高等数学-第二章导数与微分习题课讲解课件

第二章导数与微分习题课第二章导数与微分习题课1一、导数与微分的基本概念

1．导数定义:

2．导数的几何意义:为曲线在点的切线斜率。

3.在处可导的充分必要条件：

在处可导且。

与都存在，一、导数与微分的基本概念1．导数定义:2．导数的几何意义2二、极限、连续、可导与可微的关系

4.在处的可微定义：

二、极限、连续、可导与可微的关系4.在处的可3三、求导法则

1．四则运算求导法则

2．反函数求导法则

（1）（2）（3）函数在对应的内也可导，且

或。

设在区间内单调、可导且，则其反

三、求导法则1．四则运算求导法则2．反函数求导法则（143．复合函数求导法则

4．隐函数求导法则

求导过程中牢记是的函数，方程中含有的项应用复合函数求导法求导。然后由求导后的方程解出。

5．参数方程求导

参数方程确定可导函数，则设及都是可导函数，则复合函数

也是可导函数且。

由方程确定了，方程两端对求导，在

3．复合函数求导法则4．隐函数求导法则求导过程中牢记5四、高阶导数定义及求导

若函数的导函数仍然是可导函数，则将的

导函数叫做函数的二阶导数。记作依此类推，函数的导函数叫做的阶导数。

记。

四、高阶导数定义及求导若函数的导函数6五、典型例题

分析计算分段函数分界点处的导数，要根据定义看是否有

解：左导数和右导数，并且还要看左右导数是否相等。

【例1】设，问是否存在？

五、典型例题分析计算分段函数分界点处的导数，要根据7【例2】设，求及。

及求导法则求出，故求应选用“先求，后求

因而应用导数定义求。

解：当时，当时，和处函数值”的方法。而是分段函数的分段点，分析当时，是可导函数，且可利用求导公式【例2】设8【例3】设，已知在处可导，

试确定的值。为未知量的方程。由已知条件在分段点处可导，

得一个方程；又由函数在一点可导必要条件:

在处连续，得第二个方程。

解此联立方程组，可求出。

分析此题要求两个待定常数。通常需要寻找两个只以

【例3】设9

解：因为在处可导，所以在处连续；

即解：因为在处可导，所以10【例4】已知，求。解：当时，；当时，；当时，综上，

所以

【例4】已知11【例5】设，求。

解：

解：【例6】设，求。

【例5】设，求12解：【例7】求星形线在处的导数。

故解：【例7】求星形线在处的导13解：方程两边对求导得【例8】设是由方程所确定，

求。

将代入上方程，得（1）将代入原方程，得（2）

将（2）代入（1）中得。

解：方程两边对求导得【例8】设14【例9】求函数的微分。解：所以

【例9】求函数的微分。解：所以15分析因为含有乘积与幂指函数，故应用对数求导法。

解：应用对数求导法。函数两边取对数得

所以

方程两边对求导得【例10】设

，求。分析因为含有乘积与幂指函数，故应用对数求导法。解16【例11】设，求。

方程两边对求导得分析是由三个或三个以上的有限个函数的乘、除、开方、乘方形成的，应用对数求导法。解：函数两边取对数得方程

所以

【例11】设17【例12】设曲线方程,求此曲线上纵坐标处的切线方程.所以切点坐标为则所求切线方程为解：先求切点坐标.将代入曲线方程得将代入上式,得再求曲线在切点处的切线斜率.方程两端对求导，得【例12】设曲线方程,求此曲线18【例13】已知,设存在且不为零,求

解：因为

所以【14】求的阶导数.

解：…【例13】已知19第二章导数与微分习题课第二章导数与微分习题课20一、导数与微分的基本概念

1．导数定义:

2．导数的几何意义:为曲线在点的切线斜率。

3.在处可导的充分必要条件：

在处可导且。

与都存在，一、导数与微分的基本概念1．导数定义:2．导数的几何意义21二、极限、连续、可导与可微的关系

4.在处的可微定义：

二、极限、连续、可导与可微的关系4.在处的可22三、求导法则

1．四则运算求导法则

2．反函数求导法则

（1）（2）（3）函数在对应的内也可导，且

或。

设在区间内单调、可导且，则其反

三、求导法则1．四则运算求导法则2．反函数求导法则（1233．复合函数求导法则

4．隐函数求导法则

求导过程中牢记是的函数，方程中含有的项应用复合函数求导法求导。然后由求导后的方程解出。

5．参数方程求导

参数方程确定可导函数，则设及都是可导函数，则复合函数

也是可导函数且。

由方程确定了，方程两端对求导，在

3．复合函数求导法则4．隐函数求导法则求导过程中牢记24四、高阶导数定义及求导

若函数的导函数仍然是可导函数，则将的

导函数叫做函数的二阶导数。记作依此类推，函数的导函数叫做的阶导数。

记。

四、高阶导数定义及求导若函数的导函数25五、典型例题

分析计算分段函数分界点处的导数，要根据定义看是否有

解：左导数和右导数，并且还要看左右导数是否相等。

【例1】设，问是否存在？

五、典型例题分析计算分段函数分界点处的导数，要根据26【例2】设，求及。

及求导法则求出，故求应选用“先求，后求

因而应用导数定义求。

解：当时，当时，和处函数值”的方法。而是分段函数的分段点，分析当时，是可导函数，且可利用求导公式【例2】设27【例3】设，已知在处可导，

试确定的值。为未知量的方程。由已知条件在分段点处可导，

得一个方程；又由函数在一点可导必要条件:

在处连续，得第二个方程。

解此联立方程组，可求出。

分析此题要求两个待定常数。通常需要寻找两个只以

【例3】设28

解：因为在处可导，所以在处连续；

即解：因为在处可导，所以29【例4】已知，求。解：当时，；当时，；当时，综上，

所以

【例4】已知30【例5】设，求。

解：

解：【例6】设，求。

【例5】设，求31解：【例7】求星形线在处的导数。

故解：【例7】求星形线在处的导32解：方程两边对求导得【例8】设是由方程所确定，

求。

将代入上方程，得（1）将代入原方程，得（2）

将（2）代入（1）中得。

解：方程两边对求导得【例8】设33【例9】求函数的微分。解：所以

【