积分的定义定义设f(x)在[a,b]上有定义,在(a,b)内任意将[a,b]分成n个小区间:

在每个小区间上任取一点,作和式如果则称f(x)在[a,b]

可积,A称为f(x)在[a,b]上的定积分,记为,20定积分的定义定义设f(x)在[a,b]上9a称为积分下限;b称为积分上限;f(x)称为被积函数;f(x)dx称为被积表达式;x称为积分变量

说明:(1)

定积分的几何意义:abxyo如果y=f(x)0,x[a,b]曲边梯形的面积:(2)极限值A与区间[a,b]的划分方式无关,与的选取方式无关即a称为积分下限;b称为积分上限;f(x)称为10(3)在上述定义中认为a<b,对于a>b的情形:规定:对于b=a的情形:规定:(面积为零)(3)在上述定义中认为a<b,对于a>b的11定理(定积分存在的必要条件)如果f(x)在[a,b]上可积,则f(x)在[a,b]上有界说明:[a,b]上的无界函数是不可积的定理(定积分存在的充分条件)如果f(x)在[a,b]上连续或分段连续,则f(x)在[a,b]上可积说明:连续函数必是可积函数,不连续的函数也可能是可积函数定理(定积分存在的必要条件)如果f(x)在[a,12例利用定义计算定积分解由在[0,a]上连续,

将[0,a]区间n等分,分点:取则有[0,a]上可积.可知f(x)在例利用定义计算定积分解由13说明:此例说明用定义计算定积分是非常困难的说明:此例说明用定义计算定积分是非常困难的14定积分可被用来计算“和式”的极限若f(x)在[a,b]上连续,则根据定积分的定义有即当所求极限的“和式”为积分和时,可利用

(1)转化为定积分的计算

当然,(1)也只能解决是“积分和”或“可化为积分和”的和式极限计算问题(1)定积分可被用来计算“和式”的极限若f(x)在[15例计算解例计算解16例计算解由于例计算解由于17据夹逼定理知据夹逼定理知18例计算解记则由于所以例计算解记则由于所以19解例把区间[a,b](a>0)分成n等分,分点为xi,

计算

设解例把区间[a,b](a>0)分成n20所以所以21第五章积分§5.1定积分的概念1º定积分问题的提出问题一:曲边梯形面积的计算

设y=f(x)0,x[a,b]计算:由曲线y=f(x),y=0,x=a,x=b所界的曲边梯形abcd的面积Aabxyo第五章积分§5.1定积分的概念1º定积分问题的提出22abxyoabxyo（四个小矩形）（九个小矩形）用矩形面积近似取代曲边梯形面积

可以看到,小矩形越多,小矩形的总面积越接近于曲边梯形面积Aabxyoabxyo（四个小矩形）（九个小矩形）用矩形面积近23(1)分割:使[a,b]被划分为n个子区间[xi-1,xi

],记[xi-1,xi

]上小曲边梯形的面积为∆Ai

,

y=f(x)∆Ai(1)分割:使[a,b]被划分为n个子区间24则(2)近似:若区间[a,b]被分割的很细,即每个子区间

[xi-1,xi

]的长度很小,则f(x)在[xi-1,xi]上近似于常数,小曲边梯形近似于矩形.任取若记

∆xi=

xi-

xi-1,

则则(2)近似:若区间[a,b]被分割的很细,即每个25(3)精确化:可以看出,将区间分割得越小,则式

(1)

的近似越精确

(1)则有(2)记(分割的最大直径)

(3)精确化:可以看出,将区间分割得越小,则式(26问题二:变速直线运动的路程设运动物体以速度v=v(t)作直线运动,求在时刻t=a到t=b这段时间内,物体行经的路程S.(1)分割:使记时间段[ti-1,ti

]内,物体行经的路程∆Si

,则问题二:变速直线运动的路程设运动物体以速度v=v(t)作27(2)近似:若子区间很小,则速度v(t)在上近似不变(即近似于常数)任取(3)(3)精确化:可以看出,越小,

则式

(3)

的近似程度越高记则有(4)(2)近似:若子区间很小,则速度v(t)在28说明:(1)

问题一,问题二是不同背景的问题,但面临同一数学问题,即和式极限的计算(2)在问题的处理过程中,都使用了

“以不变处理变”

的思想说明:(1)问题一,问题二是不同背景的问题,但面临2920定积分的定义定义设f(x)在[a,b]上有定义,在(a,b)内任意将[a,b]分成n个小区间:

在每个小区间上任取一点,作和式如果则称f(x)在[a,b]

可积,A称为f(x)在[a,b]上的定积分,记为,20定积分的定义定义设f(x)在[a,b]上30a称为积分下限;b称为积分上限;f(x)称为被积函数;f(x)dx称为被积表达式;x称为积分变量

说明:(1)

定积分的几何意义:abxyo如果y=f(x)0,x[a,b]曲边梯形的面积:(2)极限值A与区间[a,b]的划分方式无关,与的选取方式无关即a称为积分下限;b称为积分上限;f(x)称为31(3)在上述定义中认为a<b,对于a>b的情形:规定:对于b=a的情形:规定:(面积为零)(3)在上述定义中认为a<b,对于a>b的32定理(定积分存在的必要条件)如果f(x)在[a,b]上可积,则f(x)在[a,b]上有界说明:[a,b]上的无界函数是不可积的定理(定积分存在的充分条件)如果f(x)在[a,b]上连续或分段连续,则f(x)在[a,b]上可积说明:连续函数必是可积函数,不连续的函数也可能是可积函数定理(定积分存在的必要条件)如果f(x)在[a,33例利用定义计算定积分解由在[0,a]上连续,

将[0,a]区间n等分,分点:取则有[0,a]上可积.可知f(x)在例利用定义计算定积分解由34说明:此例说明用定义计算定积分是非常困难的说明:此例说明用定义计算定积分是非常困难的35定积分可被用来计算“和式”的极限若f(x)在[a,b]上连续,则根据定积分的定义有即当所求极限的“和式”为积分和时,可利用

(1)转化为定积分的计算