【高考真题】2022年高考数学真题试卷（新高考全国Ⅱ卷）

阅卷入得分【高考真题】2022年高考数学真题试卷（新高考全国II卷）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。（共8题；共40分）1.（5分）己知集合4={-1,1,2,4},B 1|W1},则4nB=（ ）A.{-1,2} B.{1,2} C.{1,4} D.{-1,4}【答案】B【解析】【解答】B={x|0<x<2},故AnB={1,2}.故答案为：B【分析】先求出集合B,再根据交集的概念求AHB即可.（5分）（2+2i）（l-2i）=（ ）A.—2+4i B.-2—4i C.6+2i D.6—2i【答案】D【解析】【解答】（2+2i）（l-2i）=2+4-4i+2i=6-2i,故答案为：D【分析】根据复数代数形式的乘法法则即可求解.（5分）中国的古建筑不仅是挡风遮雨的住处，更是美学和哲学的体现.如图是某古建筑物的剖面图，DDX,CCi，BB「44］是举，0久，DC」CB「BAX是相等的步，相邻桁的举步之比分别nn rr aa为=0.5/ =ki，行^=七，巨#= ，若ki，卜2,卜3是公差为0.1的等差数列，且直UU Uh2 CDj D/\2 ■1/n线04的斜率为0.725,则k3=（

A.0.75B.0.8A.0.75B.0.8C.0.85D.0.9【答案】D【解析】【解答】设。。1=DC1=CB]=BAr=1,则CC]=BBr=k?，AAt=k3Intr?nr七 口DDa+CC-I+BB-1-\-AAycrcL根据题忌，有卜3-0.2=k],卜3—0.1=&，且0d+0C]+C8]+84=0.725,所以0.5+3k3所以0.5+3k3-0.3=0.725，故自=0・9・故答案为：D【分析】设0。1=DC1=CB1=BA,=1,可得关于七的方程求解即可.(5分)已知q=(3,4),b=(1,0)/c=a+tb,若Vq,c>=<b,c>,则t=A.-6BA.-6B.-5C.5D.6【答案】C(解析］【解答】解：由已知条件可得H=(3+34),cos<a,c>=cos<b,c>,即9+3t+16 3+t总丑俎*c5|ci=~igr，解得t=5，故答案为：c【分析】利用向量的坐标运算和向量的夹角的余弦公式的坐标形式化简即可求解.(5分)有甲乙丙丁戊5名同学站成一排参加文艺汇演，若甲不站在两端，丙和丁相邻的不同排列方式有多少种( )A.12种 B.24种 C.36种 D.48种【答案】B【解析】【解答】因为丙丁相邻，先把丙丁捆绑，看做一个元素，连同乙，戊看成三个元素排列，有31种排列方式；甲不在两端，则甲在三个元素的中间两个位置任选一个位置插入，有2种插空方式；注意到丙丁两人的顺序可交换，有2种排列方式，故安排这5名同学共有：3!x2x2=24种不同的排列方式.故答案为：B【分析】利用捆绑法处理丙丁，用插空法安排甲，利用排列组合与计数原理即可得解.(5分)若sin(a+/?)+cos(a+夕)=2&cos(a+$sin/?，则( )A.tan(a+/3)=-1 B.tan(a+3)=1C.tan(a—0)=—1 D.tan(a—/3)=1【答案】C【解析】【解答】根据两角和的正弦、余弦公式化简已知式子得：sinacos0+cosasin^+cosacos0—sinasin4=2(cosa—sina)sin0,即：sinacos0—cosasinj?+cosacos0+sinasin0=0>即：sin(a—0)+cos(a—3)=0,所以tan(a-3)=-1,故答案为：C【分析】由两角和差的正、余弦公式化简，结合同角三角函数的商数关系即可得解.(5分)正三棱台高为1,上下底边长分别为3V3和4V3，所有顶点在同一球面上，则球的表面积是( )A.1007：A.1007：【答案】AB.1287rC.1447rD.1927r【解析】【解答】设正三棱台上下底面所在圆面的半径n，r2,所以2rl=卫\,2r2=sin60性竺，即勺=3,「2=4，设球心到上下底面的距离分别为心，d2,球的半径为R,所以sin60由=—9,d2=Jr2—]6,故|由一Bl=1或心+d2=1,即|V/?2—9—y]R2—16|=1或Jr2一9+Jr2-]6=1,解得R2=25,所以球的表面积为S=4nR2=IOOtt.故答案为：A【分析】根据题意可求出正三棱台上下底面所在圆面的半径ri,r2,再根据球心距，圆面半径，以及球的半径之间的关系，即可解出球的半径，从而求出球的表面积.(5分)若函数/(X)的定义域为R,且f(x+y)+/(x-y)=f(x)f(y),/(l)=1,贝！I&fW=()A.-3 B.-2 C.0 D.1【答案】A【解析】【解答】因为/(x+y)+/(x-y)=/(x)f(y),令x=Ly=0可得，2f(1)=/(1)/(0),所以/(0)=2,令x=0可得，f(y)+f(-y)=2f(y),即f(y)=/(-y),所以函数/(x)为偶函数，令y=l得，f(x+1)+f(x-1)=f(x)f(l)=f(x),即有/(x+2)+f(x)=f(x+1),从而可知f(x+2)=-f(x-1),f(x-1)=-/(x-4),故/(x+2)=f(x-4),即/(x)=f(x+6),所以函数f(x)的一个周期为6.因为f(2)=/(I)-/(0)=l-2=-l,f(3)=f(2)-/(I)=-1-1=-2,f(4)=/(-2)=f(2)=-1,f(5)=/(-I)=/(I)=1,/(6)=f(0)=2，所以一个周期内的/⑴+f(2)+…+/⑹=0.由于22除以6余4,所以1fcljfW=/(l)+/(2)+/(3)+/(4)=1-1-2-1=-3.故答案为：A【分析】根据题意赋值即可知函数/-(%)的一个周期为6,求出函数一个周期中的/(I),/(2),阅卷人得分…，/(6)的值，即可求解.二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得。分。(共4题；共20分)(5分)函数/(x)=sin(2x+w)(0<0<兀)的图象以(冬，0)中心对称，则( )

y=/（x）在（0,修）单调递减y=/（x）在（一金，岩）有2个极值点C.直线％=?是一条对称轴D.直线y=^.-x是一条切线【答案】A,D【解析】【解答】由题意得:/（半）=sin（粤+<p）=0,所以等+夕=krt,kEZ,即中=—粤+/nr,keZ又OVqVtt,所以k=2时，中=冬，故/（%）=sin（2x+等）.对于A：当xe（0>碧）时，2%+等€（等，苧），由正弦函数y=sinu图象知y=/（x）在（0,招）上是单调递减；对于B：当xw（—各袈）时，2%+等€$,竽）,由正弦函数y=sinu图象知y=/（x）只有1个极值点，由2%+孕=擎，解得％=驾，即％=居为函数的唯一极值点；对于C：当％=普时，2%+等=3tt,/（普）=0，直线X=普不是对称轴；对于D：由y'=2cos（2x+等）=—1得：cos（2x+等）=—*>解得2%+等=等+2而或2%+等=粤+2而，keZTT从而得：％=kn■或x=w+/ctt,kEZ9所以函数y=/（x）在点（0,空）处的切线斜率为k=y'\x=0=2cos^=-1,切线方程为：y—¥=—（x—0）即y- —x•故答案为：AD【分析】先根据已知条件求出中的值，从而求得函数得解析式/（x）=sin（2x+学）,再根据三角函数的性质逐个判断各选项，即可得解.（5分）己知O为坐标原点，过抛物线C：y2=2px（p>0）的焦点F的直线与C交于A,B两点，点A在第一象限，点M（p,0）,若\AF\=\AM\，则（ ）A.直线ABA.直线AB的斜率为2遍B.\OB\=\OF\D./D./.OAM+乙OBM<180°【答案】A,C,D【解析】【解答】对于A：易得喝，0）,由\AF\=\AM\可得点A在FM的垂直平分线上，则A点横坐标为挈=半，代入抛物线可得y2=2p•乎=犷，则a用，普，直线AB的76p斜率为3=2乃，A符合题意；42对于B：由斜率为2乃可得直线AB的方程为％=嘉丫+刍，联立抛物线方程得y2Tpy一p2=0,设B（xlfyi）,则都+为=都，则为=一学，代入抛物线得（一学：=2p.X1.解得Xi=2,则B得，一学），则\0B\=J02+（—挚2=零0m=R,B不符合题意；对于C：由抛物线定义知：|AB|=乎+g+p=兽＞2p=4|OF|,C符合题意；对于D：亦而=（平，挈）•《，一学）=*4+挈.（_学）=—¥＜0，贝UUOB为钝角，又就.丽=（—¥，警）•（一季一字）=一号•（一给+孚•（一字）=一半＜0，则“MB为钝角，又/.AOB+aAMB+/.OAM+乙OBM=360°,贝I」/.OAM+4OBM＜180°,D符合题意.故答案为：ACD.【分析】由\AF\=\AM\及抛物线方程求得A（手，挈），再由斜率公式即可判断A选项；表示出直线AB的方程，联立抛物线方程求得B4，-粤），即可求出\OB\判断B选项；由抛物线的定义求出|AB|=等即可判断C选项；由65.丽＜0,而？•丽＜0求得乙4。8,乙4MB为钝角即可判断D选项.11.（5分）如图，四边形ZBCD为正方形，ED1平面ABCD,FB||ED,AB=ED=2FB,记三棱锥E-ACD,F-ABC,F-ACE的体积分别为匕，V2,匕，则（ ）A.V3=2V2 B.V3=2Vl C.V3=Vi+V2D.2V3=3%【答案】C,D【解析】【解答】设4B=ED=2FB=2a,因为EDJ.平面ABCD,FB||ED,则h=：•ED,Saacd=g'2a•,(2g)2—可a?>V2=4*FB,Smbc=3'0'2'(2。)？=g〃>连接BD父AC于点M,连接EM,FM,易得BD1AC,又ED_L平面ABCD,ACu平面ABCD,则ED1AC,又EDnBD=D,ED,BDu平面BDEF,贝ijAC1平面BDEF,又BM=DM=3BD=y[ia,过F作FG1DE于G,易得四边形BDGF为矩形，则FG=BD=2\[2a,EG=a,则EM=J(2a)24-(V2a)2=V6a,FM=Ja2+(V2a)2=V3a>EF=Ja2+(2-/2a)2=3a，EM2+FM2=EF2,则EMLFM,S^EFM=^EM-FM -AC=2y[2a，则K3=VA^EFM4-VC^EFM=AC-S^EFM=2a3，则2g=3匕,V3=3V2，V3=V1-^V2»A、B不符合题意；C、D符合题意.故答案为：CD【分析】直接由体积公式计算匕，匕，连接BD交AC于点M,连接EM,FM,由，3=A-EFMC-EFM计算出匕，依次判断选项即可,(5分)对任意X,y,%2+y2—xy=1,则( )A.x+y<1 B.x+y>—2C.x2+y2<2D.%24-y2>1

【答案】B,C【解析】【解答】根据abw(生地/s心匠(a,bwR),d+y2一孙=1可变形为，(x+y)2-1=3xyW3(q牙)2，解得一2Wx+yS2，当且仅当x=y=-l时，x+y=-2,当且仅当x=y=l时，x+y=2,所以A不符合题意，B符合题意；x2+y2-xy=l可变形为(/+y2)-i=Xy<x2^y2,解得x2+y2<2,当且仅当x=y=±1时取等号，所以C符合题意；因为%2+y2—xy=1变形可得(%— +为2=],设工一卷=cos©,gy=sin8,所以X=cos6+asin。，y= ,因止匕/+y2=cos2。+[sin2。+VsinOcos。=1+专sin28—1 cl2cos20+=^+1sin(20-J)e[1,2],所以当x四,y=-卓时满足等式，但是x2+y2>1不成JD 。 3 3 15立，所以D不符合题意.故答案为：BC阅卷入得分【分析】根据基本不等式或者取特值即可判断各选项.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。(共4题；共20分)(5分)已知随机变量X服从正态分布N(2,a2),且P(2<X<2.5)=0.36,则P(X>2.5)= 【答案】0.14【解析】【解答】因为X〜N(2,M),所以P(X<2)=P(X>2)=0.5,因此P(X>2.5)=P(X>2)-P(2<X<2.5)=0.5-0.36=0.14.故答案为：0.14【分析】根据正态分布曲线的性质即可求解.(5分)写出曲线y=ln|x|过坐标原点的切线方程：,.【答案】y=4x；y=—~x【解析】【解答】解：因为y=ln|x|,当x>0时y=Inx,设切点为(x0,lnx0)，由y'=J,所以儿沏=/，所以切线方程为y-lnx0=^(x-x0)，又切线过坐标原点，所以-lnx0=^(-x0)，解得x()=e,所以切线方程为y-l=|(x-e),即y=[；当x<0时y=ln(-x),设切点为。1，In(-Xi)),由y'=(,所以y|z=Xi=^-,所以切线方程为y-ln(-x1)=^-(x-x1),又切线过坐标原点，所以一叭一%1)=十(一/),解得勺=xi xi—e9所以切线方程为y—1=」^(%+e)，即y=—^%；故答案为：y=1xy=—1工【分析】分工>0和%<0两种情况讨论，当％>0时设切点为(X。，lnx0)，求出函数的导函数，即可求出切线的斜率，从而表示出切线方程，再根据切线过坐标原点求出出,即可求切线方程，当％v0时同理求解即可.(5分)已知点4(一2,3),B(0,Q),若直线AB关于y=a的对称直线与圆(%+3)2+(y+2)2=1存在公共点，则实数a的取值范围为.【答案】岐，1]【解析】【解答】解：因为A(-2,3)关于y=a对称点的坐标为A(-2,2a-3),B(0,a)在直线y=a上，所以AB所在直线即为直线I,所以直线I为y=^x+a,即(a-3)x+2y-2a=0；根据圆方程可得圆心。(一3,-2),半径r=l,依题意知圆心到直线/的距离d=I-3(q_3)_4_2al依题意知圆心到直线/的距离J(a-3)2+22~即(5—5a)2<(a-3)2+22，解得<a<»即aW4，.故答案为：(，【分析】首先求出点A关于y=a对称点a1的坐标，即可得到直线I的方程，根据圆心到直线的距离小于等于半径得到不等式，求解即可.(5分)已知椭圆《+二=1,直线1与椭圆在第一象限交于A,B两点，与x轴，y轴分别交6 3于M,N两点，且|M*=\NB\,\MN\=2V3,则直线1的方程为.【答案】x+V2y-25/2=0【解析】【解答】解：记AB的中点为E,因为|M*=\NB\,所以|ME|=\NE\,

2 2 2 2设火匕，％)'8(*2,丫2)'则3+』=1'%+9=1'所以红__父_+力___篁_=0,即（勺一建则+失）+2+丫2）。1-丫2）=06 6 3 3 6 3所以:笨:瑞+界=T'即koE-kAB=-\'设直线AB：y=kx+m,k<00,令％=0得y=m,令y=0得％=-£,即M(一0),N(0,m),所以E(一品,解得心一坐或心空（舍去）,又\MN又\MN\=25/3，即\MN\=m2+(V2/n)2=2v5»解得m=2或m——2（舍去）,所以直线AB：y=-^x+2，即x+V2y-2>/2=0:故答案为：x+y/2y—2a/2=0【分析】记AB的中点为E,设A。ryi）,B（x2,y2）,利用点差法得到k0E-kAB=-设直线AB：y=kx+m,k<0,m>0,结合已知条件求出M、N的坐标，再根据阅卷入得分 1\MN\求出k、771,即可求得直线方程.、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过或演算步骤.（共6题；共70分）（10分）已知｛〃｝为等差数列，（bn｝是公比为2的等比数列，且a2-b2=a3-b3=b4-Q4•（5分）证明：的=优

（5分）求集合伙|加=%„+%,1<m<500｝中元素个数.【答案】⑴证明：设数列｛即｝的公差为d,所以，了一渣二片+不二4%，即可解i +a—Lb1—一（即+3a）得，bi=%=当>所以原命题得证.（2）解：由（1）知d=2瓦=2%，由bk~0,m+a1知：b],2ki=a1+（th-1）•d+即bi-2k-1=/+（th—1）•2bi+/，即2k-1=2m，因为14m4500,故242k-1<1000,解得24k410故集合[k\bk=am+a1,1<m<500｝中元素的个数为9个.【解析】【分析】（1）设数列包工的公差为心根据题意列出方程组即可证出;（2）根据题意化简可得血=2»2,即可解出.（12分）记aABC的三个内角分别为A,B,C,其对边分别为a,b,c,分别以a,b,c为边长的三个正三角形的面积依次为S「S?，S3，已知Si-S2+S3=苧，sinB=1.（6分）求4ABC的面积；⑵（6分）若sinAsinC=孝，求b.【答案】（1）解：•.•边长为a的正三角形的面积为学心4・・Si—S2+S3=?(a2—h24-c2)=孚'即accosB=1,由sinB=j得：cosfi=孥• 1 372••nc- -=---_42cosB4_42珈c_170_兀3底改Smbc=2acsinB=2xx,2b342,2b（2）解:由正弦定理得:_ _QC_~4~（2）解:由正弦定理得:然二口一sin4sinC一sinAsinC-、2-4sind 3【解析】【分析】⑴先表示出S1，S2>S3，再由Si-S2+S3=苧求得3-炉+c2）=2,结合余弦定理及平方关系求得ac,再由面积公式求解即可；,2（2）由正弦定理得当=.1°即可求解.sin2Ssin4sme（12分）在某地区进行流行病调查，随机调查了100名某种疾病患者的年龄，得到如下的样本数据频率分布直方图.

（4分）估计该地区这种疾病患者的平均年龄（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）;（4分）估计该地区一人患这种疾病年龄在区间［20,70）的概率；（4分）已知该地区这种疾病的患病率为0.1%,该地区年龄位于区间［40,50）的人口占该地区总人口的16%,从该地区任选一人，若此人年龄位于区间［40,50）,求此人患该种疾病的概率.（样本数据中的患者年龄位于各区间的频率作为患者年龄位于该区间的概率，精确到0.0001）【答案】（1）解：平均年龄x=（5X0.001+15x0.002+25X0.012+35X0.017+45X0.023+55x0.020+65x0.017+75x0.006+85x0.002）x10=47.9（岁）（2）解：设人=｛一人患这种疾病的年龄在区间［20,70）｝,则P（4）=1-P（A）=1-（0.001+0.002+0.006+0.002）X10=1-0.11=0.89（3）设8=｛任选一人年龄位于区间［40,50）｝,C=｛任选一人患这种族病）,皿I小攵在啊玄八T«DfrXP（BC）0.1%x0.023xl0 0.001x0.23 nnni.则由条件概率公式，得P（C|B）=£⑻，= 正% = =0.0014375«0.0014【解析】【分析】（1）根据平均值等于各矩形的面积乘以对应区间的中点值的和即可求出；（2）设A=｛一人患这种疾病的年龄在区间［20,70））,根据对立事件的概率公式P（A）=1-P（彳）即可解出：（3）根据条件概率公式即可求出.（12分）如图，PO是三棱锥P-ABC的高，PA=PB,ZB_LAC,E是PB的中点.（6分）求证：OE||平面PAC；PA=5,求二面角C-AE-B的正弦(6分)若/.ABO=ZC50=PA=5,求二面角C-AE-B的正弦【答案】（1）证明：连接B0并延长交AC于点D,连接。A、PD,因为P0是三棱锥P-ABC的高，所以P01平面ABC,AO,BOc平面ABC,所以POLAO.POLBO,又PA=PB,所以AP0A2P0B,BPOA=OB,所以Z.OAB=Z.OBA,又ABJ.AC,即Z.BAC=90°,所以/.OAB+Z.OAD=90°,/.OBA+Z.ODA=90°,所以/.ODA=Z.OAD所以AO=DO,即A。=DO=OB,所以。为BD的中点，又E为PB的中点，所以OE//PD,又OEU平面PAC,PDu平面PAC,所以OE//平面PAC(2)解：过点A作AF\\OP,以AB为x轴，AC为y轴，AF为z轴建立如图所示的空问直角坐标系.因为PO=3,PA=5,由(1)OA=OB=4,义Z.ABO=Z.CBO=30",所以，AB=45/3，所以P(2遍，2,3),B(4百，0,0),□A(0,0,0),E(3次，1,会，设4C=a,贝UC(0,a,0)

平面AEB的法向量设为无=(%,y，z),AB=(4V3,0,0),AE=(3>/3f平面AEB的法向量设为无=(%,y( 4y[3x=0所以 3八，所以%=0,设z=—2,则y=3,所以五[=(0,3,-2)：[3y/3x+y+2Z=平面AEC的法向量设为五=(x,y,z),无=(0,a,0),荏=(3百，1,Jf^Cn2=0所'(AE-n2=0ay=0ay=0以3V3x+y+|z=0所以y=0设x=百，则z=-6,吹以雨=(遮，0,-6)：所以cos(n7,9=।当N।=£2 = =等'1 2，|叫卜|叫|713x73913V3 13二面角C-AE-B的平面角为G,则sin0=Vl-cos20=||,所以二面角C一4E-B的正弦值为若o【解析】【分析】(1)连接BO并延长交AC于点。，连接。4、PD,根据三角形全等得到OA=OB,再根据直角三角形性质得到AO=D。，即可得到0为BD的中点从而得到OE〃PD,即可得证；(2)过点A作AF\\OP,如图建立平面直角坐标系，利用空间向量法求出二面角的余弦值，再根据同角三角函数的基本关系计算可得：(12分)设双曲线C：3一§=l(a>0,b>0)的右焦点为尸(2,0)，渐近线方程为y=Qb±V3x.(6分)求C的方程；(6分)过F的直线与C的两条渐近线分别交于A,B两点，点PQ],yi),Q(g，y2)在C上，且勺>42>0,丫1>。.过P且斜率为一6的直线与过Q且斜率为V3的直线交于点M,请从下面①②③中选取两个作为条件，证明另外一个条件成立：①M在AB上；②PQ||AB；③|MA|=\MB\.注：若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分.【答案】(1)解：由题意可得，=V3»a2+b2=2,故a=1,b=V3.因此C的方程为，普1・(2)解：由已知得直线PQ的斜率存在且不为零，直线AB的斜率不为零，若选由①②推③或选由②③推①：由②成立可知直线AB的斜率存在且不为零；若选①③推②，则M为线段AB的中点，假若直线AB的斜率不存在，则由双曲线的对称性可知M在x轴上，即为焦点F,此时由对称性可知P、Q关于x轴对称，与从而%i=%2>已知不符；总之，直线AB的斜率存在且不为零.设直线AB的斜率为k,直线AB方程为y=k(x-2),则条件①M在AB上，等价于y0=fc(x0-2)<=>kyQ=/c2(x0-2)；两渐近线的方程合并为3/一y2=o,联立消去y并化简整理得：(1<2—3)x2—4k2x+4k2=0设A(x3,y3)>8(X3,y4),线段中点为Ng，yQ，则丹=""4=争_,y=fc(X/v-2)=zk-36k72~Z9k-3设M(x0,yo)，则条件③|AM|=\BM\等价于(Xo-x3)2+(y0-，3)2=(xo-x4)2+(y0-y4)2，移项并利用平方差公式整理得：-x4)[Zx0-(x3+x4)l+佻-%)团0-优+%)]=0，[2x0-(x3+*4)]+团。-佻+y4)]=°，即-孙+k(y。-、n)=°，即x0+kyQ=孚一;k-3由题意知直线PM的斜率为7,直线QM的斜率为V3,由一=一百(%1—%。)，y2-y0=63-3)，•••、]-y2=一百(X1+x2-2x0)，TOC\o"1-5"\h\z所以直线PQ的斜率m=打二”=一烦4+"2-2殉),%]一%2 xl~x2直线PM：y=-y/3(x—x0)+y0>即y=yo+V3x0— ，代入双曲线的方程3x2-y2-3=0,即(6x+y)(bx-y)=3中，得：(y0+V3x0)[2V3x-(y0+V3x0)]=3,解得P的横坐标：*l=旃(y+/5x+y()+bxo)，1 3同理：*2=-元(忘两+%-任o)，二/一乃=/(^2+y。)，打+X2—2x。=一备-X。，，条件②PQ〃AB等价于m=koky0=3x0综上所述:条件①M在AB上，等价于ky0=k2(x0-2)；条件②PQ〃AB等价于ky0=3x0；条件③|AM|=\BM\等价于x0+kyQ=选①②推③：TOC\o"1-5"\h\z2 2由①②解得：X。=华一,•••%o+^y(\=4Xq= ，③成立；-3 u1-3选①③推②：2 2由①③解得：=2f，ky0=?一,k—3 k—3••ky。=3%q,••成_aa；选②③推①：由②③解得：％0=?一»ky0=-^r—，•••X0-2=/—,k2-3 k2-3 4-3：.ky0=k2(x0-2),.•.①成立.【解析】【分析】(1)利用焦点坐标求得c的值，利用渐近线方程求得a,b的关系，进而利用a,b,c的平方关系求得a,b的值，得到双曲线的方程；(2)先分析得到直线AB的斜率存在且不为零，设直线AB的斜率为k,M(xO,yO),由2③|AM|=|BM|等价分析得到&+ =用；由直线PM和QM的斜率得到直线方程，结合双曲线的方程，两点间距离公式得到直线PQ的斜率巾=空，由②PQ〃AB等价转化为ky°=3的，由①M在AB上，等价于-2),然后选择两个作为已知条件一个作为结论，进行证明即可.22.(12分)已知函数/(x)=xeax—ex.(4分)当a=1时，讨论/(x)的单调性；(4分)当x>0时，/(x)<-1,求a的取值范围；(4分)设nEN*,证明：TT=+TT=+"，+T^>ln(n+ 1 1故 1 1故i।H Fi>ln2—Ini4-ln3-ln2H Fln(n4-1)—Inn【答案】(I)解：解：q=1=/(%)=xex—ex=(x—l)ex=ff(x)=xex当x6(—oo,0)时，f(x)<0//(x)单调递减;

当工€(0,+8)口寸，f(X)>0,/(x)单调递增.(2)令g(x)=/t(%)4-1=xe0^—ex+1(%>0)ng(x)<g(0)=。对V%N。恒成立又。(x)=e<lx+0疵8—ex=>g(0)=0令h(x)=g'(x)=>T(x)=aeax+a(eax+axeax)-ex=a(2eax+axeax)—ex则h(0)=2a-1①若h(0)=2a—1>0，即q>[九'(0)=Hm/④—1⑼=lim/(')>0— 2 -%to+x-0 %_>()+x所以3x0>0,使得当xe(0,x0)时，有>0=g'(x)>0=>g(x)单调递增=g(x0)>g(0)=0,矛盾②若h'(0)=2a-l<0，即aW；时，g'(x)=e"+axe"-ex=eax+ln(1+ax)-ex<e%+in(i+2")_gX<团+%-ex=0=g(x)在[0,+oo)上单调递减，g(x)Wg(0)=0,符合题意.综上所述，实数a的取值范围足aW；.(3)证明：取a=4,贝！IVx>0,总有口齐一靖+1<0成立，令t=J“，贝I」t>1/t1Jl2+1出+2 Jn2+n=Jl2+1出+2 Jn2+n=ln(n4-1),故不等式成立.【解析】【分析】(1)求出/(外=不唠，讨论其符号后可得/(x)的单调性.(2)设g(x)=xe。”一e*+l(x30),求出g'(x),令/i(x)=g<%),先讨论q>得时题设中的不等式不成立，再就0<aw/结合放缩法讨论h'(x)符号，最后就a<0结合放缩法讨论h(x)的范围后可得参数的取值范围.故2tlnt<t2-1即21nt<t-1对任意的t>1恒成立.所以对任意的N*所以对任意的N*,有21n整理得到:1ln(n4-1)—Inn<,Jn24-n整理得到:1(3)由(2)可得对任意的t>1恒成立，从而可得m5+1)-皿?1<不=对任意的

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