2023考研数学二《880题》试题册

试题分册高等数学第一章函数、极限、连续基础题综合题拓展题第二章一元第二章一元函数微分学及其应用基础题13综合题1317拓展题17第三章一元函数积分学及其应用18基础题18第四章第五章第六章综合题拓展题多元函数微分学及其应用基础题综合题拓展题二重积分基础题综合题拓展题微分方程及其应用2227282830323333353738TOC\o"1-5"\h\z\o"CurrentDocument"基础题 38\o"CurrentDocument"综合题 39拓展题 41线性代数\o"CurrentDocument"第七章行列式 42基础题 42综合题 44拓展题 45第八章矩阵 46基础题 46综合题 48拓展题 49\o"CurrentDocument"第九章向量 50基础题 50综合题 52拓展题 54\o"CurrentDocument"第十章线性方程组 55基础题 55\o"CurrentDocument"综合题 57\o"CurrentDocument"拓展题 58\o"CurrentDocument"第十一章相似矩阵 59基础题 59综合题 62拓展题 65\o"CurrentDocument"第十二章二次型 66基础题 66综合题 67拓展题 68

高等数学第一章函数、极限、连续上♦♦基础题♦©=一、选择题(1)函数/(x)=Ixsin工|6°"，，工€(—8,+8),是( ).A.单调函数 B.周期函数 C.偶函数 D.有界函数(2)设函数/(x)=cos(sinx),g(z)=sin(cos工)，则当zC(0,5)时，( ).A./(x)单调增加.g(z)单调减少 B./(x)单调减少,g(z)单调增加C./(x)与g(x)都单调增加 D./(X)与g(x)都单调减少(3)设函数/(x)=71+x+x2-一工+精，则().A./(h)为偶函数 为奇函数C./(x)为无界函数 D.limf(z)=1(4)设当H—+8时J(z),g(z)都是无穷大，则当了f+8时，下列结论正确的是().B./(x)+g(x)是无穷大DB./(x)+g(x)是无穷大D•赞需1是无穷小c•需f1(5)当工-0时，±sinL是().XXB.无穷小D.B.无穷小D.无界但非无穷大C.有界但非无穷小).(6)已知lim(工；］—ax—6)=0,则().C.a=1.6=1D.aC.a=1.6=1D.a=1.b=-1TOC\o"1-5"\h\z(7)设当工-*0时，(工一sinx)tanz是比ln(l+工")高阶的无穷小，而ln(l+工")是比工z高阶的无穷小，则n=( ).A.4 B.3 C.2 D.1(8)设八h)=ln2x,g(x)=x,A(x)=e9(工>1),则当了充分大时，( ).A./(x)Vg(x)Vh(x) B.g(x)Vh(x)V/(x)C.A(x)<g(r)</(x) D.g(z)</(x)<A(x)(9)设lima.与limb”均不存在，则下列选项正确的是( ).A.若lim(a“+优)不存在，则lim(a.一瓦)必不存在B.若lim(a”+6”)不存在，则lim(a.—b存必存在»-*<»C.若lim(a”+b“)存在.则lim(a“一仇)必不存在D.若IimQ,+瓦)存在，则lim(a"一仇)必存在W*8 W—(10)函数/(工)=±£+曾】在N=0处为( ).1+e*InIA.可去间断点B.跳跃间断点C.无穷间断点D.振荡间断点二、填空题/1I才IV1TOC\o"1-5"\h\z⑴设八幻=111则/{fLf(工)□= •|0,Ix|>1.(2)当工f0时，(1 —1与cos工一1是等价无穷小，则a=.sin2tz+e?"-1 /Q(3)设函数/(N)=<z'X'在工=0处连续，则a=.。, x=0(J)设a>0,知liml(a+-a4)存在，则P的取值范围为limX--/-^-(sinx+cosx)= .x—h»e-ri於工一o2-2c°»*lim j = ,ex—1(7)设/(幻=。+故+口2+由《3—tanz,当nf。时»/(x)是比/高阶的无穷小，则a+b+c+d=.三、解答题(1)设f(z)是定义在(一。，。)内的函数,证明：f(z)可以表示为一个偶函数与一个奇函数之和.(2)设函数/(X)满足“(工)+”(5)=?其中a，6，C均为常数，且Ia1X1bI，求/(x)的表达式，并证明/(T)是奇函数.(3)设函数f(x)在区间(—a,a)内有定义，其中a>0,且对任意zi，M6(一a，a).有I/(x))-/(x2)I<|x,一亚I，证明：FQ)=八工)+工在(-a,a)内单调增加.(4)设数列｛nJ满足lim"=limz2Hl=a，证明Jimi.=a.,-*OO Jt~*8(5)求下列极限：(Dlimj2-jsinf;(n)lim 为正数);JT-82i • 1 X・+8\ 0 /x十xsin-x-0x-0 X(VI)limcotx(-r^ );x-o \sinxx/(\1)lim-.一o+(6)求下列极限：(I)即(/+；+1+―+；+2+…+八；+”卜(n)liml-+2+…+(-y/1+2+,,,+(n-IT'j;»-»ooL J(2喷占(IV)limJl+»g+…+1i(V%(空)”.(7)求f(x)=(1+#-(1)在(0,2北)内的间断点，并指出其类型.(8)讨论函数/<x)=lim千-.J的连续性.18X+X(9)设/(x)在[a,口上连续，且aVcVdV6,证明：在(a,6)内必存在一点久使得=(加+”)/(《)，其中m,n为任意给定的自然数.(10)设zi=-/a(a>0),x^.|=/a+工*，证明:limx,存在，并求其值.•-•8(11)设为=a>0,ji=6>0,a<b.x^x= =1,2,…)，证明：limxB=limy,.n*OO It-*oo：—：♦•・综合题9. 一；二…；一、选择题lim =aW0成立的充要条件是( ).丁+!)-(1+!)A.h B.k>l C.k>Q D.与4无关2arctanx-In:+"(2)已知1叫 —一~匕三=。云0,贝1]( ).A.P=3,C=_y B.p=3»C=yC./>=y,c=3 D.p=—,c=-3(3)设当Zf0时，. . ri-cotxa(x)=tanx-sinx»^(x)=+z2—\/l-x2»/(x)=Isintdt都是无穷小，将它们关于Z的阶数从低到高排列，正确的顺序为( ).A.a(z)，8(z),y(z) B.a(x),/(x),/?(x)C./(x)»a(x) D.^3(x),a(x)»y(x)(4)设y=y(z)是方程，+2y'+y=e3*的解，且满足y(0)=/(0)=0,则当nf0时，与J(x)为等价无穷小的是( ).sinx2siniln(l+x2sinx2siniln(l+x2)(5)设F(x)=</(x)

xiW0, .其中f（z）在工=0处可导，且f（0）卉0,f（0）0,/(0)♦x=0,则（则（）.人.工=0是尸（工）的连续点C.工=0是F（x）的第二类间断点15.工=0是尸（工）的第一类间断点D.以上说法均错误(z+1)arctan—(z+1)arctan—= x—110,A.在z= =—1处都连续C.在n=—1处间断,z=1处连续（7）下列结论中承厚吃是（ ）.A.设lima.=a>1,则存在M>1,当11-»8B.设a=xH±1，，则人工）（）.X=±1,B.在工=1,n=—1处都间断D.在工=一1处连续"=1处间断n充分大时，有%>Mlim呢<limb.=6•则当〃充分大时，有a„<bnn-*ooC.设 1,2,…)，若lima.=q4iJM《q&Nn-»ooD.若lima1t=aW0,则当n充分大时必>a n-»oo（8）设｛z.｝与｛y｝为两个数列，则下列说法正确的是（ ）.A.若｛4｝与<%｝无界，则｛二十%>无界B.若｛/｝与｛%｝无界，则｛二九｝无界C若｛二｝与<%｝中，一个有界，一个无界,则九｝无界D.若｛，｝与®｝均为无穷大，则｛"八｝一定为无穷大（9）下列极限存在的是（ ）.A.lim --1+2土lim[n+(-l)'(n+l)]lim[n+(-l)'(n+l)]lim(]+1..1可+…+力（1。）设/Q）在（-8,+8）内为连续的奇函数卬为常数，则必为偶函数的是（A.[du[tfMdt B.「d〃「f(r)d£JoJa JaJo(")设f(z)=lim(")设f(z)=lim则F(X)A.可导B.间断点

(X3—1)sinxJf（£）ck在7=0处（）.C.不可导但连续D.无法判定(12)设/"(h)=JIxI(1+x2)'0,NW0， rtZW(-8,+8),则( ).x=0,A./（x）在（-8,4-00）内有界B.存在X>0,当INIvx时J（z）有界，当|]|>*时,八外无界C.存在X>0,当Iz|VX时,/（公无界，当|工|>乂时,/（公有界D.对任意X>0,当|x|&*时,/（公有界.但在（-8,+8）内无界二、填空题(1)当n-►0时，f(z)=3x—4sinx+sinxcosx是关于x的阶无穷小.TOC\o"1-5"\h\z(2)极限lim竿匚虫而F= .z尹i-yr+ir(3)设/(工)是连续函数，lim=-1,当工-0时&是关于工的“阶X-01-cosX Jo无穷小，则n=.(4)设%= 八+n"<Lt,则limna”= ./Jo H-»oo(5)设上#J,贝Ijlimln『写子吟。.Z18L1-Lk)J (6)设0Vr<a2,5lljlim(ar"+a7")"=.•r^oo(7)设lim(一/一ar?-6)=0,则a= ,6= .jr-»oo(8)设lim卜㈤+叫产；4=b,其中[>]表示不超过x的最大整数,则a=x-o\ ln(l4-e*)I,b=.(9)已知连续函数y=/(x)关于点(a,0)(。H0)对称，则对常数cj=[f(a-x)cLr=.三、解答题(1)设数列｛%｝满足lim士旦=q,且|q|<1,证明：lima.=0.一％…(2)设a»=2",u"=qa?…a.(n=1,2,…)，求limit..»~»8(3)设数列工.=(l+a)”+(l-a尸，证明,1淅况=广+lal，«0，

18x„11, q=o.(4)证明Jim[a；+a[+…+a；=max｛ai,如，…，4)(a,>0,i=1,2「・决).»-*oo(5)(I)设I1=1,12=2,z12=)(3工什1— )(n=1,2，…)，求limz”.u m-^oo(n)设Ni=l»Xz=2,7-2= +Z-1),求limz..Ct «~»8(6)设/R(x)=1—(1—cosx)"(n=1,2,…).(I)证明：方程/.(X)=1在(0号)内有且仅有一个实根XU(II)设工.C(。吟)，满足/.(x.)="，证明:arccos5VHl,V■，且limz.=y.(7)(I)证明：方程Z=1+2m]在(6,+8)内有唯一实根8(D)取工<)S(e，S),令N.=1+21n (〃=1,2,…)，证明：limz”=&(8)设/(工)在[0,口上连续，且八0)证明：(I)至少存在一点£6(0,1),使得/'⑷=/(e+y)»(口)至少存在一点we(o,D,使得/(①=/卜+!)(”>2为自然数).(9)证明：lim[sin(A+1)•sin(Ky/n2+n)]=0.|f-»8f[(3+2tan，)'-3']dr(10)计算极限limW 7T .x-*o e31r](11)设0V =sinx„.(I)证明Jim，存在,并求值；l»-*oo(II)求\JCH/(12)设*jVln(l+J)v[,证明:极限》(1+/+••♦+}-&")存在.(13)设为>0,数列(工力满足了小=ln(e。-D-ln4,证明：limz“存在，并求值.»~»8(14)求下列极限：(I)当INIV1时，求lim(l+H)(l+zZ)(l+z<)…(1+工*九(U)当IzI#0时，求limcos-ycos-y-COS今；(m)]jm(1-，sin—)(1- z)・・・(l-z)一旦 (1—sinx)*-1(15)求下列极限：TOC\o"1-5"\h\z(I)设lim―s?J=-y(a>0,a羊1),求lim ;x-oa-1 Z x-ox(II)设/(x)是三次多项式，且有lim/乌-=lim上”=l(a半0),求lim上警.(16)设/(x)在(a,b)内连续，且lim/(x)=—oo»lim/(x)=-8,证明./(x)在(a,6)■T-••+ x-»6内有最大值.(17)设皿=y»x«h-i=n；=1,2,…)，求极限%(*i+Jn+…+$)•(18)设=fsinxndjc^bn=fsin"xdx(n=1,2,…)，证明：Jo Jo(I)04>《ar(II)lima,=lim",=0.(t-*8 *-»C» ♦♦♦拓展题3 一-解答题(1)设f(z)在一同上可导，且I八工)IV1,当hC[a同时，有aVfG)V6,FCr)="z+fGr)],证明：(I)存在h，6(a»),使得F(x*)=x-»(H)对NoW[a同，数列｛h.｝满足工+=F(x,)(n=0,1,2,…)，有limZ“=x'.*-»ce(2)(I)设义工)是[0,+8)上单调减少且非负的连续函数.证明：fH-1f(k+l)<1/(x)dx</(A)a=1,2,…)；I i 1+J+…+工(n)证明/n(l+〃)&1+<+…+'<1+In〃，并求极限lim——\ / n »-oo Inn或第二章一元函数微分学及其应用基础题一、选择题x>0,(।)设f(N)=<A.可导C极限存在，但不连续其中取工)是有界函数,则/(l)(।)设f(N)=<A.可导C极限存在，但不连续B.连续，但不可导D.极限不存在TOC\o"1-5"\h\z(2)设/(h)存在,a,6为任意实数，则limf(工+ ，八工二”—)=( ).Ar-»0 QJCA.(a+fe)/(x)B.(a-f»)/(x)C.a/Cx) D.”'(h)(3)设八h)=次冬ip则f(z)在H=0处( ).A.连续且可导 B.右连续但右导数不存在C.右连续且右导数存在 D.右极限存在且右导数存在(4)/(x)=(/+3工+2)|x3-x|不可导点的个数为( ).A.1 B.2 C.3 D.4(5)下列函数中，在工=0处不可导的是( ).A./(x)=|x|sin|x| B./(x)=|x|siny/\x\C./(x)=cos|i| D./(x)=cosy/\x|(6)设/(z)可导且f(.x0)=},则当AxfO时./(x)在No处的微分d_y是Ar的(无穷小.A.等价 B.同阶 C.低阶 D.高阶(7)设八一-=-/(工)，且在(0,+8)内，/(工)〉。，/^)>0.则/(x)在(-oo.O)内必有( ).A./(x)<0,/(x)<0 B./(x)<0,/(x)>0C./(x)>0,/(x)<0 D./(x)>0,/(x)>0(8)设/(x)在工=0的某邻域内连续J(0)=O.lim[W—=2,贝ij/(x)在h=01-01-COSX处().A.不可导 B.可导且，(0)W0C.有极小值 D.有极大值(9),=(了一1»(工一3)2的拐点个数为( ).

A.O B.1 C.2 D.3(10)设/(工。)=/(x0)=0,/*(Z。)>0,则下列选项正确的是( ).A.Zo是八工)的极值点 BJQ。)是人工)的极大值C./(x0)是/(x)的极小值 D.(工。,/(x0))是y=/(x)的拐点(11)设/Q)有一阶连续导数，F(z)=/(x)(l+1sin工|),则f(0)=0是F(x)在工=0处可导的().A.必要非充分条件A.必要非充分条件B.充分非必要条件C.充分必要条件C.充分必要条件D.既非充分又非必要条件(12)设/(工)有任意阶导数，且/(Z)=r(幻，则/"'(x)=( )(n>3).A.n!尸«工) B.”+(工) C.(13)设y=伍(1-2工)，则9皿=( ).n10!♦2a,(l-2x)'°A-9! rn10!♦2a,(l-2x)'°(l-2x)'° ,(l-2x)10 ,(1-2x)'°(U)设B>0J(工)在(一3,3)内有定义，当zW(.-8,8')时，有I/(x)则工=。是f(工)的().A.间断点 B.连续但不可导点c.可导点且，(0)=0 d.可导点且r(o)wo(15)设/(z)连续，且r(H。)>0,则存在6>0,使得( ).A.对任意zW(x0—S,io),有/(x)>/(x0)B.对任意xe<xo»xo+8),有/(x)>/(xo)/(x)在(4一九冲)内单调减少/(x)在(工。,7。+6)内单调增加(16)已知y=三+ax2+岳:+c在z=-2处取得极值，且与直线y=-3z+3相切于点(1,0),则( ).A.a=1,6=8,c=6 B.a=-1,b=8,c=-6C.a=1,6=8,c=-6 D.a=-1,6=8,c=6(17)设］(H)=(、一贝IJ/(工)( ).yi+x2A.在工=1,H=-3处取得极大值，在X=-1处取得极小值B.在H=-1处取得极大值，在X=1.T=-3处取得极小值C.在z=-1,7=1 =—3处都取得极小值D.在工=-1,7=—3,z=1处都取得极大值(18)曲线y=士口渐近线的条数为().1-e-xTOC\o"1-5"\h\zA.O B.1 C.2 D.3(19)曲线>=e*arctan一书2的渐近线条数为()•

(工一1)(N+2)A.1 B.2 C.3 D.4(2«)曲线y=，枕一1的渐近线的条数为( ).A.O B.1 C.2 D.3二、填空题arctan工，z>0,(1)/(x)=< x 在z=O处可导，则a=,b=.ax+6,n40(2)设f(H)在z=O处可导，且，(0)=2,〃0)=0,则1淅*三落?= .J-oln(1-rx)(3)设y=/(x)由方程z=(sin?传)dt确定，则)-1]=.(4)设函数f(x)有连续导数，且!5[誓+§]=2,则/(x)的一阶麦克劳林展开式为.TOC\o"1-5"\h\z(5)设函数八工)在(-8,+8)内连续,，(工)的图形如图2-1 0所示,则曲线y=/(H)的拐点个数为 . ]J(6)设/(O)存在，八。)=。,且!5口+F7町=e,1/J/_则r(o)=. 丫0根r(7)当7fo时,z—sinxcosx与axb为等价无穷小，则a= ,6= .(8)当H-0时，与N"是同阶无穷小,则〃= 图2T(9)曲线y=e-，'的上凸区间是.(1«)曲线y=(2x-l)e7的斜渐近线方程为.(11)设/(x)=n2e^—(1+n)x在z=z”处有水平切线，则lime。=.(12)设连续函数y=/(x)在点(1,0)处满足△)=Az+o(Ax),则极限//(t)dzTOC\o"1-5"\h\z+ln(l+x3)= '(13)设fix')=工(2工一D(3z-2)…(100工一99),则/(0)=.(14)设;=▲，则/(x)= .UJT X10(15)设/(工)=7^—,则fw(H)= .(16)设义工)可导.且lim/(D-/"一工)=一1,则曲线y=/(工)在点(1J(D)处的JT-*O ul切线斜率为.(17)设/(x)=cos|工|+工2|工|在Z=0处存在的最高阶导数的阶数为.(18)曲线h=acos3r»y=asin3/(a>0)在，=£处的曲率为.(19)曲线y=2(工一1尸的最小曲率半径为.三、解答题(1)计算下列函数的导数：

(I)>=可」s; (n)>=/+/+/(a>0)|VX•y/x(ID)y=2"**"; (IV)J=In|tanx+secx|.(2)求下列函数的导数：(I)>=(1+/产' (n)>=in- 1 —.Jn++1(3)求下列函数的微分：(I)>=arctan.),其中中可导，求dy；(Il)设y=«y(z)由一，-ysinz=0确定，求dy;.\x=2/»(ID)设y=j(x)由_5产+［确定，求(4)设y=y(z)由方程，=e…+确定，求黑.⑸设V=由参数方程「\ ，确定，求半，字|>=1-cos dzdr”(6)求心形线r=1-cos0在对应于。=胃•处的切线方程.(7)设/(x)=x4sin—9(7)设/(x)=0,x=0.(I)当A为何值时,/(/)在1=0处不可导；(U)当归为何值时,/(工)在工=o处可导，但导函数不连续；(U)当人为何值时./(工)在工=o处导函数连续.(8)设/(外在(0,+8)内满足/Qy)=八工)+/(y),且，(D=1,证明：/(工)在(0,4-oo)内可导，并求/(X).(9)设f(H)=,e''h’°’求">(0).［0, 1=0,(10)设气体以100立方厘米/秒的速率注入球状气球，求当半径为10厘米时,气球半径增加的速率.(设气体压力不变)一动点P在曲线9y=4工2上运动，已知点P横坐标变化速率为30cm/s,当点P经过(3,4)时，从原点到点P的距离S变化率为多少？(设坐标轴的单位长为1cm)(12)设/(工)二阶可导，f(0)=G,f(0)=1,f(0)=2,求liml0X,,~„ (1+x2. 1, 、(13)证明；/(工)=1 、、 满足拉格朗日中值定理，并求满足定理的£的值.U—T2,—1<r<0(14)设/'(工)在［a,6］上连续，在(a,6)内可导，0Va<6.且/(a)=/(6)=0,证明：(I)至少存在一点£€(a,b),使得2/(S)+V'(S)=0.(ID至少存在一点76(叫幻，使得2W5)—/(山=0.(15)设义工)在［a,口上连续，在(a,6)内可导，0VaV6,且/(a)=0,证明：至少存在一点SC(。,6),使得。八分+(6—6)/小)=0.(16)设/(z)在［0,+8)上连续.在(0,+8)内可导，且f(0)=0,lim/(x)=0,证明：x-*+**»至少存在一点se(o,+8),使得，(s)=o.(17)设f(z)在［0,+8)上连续，在(0,+8)内可导，且证明：至少存在一点se(0,+8),使得，小)=(；；£尸(18)设/Q)在［0,1］上连续，在(0,1)内可导，且，(工)40,/(0)=0,证明：对任意XoG［0，1］，有/(工。)42/传).(19)设/(z)在［0,1］上可导，f(0)=OJ(D=1,且人工)不恒等于工，证明：存在一点WW(0,1)，使得/(f)>1.(20)设/(z)在［0,1］上连续，在(0,1)内可导，且八1)一/(0)=/，证明：存在不同的两点£和7e(o,d,使得，(s)+/5)=i.(21)设/(外在［0,1］上二阶可导，I/*(x) 在(0,1)内取得最小值，证明：Iz(o)1+1Z(1)|<i.(22)设/(工)在［a,幻上连续，在(a,b)内可导J(a)=f"),且/(力在［a,句上不恒为常数.证明：存在相异的&>?e(。，"，使得/小)•/(7)<0.(23)设义工)在［0,1］上二阶可导，且f(0)=/(I)=2j；/Q)dz,证明：(I)至少存在一点se(o,d,使得r(s)=o.(口)对丫入6R,至少存在一点76(0,1)，使得，(办一"''(?)=0.(24)设/(工)在［a,b］上连续，在(a,6)内可导，0VaVb,证明：存在6(a,6),使得2/(S)=+"卬.(25)设a,6为正数，证明：至少存在一点6G(a⑹，使得对二答=ee(l-$).a-b(26)证明下列不等式：(I)当OVnVk时，有sin5A：；(II)当eVaV6时，有/>此(DI)当工>0时，有(zZ-Dlnz>(工一1)、(IV)若lim△茎=1,且/(x)>0,有/(x)>x.lOI(27)求函数y=(工一De>—"，的单调区间与极值，并求其渐近线.(2«)设f(x)="求/(x)的单调区间与极值.+2,工40,x="n£,(29)设函数y=y(z)由参数方程1 1। (，21)确定，求，=’(公的单调区间、y=-Int凹凸区间、极值和拐点.(30)求曲线)=〃4工2+工3(2+,)的全部渐近线.(31)对数曲线y=Inz上哪一点的曲率半径最小?求出该点的曲率半径.(32)证明：方程2，一/-1=0有且仅有三个不同实根.(33)证明：方程Inx= -cos2zdz在(0,+8)内有且仅有两个不同实根.(34)讨论曲线y=41n/+A与y=4z+ln，z交点的个数. 综合题.6—^―一、选择题(1)设义工)在(1—3,1+8)(8>0)内存在导数，，(外严格单调减少，且八1)=八1)=1,则( ).A.在(1-3,1)和(1,1+3)内,均有/(z)<xB.在(1—3,1)和(1,1+3)内，均有/(x)>xC.在(1-8,1)内，/(工)V-在(1,1+8)内，/(力>工D.在(1—3,1)内在(1,1+S)内J(z)<x(2)设/(工)在［0,+«>)上二阶可导，f(0)=0,f(x)V0,当OVaVzV分时，有().a/(x)>xf(a) B.hf(x)>if(6)C.x/(x)>6/(6) D.x/(x)>a/(a)(3)设/(x)在［a,b］上可导,/(工)在工=a处取得最小值，在工=b处取得最大值，则().A.［(a)V0且fS)VO >0且f(6)V0C.力(a)>0且D.《(a)V0且f⑹>0(J)设义工)在［0,1］上有二阶导数，且/(0)=/(D./Cx)/0,则下列选项正确的是().A.至少存在一点SG(0,1),使得/(6=0B.在(0,1)内，/(工)#0C.存在唯一一点£6(0」)，使得,(£)=0D.至少存在不同两点&，&e(0，1)，使得/(&)=/(&)=0(5)设/(x)在工=0的某邻域内有定义，则F(x)=/(t)|sinz|在工=0处可导的充要条件是( ).A.lim/(x)存在r-*0lim/(x)=/(0)x—0/(x)在N=0处可导lim/(x)与limfix')均存在，且lim/(x)=—lim/(x)x-*0- x-*0+ x-*0-(6)设、=/(x)在工0的某邻域内有四阶连续导数，且/(Z0)=/z(xo)=/(7。)=0,且f"(No)<0,则( ).A./(X)在Xo处取得极小值 B./(X)在Xo处取得极大值C.(工。，/(工。))是y=f(z)的拐点D./Q)在工。的某邻域内单调减少(7)设义工)在工。的某邻域内连续，且lim,(：)—/：?)=底则().1%(X—x0)A.当”为奇数时,工。是/(x)的极大值点B.当”为奇数时，工。是/(x)的极小值点C.当n为偶数时,工。是/(x)的极小值点D.当”为偶数时,工。是/(x)的极大值点(8)设义外在(-8,+8)内可导，则下列命题正确的是( ).A.若lim/(j?)=—8,则必有limf(x)=—oo_rf-8 ooB.若limf(x)=—8,则必有lim/(x)=—8ji■oo r——ooC.若lim/(x)=+8,则必有limf(x)=+00J1•ioo _!I・iOCD.若limf(x)=+8,则必有lim/(x)=+ooJ*Ios x*I061TOC\o"1-5"\h\z(9)设4>0,方程lnz-?+&=0在(0,+8)内不同实根的个数为( ).A.O B.1 C.2 D.3(io)设当了ro时,方程心=i有且只有一个实根，则( ).A.|^|>-j-73B.Hlv"l■乃 C.=yV3D.k=-^V3(11)设/(工)在[0,+8)上二阶可导,〃0)=0,/(0)<0,/(x)》M>0,则方程/(z)=0在(0,+oo)内不同实根的个数为( ).A.3 B.2 C.1 D.O(12)设可导函数/Wie[0,1]满足，⑺>M>o,且f伶)>0,则在区间( )上，有A-[°4] b-[t4]c-[14]D-[fa](13)设函数力(工)，人(工)有二阶连续导数，且6(力>0,若曲线y=/(Z)与:y=，2(z)在点(No,”)处有公切线y=g(z),且在该点处曲线y=/i(X)的曲率半径小于y=/2(x)的曲率半径，则在点xo的某邻域内有( ).A.g(h)>人(z)>fi(x) B.g(x))fi(x)0/2(x)C.fl(x)。7*2(N))g(N) D.fl(x)>g(x))人(z)二、填空题(1)设函数/(X)=[tan(£z)—1][tan(孑X2)-21…[tan(£/。。)-10。],则/(1)=(2)设/(z)=3x2 若对任意ze(0,+8),都有/(x)>20,则k至少为.(3)函数v=er(l+H+^+…+壬)("为正奇数)的极大值为.（4）已知/（工）在（-8,+8）内可导，且x+k\Jjc-k)则k=.TOC\o"1-5"\h\z⑸设y=/（z）在（一8,oo）内连续，且其导函数/（z） f\x）的图形如图2-2所示，其中1=0和z=马是/'（X）的铅直1 /渐近线,则y=f（”）极值点的个数为，拐点的个数\x⑹设/（X）在1=网处可导，且/（XO）H0,则 / !lim/卜。+［） = . 图22T爪。）」（7）设y=/（x）在工。处有三阶连续导数，/（①））=1/5）=2,『5）=3.»=/（x）有反函数x=g（y）,且y0=/（Z。）•则g*（jo）=.（8）设函数y=/（z）由参数方程［；］确定，则极限呵［《券力-3］=三、解答题，、… （ar2+6sinx+x0, ― .WA-（1）设/（］）=1，,、 问为何值时,/（z）在z=。处一阶导Iln（1+X）» 工>0,数连续，但二阶导数不存在？（2）设2=/卬工）+力，其中3满足y+e，=工,/岬均具有二阶导数，求去篙0）已知/（工）是周期为5的连续函数,/（工）在1=1的某邻域内满足/(1+sinjr)—3/(1—sinj")=8z+a(z),其中a（z）是当z-0时比了高阶的无穷小，且人工）在工=1处可导，求曲线y=八工）在点（6,/（6））处的切线方程.（4）设f（z）=nr（l—l）"（”为正整数），求/（工）在［0,1］上的最大值M（”）及(5)设ftr)=<（I）当P为何值时,“工）在工=0处连续；（口）当户为何值时，/（工）在工=0处可导；（m）当》为何值时,/'（工）在工=o处连续.（6）设/（x）在［0,1］上二阶可导，且lim =lim""|=1,证明：（I）至少存在一点£€（0,1），使得f（S）=0;（n）至少存在一点e（o，d，使得/（尸=/（?）•（7）设义工）与g（H）在［a,6］上连续，在（a,6）内可导，且/（a）=g（6）=0,证明：至少存在一点se（a,〃），使得r（s），ga）&+g'（s）j：/a）&=o.(8)在工=0的右邻域内，用多项式e+ar+ferZ近似表示函数/(工)=(1+工)工使其误差是比合高阶的无穷小(工f0+),求a,b的值.(9)设/(工)在［a,口上可导，证明：(1)若乙(a)/(b)V0,则存在S6(。工)，使得/(£)=0;(D)若乃(a)¥/"),则对介于1(a)和f(b)之间的每个实数〃，都存在fe(*6),使得/(S)=%(10)设函数/(工)在区间［a,句上有二阶导数，且/(a)=f{b)=0,£(a)£(&)>0,证明：在(a，&)内存在两点£与7.使得/(T=0,/(,)=0.(⑴设义］)在［0,口上连续，在(0,1)内可导，已知在(0,1)内，VhiV工小有，£5)，证明：在(0,D内存在&,&,且&V&,使得,(&)》/(&).(12)设/(工)在［0,+8)上有二阶导数，f(0)=0,/(0)<0,/(x)^M>0(x>0).证明：/(了)=0在(0,+8)内有唯一实根.(13)设义工)在［0,1］上连续,在(0,1)内可导，〃工)#0,且lim八工+1)存在，证明:lUX(I)存在£6(0，1)，使得j-e=一/7;；(口)存在76(0,1),使得e［/a)d?=(e-l)ee(f-l)/<7).(14)设f(z)在［0，U上具有二阶导数,且|/(x)|<a,|/(X)|《从其中a"都是非负常数"是(0,1)内任一点.(I)写出人工)在工=，处带拉格朗日余项的一阶泰勒公式；(II)证明"/(c)|=2a+(15)证明下列结论：(［)设义工)=［七+「则八与=TOC\o"1-5"\h\zJol+lJol十2 L(U)当时•arctanx--^-arccos7=手.， 1十工4(16)设函数f(z)有二阶连续导数，且(工一1)/(幻二1-/-，+2(工一1)/'(力，证明：当了=工。是/(x)的极值点时,八制在工。处取得极小值. 4”7)求椭圆工2一刀+丁=3上纵坐标最大和最小的点. |v=l(18)设曲线y=3的一条切线与工轴和y轴围成一个平面图形 hLD,如图2-3所示. x(I)记切点的横坐标为a，求切线方程和图形。的面积；(n)当切点沿曲线趋于无穷远时，该面积的变化趋势如何？ 图2-3(19)设/(x)=arctanh,求/*"'(0).(20)设/(X)=aisinx+azsin2x4 卜a,sinnr,其中小,az,•••,a„为实数，”为正整数.(I】求八。3(II)若I/(x)|&|sinh|,证明•|a,+2az+•••-*-na,1.(21)已知/(x)可导，证明：曲线y=/(x)(/(jt)>0)与曲线y=f(z)sinx在交点处相切.(22)确定万的取值，使方程/+2/+Z=万有3个不同实根.(23)设R=R(z)是抛物线y=Jx上任一点M(z,y)(z21)处的曲率半径，s=s(x)是该抛物线上介于点A(l,l)与M之间的弧长，计算3R需一偿了的值.(24)设/(x)有二阶连续导数,/(0)=f(0)=0,f(0)>0,〃=w(x)是曲线y=/(x)在点(/,/(•!•))处的切线在x轴上的截距，求limx-*Ou\x)(25)设/(z)在z。的某邻域内有定义，证明J(z)在z。处可导的充要条件是存在在X=工0处连续的函数g(z),使得/(x)—/(xo)=(X—Xo)g(x).211a(26)证明：方程宫春=0(n为正整数)有且仅有一个实根.一- 拓展题♦©♦ 一解答题(I)已知函数/(x)在[o,+8)上有二阶连续导数，f(o)=/(o)=o,且工e[0,+8),有，(工)>0,设尸(工)是曲线y=f(H)上任一点(Z,/(外)处的切线在H轴的截距(工>0),求lim[F(x)+F*(x)].x-*O+(2)设/(x)在[a,口上有二阶连续导数，且f(a)=/(6)=0,M=max|f(x)|.(I)证明：maxI/(x)(D)证明：max|/(x)|<《M(b-a).《4 L£钳去第三章一元函数积分学及其应用二◎♦基础题一、选择题(1)设义工)是连续函数.且/(工)/0,若卜/'("arMarcsinz+C,则j悬=( ).A.y(l-x2)T+C B.y(l-x2)i4-CC.-j(1-x2)t4-C D.--1(1-x2)t+C(2)设/Q)是连续函数，F(z)是人工)的原函数，则( ).A.当/(x)为奇函数时，F(z)必为偶函数B.当/(x)为偶函数时，FQ)必为奇函数C.当/(x)为周期函数时，F(z)必为周期函数D.当f(jc)为单调函数时，F(z)必为单调函数TOC\o"1-5"\h\z(3)设F(x)是sinx2的一个原函数,则d[F(x2)]=( ).A.sinx4dx B.sinx2d(x2)C.2xsinx2dx D.2xsinx4dx(sin/,O&nVtt, p(J)设f(R)=, 二 F(z)= 八£)力.则( ).A.X=TV是F(z)的跳跃间断点B.Z=兀是F(z)的可去间断点F(x)在工=五处连续但不可导F(z)在工=六处可导(5)设/(JT)在[0,1]上连续J(z)>0,/(x)<0,<(x)>0,记M=j"(z)djr,TOC\o"1-5"\h\zN=f⑴,P=y[/(O)+/(l)].Jl!|( ).A.MVN<P B.NVM<PC.P<M<N D.PVNVM(6)设lim-： f='；d£=c•日(.壬0•则( ).x-osinx-arJh+JA.a=1»A=0»c——2 B.a=1♦6=—2,c=-2C.a=0,占=l,c=-2 D.a=1.6=l,c=l(7)下列反常积分收敛的是( ).

二'填空题(1)设F(z)是/(工)的一个原函数,F(£)=0,当于VtV]时,F(h)>O,F(z)/(h)=ln(tan/)ln(tan/)

sinxcosjr，则/(x)=(2)设对任意z,有/(jt+4)=/(z),且/(x)=1+|x|,/G[—2,2]J(0)=1•则/(9)=.(3)(I)设/(x)= 则/(x)=；(口)设F(x)= -r2)dt,/(x)是连续函数，则F'(工)=j(UI)设尸(工)=。/(〃一/)小,/(工)在工=0某邻域内可导，且/(0)=0,//(0)=1,TOC\o"1-5"\h\z则lim= )•r—0X(IV)设a(z)=j曰Udt,0(z)=J(1+八十出，则liq器W ;fin疝(V)极限lim岳一一= ;r-0 Xarctan(1+Z)dzdu(Vl)极限lim-LJo X—0 1—COSX)(4)函数y=二=在J!，娟1上的平均值为 •，1一1/L22J(5)曲线y=系？绕了轴旋转一周所得的旋转体,将它在工=0与h=久£>0)之间部分的体积记为V(S),且V(a)=1limV(S)4l]a= .乙p+oo(6)曲线厂=asin3y(a>0,0&6&3k)的弧长s=.(7)曲线y=[“JcosIdz的全长s= .J-T(8)由曲线y=Inh与两直线y=(e+l)-H及y=0所围平面图形的面积S=(9)设D是由曲线,=sinz+l与直线z=0,h=n,y=0所围平面图形，则D绕z轴旋转一周所得旋转体的体积V=.(10)设”为正数，lim("工工)'=「工片”(11•，则”= .X-o\n-rx/ Ji(11)设在1轴的区间［0,1］上有一根长度为1的细棒，若其线密度p(z)=2工+1,则该细棒的质心坐标x=.三、解答题(I)求下列积分：

19，-4加（口儿小”（叫djr1-(1+"（孙arctanh.11I+藉严（v）Jj①+ln(l-“)也（2）求下列积分：5j—也 ；X(1+[ g।一1(ID)(IV)[ 必，，:J1J1(2工2+1)+/(V)arctan{工一1dri(VI)|/—^—dx.JXy/x—1JV1—XR（3）求下列积分：（I）dx(D)।_ -JI51mCOSIJ'1十sinX（ni）(IV)jf3sin工+cosz」jIsinx十cosx1smx+Zcosx（V），| dz 1sin2jc+2sinx,（叫r dx z2a2sin2x+6zcos2x"+bz>0).（4）求下列积分：(I)[arctanyfxdx\(11).J1(1-X)2(1D)I"-+2)z"，(N).卜in(ln(HLje"(l+tann)2dz.（5）求下列积分：ri|w俨In —cosz)dr；(n)J|(2+sinx)三!dx；（ni）(x+|x|)e-,xldx；(IV)['2」十三比江期z.j1-2Ji+yi-（6）求下列积分；rz(I)J(x—1)z\/2x—x2d;r；（n）|（7）求下列积分：（1）|min{2•x2}dz；（n）|「(1-1t|——1);1-3riJ1-1(111)1I1-y|eJdj(|y|<1);(IV)-/I—sinxdx.I-iJ'0（8）求下列积分：（I）J|(jr+sin2j*)coszjrdjr;(U).1x(1—x4djr；(HI)f£sintdti (IV)fL—z：+-/(I—x2)33dr.J0 Jo(9)计算下列积分：(I)1 ! (II)R/〜.….Jie+e Jt—一八|(10)设八N)在［0,用上有二阶连续导数,/(0)=2,/(k)=1,计算I=JC/(x)+f(x)］sinxdx.(11)设/(x)在［0,a］上具有二阶导数(。>0),且/(x)>0，r(x)>0,证明：

。⑴信).(12)设〃幻在［a,包上连续且单调增力口，证明(13)设/(工)在［a,句上连续，且y=/(x)的图形关于直线工=守对称，证明：

|xf{x}Ax=aI"jfix}dx.(14)设f(z)在［0,+8)上连续，且单调增力口，证明：当OVaV方时，有Jzf(］)(1工)；［bj/(x)dx—aj/(x)dx^.(15)求fix)=1/匚工也在［-1,1］上的最大值与最小值.(16)设点A(a,0)(a>0),梯形Q4BC的面积为S,曲边梯形。4BC的面积为&，其曲边由y- +x2确定，证明：Sv(17)设曲线y=sinl(04工4手)，直线y=L(0W及〈l)与工=。所围面积为Si,y—sinx(0<hW手)，y=人与工=5所围面积为Sz,求S=Si+S?的最小值.(18)设曲线y=sinx(0<x<-1-),>>=1及N=。所围平面图形为Dt,y=sinx(04工&亦)及y=0所围平面图形为D2.(I)求以绕直线工=号旋转一周所得体积V1;(口)求Dz绕3轴旋转一周所得体积Kz.„fx=acos3Z»(19)设星形线{ (0<<<2«,0>0).M=asint(I)求所围面积A；(n)求弧长l；(皿)求绕了轴旋转一周所得体积V和表面积s.(20)设立体图形的底是介于？=，-1和y=0之间的平面区域，而它的垂直于工轴的任一截面是等边三角形，求立体体积V.

*6综合题一、选择题(1)设F(x)(1)设F(x)e“n，•sin疝，则正确的是( ).A.FU)A.FU)为正的常数C.F(x)不是常数B.F(z)为负的常数D.F(x)恒为零).(2)设3>0,在(一(5⑶内有|/(x)|<x2,/(x)>O,Z=Py(x)dx，!fllJ().A.A.1=0 B.Z>0 C.I<0D.不能确定「二 c5(3)设「二 c5(3)设L=sin(sinx)dx,Iz=cos(sinx)dxtjfl!|(Jo JoA./.<1</2B.Z2<1</,C.1<I)</2(4)设f(x)二阶可导，则下列结论正确的是( ).①当V0时，则］/(x)sinxdjc<0j②当，(x)V0时，则J/(x)sinxcLr>0；③当/'(h)>0时，则］/(jt)cosxcLz>-0;④当(a)>0时，则j/(ar)cosxdjr<0.A.②③ B.①② C.②④).D.八VAV1(5)设反常积分［-e-1)dz收敛，则正确的是( ).A4>-1B.1 C,^>1(6)设连续函数/(x)满足/(x)=/(2a-x)(a#0),6为常数，则/=『J(a—外业=).A.21,/(2a-x)djr B.2ff(2a—x)dxJ0 J-bC.2Jf(a-x)djr D.0(7)设P(_r)=/万［/XQ&H)为连续函数，则1岬3(工)=( ).A.A.1 B./(I) C.0D.不存在(8)设/(h)有连续导数,/(0)=0,/(0)=6.a(x)=j：/(t)dr,^(x)=则当z-0时,a(z)与做外是().A.同阶无穷小 B.等价无穷小C.高阶无穷小 D.低阶无穷小(9)设I=;［/(+充2,5>0,/>0,则正确的是( ).A./仅依赖于sC.1依赖于s,， D.1依赖于s,，,z(10)设积分/=/ 「工(2>0“>0)收敛,则( ).且qVL B・P>1且q>lC.pvl且qVl D・》V1且g>l二、填空题(1)/(x)=max{l,x2}在(一8,十8)内满足F(0)=1的一个原函数为.(2)设/(x)在[a,瓦)上连续，若Xo6 W[a,6],则极限limf[f(£+D—/(力]山= .2foAxJx0(3)由曲线y=H(工一1)(2—工)与h轴围成的平面图形的面积A=.(4)双纽线(>+/)2=x2-/围成的平面图形的面积为.⑸已知/(eO=ze-',且/⑴=0,贝I]/(x)=.(6)已知/(x)=yi-cos2x,xG =0,则/(x)=.(7)设/(z)连续，g(z)=Jx/(/)dz,fig(D=1,g'⑴=5,则/⑴=.TOC\o"1-5"\h\z(8)设/(2)=!，r(2)=0,且j"/(x)dj-=1,则I=fx1f(2x)dx= .L J0 J0(9)设/(x)=「eE'df,则I=P/(x)cosxdr= .Jo J0(10)设「*题±Lr=不则/=11一华d工= .JoX L JoX(“)「用法W= -(12)已知「'一'出=与,则曲线y=(52+9)「‘k'(1，+(7工-3)「尸'山的斜渐近线J0 L J0 J0方程为.三、解答题(I)求下列积分：(I)设/(x)=f,.求I=fx1f(.x)dx;J|yi+r4J。(U)设f(x)=1e求/=|if(x)dx.(2)设/(sin2x)=-产,求/=f,f(x)dx.sinx J一工(3)计算积分1=1”"，•空对1rILidz.J COSX(4)(4)计算I=⑸设;Xin工)=皿?旦求I=jf(x)dx.

(6)设/'(工)=arctan(x—I)2,/(O)=0,求I=j/(x)dx.TOC\o"1-5"\h\z-yI-Xy4—x2u2du—2x(7)求极限lim4小 ： .…Vl+2^-1f(r) [/(x)/(T-r)dz(8)设/(j-)连续，lim1 =2,求lim生 .x-*OJC X-*OIrf \1(9)设八外在(-8,01上连续，且满足[tf(i2—x2)dt= ■—J--^-ln(l+/),Jo 1+xl求函数/(工)及其极值.(10)设/(i)在(0,+8)内一阶可导，gCz)为人力的反函数，且g(z)连续，若fjr-lg(t)dt=x2ex-4ez—J/(z+l)dr,/(2)=1,求f(z)的表达式.(1f)设fix)在[1,21上可导，且[tf(2jc—t)dt=garctanx2»/(l)=4-，证明：至少存J0 L L在一点se(1,2),使得，=o.(12)设/(工)满足e-，一<=1+[八，一丁)&,求/(x)在(-8,+8)内的最值.Z Jo(13)求fGr)=J：(2-£丘-，山的最大值和最小值.(14)证明：lim「T-dx=0.(15)求极限lim21

(15)求极限lim21

w+112：+0+••n+T(16)求极限lim1^n(n+l)(n+2)-(2n-1).”-8n(17)设J/(z)dr收敛，且/(n)=]+?一]]&」/(z)clr,求J/(x)dj：.(18)设a.=1tarfzdz,证明：-.<a,< 1An>2).(19)求积分/“=J；Nn\rdr("20且为整数)的递推关系，并计算(2«)(I)求积分L=[.2,一*：13>1皿>0)的递推关系；J(X4-a)(U)计算/=J于整去冲.(21)证明：f(z)=£(Z一/人足,山(x>0)的最大值为/(I),且/(I)(1(2〃+2)(2"+3”(22)设/(工)在［a,6］上有二阶连续导数，且/(6)=/(6)=0,证明:Jf(x)dx= —a),dr.(23)设/(j)在［a"］上二阶可导，且/(X)>0,证明：，(审卜占f——侬(24)设/(x)在［a,6］(aV6)上连续，且(f(z)cLr=fx/(x)dx=0.证明：至少存在不Ja Ja同的&,&e(a»6),使得f(fi)=f(&)=0.(25)设/(x)在(一a,a)(a>0)内连续，且/(0)=A工0.(I)证明：对工6(0,。)，存在夕6(0,1),使得1/(八市+()(八&=x［/(flr)-/(-fir)］;(II)证明：lim。=1o+ '(26)设y=/(x)在［0,1］上是非负连续函数.(I)证明：存在了。€(0，1),使得在［0,工。］上以义工。)为高的矩形面积，等于在［工。」］上以y=/(x)为曲边的曲边梯形面积；(n)又设/(x)在(0,1)内可导，且工)>一组空，证明：(I)中的工。是唯一的.X(27)设曲线y=/(x)上任一点处的切线斜率为a?/—4ar+3,且y=/(x)在z=1处取得极小值0.(I)求/(x)及f(x)的其它极值；(n)证明:o&f1 e(o,i).Jo 6U(28)设/(z)在(-8,+8)内连续，且满足/(z+T)=/(z),T>0J(—z)=/(1).(I)证明：Jzf(N)dz=/(x)dx(n为正整数)；(口)计算I=Jx|cosx|dx.(29)设/(x)在(-8,+8)内有连续导数，证明：lim［/(z-f-a)—/(/—a)］dr=f(0).a.»o+4aJr(30)设曲线_y=a-/r(a>0)与y=InJx在点(工。,％)处有公切线.(I)求常数a及点(工。,皿)；(n)求两曲线与x轴所围图形绕了轴旋转一周所得旋转体的体积.(31)设/(z)在［a,6］上可导，f(a)>0,，(z)>0,S|(z) y=f(x)与SzQ)为如图3-1所示阴影部分的面积,证明：存在唯一的£,使得|曙=晨及为正的常数). 福丁(32)求曲线4y=(h%/12—x2u2dw(x>0)的全长. qJ bx(33)设平面图形D由工Z+J42工与确定，求图形图3-1D绕直线工=2旋转一周所得旋转体的体积.(34)求曲线y=e-，而了(h》0)绕工轴旋转所得旋转体的体积.(35)设摆线-=sm')：(()《，&2n,a>0)与l轴所围平面图形为D.\y=a(l—cost)(I)求D绕j轴0轴各旋转一周所得旋转体的体积；(II)求D绕直线》=2a旋转一周所得旋转体的体积.(36)设/(x)=工6［0,1］与y=0所围平面区域的面积为S.,g(x)=sinTx.x6［o,登］与y=0所围平面区域绕工轴旋转一周所得体积为匕(”=1,2,…),求极限lim耍.(37)将半径为R的球沉入水中，它与水面相切，设球的密度与水的密度相等，现将球从水中取出，问至少需要做功多少？(38)设如图3-2(a),3-2(b)所示为同一等腰三角形薄板,已知其底为幼、高为/>,将其垂直放入静水中，图(a)是其底与水面相齐，图(b)是其顶点与水面相齐，设图(a)与图(b)薄板一侧所受压力分别为P,和Pz，求土(a) (b)图3-2(39)已知曲线L的极坐标方程为r=1+cos0(0(I)求曲线L在87对应点处的切线T的直角坐标方程；(D)求曲线L、切线T与工轴所围图形的面积.(40)求曲线,=3一|/一1|与工轴围成封闭图形绕直线》=3旋转所得旋转体的体积.(41)设心形线r=4(l+cosd)与，=0,。=会所围图形为D,求D绕极轴旋转一周所得旋转体的体积.(42)设D位于曲线y=八1一(a>°,24zV+8)下方,工轴上方的无界区域.x(lnX)(I)求D的面积S(a);(U)求S(a)的最小值.(43)设/(h)在［0,+8)上连续且单调减少，工)>0.a.= -£/(x)±r(n=1,2,…)，证明：lima”存在.

(44)设>/1—jc2dx^bn= sinarcos"/cLr,求lim—.Jo Jo 18a.(45)设f(z)在［a,句上连续，在储㈤内可导./Cr)>0,证明：存在唯一的££(a,b),使得y=f(z)与y=f(E)，z=。所围图形的面积$1.和》=/(x)与丁=/(E),z=6所围图形的面积S2,满足S1=3sz.(46)求心形线r=1+cos夕与厂=3cos0所围公共部分图形的面积.(47)设曲线族》=3(4>0),对于每个人》当•曲线y=kr2与曲线y=sinx(0<x<y)交于唯一点(a.sinf),其中［=〃4).Si表示:y=£r2与丁=sinz所围区域的面积,S?表示》=sinz与y=sinf及z=’所围区域的面积.(I)写出S,+S2关于［的函数表达式；(11)证明5+$2有最小值.(48)设曲线L：y=tan」(04工&孥).(I)求由y=1与曲线L以及*轴围成的图形。绕y轴旋转一周所得旋转体的体积V;(II)设(I)中旋转体内盛满水，间将水抽完至少需要做多少功?用W表示所做的功.用p表示水的密度，用g表示重力加速度.—；■-9・拓展题.外—解答题(1)设y=/Q)在［0,+8)上非负连续，曲边梯形D(z)={(x,j>)|O&H&r,0&y&f(z)},D(r)所围图形的面积S(，)=*,DC)绕直线工=，旋转一周所得旋转体的体积为V(f),求V(力的表达式.(2)如图3-3(a)所示，在水平放置的椭圆底柱形容器内存放液体(密度为pkg/m，)，容器长为4m.椭圆方程为1+/=1(单位：m),即如图3-3(b)所示.(a) (b)图3-3<I)当液面在过点(00)(- 处的水平线时，问容器内液体的体积是多少？(D)当容器内存满了液体后，平均每分钟从容器顶端抽出0.16m3的液体，当液面降至J=0处时，求液体下降的速度；(m)间抽出全部液体需做多少功？

第四章多元函数微分学及其应用一、选择题TOC\o"1-5"\h\z(1)设/'(工，川=arcsin,则下列选项正确的是( ).A.匕(0,0)存在存在 B./；(O,O)不存在,£(0,0)存在C.<(0,0)不存在,£(0,0)不存在D.<(0,0)存在,£(0,0)不存在(2)设£(%,”),"。,山)均存在，则下列选项正确的是( ).A.lim/(x,>)存在 B./(x,y)在(工。，“)处连续C.lim/(z,%)存在 D.f(N,y)在LT(x0,%)内有定义(3)设方程4y-zlny+『=1,存在点(0,1J)的一个邻域•在此邻域内该方程( ).A.可确定隐函数y=y(z,z)和z=z(z,y)B.可确定隐函数x=z(y,z)和z=z(z,y)C.可确定隐函数x=z(y,z)和y=y(x.z)D.只能确定隐函数z=z(z,y)(4)设可微函数/(x,>)在点P(xo.jo)处取得极大值，则( ).A./(xo,y)在y=的处导数小于零B.f(zo,y)在y=yo处导数大于零/(Xo，山在,=>o处导数等于零y(x0,y)在y=>o处导数不存在(5)设/(x,>)=efa(x+y+2y),则/(x,y)在点P信，-1)处( ).A.取得极小值一£ B.取得极大值一方C.取得极大值e D.不取得极值(6)设f(N,y)=——，则( ).x-yA—=0 B./；-/；=0二、填空题⑴lim唯主导=二："+小(3)lim(1一”「'= .j-*oo\ LX/y-0(4)设Z=(1+]>>,则dzI(In=.(5)设函数 可微,且/(1,2)=2，A(1,2)=3,//1,2)=4,F(x)=J(z,2z)],则F’(l)=.TOC\o"1-5"\h\z(6)设z=由方程x=ze^f确定，则dz|(e .(7)设巴=/，F有一阶连续偏导数.则半= .|F(x»jU)=0, dz(8)设y=/(z,£),f=Mi,》)由方程GG,3,/)=。确定,7,G可微，则，=.(9)设z=/(*)+g(e，，siny),/有二阶连续导数，g有二阶连续偏导数.则=(10)设/(〃，,)有二阶连续偏导数，y=/(e',cosz)•则#| =.(11)设z=z(ny)由方程e?A+h+V+z=9确定，则dz|(…)=.①)设/My)=「第&,则曲“⑵= -(13)设z(x,j)的全微分dz=(x2+2xy—,y2^-r+(/—2xy—J,dy,则z(x.y)=(1J)设z=z(N,y)由方程z+lnz-je-rdt=0确定，则//=.(⑸设z=，gq)+gR),/具有二阶连续偏导数,g具有二阶连续导数，则痣=(16)设(工+丝心士2为某二元函数u(.x,y)的全微分，则k= .(X+y)三、解答题(1)设〃=/(z,y,z)有连续偏导数，y=y(z)，z=z(x)分别由方程e"—y=0和e，—zz=0确定，求坐.dz(2)设y=y(H),z=z(z)由方程组:;7’确定，求累，卜(3)设曲面S：(z—y)2-z2=1.求坐标原点到S的最短距离.(4)求双曲线zy=4与直线2x+y=1之间的最短距离.(5)求函数z=/-3/_3/在闭区域D：x2+>2<16上的最大值.(6)求〃=/+,2+/在条件工+、+2=4和2=>+?2下的最大值和最小值.(7)设〃(”,')有二阶连续偏导数，利用变换£=x+ay,r)=7+力，将方程万+4砺+3斤=°化为鲁'=0,求a"的值•

(8)设/(■)有二阶连续导数，且z=/(e*siny)满足岩+票=ze?"求/(").综合题 一、选择题{1}设在点(0,0)处连续，且lim岑口上=1,则( ).lok+y—1

y—0仁 1A./(ay)在点(0,0)处取得极小值/(x,y)在点(0,0)处取得极大值f(.x,y)在点C,0)处不取得极值D.不能确定f(x,y)在点(0,0)处取得极值(2)设人工0)在点(0,0)的某邻域内连续，且lim上必云^9=一1,则人工~)在点(0,0)处( ).A.取得极小值 B.取得极大值C.不取得极值 D.无法确定是否取得极值yarctan,1 (z,y)R(0,0),(3)设f(.T,y)=« v?+y 则f(.x,y)在点(0,0).0, (ny)=(0,0),处().A.连续但不可微 B.偏导数存在但不连续C.可微 D.连续但偏导数不存在TOC\o"1-5"\h\z(4)设f(x,y)可微，对任意的H,y,有红身边>0,普血<0,则使得八4，y)<ox dy/(工2，北)成立的一个充分条件是( ).A.Xi<xz>y2 B.xi>xz0>y2C.xx<xz，v<y2 D.Z]>x2 <>2(5)设F(ny)在点(4，m)的某邻域内有二阶连续偏导数，且F(xo^o)=0,F；(io,y))=0,F；(io,y))>0,匕(*，y))<0,则由方程F(z,y)=0确定的隐函数y=y(z)在z=Ro处().A.取得极小值 B.取得极大值C.不取得极值 D.不能确定是否取得极值二、填空题p2(1)设z=N(Z,y)满足亨•=2,且z(z,0)=1,z；(z,0)=Z，则2(7,3)=(2)设(2)设N=z(x,j)有二阶连续偏导数，满足=1+y,且z(xtO)=jc,z(09y)=y2,⑶设Z1^7,⑶设Z1^7,则答x-ydy(2.D三、解答题(2)设f有一阶连续导数,证明:z=7"(5)的充要条件是z,+y言=0.⑶设之=zQ,y)是由方程F(y---^)=5确定的隐函数，其中F可微，求(4)设y=g(H，z)与z=z(x,>)是由方程/(x—z,xy)=0确定的函数，求作(5)求函数/(z,y)=(1+y)2+(1+x)2在条件/+丁+zy=3下的最大值.(6)设函数/(z,y)=3H+4»—“2-2a*-2fcry,问。,6满足什么条件时，/(工~)有唯一的极大值和唯一的极小值？(7)设f(x,y)=e-x(ar+b—y2)在点(一l,y0)处取得极大值，求a,b满足的条件.⑻求/(x.>)=工5J十的极值.(9)求“=zy+2xz+2yz在条件xyz=1下的最小值.(10)设函数2=2(工0)由方程/-60+10y一2乃一22+18=0确定，求2=z(z,y)的极值.(11)设/(工)有二阶连续导数，且人工)>0，/(0)=0,证明：z=/(z”n/(>)在点(0,0)处取得极小值的充分条件是/(0)>0且/(0)>1.(12)已知z=/(z,y)的全微分dz=(y—工2)业+(工一1)分，且= 求/(x.j)在。：04y47—工，04工