计算方法实验报告

18/18计算方法实验报告（四）（一）线性方程的迭代解法一、实验问题利用简单迭代法，两种加速技术，牛顿法，改进牛顿法，弦割法求解习题5-1，5-2，5-3中的一题，并尽可能准确。选取5-3：求x3二、问题的分析（描述算法的步骤等）（1）简单迭代法算法：给定初始近似值p0,求p=φStep1令i=0；Step2令pi+1=φpiStep3如果pi+1（2）Aitken加速法算法Step1令k=0，利用简单迭代算法xk+1=φxStep2令xk*=xk-xStep3如果xk+1(3)插值加速法算法Step1令k=0，利用简单迭代算法xk+1=φxStep2令xk*=xk+xk-xStep3如果xk+1(4)牛顿法算法Step1给定初始近似值x0Step2令xk+1=xStep3如果xk+1（5）改进牛顿法的算法Step1给定初始近似值x0Step2令xk+1=xStep3如果xk+1（6）弦割法算法（双点弦割法）Step1给定初始近似值x0Step2令xk+1=Step3如果xk+1三、程序设计(1)简单迭代法利用迭代公式x=3#include<iostream.h>#include<math.h>#include<stdio.h>doublefun(doublex){ doublec=1+x*x; returnpow(c,1/3.0);}voidmain(){ doublex=1.5; doubley=0; doubleD=1; doublee=0.001; while(D>e) { D=0; y=fun(x); if(fabs(y-x)>=D) {D=fabs(y-x); } x=y; } cout<<x<<endl;}(2)）Aitken加速法源程序如下：x1=1.5;eps=0.0001;y1=(1+x1^2)^(1/3);z1=(1+y1^2)^(1/3);x=z1-(z1-y1)^2/(z1-2*y1+x1);whileeps<abs(x2-x)x=x2;x1=y1;y1=(1+x1^2)^(1/3);z1=(1+y1^2)^(1/3);x2=z1-(z1-y1)^2/(z1-2*y1+x1);n=n+1;endfprintf('迭代次数n=%.0f\n',n);fprintf('x2=%.5f\n',x2)（3）插值加速法源程序如下：x1=0;x2=1.5;eps=0.0000001;y1=0;z1=0;n=0;whileeps<abs(x2-x1)x1=x2;y1=(1+x1^2)^(1/3);z1=(1+y1^2)^(1/3);x2=z1+(z1-y1)^2/(z1-2*y1+x1);n=n+1;endfprintf('迭代次数n=%.0f\n',n);fprintf('x2=%.5f\n',x2)（4）牛顿法：利用公式xk+1=程序设计如下：#include<iostream.h>#include<math.h>doublefun(doublex){ doublea=2*pow(x,3.0)-pow(x,2.0)+1; doubleb=3*pow(x,2.0)-2*x; returna/b;}voidmain(){doublex=1.5; doubley=0; doubleD=1; doublee=0.001; doublef=0; while(D>e) { D=0; y=fun(x); if(fabs(y-x)>=D) {D=fabs(y-x); } x=y; f++; } cout<<x<<endl; cout<<"f="<<f<<endl;}（5）运用改进牛顿法：迭代公式：x程序代码如下：#include<iostream.h>#include<math.h>doublefun(doublex){ doublea=2*pow(x,3.0)-pow(x,2.0)+1; doubleb=3*pow(x,2.0)-2*x; doublec=pow((pow(x,3.0)-pow(x,2.0)-1),2.0); doubled=(6*x-2)/12; returna/b-c*d;}voidmain(){doublex=1.5; doubley=0; doubleD=1; doublee=0.001; doublef=0; while(D>e) { D=0; y=fun(x); if(fabs(y-x)>=D) {D=fabs(y-x); } x=y; f++; } cout<<x<<endl; cout<<"f="<<f<<endl;}（6）利用弦割法利用公式x程序代码：#include"stdafx.h"#include<iostream>usingnamespacestd;#include<math.h>doublefua(doublel){returnpow(l,3.0)-pow(l,2.0)-1;}int_tmain(intargc,_TCHAR*argv[]){ doublex=1.4; doubley=0; doubleD=1; doublee=0.001; doublef=0; while(D>e) { D=0; y=x-fua(x)*(x-1.5)/(fua(x)-0.125); if(fabs(y-x)>=D) {D=fabs(y-x); } x=y; f++; } cout<<x<<endl; cout<<"f="<<f<<endl; return0; }四、计算结果(1)简单迭代法的运行结果：x=1.46624（2）Aitken加速法运行结果如下：迭代次数n=15x2=1.46557（3）插值加速法运行结果如下：迭代次数n=15x2=1.46557(4)牛顿迭代法的运行结果如下（5）改进牛顿迭代法运行结果：（6）弦割法的运行结果五、结果分析通过实验很容易发现在相同的准确数字时，加速迭代法的迭代次数明显少于简单的迭代法。但仅仅就实验结果而言，牛顿迭代法和改进的牛顿迭代法与弦割法所得运行结果相同，但是改进的迭代法速度比牛顿迭代法要快速。六、实验的总结与体会迭代法是一种逐次逼近的方法，且都是局部收敛的，具有原理简单，编写程序方便等优点，但还存在是否收敛与收敛速度快慢的问题，不能盲目使用。当迭代过程只有线性收敛速度时，可采用埃特金加速法实现加速。牛顿法是一种特殊的迭代法，用于求方程单根时具有二阶收敛速度。但牛顿法对初值的要求苛刻，而且需要求函数的导数，遇到求导数复杂的情形，常用弦割法求解。弦割法是对牛顿法的变形，不需要求函数的导数，但收敛阶不高，而且需要提供两个较好的初值。（二）线性方程组的迭代解法一、实验问题利用雅可比迭代法，赛德尔迭代法求解如下方程组-二、问题的分析（描述算法的步骤等）雅克比迭代法算法如下：对令对令对i=1~n若D≥ε输出x赛德尔迭代法算法如下（（3）对令（4）若D≥ε（5）输出x三、程序设计(1)运用雅可比迭代法进行迭代：代码如下：#include<iostream.h>#include<math.h>voidmain(){ doublex[3]={0,0,0}; doublea[3][3]={-8,1,1,1,-5,1,1,1,-4}; doubleb[3]={1,16,7}; doubley[3];doublee=0.04; doubleD=1; intf=0; while(D>e) { D=0; for(intc=0;c<5;c++) { for(inti=0;i<3;i++) { y[i]=b[i]; for(intj=0;j<3;j++) { if(j!=i) { y[i]=y[i]-a[i][j]*x[j]; } } y[i]=y[i]/a[i][i]; if(fabs(x[i]-y[i])>=D) { D=fabs(x[i]-y[i]); } }for(intl=0;l<3;l++) { x[l]=y[l]; } } f++; } for(intk=0;k<3;k++) { cout<<x[k]<<endl; } cout<<f<<endl;}(2)赛德尔迭代法源代码如下：程序代码：

#include<iostream.h>#include<math.h>#include<stdio.h>voidmain(){ doublex[3]={0,0,0}; doublea[3][3]={-8,1,1,1,-5,1,1,1,-4}; doubleb[3]={1,16,7}; doubley;doublee=0.0001; doubleD=1; doublef=0; while(D>e) { D=0; for(intc=0;c<5;c++) { for(inti=0;i<3;i++) { y=b[i]; for(intj=0;j<3;j++) { if(j!=i) { y=y-a[i][j]*x[j]; } } y=y/a[i][i]; if(fabs(x[i]-y)>=D) { D=fabs(x[i]-y); } }for(intl=0;l<3;l++) { x[l]=y[l]; } } f++; } for(intk=0;k<3;k++) { cout<<x[k]<<endl; }; cout<<f<<endl; }四、计算结果（1）雅克比迭代法运行结果如下：（2）赛德尔迭代法运行结果如下