人教A版高中数学必修第二册-期末复习专题训练-立体几何（翻折问题）-【含答案】

期末复习专题训练15—立体几何（翻折问题）一、单选题.如图所示，在四边形Z8CZ）中，AD!IBC,AD=AB,ABCD=45°,ABAD=90°,将沿8。折起，使得平面48OJ.平面8C。，构成四面体/-8C。，则在四面体中，下列说法正确的是（ ）A.平面480_L平面Z8C B.平面/C£）_L平面88C.平面N8C_L平面8C。 D.平面NC£）J_平面48C.如图是正方体的平面展开图.关于这个正方体，有以下判断：①ED与NF所成的角为60°②CN//平面4FB③BMIIDE④平面BDE//平面NCFc.c.(D®④ D.②®@.在RtAABC中，C=90。，CA=R,CB=BC£）是斜边的高线，现将沿CD折起，使平面ZCOJ•平面88,则折叠后的长度为（ ）A.2 B.V3 C.V5 D.3.已知A48c中，48=280=4,AC=20点A/在线段4C上除4,C的位置运动,现沿进行翻折，使得线段48上存在一点N,满足CNJ_平面4BM；若N8>/i恒成立,则实数2的最大值为（ ）A.1 B.V3 C.2 D.—2.如图梯形/8。中，ADHBC,ZASC=90°,AD:BC:AB=2:3:4,E,尸分别是AB,C。的中点，将四边形4OFE沿直线E厂进行翻折，给出四个结论：①。尸"L8C；②BDLFC；③平面DBF1平面BFC；④平面DCF1平面BFC.则在翻折过程中，可能成立的结论的个数为（ ）DA.1 B.2 C.3 D.4.已知平行四边形中，AB=2AD,Z.BAD=60°,E为的中点，将A4OE沿直线翻折成AP0E,若M为PC的中点，则A4OE在翻折过程中（点P任平面43C0,给出以下①的长是定值；②8A///平面PZJE；③存在某个位置，使PCLOE：④异面直线8"与OE所成的角的大小是定值.其中，正确的命题个数是（ ）A.1 B.2 C.3 D.4.如图，在正方形SGQ2G3中，E,尸分别是GO?,G2G§的中点，现在沿SE,SF,所把这个正方形折成一个四面体，使G、G?、3重合，重合后的点记为G.给出下列关系：①SG_L平面EFG；②SEJ.平面EFG：③GF_LSE；④MJ"平面SEG.其中成TOC\o"1-5"\h\z立的有（ ）A.①② B.①③ C.®® D.③④.如图，在直角梯形488中，BC1CD,AB=BC=2,CD=4,E为CD中点"M,N分别为/£）,8c的中点，将A4OE沿/£折起，使点。到R,M到在翻折过程中，有下列①IMW的最小值为1;②〃平面③存在某个位置，使A/乃LOE④无论M位于何位置，均有M、N工AE.其中正确命题的个数为（ ）A.1 B.2 C.3 D.42、多选题.矩形48a）中，AB=4,8c=3,将/MB。沿80折起，使4到4的位置，4在平面8C。的射影E恰落在C。上，贝I" ）A.三棱锥4-8C。的外接球直径为5B.平面48。，平面H8CC.平面48。J.平面48D.HO与5c所成角为60。10.如图所示，在矩形力88中，AB=2,BC=\,E为CD上一动点、,现将ABEC沿BE折起至ABEF,在平面式8/内作尸G_LZ8,G为垂足.设CE=s,BG=t,则下列说法正确的是（ ）3A.若平面 =-2B.若平面8EF,则s=，2C.若平面5EF_L平面48EO,且s=l,则”,2TOC\o"1-5"\h\z， 7D,若平面4FB_L平面/8比＞,1.5=-,则f=±2 311.如图，正方形480的边长为1,M、N分别为8C、C。的中点，将正方形沿对角线/C折起，使点。不在平面/8C内，则在翻折过程中，以下结论正确的是（ ）A.异面直线4c与MN所成的角为定值B.存在某个位置，使得直线与直线8c垂直C.三棱锥N-4cM与8-ZCO体积之比值为定值D.四面体18co的外接球体积为叵312.已知四边形Z8CO是等腰梯形（如图1）,48=3,DC=\,Z.BAD=45°,DE1AB.将MOE沿OE折起，使得4EJ.E8（如图2）,连结ZC,AB,设A/是48的中点.下列结论中正确的是（ ）D图1 图2A.BC1ADB.点E到平面ZMC的距离为逅3C.EM//平面ZCDD.四面体Z8CE的外接球表面积为5万3、填空题.把边长为4的正方形18co沿对角线8。折成空间四边形N8C。，使得平面48。_L平面C8O.则空间四边形/8CO的对角线4C的长为..如图，四边形48。是矩形，且有AB=6BC,沿AC将A/1OC翻折成△XOC,当二面角D'-AC-B的大小为工时，则异面直线D'C与AB所成角余弦值是 .3A 'B.已知矩形/8CO中，4B=3,8c=4,沿对角线ZC将三角形Z8C折起，使得点B在平面ACD上的射影在线段AD上，此时cosNBH。的值是..在梯形488中，ADUBC,ABVBC,AD=2AB=2BC=2,将&48C沿对角线/C翻折到A4A/C,连结MC.当三棱锥M-AC。的体积最大时，该三棱锥的外接球的表面积为..如图1,C,。是以48为直径的圆上两点，S.AB=2AD,AC=BC,将A48c所在的半圆沿直径48折起，使得点C在平面48。上的正投影E在线段80上，如图2.(1)求证：8C_L平面48：(2)已知O为Z8中点，在线段CE上是否存在点尸，使得OF//平面NCO?若存在，求出空的值；若不存在，请说明理由.FE图I.如图，在直角梯形中，PD//BC,Z.DCB=90°,PD=4CD=8,BA1PD,4为PD中点,现将平面图形沿48折成一个直二面角，得到四棱锥尸-力8c。，E,F分别为侧棱尸。、尸8的中点.(1)证明：平面4E尸_L平面尸CO：(2)求三棱锥尸-£48的体积.期末复习专题训练15—立体几何(翻折问题)答案.解：•.•在四边形/BCD中，ADHBC,AD=AB,NBC。=45。，ZBAD=90°,BDLCD,又平面48。，平面8。£),且平面480C平面8cz)=8。，故CZ)_L平面480,则81.48,又 ,AB1平面ADC,平面ABC1平面ADC.故选：D..解：把正方体的平面展开图还原成正方体488-EFMN,在①中，-.-NF//BD,:.NEDB是ED与NF所成角（或所成角的补角），\EDB是等边三角形，NEDB=60°,.•.EZ）与N尸所成的角为60。，故①正确；在②中，-.-CN//EB,CN亡平面AFB,E8u平面Z尸8,:.CN//平面AFB,故②正确；在③中，•；BM//AN,OE与4N相交，.•.8M与。E不平行，故③错误;在④中，•/NF//BD,CF/IDE,NF^CF=F,DE^DB^D,NF、FCu平面CNF,DE>D8u平面BOE,平面53E〃平面NC尸，故④正确.故选：C..解：在直角三角形48c中，C=90°,CA=n,C8=G，可得AB—<6+3=3,由射影定理可得Ze?= ,即6=34),可得40=2,BD=4B-4D=3-2=1,由于平面4C0J.平面8C£>,ADA.CD,AOu平面ZCC,平面4CZJC平面8CC=C£>,所以/£>_!_平面BCD,即有<£>_L8O,所以Z8=\lAD2+BD2=x/4+1=旧.故选：C..解：因为/8=28C=4,AC=26,且点M在线段48上除/、C的位置运动，要使AB上存在一点N,满足CN1平面ABM,使2恒成立，则当M恰好为C点时，为临界条件(M不可为C点，但可用来计算)，即CNJ.N8,且NB=2,因为力8=4,可得CM=4-22,CN2=(2>/3)2-(4-2)2,所以4-万=12-(4-4)2,解得力=1,所以2的最大值为1.故选：A.B.解：因为8C7/ZO,“。与。尸相交不垂直，所以8c与。尸不垂直，则①错误；设点D在平面BCF上的射影为点P,当BPLCF时就有BDLFC,而力。：8C:月8=2:3:4,可使条件满足，所以②正确；当点P落在8尸上时，DPu平面8D尸，从而平面8D尸，平面5CF,所以③正确;因为点。的投影不可能在尸C上，所以平面。CN_L平面5/C不成立，即④错误.故选：B.D.解：①设48=24O=2a,取CD的中点N,连接MV、BN,TOC\o"1-5"\h\z•：M>E分别为PC、48的中点，:.MNIIPD,BN/IDE,.S.AW=-PD=-JD=-,2 2 2BN—DE=AD=a，.・./MNB=Z.PDE=/ADE=60°,在A5MV中，由余弦定理知，2 qBM2=MN2+BN2-2MN-BN-cosZMNB=—+a2-2»-»a-cos600=-a2,4 2 4BM=—a,是定值，即①正确；2②由①可知，MN//PD,BN//DE,•;MNCbN=N,PD[\DE=D,且MV、BNu平面BMN,PD、DEu平面PDE,平面BMNII平面PDE,又8Mu平面8A/N,二8Af//平面P£)E,即②正确：③假设存在某个位置，使尸CJ.OE.连接CE,由①可知，DE=a,CE=^a,在\CDE中，CD=2a,：.CD2=DE2+CE2,BPDELCE,vPCQC£=C,PC、CEu平面PCE,，Z)EJ.平面尸CE,又尸Eu平面尸CE, _LPE,这与已知矛盾，即③错误；④由①可知，NM8N即为异面直线与。E所成的角，在ABMN中，MN=-a,BN=a,BM=—a,^MBN=30°,为定值，即④正确.2 2正确的命题为①②④,故选：c..证明：①正确.•.•在折前正方形SG|G2G3中，SG|_LG|E,SG3±G,F,折成四面体S-EFG后，SGLGE,SGJ.G尸，又•••GE0|G尸=G,SG±平面EFG.②错误.根据①知，SGJ.平面EFG.若SE_L平面EFG,则SG//SE,而由图知SE与SG明显相交.③正确.•••FG21EG2即FG±EG,又•••SGp]EG=G,GFJ.平面GSE,又SEu平面GSE,所以GF_LSE.④错误....EF不垂直于EG, EF不垂直于平面SEG.故成立的有①③.故选：B..解：在直角梯形48。中，BCLCD,AB=BC=2,CD=4,E为CD中点、,M,N分别为A。，8c的中点，将AJOE沿4E折起，使点。到R,M到必，在翻折过程中,当A与C重合时，|必N|的最小值为1：所以①正确：连接交ZE于尸连接陷尸，可以证明平面户平面CjE,所以A/"〃平面CRE,所以②正确；当。iE_L平面Z8CQ时，MtElDE,所以③正确；因为ZEJ.FN,AELM.F,所以直线/E1平面,所以无论位于何位置，均有M.N1AE.所以④正确；.解：对于N,取80中点E,连接4E,CE,TOC\o"1-5"\h\zJ42+.2 5则4E=BE=DE=CE=X =-.2 2二.三棱锥4-8C。的外接球直径为5,故/正确：对于8,vDA'1BA',BC1CD,4尸_1_平面8。。，BC1A'F,又彳尸「|。£>=尸，A'F.。£><=平面4。£）, 8C_L平面4c£）,A'Du平面A'CD,DA'1BC,8C「|BA'=B,DA'1平面A'BC,•.•O/fu平面48。，平面平面4BC,故8正确；对于C,BC±A'C,.•.48与彳C不垂直，平面480与平面48不垂直，故C错误；对于O,"DA//BC,.•.NJD/T是40与8c所成角（或所成角的补角）,"尸=》+令弋'*=/%+（平^=30'9+9-18cosZADA^^-^——=0,••.4。力'=90。，2x3x3二彳。与BC所成角为90。，故。错误.故选：AB.A.解：如图，对于/,若8F_L平面则有5FJ.4F,在RtAAFB中，43=2,BF=BC=l,则AF=y/AB?-BF?=6,所以FG=AFxBF=包,AB2在RtABGF中，BG=<BF?-FG'=—,即^=一，故4错误；2 2对于8,若4尸_L平面8M,则有Z尸_L8尸，AF1FE,在RtAAFB中，AF=y/3,在RtAAEF中，AF2+EF2=AE2,即(G>+s2=(2-s>+『，解得S=；,故8正确：对于C,若平面BEP_L平面/8EO,过点尸作，H_L8E,垂足为“，连接"G,因为平面BEFC平面4BED=BE,所以_L平面,所以FHJ.4B,又ABLFG,所以Z8_L平面户7/G,所以48_L〃G,因为s=l,所以在等腰RtAFEB中，BH=—,2所以在等腰RtABGH中，BG=t=-,故C正确：2对于。，若平面4尸8_L平面/48即，因为平面4尸8c平面=FGLAB,所以尸G_L平面ABED,所以尸G_L8E,过点F作FH上EB,垂足为〃，连接G4,因为尸G0|尸〃=尸，所以8E_L平面尸G”,又HGu平面FG”,所以8EJ.//G,所以在矩形488中，连接C4,则有C,H,G三点共线,贝ijNCGB+NGCB=90°,又NGCB+NEBC=90°,所以NCGB=ZEBC,又ZGBC=NBCE=90°,由RtACBGsRtAECB知，—,CBEC3 2因为C8=l,EC=s=—，所以8G=，=一，故。正确.2 3故选：BCD..解：对于“，取4c中点O,连接08,OD,则4C_LO8,且<C_LO£),.,.4(7_1平面08。，.・./。1_8。，异面直线彳C与8。所成的角为90。，又MV//8。，.•.异面直线4c与MY所成的角为定值，故4正确；对于8,若直线与直线8c垂直，•••直线与直线8c也垂直，则直线8c_L平面直线BC_L直线80,又BDA.AC,；.8。，平面Z8C,BDA.OB,而AO8O是以08和。。为腰长的等腰三角形，与题意不符，故8错误；对于C,M,N分别为正方形488的边8C、C。的中点，A4CO与A4CN面积比为2:1,B到面ACD的距离与M到面ACN的距离之比为2:1,三棱锥N-4CM与8-48体积之比值为定值!，故C正确；4对于。，外接球球心。在4C中点，由题意解得外接球半径/?=上，2四面体的外接球体积为/=d乃x(立丫=叵，故。正确.3 2 3故选：ACD.12.解：在图1中，过C作CrLEB,OE_LEB,.♦.四边形CDEF是矩形，CD=\,EF=\.•.•四边形N8C£)是等腰梯形，AB=?),:.AE=BF^l.NBAD=45°, DE=CF=l.连接CE,则CE=C8=0,EB=2,BC2+EC2=BE2,得NBCE=9Q°,则BC_LCE在图2中，AE1EB,AELED,EBQED=E,二ZE_L平面8CAE.•••8。（3平面88£',AAE±BC."AE^CE=E,BC1AEC.若BC_L/£>,又BCLAE,AE[\AD=A,8CJ■平面 ,过一点£与8C垂直的平面有两个，与过一点有且只有一个平面与已知直线垂直矛盾，故A错误；由4E=1,EC=42,得AC=G，又BC=C.,S.,„r=ixx5/3=—―,而S.RrF=ix2xl=l>iViov2 2 AOvC2设点E到平面AMC的距离为〃，由%-比H=%-■•，得:Xlxl=gx—x〃,即力=直，故6正确：3假设〃平面NC£）,EB//CD,C£>u平面/CO,EBct平面4CD,.•.E8//平面48,5L-：EB^EM=E,平面4E8//平面4C£）,而平面AE8,AeACD,与平面4E8//平面NC£>矛盾.二.假设不成立，故EM与平面/CO不平行，故C错误：连接MC,・：\AEB为Rt△,MCB为R1△,且M为48的中点，MA=MB=ME=MC,即M为四面体ABCE的外接球的球心，四面体Z8CE的外接球的半径为』=■!■庐/=好，2 2 2则四面体Z5CE的外接球表面积为4万x（半>=5]，故。正确.故选：BD.

•••把边长为4的正方形ABCD沿对角线8。折成空间四边形ABCD,使得平面ABD1平面CBD.:.AO1BD,CO1BD,;.N/OC是平面Z5O与平面C8O所成角的二面角,平面ABD1平面CBD,:.LAOC=90°,,:AO—CO=—BD=—J16+16=2V2,2 2••・空间四边形ABCD的对角线4c的长为：AC=小(2扬2+(2扬2=4.故4.14.解：如图所示，设/8=2,则=过。作OE1./C,交ZC于O,交48于E,则NOOE=60。,乙DOD=120°,“ADxDCV2x22V2 2<.*AD_LDC,/.DO= =~/ =—产-=—产>ACJ2+4V6,3・W・W=J(2 2-2x—=x—=xcos120°=2,V3V3・；DC=CD'=2,・.NO'CQ=60。，

vAB!1CD,.•.NDCC是异面直线O'C与所成角（或所成角的补角）,异面直线D'C与AB所成角余弦值是cos60°=故L2E15.解：设点8在平面/CO上的射影在线段/。上为，，则BH1平面ADC,AHA.DC,又。C_LN£),且/。口8〃=//,.•.OC1,平面48。，可得CZ)_L8。，在RtABDC中，由8C=4,CD=3,nJ^BD=yjBC2-CD2=742-32=V7；设O〃=x,则47=4-x,：.BD2-DH2=AB2-AH2,即7—x)=7—(4—,解得x=2,AT47可得cos/.BAD==—.AB3故2.3.解：由题意可知梯形Z8C。是直角梯形，将A48C沿对角线4C翻折到AJMC,连结MD.当三棱锥M-48的体积最大时，平面M4C_L平面48