五年(2018-2022)全国各省份高考数学真题分类汇编(全国卷新高考卷北京天津卷等)专题07数列解答题(解析版)

2018-2022五年全国各省份高考数学真题分类汇编

专题07数列解答题一、解答题1.(2022高考北京卷•第21题)已知。：4,4，…,如为有穷整数数列.给定正整数m,若对任意的ne[l,2,-；m},在Q中存在4,4+i，q+2,…吗+式)之。),使得q+a[+加2+…+Q+,=〃,则称Q为机一连续可表数列.(1)判断Q：2,1,4是否为5-连续可表数列？是否为6-连续可表数列？说明理由；(2)若。：6,。2,…，4为8-连续可表数列，求证：k的最小值为4；(3)若…，4为20-连续可表数列，且4+々+…+4<20,求证：k>7.【答案】解析：(1)4=1，4=2,4+/=3,4=4,a2+Oj=5,所以。是5-连续可表数列：易知，不存在Aj使得4+4+1 1-aj+j=6,所以。不是6-连续可表数列.(2)若攵W3,设为Q：a,b,c,则至多a+/?,"+c,a+b+c,a,/?,c,6个数字，没有8个，矛盾；当％=4时，数列。:1,4,1,2,满足4=1,%=2,%+“4=3,&=4,q+%=5,4+4+生=6,%+6+%=7,q+%+%+&=8，kmin=4.(3)Q:q,4，…，%，若i=j最多有2种，若加，最多有C；种，所以最多有左+ 种，若AW5,则6,。2,…，W至多可表空土^=15个数，矛盾，2从而若％<7,则k=6,a,b,c,d,e,7至多可表曳4=21个数，而a+h+c+d+e+/<2。，所以其中有负的，从而a,b,c,d,e,/可表1〜20及那个负数(恰21个)，这表明a〜/中仅一个负的，没有0,且这个负的在中绝对值最小，同时。〜/中没有两数相同，设那个负数为-m(mNl),则所有数之和Nni+l+m+2d i-m+5-m—4m+]5,4/«+15<19=>/«=1..-.{a,b,c,d,e,f}={-1,2,3,4,5,6),再考虑排序，排序中不能有和相同，否则不足20个，vl=-l+2(仅一种方式)，一1与2相邻,若一1不在两端，则？,-1,2 "形式,若x=6,则5=6+(-1)(有2种结果相同，方式矛盾)，-6,同理“5,4,3,故—1在一端，不妨为2A旦G。'形式，若A=3,则5=2+3(有2种结果相同，矛盾)，A=4同理不行，A=5,则6=-1+2+5(有2种结果相同，矛盾)，从而A=6,由于7=-1+2+6,由表法唯一知3,4不相邻,、故只能一1,2,6,3,5,4,①或一1,2,6,4,5,3,②这2种情形，对①：9=6+3=5+4,矛盾，对②：8=2+6=5+3,也矛盾，综上左。6.\k>l.【题目栏目】数列\数列的综合应用'数列中的新定义问题【题目来源】2022高考北京卷•第21题2.(2022年高考全国甲卷数学(理)•第17题)记S“为数列㈤｝的前〃项和.己知，t+〃=2q,+Ln(1)证明：｛“〃｝是等差数列；(2)若4M7，%成等比数列，求S〃的最小值.【答案】【答案】(1)证明见解析； ⑵-78.2s【解析】(1)解：因为=+〃=24+1,BP2Sn+n2=2^M+n@,n当〃N2时，2s“_1+(〃-1)=2(〃-+(/i-1)②，①一②得，2S〃+—2sMl—(〃—1)~= +n—2(n— —(n-1),即2azi+2〃-1=2nan-2(〃-1)%+1,即2(〃-1)4-2(〃-1)%=2(〃-1),所以一〃九22且〃wN*,所以｛〃〃｝是以1为公差的等差数列.(2)解：由(1)可得4=q+3,6t7=4+6,%=4+8,又〃4，。7，〃9成等比数列，所以。72=4，%，即(q+6『=(%+3).(4+8),解得q=-12,

所以为=”-13,所以为=”-13,所以S“=-12〃+25n 625T所以，当〃=12或〃=13时(5,,)1nM=-78【题目栏目】数列'数列的求和、错位相减法求和问题【题目来源】2022年高考全国甲卷数学（理）•第17题3.（2022年浙江省高考数学试题•第20题）已知等差数列｛勺｝的首项q=-1,公差d>l.记｛/｝的前"项和为S,,(〃eN*).(1)若54-2//+6=0,求S,；（2）若对于每个〃eN*，存在实数c“，使。”+。“，41+|+4（:“，41+2+15%成等比数列，求d的取值范围.【答案】解析⑴因为54-2。24+6=0,a,=-l,所以-4+64-2(-1+州-1+2/)+6=0,所以6/2—3〃=0,又d>1,所以d=3,所以4=3〃一4,当〃=2时，由("一2d-l)(4d-3d—2)2。，可得dW2当〃23时，■〃-2)4—1][(2〃一3)1—2]>(〃-3)(2〃-5)»0,又d>\所以l<dW2【题目栏目】数列'等比数列'等比数列的性质【题目来源】2022年浙江省高考数学试题•第20题.(2022新高考全国II卷•第17题)已知｛4｝为等差数列，｛"｝是公比为2的等比数列，且a1-b2=a3-h3=b4-a4.(1)证明：ax=b]；(2)求集合视a=4n+4,1<m<500｝中元素个数.【答案】(1)证明见解析；⑵9.4+d_2bl=a1+2d—4bl (]解析：⑴设数列｛勺｝的公差为d，所以，〈 ._'( ,即可解得，4=q=一,所以原命题得证.(2)由⑴知，4=4=一,所以4=a,”+qx2*।=q+(〃?一l)d+q,即2A1=2m>亦即w=2A-2€[1,500],解得2WAW10,所以满足等式的解女=2,3,4,…[0,故集合快也=《„+4，1464500｝中的元素个数为10—2+1=9.【题目栏目】【题目来源】2022新高考全国II卷•第17题.(2022新高考全国I卷•第17题)记5“为数列｛4｝的前n项和，已知q=J2[是公差为;的等差数歹IJ.(1)求｛《,｝的通项公式；TOC\o"1-5"\h\z1 1 1c(2)证明：—+—+•••+—<2.g 4【答案】⑴%=△——L” 2

（2）见解析TOC\o"1-5"\h\z5 s解析：（1）；4=1,，耳=4=1,，,=1,又；<」4是公差为上的等差数列，二q i«J 3S〃-I/i\〃+2 (〃+2)凡 , -,：=1+ ,...S.=\J当〃22时,S„_,,an=Sn-Sn^=(〃+：'-(〃+，i-，整理得：(〃-1)a”=(〃+1)勺_|,a„〃+1

a„〃+1

即工=—r,A3n-\an=aAx—^x—^x...x—^x—匚

a\a2 an-2an-\,34nn+l+=lx-X—X...X X = -23 〃一2n—1 2显然对于〃=1也成立,｛勺｝的通项公式a”=川；+1）:=2(=2(TK【题目栏目】【题目来源】2022新高考全国I卷•第17题（2021年高考浙江卷•第20题）已知数列｛为｝前"项和为S“，a,=--,且4sli”=3S“-91.⑴求数列｛%｝通项;⑵设数列出｝满足3d+（〃-4）a.=0,记包｝的前"项和为，，若7；4例“对任意〃eN*恒成立，求兀的范围.【答案】⑴4,=一3—（》"；（2）-3<A<l.TOC\o"1-5"\h\z, 9 27 27解析：（1）当〃=1时，4（4+%）=3q—9,44=—9= ，.二生= ,~4 4 ~ 16当〃之2时，由4S〃x=3S“一9①，得4s〃=3S〃t—9②，①一②得4%x=3a〃%=一兴工0，，为。0,•••&"=],又立=：，；•｛《,｝是首项为-2,公比为之的等比数列，16 q4q4 4 4⑵由32+(⑵由32+(〃-4)4,=0,得"=一一为=(”—4)(；)",所以两式相减得;7-3x(+图+图+(m(〃_4).所以7；=-4"•($""，由7；4 得Y〃•(》"“<"〃一4)•($"恒成立,即“〃-4)+3〃20恒成立,〃=4时不等式恒成立；〃<4时，2<--=-3--,得义VI；n-4 n-4〃>4时，2>--=-3--,得人-3；n—4 〃一4所以一3K4W1.【题目栏目】数列'数列的综合应用'数列的综合问题【题目来源】2021年高考浙江卷•第20题(2021年新高考全国H卷•第17题)记S“是公差不为0的等差数列｛册｝的前"项和，若为=S5,a2a4=S4.(1)求数列｛册｝的通项公式%;⑵求使S.>an成立的n的最小值.【答案】解析：(1)由等差数列的性质可得：55=5的,则：％=54,.•.4=(),设等差数列的公差为d，从而有：a2a4=(ai-d)(a3+d)=-d2,S4=4+w+q+q=(q-2d)+(q—d)+%+(q—d)=-2dt从而：_/=_2d，由于公差不为零，故：d=2,数列的通项公式为：4=4+(〃-3”=2〃-6.(2)由数列的通项公式可得：q=2-6=-4,则：Sn=nx(-^l)+W^^x2=n;-6n>则不等式5“>4,即：n(2)求｛4｝的通项公式.【答案】(1)证明见解析；⑵/=,-5n>2n-6.整理可得：(〃-1)(〃(2)求｛4｝的通项公式.【答案】(1)证明见解析；⑵/=,数，故”的最小值为7.【题目栏目】数列\数列的综合应用'数列的综合问题【题目来源】2021年新高考全国0卷•第”题(2021年新高考I卷•第17题)已知数列｛“"｝满足4=1,%+产卜"+吸+2,〃为偶数.⑴记”,=%”，写出伪，b2,并求数列也“｝的通项公式；(2)求｛/｝的前20项和.【答案】4=2也=5；300.解析：(1)由题设可得自=%=4+1=2,么=4=4+1=4+2+1=5又aik+2=a2t+i+1>A+i= +2,故。2*+2=%+3即2+i=勿+3即b,“i-bn=3所以也｝为等差数列，故"=2+(〃-l)x3=3〃-l.⑵设｛4“｝的前20项和为次，则%=q+%+%+…+%>，因为4=%-1吗=。4-1,・・・吗9=%0-1'所以§20=2(出+/ °=2(4+*2+••-+*,+/?l0)-10=2x^l0x2+^y^x3j-10=300.【题目栏目】数列'数列的综合应用'数列的综合问题【题目来源】2021年新高考I卷•第17题(2021年高考全国乙卷理科•第19题)记S.为数列｛《,｝的前n项和，2为数列⑸｝的前n项积，已知2 1, 1—=2Snbn(1)证明：数列｛%｝是等差数列;

2 । 2b i解析：⑴由已知不+厂2得S“=五七，且b,产0,b,产;,3取〃=1,由S]=4得伉=万，由于"为数列｛S“｝的前n项积，2b.所以卓12b2

2b2-l2b.所以加2/a2b2b.所以卓12b2

2b2-l2b.所以加2/a2b2-12%=匕

2%-1n+"所以2%2%-1瓦，2所以宝——r2〃+|T1/，即%-或=其中〃GN*2所以数列｛勿｝是以4=|为首项，以d=g为公差等差数列；(2)由(1)可得，数列｛〃｝是以4=：为首项，以d=:为公差的等差数列，, 3,1、11〃bt=—\-\ti_1)x_=1H—,〃2V 72 2C=2bli=2+"n2bn-\1+"'3当n=l时，q=5]=一,2. - 2+〃1+〃 1当"22时，勺=S“一5“_|=- =一一7~~八,显然对于n=l不成立，7(^71j,n-2【点睛】本题考查等差数列的证明，考查数列的前n项和与项的关系，数列的前n项积与项的关系,

其中由2bl

2^,-12b22b「其中由2bl

2^,-12b22b「1, 2b, 2b,=%得到布・罚2%2%-1=2+i，进而得到彳>%=吃是关键一步：要熟练掌握前"项和，积与数列的项的关系，消和(积)得到项(或项的递2%Tbn推关系)，或者消项得到和(积)的递推关系是常用的重要的思想方法.【题目栏目】数列'等差、等比数列的综合应用【题目来源】2021年高考全国乙卷理科•第19题(2021年高考全国甲卷理科•第18题)已知数列｛勺｝的各项均为正数，记S,为｛4｝的前"项和，从下面①②③中选取两个作为条件，证明另外一个成立.①数列｛《,｝是等差数列：②数列｛£｝是等差数列；③注：若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分.【答案】答案见解析解析：选①②作条件证明③：设=an+b(a>0),则S“=(a〃+〃『，当〃=1时，a1=£=(a+b『；当〃N2时，an=Sn-S„_!=(an+b\-(an+ =a(2an—a+2h)；因为｛《,｝也是等差数列，所以(a+4=a(2a-a+2b),解得〃=0；所以=/(2〃-1),所以%=3q.选①③作条件证明②：因为出=3q,｛a,,｝是等差数列，所以公差d=4-q=2q,所以S”= +所以S”= +- d—n^a.n1 2所以｛£｝是等差数列.选②③作条件证明①：设J^'=a〃+b(a>0),则S“=(。〃+人)2,当〃=1时，q=5]=（々+力）-；当〃之2时，an=Sft-Sn_｝=（tzn4-Z;）2-（an-。+6）2=a（2cm-a+2b^；9 4/7因为。2=3%,所以q（3a+2b）=3（a+h）~,解得人=0或6=---；当人=0时，al=a2,an=a2（2n-\）,当〃N2时，《,-4」=2/满足等差数列的定义，此时｛%｝为等差数列；4a /— 4 /— ci当b= 时，\]Sn=an+b—dii—ci> =—<0不合题意，舍去.综上可知｛勺｝为等差数列.【点睛】这类题型在解答题中较为罕见，求解的关键是牢牢抓住已知条件，结合相关公式，逐步推演，等差数列的证明通常采用定义法或者等差中项法.【题目栏目】数列\数列的综合应用'数列的综合问题【题目来源】2021年高考全国甲卷理科•第18题（2021高考北京•第21题）设p为实数.若无穷数列｛/｝满足如下三个性质，则称｛4｝为况「数列：①4+pZ0,且4+0=0；②q“-i<4“,（"=1,2,…）；③。…€｛勺+。”+「，金+”“+0+1｝,（见〃=1,2,…）.（1）如果数列｛为｝的前4项为2,-2,-2,-1,那么｛《,｝是否可能为况2数列？说明理由；（2）若数列｛《,｝况。数列，求为；（3）设数列｛«,｝的前〃项和为5“.是否存在况『数列｛《,｝,使得S.Ngo恒成立？如果存在，求出所有的P；如果不存在，说明理由.【答案】（1）不可以是%数列；理由见解析；（2）%=1；⑶存在；〃=2.解析：（1）因为〃=2,4=2,4=-2,所以q+/+〃=2,4+生+〃+1=3,因为％=-2,所以生乃｛《+4+2,4+/+2+1｝所以数列&｝,不可能是凡数列.（2）性质①％20,。2=0，由性质③a,”2G｛q“,a,“+l｝,因此％=4或4=4+1，4=。或4=1，若4=0，由性质②可知%<4，即q<0或％+1<0,矛盾；若。4=1，。3=。]+1，由％<“4有6+1<1，矛盾.因此只能是牝=1，〃3=4.又因为%=4+。3或4=4+〃3+1，所以或。[=。.若q=g,则％=4+]"a1+4+0冯+a}+0+1}={勿],24+1}={1,2}.不满足生=0,舍去.当q=0,则{《,}前四项为:0,0,0,1,下面用数学归纳法证明4"+,=〃(，=1，2,3),4“+4=〃+1(〃€N):当〃=0时，经验证命题成立，假设当〃WA(k20)时命题成立，当n=k+l时：若i=1,则a%jt+i)+i=。4-5=aj+(4k+5-j)•利用性质③：+«44+5_71jeN*,l<j<4k+4^={k,k+1],此时可得：a4k+s=^+1；否则，若a4k+5=k，取Z=0可得：4=0，而由性质②可得：/=4+%e{l,2},与%=。矛盾.同理可得：{%+JwN*,lV_/W软+5}=伙次+1},有04女+6="+1»+a4Jl+8_7.\jeN\2<j<4k+f^={k+l,k+2},有4*+8=左+2；{aj+a4k+l-jIJ€A^*,1<J<4Z：+6}={Z：+1},又因为。4«+7<。4*+8,有％"7=A+L即当〃=4+1时命题成立，证毕.综上可得：q=o,4=。4»”1=1.(3)令2=an+p,由性质③可知：V机，〃eN\bm+n=am+n+pe{am+p+an+p,am+p+an+p+l}={bm+bn,bm+bn+\],由于A=4+pN0,4=a2+P=°，d"T=。4"-|+。<。4"+。=%"，因此数列出}况。数列.由（2）可知：若X/〃eN,d4n+j=n—p（i=1,2,3）, =n+l—p；S”—1=a”=4x2+3=2—p20,S9—510=—aw=—£Z4x2+2=—（2—p）>0,因此p=2,此时a”里,…，4oW。，勺20（/211）,满足题意.【题目栏目】【题目来源】2021高考北京•第21题（2020年高考课标I卷理科•第17题）设｛%｝是公比不为1的等比数列，%为4，%的等差中项.⑴求｛%｝的公比：（2）若4=1,求数列｛〃见｝的前〃项和.【答案】⑴-2:⑵5,=［一（1+3〃）（一2）”n9【解析】Q）设｛4｝的公比为4，卬为《，。3的等差中项，=4+。3吗。0,「・夕2+q-2=0,.*q丰1,，q=-2；⑵设｛〃《,｝前〃项和为S",q=1m“=（-2产,S„=lxl+2x（-2）+3x（-2,+…+〃（一2）i,①2S“=1x（—2）+2x（—2）"+3x（―2）1+…（〃-1）（-2）"1+〃（-2）",②①一②得，3S„=1+（-2）+（一2>+…+（_2）z—〃（一2）"=一〃（一2）"=J"：〃）（-2）”,1一（一2） 3,c1一（1+3〃）（一2）〃・5,= '【点睛】本题考查等比数列通项公式基本量的计算、等差中项的性质，以及错位相减法求和，考查计算求解能力，属于基础题.【题目栏目】数列'数列的综合应用'数列的综合问题【题目来源】2020年高考课标I卷理科•第17题（2020年高考课标IH卷理科•第17题）设数列｛。〃｝满足ai=3,an+i=3an-4n.(1)计算。2,03,猜想｛。"｝的通项公式并加以证明；(2)求数列｛2"而的前n项和Sn.【答案】(1)4=5,4=7,4=2〃+1,证明见解析；(2)5.=(2〃-1>2向+2.解析：⑴由题意可得%=36-4=9—4=5,%=3%-8=15-8=7,由数列｛《,｝的前三项可猜想数列｛q｝是以3为首项，2为公差的等差数列，即%=2〃+1,证明如下：当〃=1时，4=3成立；假设〃=%时，a*=2Z+l成立.那么〃=左+1时，。*+1=34—4k=3(22+1)—4k=2k+3=2(2+1)+1也成立.则对任意的“wN*，都有勺=2〃+1成立；(2)由(1)可知，。/2"=(2〃+1〉2"S„=3x2+5x22+7x23+---+(2n-I)-2n-'+(2n+l)-2n,①2Sn=3x22+5x23+7x24+.--+(2n-l)-2n+(2n+l)-2n+1,②由①一②得：—S“=6+2x(22+23+...+2")—(2〃+l>2向=6+2x _(2〃+1).2"“=(1一2〃)•2"+|-2,即5,=(2〃-1)•2e+2.【点睛】本题主要考查了求等差数列的通项公式以及利用错位相减法求数列的和，属于中档题.【题目栏目】数列'数列的综合应用'数列的综合问题【题目来源】2020年高考课标HI卷理科•第17题(2020年新高考全国【卷(山东)•第18题)已知公比大于1的等比数列｛《,｝满足4+4=20,4=8.⑴求｛4｝的通项公式；(2)记bm为｛%｝在区间(0,m](mwN。)中的项的个数，求数列｛"｝的前100项和51Go.【答案】⑴4=2"；(2)500=480.* 3解析：⑴由于数列｛《,｝是公比大于1的等比数列，设首项为4,公比为4,依题意有=Q、q~=8解得解得4=2,4=2,或4=32,q=5（舍），所以%=2",所以数列｛an｝的通项公式为凡=2".（2）由于2=2,2?=4,23=8,24=16,25=32,26=64,27=128,所以仇对应的区间为：（0』],则4=0；么也对应的区间分别为：（0,2],（0,3],则H=4=1,即有2个1：么也也也对应的区间分别为：（0,4],（0,5],（0,6],（0,7],则2=仇="="=2,即有22个2；々也，…,九对应的区间分别为：（0,8],（0,9],…,（0,15],则4=%=-=九=3,即有丁个3；鬣也,…也]对应的区间分别为：（0,16],（0,17],…,（0,31]，则46=%=…=为=4,即有24个4；么2也3,…也3对应的区间分别为：（0,32],（0,33],…,（0,63],则为=%=…=%=5,即有个个5；心也5,…,包）（,对应的区间分别为：（0,64],（0,65],…,（0,100],则%=%：-••=%）=6,即有37个6.所以§100=1x2+2x22+3x23+4x24+5x25+6x37=480.【题目栏目】数列'等比数列'等比数列的前n项和【题目来源】2020年新高考全国I卷（山东）•第18题（2020年新高考全国卷H数学（海南）•第18题）己知公比大于1的等比数列（q｝满足生+4=20,6=8.（1）求｛%｝通项公式；（2）求4必2-。2“3+…+（—1）"【答案】⑴=2"；（2）--（-l）n—r 3,、 a^+aA=a,q+a｝q=20解析：⑴设等比数列｛叫的公比为q（q>l）,则<2 4,二因，=a^q—8整理可得：2夕2一54+2=0,,.•<7>1,47=2,67]=2,数列的通项公式为：an=2-2n-'=2\

⑵由于：(一1广%/+1=(—1广，2隈2e=(一1广22可故：ata2-外%+…+(-I)"-'anan+i=23-2故c •.…刍.生"*Cn_2C2C, bn+l+27-故c •.…刍.生"*Cn_2C2C, bn+l【题目栏目】数列'等比数列'等比数列的前n项和【题目来源】2020年新高考全国卷H数学（海南）•第18题16.（2020年浙江省高考数学试卷•第20题）已知数列｛叫，仿3&｝中，b .4=4=C|=1,孰=4+|—a“,c“M=r2-•c“（"eN）.%（I）若数列｛d）为等比数列，且公比q>0,且么+4=64，求q与。。的通项公式；（H）若数列｛仇）为等差数列，且公差d>0,证明：C1+c2+-+c„<1+4.a4-? 、【答案】⑴q=—,cin= .；（II）证明见解析.解析：⑴依题意々=1也=,也二夕〜，而。+4=6%3即l+g=6/,由于q>。，所以解得q=g,所以"=击.1所以"+2=击，故。"+1=卒.%=4七,，所以数列｛%｝是首项为1，公比为4的等比数列，所以尸c”=4-'.所以a"+|-a“=c"=4"T(〃N2,〃eN*).4'i+2由于也=工c“bn+2所以a“=q+1+4+…+4"以=-由于也=工c“bn+2(II)依题意设々=l+(n-l)d=dn+l-d,cbbn-24* b]b\bn-\ dbbn-24* b]b\bn-\ db3由于d>0,4=l,所以"+]>0,由于d>0,4=l,所以"+]>0,所以+1—<1+1.

Vd八b“+Jd即q+。2+…+c”<1+-；,neN*.a【题目栏目】数列'等比数列'等比数列的判定或证明【题目来源】2020年浙江省高考数学试卷•第20题17.(2020天津高考•第19题)已知｛4｝为等差数列，｛"｝为等比数列,q=4=1,4=5(包一引也=4(%-%).(I)求｛q｝和他｝的通项公式；(H)记｛4｝的前〃项和为S“，求证：SA*<S*(〃wN*)；0%-2泡,〃为奇数，(III)对任意的正整数”，设44+2 求数列｛%｝的前2〃项和.也， 〃为偶数.4+1【答案】【答案】(I)%=〃，bn=2"-'；(H)证明见解析；(III)二一一如¥-上2〃+19x4"9可得【解析】(I)设等差数列｛““｝的公差为"，等比数列｛4｝的公比为4.由4=1,%=5(%-的)d工1.可得2,从而｛〃”｝的通项公式为.由4=1,么=4(d一4)，又4。。，可得/一44+4=0,解得夕二从而也｝的通项公式为a=2〃。2,(II)证明：由(I)可得s“=四罗，I 1 9 9故S“S“+2=w〃(〃+l)("+2)(〃+3),5；+1=-(n+l)-(n+2),从而S“Sz-S*=-；(〃+1)(〃+2)<0,所以S11sm<S'.

an)当〃为奇数时，用常(3〃-2)2"T

n(n+2)〃an)当〃为奇数时，用常(3〃-2)2"T

n(n+2)〃+2an.当”为偶数时，c.=L丛%n-1对任意的正整数”，有»2I=Zk=[ k=]2k+121和><2kfc=l62J 1 3 5£4* 442 43①由①得第。2「**+亳+“-+2n-34n2〃一1

4〃+i21_±+G4坦3/ 12 22n-l4(4"J12n-l+工由①②得1石。”=^+不+…十/一彳丁=一]二一一由于-44( 4nJ 1 2m-1 2211 2n-11 5 6〃+5 ——— ————x———— x—=—— ,,1 4 4n+, 334n4 4" 4 123x4"+l1——4从而得:W-段.因此，即-粽高所以，数列⑷的前海项和为窑【题目栏目】数列'数列的求和'分组求和法求和问题【题目来源】2020天津高考•第19题18.(2020江苏高考•第20题)已知数列｛a“｝(〃eN*)的首项4=1,前”项和为S,,.设2与2是常数，若对I1 ]一切正整数“，均有s 不成立，则称此数列为“/L-A”数列.(1)若等差数列｛4｝是“4-1”数列，求4的值；(2)若数列｛%｝是“#-2”数列，且。“>0,求数列｛““｝的通项公式；(3)对于给定的4,是否存在三个不同的数列｛4｝为“义-3”数列，且420?若存在，求2的取值范围；若不存在，说明理由,1,〃=1【答案】【答案】⑴1⑵4=3.4〃-2〃>2⑶。<4<1【解析】（1）Sn+l-s„=h；.an+l=&Qa,=l.\a同,0..4=1TOC\o"1-5"\h\z,、 ii i1Ji i⑵Q4>0s„+1>s„s“，_SJ>0，Qs“”2_s“2=-（sn+]-s„y1 1 ]J.1 1J.・••--5『）2 +SJ）III11 1 1V-V=-（V+S?）.-.5n+J=2V.•.Sn+I=4S„.-.S„=4n-'vs,=«,=1,Sn=4"-',a„=4"-'-4"-2=3-4"-2,n>2l,n=l，a“=L”“_2 c（3）假设存在三个不同的数列｛2｝为"-3"数列.3,4,nN25"j-S；=4a.j・••（sj-S：）3=£（S.”-"）.一：=S“；或⑸j-S*=把（5）+0+5/6）•1-S“+i=5”或（万-1）5“1+（万,1）5J+（万+2电js；=0•••对于给定的4,存在三个不同的数列｛/｝为";1-3"数列，Ha„>0TOC\o"1-5"\h\zIl,n=1 2 2 ।i•••“"=jo,〃22或（万-1电"+（才-1）5/+a3+2）S,"Sj=0（2X1）有两个不等的正根•2 2 \ 1a3-l）5„+J+（万-1）S,J+d+2）S,,/S,『=0（2X1）可转化为史芈1.」）+生罕上。GM，不妨设（口『=玉>。），则5/ S； Is）（23-l）x2+（万+2）x+（万-1）=0（2丰1）有两个不等正根，设/(x)=(A3-Dx2+(23+2)x+(A3-l)=0(Z*l).①当4<1时，A=(r+2)2-4(23-l)2>0=>0<23<4,即0<2<1,此时/(0)=万一1<0,x对皿满足题意.以4—I)②当义>］时，A=(23+2)2-4(23-l)2>0^0<23<4,即］<2〈孤，此时/(0)=万一］>0,/=-综2<°，此情况有两个不等负根，不满足题意舍去・Z(X—1)综上，0<2<1【题目栏目】【题目来源】2020江苏高考•第20题(2020北京高考•第21题)已知｛4｝是无穷数列.给出两个性质：①对于｛4｝中任意两项4，为(i>/)，在｛册｝中都存在一项。加，使工二%;ai②对于｛/｝中任意项4,(〃…3),在｛a“｝中都存在两项4,4伏>/).使得4=幺.al(I)若4=〃(〃=1,2「.)，判断数列｛。“｝是否满足性质①，说明理由；(II)若°=2"T(〃=L2,…)，判断数列｛““｝是否同时满足性质①和性质②，说明理由；(III)若｛4｝是递增数列，且同时满足性质①和性质②，证明：｛““｝为等比数列.【答案】已知｛册｝是无穷数列.给出两个性质：①对于｛/｝中任意两项4，％(，>•/)，在｛/｝中都存在一项4，使区=%：aJ②对于｛4｝中任意项3)，在｛叫中都存在两项4吗(&>/).使得al(I)若a"=〃(〃=l,2,…)，判断数列｛4｝是否满足性质①，说明理由；(H)若0=2"t(〃=1,2,…)，判断数列｛/｝是否同时满足性质①和性质②，说明理由：(III)若｛““｝是递增数列，且同时满足性质①和性质②，证明：｛。“｝为等比数列.【题目栏目】【题目来源】2020北京高考•第21题(2019年高考浙江•第20题)设等差数列｛《,｝的前”项和为5"，生=4,a4=S3.数列｛"｝满足：对任意〃eN*,*+4，S.jb",S^+d成等比数列.(I)求数列｛%｝,｛4｝的通项公式;(II)记c.= ,ngN*>证明：q+c2+•••+<•„<2\[n,ngN,.VZD"【答案】【意图】本题主要考查等差数列、等比数列、数列求和、数学归纳法等基础知识，同时考查运算求解能力和综合应用能力。满分15分。[a,+2d=4,【解析】(I)设数列｛q｝的公差为d,由题意得।〜»解得4=0,d=2,⑷+3d=3%+3d,从而〃”=2〃-2,tigN'»所以S"=〃2一〃，n€N'.解法一：由,+%加+2，Se+2成等比数列得(S“j")2=(s“+")(Sn+")，

解得所以〃=/+〃，hgN,.aS,+bS+2+b解法二：由S“+N，S〃x+2,S/2+4成等比数列得V上广=，两边同减去1，得，+Dn ，+1+Dna. Sw+aa„^ 2 ,台彳=『工’即幸M=f,再两边同减去1，得丁土=1，所以2('+2)=(q,了,O〃十Un0n+l+"n '十Dn4+1 十°nCln+\即2即2(1-〃+£)=4〃2,所以〃=〃?+〃，hgNf.c\+&+・・・c\+&+・・・+/+%i<2«+1k'伏+1)(2+2)2(Ji'—yjo+V2—JI+…+\[n—\!n—=2\/n.解法—.:由于c”=neN*.我们用数学归纳法证明：①当〃=1时，q=0<2,不等式成立；②假设(kgN')时不等式成立，即C[+。2+••,+/v2&.则当〃=攵+1时，<2\fk+/ =•=2>/k+2(4+1—\[ic)=2\Jk+1,即〃=z+i时，不等式也成立.根据①和②，不等式q+C2+…+c〃<2册对任意〃wN*成立.【题目栏目】数列\数列的综合应用'数列的综合问题【题目来源】2019年高考浙江•第20题21.(2019年高考天津理•第19题)设｛〃〃｝是等差数列，｛"｝是等比数列.已知4=4,瓦=6,b2=2a2—2,4=2a3+4.(1)求｛凡｝和｛"｝的通项公式；(I 24v刀v' , '其中keN”.bk,n=2k,⑴求数列｛4.(c2„-l)｝的通项公式;

2"GD求Zqqi=i【答案】本小题主要考查等差数列、等比数列的通项公式及其前〃项和公式等基础知识.考查化归与转化思想和数列求和的基本方法以及运算求解能力.满分14分.f=6+2d,(I)解：设等差数列｛4｝的公差为d,等比数列｛"｝的公比为4.依题意得《解得[6q~=12+4d,(d=3\ '故4=4+(“—l)x3=3"+l,b"=6x2"T=3x2".所以，(&｝的通项公式为[<7=2,an=3n+1,｛〃,｝的通项公式为么=3x2".(H)⑴解：a2„(c2„~l)=a2„(/>,,-l)=(3x2n+l)(3x2n-l)=9x4n-1.所以，数列｛4,(c2„-l)｝的通项公式为(c2--1)=9x4"-1.2nnTOC\o"1-5"\h\z2“ 2”2nn(ii)解：=£[4+4(qT]=£4+£4At)1=1 Z=1/ ,1 4(1-4")(3x22"T+5x2"-2)+9x/ ,1 4(1-4")(3x22"T+5x2"-2)+9x 一〃Z(9x41-1)i=l2"x4+— <x3+2=27x22n-,+5x2n-1-n-12(〃wN*).【题目栏目】数列'数列的综合应用'数列的综合问题【题目来源】2019年高考天津理•第19题(2019年高考上海•第21题)数列｛《,｝有100项，q=a,对任意〃e[2[00],存在an=a,.+</,ze[l,n-l],若4与前〃项中某一项相等，则称为具有性质P.(1)若4=1,求知可能的值；(2)若｛勺｝不为等差数列，求证：｛4｝中存在满足性质P；(3)若｛”“｝中恰有三项具有性质P,这三项和为C,使用a,d,c表示《+%+…+%)0.【答案】【答案】(1)3,5,7；(2);(3)97。+46564+c【解析】(1)由题意，。2=4+〃=3①若名、。4具有性质P，则。4=。3=%=3②若。3、a4具有性质P而。4不具有性质P,则生=。2=4+d=3,=。2+d=。3+d0+"，即&=5；③)若由不具有性质P，则必有%=a,+dHq+d,即%=5：此时若。4具有性质P，则。4=5：若4不具有性质P，则%=%+〃=7综上所述，%可能的值为3、5、7(2)假设｛《,｝中不存在满足性质尸的项，即对任意均有40力；下面数学归纳法证明，｛4｝是等差数列；①当〃=2时，%=%+"，成立；②设当e[2,99]且AeN*时，ak=aA_1+d；则当〃=Z+1时，因为4+]不具有性质P,故%+[Hq=a”]+d(i=1,2...,左)而又存在4+1=q+d(i=l,2,...,幻故，i=k,即a“]=4+d；综上所述，当｛《,｝中不存在满足性质尸的项时，｛《,｝时等差数列成立：故其逆否命题：当｛《,｝不是等差数列时，｛4｝中存在满足性质产的项成立.(3)由题意，不妨设这三项为册,。“4„，其中2W〃<q</nW10()；且%,+4+。加=C故数列血｝(〃=1,2，…,p—1)为等差数列；｛叫(“=p,〃+l-4-1)为等差数列；｛an｝(n=q,q+\,...m-1)为等差数列，｛an｝(n=m，…,100)为等差数列；若存在q=p+1或机=4+1或m=99的情况则去掉相应的｛4"｝("=p,〃+L...q-1)、｛a,,｝(n=q,q+\,..Jm-1)、｛a“100)每组等差数列的公差均为d：且=。〃+1=。人|+1、4+1=%+1=。2+1、«m+l=am+d=am_i+d故当数列去掉a”4,a,“这三项后，构成首项为a,公差为d,项数97项的等差数列：故这97项的和S.=97a+97x(97-1)J=91a+4656d：1 2故这100个数的和5=E+ap+av+am=97a+4656d+C【点评】本题主要考查数列.【题目栏目】数列'数列的综合应用'数列的综合问题【题目来源】2019年高考上海•第21题(2019年高考全国H理•第19题)已知数列｛4｝和也｝满足q=l,b｝=0,4an+l=3an-bn+4,4%=3年一。“一4.(1)证明：｛4,+"｝是等比数列，｛勺一〃｝是等差数列；(2)求｛a,,｝和｛2｝的通项公式.【答案】【答案】⑴见解析；⑵4=5+”；，【官方解析】⑴由题设得4（《”|+bn+l）=2（a“+b“）,即an+l+bn+]=g（4+"）.又因为q+4=l,所以｛勺+仇｝是首项为1，公比为g的等比数列.由题设得4（勺+|-%）=4（%-"）+8,即an+l-bn+l=an-bn+2.又因为所以｛4一勿｝是首项为1，公差为2的等差数列.（2）由（1）知，4,+4=击,%一2=2〃一1・所以=g［（4+4）+（4一％）］=£+〃-g，bn=；[（4,+2）一（。“一2）]=春一〃+；【分析】⑴可通过题意中的他m=32-4,+4以及屹向=3%一d一4对两式进行相加和相减即可推导出数列｛《,+bn｝是等比数列以及数列｛《,一2｝是等差数列；（2）可通过（1）中的结果推导出数列｛4+〃｝以及数列｛《,一2｝的通项公式，然后利用数列｛““+4｝以及数列｛an-bn｝的通项公式即可得出结果.【解析】⑴由题意可知4a,+]=3《，一切+4,4bn+l=3bn-an-4,4+4=1,-bt=l,所以4a,川+地+i=3an-bn+4+3bn-an-4=2an+2bn,即an+]+bn+]=；（a“+b“）,所以数列｛4+么｝是首项为1、公比为;的等比数列，《,+"=©）""，因为4a,川-4bn+,=3an-bn+4-（3bn-a„-4）=4a„-4bn+8,所以。“+「2川=凡-2+2,数列｛%-々｝是首项1、公差为2等差数列，an-bn=2n-1.（2）由（1）可知,勺+"=击,an-bn=2n-1,所以勺=；［（4+“）+（4_2）］=《+〃_：，b,,=^［（a„+bn）-（an-bn）］=--n+^-【点评】本题考查了数列的相关性质，主要考查了等差数列以及等比数列的相关证明，证明数列是等差数列或者等比数列一定要结合等差数列或者等比数列的定义，考查推理能力，考查化归与转化思想,是中档题.【题目栏目】数列'数列的综合应用'数列的综合问题【题目来源】2019年高考全国0理•第19题（2019年高考江苏•第20题）定义首项为1且公比为正数的等比数列为“M—数列”(1)已知等比数列｛a,』(〃eN")满足：々q=%,%-4%+4%=0,求证:数列｛《,｝为“M—数列”；1 ? 2(2)已知数列｛bj满足通=\,-= 其中S,,为数列也,｝的前"项和.S”bn%①求数列｛"｝的通项公式；②设“为正整数，若存在“M—数列”｛c„｝(neN,),对任意正整数3当时，都有成立，求m的最大值.【答案】【答案】见解析【解析】(1)设等比数列｛4｝的公比为g,所以q#0,qWO由小丁14。，得A丁4「，解得[,I[03-4a2+4^=0 [。闯-_4qq+44=0 [^=2因此数列｛%｝为“M—数列”.1 2 2⑵①因为丁=7一7—,所以"工。\bn* n122由4=1,S]=4得；=：_「则H=21111b2由35已得，e当应时，由〃-I,得"—一人整理得如+如=纥,.所以数列｛"｝是首项和公差均为1的等差数列.因此，数列｛〃｝的通项公式为2=〃(〃eN*).②由①知，bk=k,jteN,.因为数列£｝为"M-数列"，设公比为4,所以q=l,g>0.因为所以其中2=1,2,3,…,当％=1时，有后1;当左=2,3,…,初时，有生工.kk-\〜/、Inx 1-lnx设f(x)=—(x>l),则/(幻=―--.X X令/(x)=o,得x=e.列表如下:X(1,e)e(e,+8)f\x)+0-/（X）极大值h浒ln2In8In9In3 In3因为丁=二~〈二-=f，所以//）皿=/（3）==--2 O O 3 J取〃=盯，当A=123,4,5时，—^Inq,即kWq上,经检验知q1<％也成立.k因此所求m的最大值不小于5.若小26,分别取k=3,6,得且^《6,从而q”2243,且力<216,所以q不存在.因此所求加的最大值小于6.【题目栏目】数列'数列的综合应用'数列的综合问题【题目来源】2019年高考江苏•第20题（2019年高考北京理•第20题）已知数列｛《,｝,从中选取第4项、第项、…、第im项（，；<4<,<若%<4<・••<《“，则称新数列4,4,…,”为｛（｝的长度为m的递增子列.规定：数列｛4｝的任意一项都是｛4｝的长度为1的递增子列.（1）写出数列1,8,3,7,5,6,9的一个长度为4的递增子列；（H）已知数列｛4｝的长度为夕的递增子列的末项的最小值为，长度为g的递增子列的末项的最小值为。用.若夕<q,求证：a也<a%；（III）设无穷数列｛a〃｝的各项均为正整数，且任意两项均不相等.若｛a,,｝的长度为s的递增子列末项的最小值为2s-1,且长度为s末项为2s-l的递增子列恰有2$-1个（s=L2,…），求数列｛4｝的通项公式.【答案】【解析】（I）满足题意的一个长度为4的递增子列为：1,3,5.6.（口）对于每一个长度为4的递增子列4，%，一、%，都能从其中找到若干个长度为P的递增子列%，外，…，气，此时均<”，设所有长度为q的子列的末项分别为：｛%,%，4%，…｝，所有长度为P的子列的末项分别为：｛%v%>2，4v…卜贝4%=min｛%,%,',…｝,注意到长度为P的子列可能无法进一步找到长度为4的子列，故\<min{%,%12Mg，…},据此可得：<ano.(m)满足题意的一个数列的通项公式可以是q= ；二量二=2,1,4,3,6,5,8,7,…，下面说明此+为奇数数列满足题意.很明显数列为无穷数列，且各项均为正整数，任意两项均不相等.长度为s的递增子列末项的最小值为2s-1,下面用数学归纳法证明长度为s末项为2s—1的递增子列恰有az个(s=1,2,..)：当〃=1时命题显然成立，假设当〃=人时命题成立，即长度为女末项为2&-1的递增子列恰有2i个，则当〃=左+1时，对于〃=々时得到的每一个子列鬼，4，…，％1_1，2人一1,可构造：］,2左一1,2(2+1)—1和％ ।,2k,2优+1)—1两个满足题意的递增子列,则长度为k+1末项为24+1的递增子列恰有2x21=2*=2(*+下个，综上可得，数列% =2,1,4,3,6,5,8,7,…是一个满足题意的数列的通项公式.+为奇数注：当s=3时，所有满足题意的数列为：{2,3,5},{1,3,5},{2,4,5},{1,4,5},当s=4时，数列{2,3,5}对应的两个递增子列为：{2,3,5,7}和{2,3,6,7}.【题目栏目】数列'数列的综合应用'数列的综合问题【题目来源】2019年高考北京理•第20题(2018年高考数学江苏卷•第26题)(本小题满分10分)设〃wN*,对1,2,•••,n的一个排列科…匕，如果当5Vt时，有则称a工)是排列科…M的一个逆序，排列我…北的所有逆序的总个数称为其逆序数.例如：对1,2,3的一个排列231,只有两个逆序(2,1),(3,1),则排列231的逆序数为2.记力优)为1,2,"的所有排列中逆序数为k的全部排列的个数.(1)求力(2),工(2)的值;(2)求，(2)(〃之5)的表达式(用n表示).【答案】(1)25：(2)应5时，£(2)=〃一〃-2.解析：(1)记r("c)为排列abc的逆序数，对1,2.3的所有排列，有r(l23)=0,r(l32)=1,r(213)=1,r(231)=2,r(312)=2,«321)=3,所以力(0)=1,力(1)=力(2)=2.对1,2,3,4的排列，利用已有的1,2,3的排列，将数字4添加进去，4在新排列中的位置只能是最后三个位置.因此，以⑵=力(2)+&1)+力(0)=5.(2)对一般的"("24)的情形，逆序数为0的排列只有一个：12...",所以工(0)=1.逆序数为1的排列只能是将排列12...”中的任意相邻两个数字调换位置得到的排列，所以Z,(l)=n-1.为计算力“(2)，当1，2,"的排列及其逆序数确定后，将n+1添加进原排列，"+1在新排列中的位置只能是最后三个位置.因此，以⑵=//2)+£(1)+《(0)=//2)+”.当n>5时，Z,(2)=[4(2)-fn.,(2)]+[/,..(2)-Z,.2(2)]+.-+[^(2)-4(2)]+f4(2)n~—n—2=(〃-l)+(〃-2)+…+4+人(2)=- _n_2因此，n25时，<(2)=——-——.【题目栏目】数列'数列的综合应用'数列的综合问题【题目来源】2018年高考数学江苏卷•第26题(2018年高考数学江苏卷•第20题)(本小题满分16分)设｛q｝是首项为q,公差为d的等差数列，｛〃｝是首项为4,公比为q的等比数列.(1)设q=0,4=l,g=2,若|q-d|在«对〃=1,2,3,4均成立，求d的取值范围：(2)若4=〃 证明：存在”eR,使得|%-纥区々对〃=2,3,…,m+1均成立，并求d的取值范围(用配小国表示).【答案】解析：(1)由条件知：an=(n-\)d,bn=2n-1,因为区4对2,3,4均成立，即[5-1)d一2〃一||W1对 2,3,4均成立，7 5即1W1,lWdW3,3W2dW5,7W3d<9,得一3 275因此，d的取值范围为g,1].(2)由条件知:4=々+(〃一l)d, =Rqi.

若存在d,使得|可一一| (〃=2,3,…,m+1)成立,即14+(〃一1"一44""|Wb|(n=2,3,…,m+1),即当n=2,3,…，m+1时，d满足幺 -b^d^：——b1,因为"(1,啦],则1<尸近4y2,从而9 -b]^：0,——b]>0,对”=2,3,…，m+1均成立,n—\ 〃一1因此，取d=0时，-〃区自对。=2,3, m+1均成立.下面讨论数列的最大值和数列的最小值下面讨论数列的最大值和数列的最小值("=2,3,—,m+1),①当2Wn<m时，匕一口=时士时士=如"+2n(n-1)\_当l<q《2肃时，有/W/W2,从而〃(夕"-"1)-/+2>0,因此，当2W〃Wm+l时，数列'-2|单调递增,故数列[心21的最大值为限二.[n-1J m①设f(x)=2*(l-x),当x>0时，/,(x)=(ln2-l-xln2)2r<0,所以f(x)单调递减,从而y(x)</(o)=i.£।当2W〃W/n时，__g_=^-1)^2"(l--)=/(-)<l,qn-\因此，当2<〃<m因此，当2<〃<m+1时，数列单调递减,故数列的最小值为因此，d的取值范围为[幺匕9,蛆」，mm【题目栏目】数列'数列的综合应用'数列的综合问题【题目来源】2018年高考数学江苏卷•第20题28.(2018年高考数学浙江卷•第20题)已知等比数列｛《,｝的公比q>l,且4+4+%=28,%+2是生，。5的等差中项.数列｛4｝满足4=1,数列｛(4+1—%)。“｝的前项和为2川+〃.(1)求q的值；(2)求数列｛"｝的通项公式.n-2n-2【答案】⑴q>2：【答案】⑴q>2：(2)〃=15-(4〃+3>【解析】(1)由题知《,.•.8(4+，]=20,解得q=2或g=g,<7>1» .,.(7=2.(2)方法一：错位相减法设7=(%甸4，数列匕｝前〃项和为s“，由c=S,,n=1S设7=(%甸4，数列匕｝前〃项和为s“，由c=S,,n=1S-S0n-l，，解得%=4/?-1.n>2由⑴知4=2"T,所以%—4=能，故"一%4〃一52T•,也=(么-%)+(限1一〃一2)+…+(4心)+02-4)+-4〃一54〃一9 1 T2n'2 2n~3=3+工+一

24〃-94n-52”-3 2”-2(n>2),4〃一94〃一52"-2H 2W-44 1 -+•••+2222n~2"，"，=14-,(〃22),方法二：构造常数列4〃+3•••4=1,.-.h=l5--一! " 2"-2设5=9+「吟设5=9+「吟4,数列｛%｝前〃项和为S“，由c”=5.,n=1cc、o'解得C"=4〃-L5“一S“t，”224〃一1由⑴知凡=2"t,所以配「或=券而(4〃-1)In-l=(4〃+3)n-2I而(4〃-1)In-l=(4〃+3)n-2I一(4〃+7)n-l所以2用-4=(4〃+3)一(4〃+7)=>々+1+(4〃+7)="+(4〃+3),所以数列〈2+(4〃+3)，是一个常数列。即仅+(4〃+3)=4+14=15,所以々=15-4〃+32"~2说明:其中(4〃-1)所以々=15-4〃+32"~2说明:其中(4〃-1)=(4〃+3)一(4〃+7)是采用待定系数法求出的可设(4〃-1)=(%〃+〃)-[2(n-l)+/z]待定求出;1=-4,〃=一7【题目栏目】数列'数列的求和'错位相减法求和问题【题目来源】2018年高考数学浙江卷•第20题.（2018年高考数学上海•第21题）（本题满分[8分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分）给定无穷数列｛4｝,若无穷数列｛〃｝满足：对任意〃wN*，都有内一aJWl,则称也｝与｛叫"接近”.⑴设｛%｝是首项为1,公比为;的等比数列，4=an+i+1,〃gN*,判断数列｛4｝是否与｛4｝接近，并说明理由；⑵设数列｛4｝的前四项为：q=l,%=2,4=4，%=8，｛〃｝是一个与｛《,｝接近的数列，记集合M=｛x|x=〃.,i=l,2,3,4｝,求M中元素的个数加；【答案】（1）接近；（2）