2023年高考数学复习讲稿之第19讲 利用平面向量解决平行四边形问题（原卷版）

第19讲利用平面向量解决平行四边形问题一．解答题（共16小题）1．在平面直角坐标系中，已知椭圆经过，且离心率，（1）求椭圆方程．（2）经过点且斜率的直线与椭圆有两个不同的交点和．①求的取值范围．②设椭圆与轴正半轴、轴正半轴的交点分别为、，是否存在常数，使向量与共线？如果存在，求值；如果不存在，请说明理由．2．已知椭圆的右焦点，点，为椭圆的半焦距）在轴上，若椭圆的离心率，且．（1）求椭圆方程；（2）若过的直线交椭圆与，两点，且与向量共线（其中为坐标原点），求证：．3．在平面直角坐标系中，经过点且斜率为的直线与椭圆有两个不同的交点、，（Ⅰ）若；求直线的斜率的值；（Ⅱ）设椭圆与轴正半轴、轴正半轴的交点分别为、，是否存在常数，使得向量与共线，如果存在，求出的值；如果不存在，请说明理由．4．如图，设抛物线方程为，为直线上任意一点，不在轴上，过引抛物线的切线，切点分别为，．（Ⅰ）设线段的中点为；（ⅰ）求证：平行于轴；（ⅱ）已知当点的坐标为时，，求此时抛物线的方程；（Ⅱ）是否存在点，使得点关于直线的对称点在抛物线上，其中，点满足为坐标原点）．若存在，求出所有适合题意的点的坐标；若不存在，请说明理由．5．已知点，的坐标分别是，，，，动点满足直线和的斜率之积为，记的轨迹为曲线．（1）求曲线的方程；（2）直线与曲线相交于，两点，若曲线上存在点，使得四边形为平行四边形（其中为坐标原点），求的取值范围．6．如图所示，已知圆与直线相切．（Ⅰ）求的值．（Ⅱ）直线与圆相交于，两点，若在圆上存在一点，使四边形为平行四边形，求实数的取值范围．7．在中，，的坐标分别是，点是的重心，轴上一点满足，且．（Ⅰ）求的顶点的轨迹的方程；（Ⅱ）直线与轨迹相交于，两点，若在轨迹上存在点，使四边形为平行四边形（其中为坐标原点），求的取值范围．8．已知椭圆，直线不过原点且不平行于坐标轴，与有两个交点，，线段的中点为．（1）证明：直线的斜率与的斜率的乘积为定值；（2）若过点，，延长线段与交于点，四边形能否为平行四边形？若能，求此时的斜率；若不能，说明理由．9．设为椭圆的右焦点，点在椭圆上，直线与以原点为圆心、以椭圆的长半轴长为半径的圆相切．（1）求椭圆的方程；（2）过点的直线与椭圆相交于，两点，过点且平行于的直线与椭圆交于另一点．问是否存在直线，使得四边形的对角线互相平分？若存在，求出的方程；若不存在，说明理由．10．已知椭圆的左、右顶点分别为，，上、下顶点分别为，，四边形的面积为，坐标原点到直线的距离为．（1）求椭圆的方程；（2）过椭圆上一点作两条直线分别与椭圆相交于点，（异于点，试判断以和为对角线的四边形是否为菱形？若是，求出直线的方程；若不是，请说明理由．11．已知椭圆左右两个焦点分别为，，为椭圆上一点，过且与轴垂直的直线与椭圆相交所得弦长为3．抛物线的顶点是椭圆的中心，焦点与椭圆的右焦点重合．（Ⅰ）求椭圆和抛物线的方程；（Ⅱ）过抛物线上一点（异于原点作抛物线切线交椭圆于，两点，求面积的最大值；（Ⅲ）过椭圆右焦点的直线与椭圆相交于，两点，过且平行于的直线交椭圆于另一点，问是否存在直线，使得四边形的对角线互相平分？若存在，求出的方程；若不存在，说明理由．12．设，分别为椭圆的左、右焦点，点在椭圆上，且点和关于点对称．（1）求椭圆的方程；（2）过右焦点的直线与椭圆相交于，两点，过点且平行于的直线与椭圆交于另一点，问是否存在直线，使得四边形的对角线互相平分？若存在，求出的方程；若不存在，说明理由．13．设，分别为椭圆的左，右焦点，点在椭圆上，且点和关于点对称．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）过右焦点的直线与椭圆相交于，两点，过点且平行于的直线与椭圆交于另一点，问是否存在直线，使得四边形的对角线互相平分？若存在，求出的方程；若不存在，说明理由．14．在平面直角坐标系中，椭圆的左、右焦点分别为，，已知点和都在椭圆上，其中为椭圆的离心率．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）设直线与椭圆相交于，两点，若在椭圆上存在点，使四边形为平行四边形，求的取值范围．15．已知椭圆的右焦点为，上顶点为，短轴长为2，为原点，直线与椭圆的另一个交点为，且的面积是的面积的3倍．（1）求椭圆的方程；（2）如图，直线与椭圆相交于，两点，若在椭圆上存在点，使为