《25与圆有关的比例线段》课件3-优质公开课-人教A版选修4-1

第5课时与圆有关的比例线段第5课时与圆有关的比例线段【课标要求】1．经历相交弦定理、割线定理、切割线定理、切线长定理的探究过程，体会运动变化思想，认识四条定理的内在联系．2．理解相交弦定理、割线定理、切割线定理、切线长定理，能应用四条定理解决相关的几何问题．3．通过探究，进一步体会运动变化思想，体验数学探究的过程．【核心扫描】1．理解相交弦定理、割线定理、切割线定理及切线长定理．(重点)2．运用这些定理解决相关的几何问题．(难点)【课标要求】自学导引1．相交弦定理

(1)定理：圆内的两条相交弦，被交点分成的

相等．

(2)如图所示，AB、CD是⊙O的两条弦，

AB、CD相交于点P，则PA·PB＝________.两条线段长的积PC·PD自学导引两条线段长的积PC·PD2．割线定理

(1)定理：从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的_____相等．

(2)如果PA和PC是圆的两条割线，与圆分别交于点B、A和D、C，则PA·PB＝_________.积PC·PD2．割线定理积PC·PD3．切割线定理

(1)切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的___________．

(2)如图所示，PBA是⊙O的割线，PC是⊙O的切线，则PC2＝__________.比例中项PA·PB3．切割线定理比例中项PA·PB4．切线长定理

(1)切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的_______．

(2)如图所示，PA、PC是⊙O的切线，则有PA＝______.夹角PC4．切线长定理夹角PC名师点睛1．相交弦定理的证明过程是利用了分类讨论思想进行分析的，也可以理解为由特殊到一般的过程进行分析的．2．割线定理是圆中的比例线段，在证明割线定理时所用的构造相似三角形的方法十分重要，应注意很好地把握．3．要真正弄懂切割线定理的数量关系，把握定理叙述中的“从”、“引”、“切线长”、“两条线段长”等关键字样．名师点睛4．(1)切线长定理在证明线段相等、角相等及垂直关系中占有重要地位，故为重点．

(2)“切割线定理”和“切线长定理”实际上是割线定理的特例．

(3)深刻理解结论：由于圆是轴对称图形，在图中若再连接AB与OP交于点C，则存在射影定理的基本图形，于是有AC2＝BC2＝PC·OC，PA2＝PB2＝PC·PO，AO2＝BO2＝OC·OP.4．(1)切线长定理在证明线段相等、角相等及垂直关系中占有重题型一相交弦定理的应用【例1】在半径为12cm的圆中，垂直平分半径的弦的长为(

)．

A．3cm B．27cm C．12cm D．6cm [思维启迪]

准确使用相交弦定理解决此题．题型一相交弦定理的应用《25与圆有关的比例线段》课件3-优质公开课-人教A版选修4-1答案C答案C反思感悟用相交弦定理解决此类问题步骤：①结合图形，找准分点及线段被分点所分成的线段；②正确应用相交弦定理列出关系式；③代入数值运算，求出正确的答案．反思感悟用相交弦定理解决此类问题步骤：【变式1】如图所示，已知AP＝3cm，PB＝5cm，CP＝2.5cm，求CD.

解由相交弦定理，得PA·PB＝PC·PD.

将PA＝3cm，PB＝5cm代入上式，得PD＝6cm.

所以CD＝CP＋PD＝6＋2.5＝8.5(cm)．【变式1】如图所示，已知AP＝3cm，PB＝5cm，C题型二切割线定理的应用【例2】如图，AD为⊙O的直径，AB为⊙O的切线，割线BMN交AD的延长线于C，且BM＝MN＝NC， 若AB＝2.求: (1)BC的长；

(2)⊙O的半径r.题型二切割线定理的应用《25与圆有关的比例线段》课件3-优质公开课-人教A版选修4-1反思感悟(1)应用切割线定理的一般步骤：①观察图形，寻找切割线定理成立的条件；②找准相关线段的长度，列出等式；③解方程，求出结果．(2)应用切割线定理及割线定理的前提条件：只有从圆外一点才可能产生割线定理或切割线定理，切割线定理是指一条切线和一条割线，而割线定理则是指两条割线，只有弄清前提，才能正确运用定理．反思感悟(1)应用切割线定理的一般步骤：【变式2】如图，已知Rt△ABC的两条直角边AC、BC的长分别为3cm、4cm，以AC为直径作圆与斜边AB交于点D，求BD的长．【变式2】如图，已知Rt△ABC的两条直角边AC、BC的长《25与圆有关的比例线段》课件3-优质公开课-人教A版选修4-1题型三切线长定理的应用【例3】如图所示，P为⊙O外一点，PA、PB分别切⊙O于点A、B，点C为AB上任意一点，过C作⊙O的切线，分别交PA、PB于点D、E，△PDE的周长为8cm，且∠DOE＝70°， 求(1)PA的长；(2)∠P的度数．

[思维启迪]利用切线长定理解决此题．题型三切线长定理的应用解(1)PA＝PD＋DA，PB＝PE＋EB，DE＝DC＋CE.由“切线长定理”可知PA＝PB，DA＝DC，EB＝EC.所以PA＋PB＝2PA＝PD＋PE＋DA＋EB＝PD＋PE＋(DC＋EC)，即2PA＝PD＋PE＋DE.而△PDE的周长＝PD＋PE＋DE＝8cm.所以2PA＝8cm，PA＝4cm.解(1)PA＝PD＋DA，PB＝PE＋EB，DE＝DC＋C(2)连接OA、OB、OC，则PA⊥OA，PB⊥OB，DE⊥OC，且∠1＝∠2，∠3＝∠4＝∠9＝90°.由三角形内角和得∠5＝∠6，∠7＝∠8.又∠P＋∠PAO＋∠AOB＋∠PBO＝360°，所以∠P＝180°－(∠5＋∠6＋∠7＋∠8)．由已知∠6＋∠7＝70°，所以∠5＋∠6＋∠7＋∠8＝140°，所以∠P＝180°－140°＝40°.(2)连接OA、OB、OC，则PA⊥OA，PB⊥OB，DE⊥反思感悟切线上一点到切点的距离为切线长，并且这点与圆心的连线平分两条切线的夹角．解此题第(2)问时，注意四边形内角和这一隐含条件的使用，当已知条件中有切线时，通常连结切点和圆心，以便使用“垂直”这一结论，这也是切线问题常用的辅助线．反思感悟切线上一点到切点的距离为切线长，并且这点与圆心的连【变式3】如图，⊙O为△ABC的内切圆，AC、BC、AB分别与⊙O切于点D、E、F，∠C＝90°，AD＝3，⊙O的半径为2，则BC＝________.

解析如图所示，分别连接OD，OE、OF. ∵OE＝OD，CD＝CE，OE⊥BC，

OD⊥AC， ∴四边形OECD是正方形．【变式3】如图，⊙O为△ABC的内切圆，AC、BC、AB分设BF＝x，则BE＝x.∵AD＝AF＝3，CD＝CE＝2，∴(2＋x)2＋25＝(x＋3)2，解得x＝10，∴BC＝12.答案12设BF＝x，则BE＝x.高考在线与圆有关的比例线段的考查考点点击高考题在这部分可能与圆的切线、以及其他知识综合出现，以前在中考中此部分是考查的重点，现在放在高中部分，虽不是高考的重点，但有可能出现在选择题、填空题中，且难度较小．高考在线与圆有关的比例线段的考查【考题1】(2012·北京高考)如图，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，以BD为直径的圆与BC交于点E，则(

)．

A．CE·CB＝AD·DB

B．CE·CB＝AD·AB C．AD·AB＝CD2

D．CE·EB＝CD2

解析∵CD⊥AB，∴以BD为直径的圆与CD相切．∴CD2＝CE·CB.在Rt△ABC中，CD为斜边AB上的高，有CD2＝AD·DB，因此，CE·CB＝AD·DB.

答案A

反思感悟本题考查直角三角形射影定理．切割线定理等基础知识，考查推理论证能力．【考题1】(2012·北京高考)如图，∠ACB＝90°，C《25与圆有关的比例线段》课件3-优质公开课-人教A版选修4-1反思感悟本小题主要考查解直角三角形知识及相交弦定理的应用．反思感悟本小题主要考查解直角三角形知识及相交弦定理的应用．【考题3】(2010·陕西高考)如图，已知Rt△ABC的两条直角边AC，BC的长分别为3cm，4cm，以AC为直径的圆与AB交于点D，则＝________.【考题3】(2010·陕西高考)如图，已知Rt△ABC的两《25与圆有关的比例线段》课件3-优质公开课-人教A版选修4-1第5课时与圆有关的比例线段第5课时与圆有关的比例线段【课标要求】1．经历相交弦定理、割线定理、切割线定理、切线长定理的探究过程，体会运动变化思想，认识四条定理的内在联系．2．理解相交弦定理、割线定理、切割线定理、切线长定理，能应用四条定理解决相关的几何问题．3．通过探究，进一步体会运动变化思想，体验数学探究的过程．【核心扫描】1．理解相交弦定理、割线定理、切割线定理及切线长定理．(重点)2．运用这些定理解决相关的几何问题．(难点)【课标要求】自学导引1．相交弦定理

(1)定理：圆内的两条相交弦，被交点分成的

相等．

(2)如图所示，AB、CD是⊙O的两条弦，

AB、CD相交于点P，则PA·PB＝________.两条线段长的积PC·PD自学导引两条线段长的积PC·PD2．割线定理

(1)定理：从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的_____相等．

(2)如果PA和PC是圆的两条割线，与圆分别交于点B、A和D、C，则PA·PB＝_________.积PC·PD2．割线定理积PC·PD3．切割线定理

(1)切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的___________．

(2)如图所示，PBA是⊙O的割线，PC是⊙O的切线，则PC2＝__________.比例中项PA·PB3．切割线定理比例中项PA·PB4．切线长定理

(1)切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的_______．

(2)如图所示，PA、PC是⊙O的切线，则有PA＝______.夹角PC4．切线长定理夹角PC名师点睛1．相交弦定理的证明过程是利用了分类讨论思想进行分析的，也可以理解为由特殊到一般的过程进行分析的．2．割线定理是圆中的比例线段，在证明割线定理时所用的构造相似三角形的方法十分重要，应注意很好地把握．3．要真正弄懂切割线定理的数量关系，把握定理叙述中的“从”、“引”、“切线长”、“两条线段长”等关键字样．名师点睛4．(1)切线长定理在证明线段相等、角相等及垂直关系中占有重要地位，故为重点．

(2)“切割线定理”和“切线长定理”实际上是割线定理的特例．

(3)深刻理解结论：由于圆是轴对称图形，在图中若再连接AB与OP交于点C，则存在射影定理的基本图形，于是有AC2＝BC2＝PC·OC，PA2＝PB2＝PC·PO，AO2＝BO2＝OC·OP.4．(1)切线长定理在证明线段相等、角相等及垂直关系中占有重题型一相交弦定理的应用【例1】在半径为12cm的圆中，垂直平分半径的弦的长为(

)．

A．3cm B．27cm C．12cm D．6cm [思维启迪]

准确使用相交弦定理解决此题．题型一相交弦定理的应用《25与圆有关的比例线段》课件3-优质公开课-人教A版选修4-1答案C答案C反思感悟用相交弦定理解决此类问题步骤：①结合图形，找准分点及线段被分点所分成的线段；②正确应用相交弦定理列出关系式；③代入数值运算，求出正确的答案．反思感悟用相交弦定理解决此类问题步骤：【变式1】如图所示，已知AP＝3cm，PB＝5cm，CP＝2.5cm，求CD.

解由相交弦定理，得PA·PB＝PC·PD.

将PA＝3cm，PB＝5cm代入上式，得PD＝6cm.

所以CD＝CP＋PD＝6＋2.5＝8.5(cm)．【变式1】如图所示，已知AP＝3cm，PB＝5cm，C题型二切割线定理的应用【例2】如图，AD为⊙O的直径，AB为⊙O的切线，割线BMN交AD的延长线于C，且BM＝MN＝NC， 若AB＝2.求: (1)BC的长；

(2)⊙O的半径r.题型二切割线定理的应用《25与圆有关的比例线段》课件3-优质公开课-人教A版选修4-1反思感悟(1)应用切割线定理的一般步骤：①观察图形，寻找切割线定理成立的条件；②找准相关线段的长度，列出等式；③解方程，求出结果．(2)应用切割线定理及割线定理的前提条件：只有从圆外一点才可能产生割线定理或切割线定理，切割线定理是指一条切线和一条割线，而割线定理则是指两条割线，只有弄清前提，才能正确运用定理．反思感悟(1)应用切割线定理的一般步骤：【变式2】如图，已知Rt△ABC的两条直角边AC、BC的长分别为3cm、4cm，以AC为直径作圆与斜边AB交于点D，求BD的长．【变式2】如图，已知Rt△ABC的两条直角边AC、BC的长《25与圆有关的比例线段》课件3-优质公开课-人教A版选修4-1题型三切线长定理的应用【例3】如图所示，P为⊙O外一点，PA、PB分别切⊙O于点A、B，点C为AB上任意一点，过C作⊙O的切线，分别交PA、PB于点D、E，△PDE的周长为8cm，且∠DOE＝70°， 求(1)PA的长；(2)∠P的度数．

[思维启迪]利用切线长定理解决此题．题型三切线长定理的应用解(1)PA＝PD＋DA，PB＝PE＋EB，DE＝DC＋CE.由“切线长定理”可知PA＝PB，DA＝DC，EB＝EC.所以PA＋PB＝2PA＝PD＋PE＋DA＋EB＝PD＋PE＋(DC＋EC)，即2PA＝PD＋PE＋DE.而△PDE的周长＝PD＋PE＋DE＝8cm.所以2PA＝8cm，PA＝4cm.解(1)PA＝PD＋DA，PB＝PE＋EB，DE＝DC＋C(2)连接OA、OB、OC，则PA⊥OA，PB⊥OB，DE⊥OC，且∠1＝∠2，∠3＝∠4＝∠9＝90°.由三角形内角和得∠5＝∠6，∠7＝∠8.又∠P＋∠PAO＋∠AOB＋∠PBO＝360°，所以∠P＝180°－(∠5＋∠6＋∠7＋∠8)．由已知∠6＋∠7＝70°，所以∠5＋∠6＋∠7＋∠8＝140°，所以∠P＝180°－140°＝40°.(2)连接OA、OB、OC，则PA⊥OA，PB⊥OB，DE⊥反思感悟切线上一点到切点的距离为切线长，并且这点与圆心的连线平分两条切线的夹角．解此题第(2)问时，注意四边形内角和这一隐含条件的使用，当已知条件中有切线时，通常连结切点和圆心，以便使用“垂直”这一结论，这也是切线问题常用的辅助线．反思感悟切线上一点到切点的距离为切线长，并且这点与圆心的连【变式3】如图，⊙O为△ABC的内切圆，AC、BC、AB分别与⊙O切于点D、E、F，∠C＝90°，AD＝3，⊙O的半径为2，则BC＝________.

解析如图所示，分别连接OD，OE、OF. ∵OE＝OD，CD＝CE，OE⊥BC，

OD⊥AC， ∴四边形OECD是正方形．【变式3】如图，⊙O为△ABC的内切圆，AC、BC、AB分设BF＝x，则BE＝x.