2023年高考数学一轮复习重难点专题突破汇总

专题01玩转指对塞比较大小【方法技巧与总结】（1）利用函数与方程的思想，构造函数，结合导数研究其单调性或极值，从而确定a,b,C的大小.（2）指、对、‘幕大小比较的常用方法：①底数相同，指数不同时，如a*】和a*,利用指数函数y=a”的单调性；②指数相同，底数不同，如X：和书利用塞函数丫=f单调性比较大小；③底数相同，真数不同，如1。/与和/。/次利用指数函数hgaX单调性比较大小；④底数、指数、真数都不同，寻找中间变量0,1或者其它能判断大小关系的中间量，借助中间量进行大小关系的判定.（3）转化为两函数图象交点的横坐标（4）特殊值法（5）估算法（6）放缩法、基本不等式法、作差法、作商法、平方法【题型归纳目录】题型一：直接利用单调性题型二：引入媒介值题型三：含变量问题题型四：构造函数题型五：数形结合题型六：特殊值法、估算法题型七：放缩法题型八：不定方程【典例例题】题型一：直接利用单调性1例1.（2022•江西•二模（文））已知Q=/og62,b=sE/c=G）3则〃，爪。的大小关系是（）A.a>b>c B.c>b>a【答案】C【解析】【分析】利用对数函数、三角函数、索函数的单调性比较大小即可.【详解】a=logo2>log/-73=1,因为y=sinx在xG0,§是单调递增函数，所以0<匕=sin3<sin.=因为y=£在xeo,+8）是单调递增函数，所以1>c=gy>gy=1所以Q>c>b,故选：C.例2.（2022•陕西西安•一模（理））已知a=，W，七="（匈2）,c=lg（bi2）则a,b,c的大小关系是（）A.c>a>b B.c>b>aC.a>b>c D.b>c>a【答案】A【解析】【分析】根据对数的性质比较大小【详解】先比较a力,易知Lg2V,故1n（，g2）V尾,即b<Q又eV10,故x>l时OVxVl时/xv/gx故国3>m3，而bi2>,故/g（bi2）>匈］AEq,有c>q故选：A例3.（2022•河南•许昌高中高三开学考试（文））已知a=，og3%b=log^+l（3-2V2）,c=_2（094t则a,h,c的大小关系为（ ）A.a<b<cB.b<c<aC.c<a<h D.h<a<c【答案】D【解析】【分^1?】利用对数的运算可知b=-2,c=—,，再利用对数函数丫=1。93%的单调性可比较大小，进而得解.【详解】b=log五+1(3-2V2)=log疝+1(VI-1)2=2log^^(V2-1)=2log^+x=-2,,c=-2loa^=2l°92l=-->2又y=logs》为定义域上的增函数，二一2= <a=<‘。。3*=-|所以6<a<c.故选：D题型二：引入媒介值c=log45f则a、b、c的大例c=log45f则a、b、c的大A.a<b<c B.b<c<aC.b<a<c D.c<b<a【答案】D【解析】根据对数函数的性质可得Q>1力>1,C>1,然后利用对数的运算化为同底并结合对数函数的单调性，可比较出a,c的大小关系，a,b分别与中间值券匕较，得出a>|>b>l,b.c分别与中间值J比较，得出b>J>c,综合即可选出答案.4 4【详解】解：由题意，log23>log22=1,log34>log33=1,log45>log44=1,即a>1力>1,c>1,1 工 厂vc—log45=log225=-log25=log252=log2V5»而a=log23>log2y[s,所以而b=log34<log33>/3=又,・•；=log33a=log23>log,2V2=—=log3正,b=log34=a=log23>log,2V2=—而44>35,贝lJk)g3">k)g3正，即京I^1S»v=log444=log4^4^，c=log45=log4y[5^，而45>53则logq"Abg,VF，综上得：a>|>b>->c>l,所以c<6<q.

故选：D.例5.（2022•河南省杞县高中模拟预测（理））已知实数a,b,c满足a=6《，b=lo9i8+/o55649,7b+24b=25、则&b<c的大小关系是（ ）A.b>a>c B.c>b>aC.b>c>a D.c>a>b【答案】c【解析】【分析】分别求出a,b,c的大致范围，即可比较a,b,c的大小.【详解】由题意得，a=65>6°=11故2>a>l；b=log78+log5649=log756-1+2log567=/o^756+—-1,log?3o7 7因1。。756>log749=2,根据对勾函数得，。。756+嬴7藐>2+-=3,因此h>3-1=2；由勾股数可知72+24?=252,又因78+24b=25「且b>2,故力>。>2；因此b>c>a.故选：C.例6.（2022•广东茂名•模拟预测）已知a=sin2,b==2一：，贝Ub,c的大小关系是（）A.c<b<a B.a<b<cC.b<a<c D.b<c<a【答案】D【解析】【分析】判断sin2和si吟的大小，比较a与b与”与弱大小可判断«与b大小关系及b与c大小关系，判断a与立、c与立的大小可判断〃与c大小关系，从而可判断a、b、c大小关系.【详解】.r、.2nVI、3TOC\o"1-5"\h\za=sinz>sin—=—>一，3 2 44 3 3r 3=e3>24=>e*>2Ine4=->ln2，即b<—» a>b\•••倒福23）、，⑶3=匕.•.2+>二.••Ob64 \4/ 64•••倒福23）工=",>2-5，•••a>c；4 64 2故选：D.【点睛】本题关键是利用正弦函数的值域求出sin2的范围，以:和包两个值作为中间值，比较“、b、4 2C与中间值的大小即可判断0、6、C的大小.例7.（2022•全国•高三专题练习）已知a=3'W，b=log2425,c=log2526,则a,b,c的大小关系为A.a>b>c B.a>c>bC.c>b>a D.b>c>a【答案】D【解析】先由题，易知a=3屋<1，而b=Iog2425>1,c=log2526>1,再将b,c作商，利用对数的运算以及基本不等式，求得比值与1作比较即可得出答案.【详解】因为"T<。，故a=3尾<1b=log2425>1,c=log2526>1;==log2526log2S24< =；［，。&5（25+1）（25-1）/<1所以c<b,即b>c>a故选D【点睛】本题考查了对数的运算以及基本不等式的综合，解题的关键是在于运算的技巧以及性质，属于中档偏上题型.例8.（2022•北京通州,模拟预测）已知a=logs；,b—Inn,c=ba,则a,b,c的大小关系（）A.b>c>aB.b>a>cC.c>b>aD.c>a>b【答案】A【解析】【分析】根据指数函数、对数函数的性质判断即可：【详解】解：因为-l=log3；<log3g<log31=0，即一l<a<0.又Hitt>Ine=1,即b>l,

所以0vb。<阴=1,即0vcv1,综上可得b>c>a,故选：A题型三：含变量问题例9.(2022•全国•高三专题练习)已知。€(05)，a=黑芸察，b="震芦，c=乎冷平，则a,b,c的大小关系为()(sm6-iyA.b<c<a B.a<c<bC.a<b<c D.c<a<b【答案】A【解析】【分析】由已知构造函数/(为=号字，可得f(x)的图象关于宜线x=l对称.再求导，运用导函数的正负研究函数的单调性，最后由角的范围得出三角函数的范围可得选项.【详解】由题可设/(*)=号普，因为/'(2-x)=f(x),所以/lx)的图象关于直线x=1对称.因为/■'(X)=2叱*丁当，当Xe(1,2)时，0<(X-1)2<1,所以比(*一1)2<0,l-/n(x-I)2>0,(x-1)3>0,所以f(x)>0,所以f(x)在(1,2)上单调递增，由对称性可知/(x)在(0,1)上单调递减.因为。G(0,；),所以0<sine<^<^-<cosO<1，所以c=f(sinO)>/(cos。)=b\又2cos2。>|>1,0<sin9<^<1,由对称性可知/(2cos?6)=/(2—2cos2。)，且0<2-2cos20<\因为2-2cos2Q-sin0=2siri26-sin6=sin6(2sin8-l)v0,所以0<2-2cos20<sin0<-,2又f(x)在(0,1)上单调递减，所以c=/(sin6)<f(2-2cos2e)=/(2cos2e)=a,所以b<c<at故选：A.【点睛】关键点睛：本题考查比较大小，关键在于构造合适的函数，并运用导函数得出函数的单调性和对称性得以解决.例10.(2022•江西宜春•模拟预测(文))已知实数x,y,zER,且满足学=m=一&y>l," eey则X,y,z大小关系为()A.y>x>zx>z>yy>z>xA.y>x>zx>z>yy>z>xx>y>z【答案】A【解析】【分析】根据给定条件，可得x>l,z<0,构造函数，借助函数单调性比较大小即得.【详解】因牛=三=-9，y>1>则1nx>0,-z>0,即x>l,z<0,g**qj e，.令/'(x)=x— >1,则/''(x)=1—：>0,函数/'(x)在(1,+°。)上单调递增，有/'(x)>/(I)=1>0,即lnx<x,从而当x>l,y>l时，£=等<己，令= g'(t)=/<0,g(t)在(L+®)上单调递减，则由x>l,y>1,£<.得y>x>1,所以V>x>z.故选：A【点睛】思路点睛：涉及不同变量结构相似的式子相等，细心挖掘问题的内在联系，构造函数，分析并运用函数的单调性求解作答.例11.(2022・天津•高三专题练习)已知x6(eT,l),记a=\nx,b= =elnx>则a,b,c的大小关系是()A.a<c<b B.a<b<cC.c<b<a D.b<c<a【答案】A【解析】【分析】根据x 利用指数函数和对数函数的单调性求解.【详解】解：因为xS(eT,l),所以a=Inxe(―1,0),b=(g)G(l,2),c=elnxGQ,l),所以a<c<b,故选：A例12.(2022・安徽,合肥一中高三阶段练习(文))若2<m<e,则e/n,me,zwm的大小关系为()【答案】D【解析】【分析】利用基指函数的单调性可得小m，me>min,构造函数g(x)=x—ebi无(x>2),可得em>me9从而得到结果.【详解】当2VmVe时，em>mmfme>mm,下面比较非与小。的大小，即比较m与e/nm的大小，考察函数g(x)=x-elnx(x>2),=g'(x)=1-：=%,当2VxVe时，g'(x)<0,，g(x)在(2,e)上单调递减，因为2VmVe,・•・g(rn)>g(e)=0,即m—elnm>O=m>e27i7n,所以>me,综上：当2VmVe时，em>me>mm.故选：D例13.(2022♦江苏•扬州中学高三阶段练习)已知0<a</?<：,则下列大小关系中正确的是()(sina)c°sa>(sina)C0S^logsinaCosa>logsma8sB(cosa)sina>(cos夕尸中(COSQ尸叩<(Sina)c°s0【答案】C【解析】【分析】A.构造函数丫=(sina)x,利用其单调性比较大小；B.构造函数y=logsinax,利用其单调性比较大小；C.构造函数、=(cosa)x及函数y=片E夕，利用其单调性比较大小：D.将(cosa)sm。<(sincr)8s夕转化为tan。>logcosasina,判断tan/?,，。。的。sina的大小关系即可.【详解】：0<a<0<：则0<sina<cosa<1,且cosa>cos£,sina<siny?A.因为函数y=(sina尸在R上单调递减，故或正肝。，。<sizia，osp,a错误；B.因为函数y=ZogsEaX在(。，+8)上单调递减，^[.logsinacosa<logsinacosp,B错误；C.因为函数y=(cosa)x在r上单调递减，函数y=姆”在(0,+8)上单调递增，(cosa)sina>(cosa尸邛>(cos^尸叩,c正确；D.(cosa尸中<(sina)c°s0<=>sin^In(cosa)<cos/?Zn(sina)sinpIn(sina)<=> x>v-7 r<=>tan/i>logcosasinacosB In(cosa)r0<夕<%:.0<tan/?<1又logcosasina>logcosacosa=1,--tanp<logcmasina,D错误；故选：C.例14.(2022•全国•高三专题练习汨知a>b>0,ab=l^x=捺,y=log2(a+b),z=a+%则/ogx(3x),logy(3y),!ogz(3z)的大小关系为()A.logx(3x)>logy(3y)>logz(3z) B.logy(3y)>logx(3x)>logz(3z)C.logx(3x)>logz(3z)>logy(3y) D.logy(3y)>logz(3z)>logx(3x)【答案】D【解析】【分析】先化简logI(3x)=1^g,(3X'=l+J—,bg,.(3y)=1+——；logr(3z)=l+——,log,xlog,x- log,j log/再根据x,y,z的大小关系，利用对数函数的单调性即可得到其大小关系.【详解】因为bg*(3x)=限"X)=1+—1—Jog,,(3y)=1+—^―；log=(3z)=1+——,log,xlog3x log,y logjZ函数y= —在(o,i)和(i,+8)匕均单调递减，logsx又a>b>0,ab=l,所以a>l,0vbVL而无=卷,y=，og2(。+b),z=a+',所以0<xV>l,z>2,即y>x,z>x,可知log》(3x)最小.由于y=log2(a+b)=log2(a，)，z=2〃=log22"=log24,所以比较真数q+L与4a的大小关系.当q>1时，。+白<：4。，所以z>y>l,a a即1+7^—>1+J—.综上Jog,.(3y)>10gr(3z)>logv(3x).log3ylog,Z故选：D.(多选题)例15.(2022•山东威海•三模)若a>b>1,0<m<1,则( )A.am<bm B.ma<mbC.logma<log„,b D.logutn<logAm【答案】BC

【解析】【分析】根据基函数、指数函数、对数函数的单调性分别可判断A、B、C,结合C和对数换底公式即可判断D.【详解】对于A,靠函数产”(0<m<1)在(0,+8)单调递增，,根据a>b>1可知小>产，故A错误；对于B,.指数函数尸n*(0<m<1)在R上单调递减，...根据a>b>1可知m。<n?,故B正确；对于C,对数函数)=logm"(。<m<1)在(0,+8)上单调递减，，根据a>b>1可知log”,a<log”,b,故C正确；对于D,由C可知log„,a<log„,6<0,/. >- 即10glim>log；,m,故D错误.喻alogMb故选：BC.(多选题)例16.(2022•广东佛山•三模)已知0<b<a<l,则下列不等式成立的是( )A.log„bA.log„b<log,,aB.logab>lC.alnb<blnaD.alna>blnb【答案】BC【解析】【分析】作差法判断选项A；利用对数函数单调性判断选项B；利用累函数指数函数对数函数的单调性去判断选项C；举反例排除选项D.【详解】选项A选项A：\ogab-\ogha-^^--^^-1g«Igolg%lg2a_(lgb[ga)(lgb+[ga)Igalgb Igalgft由0<b<avl,可得/gbV/gaVO,则1gb，gQ>0,Igb-Iga<0,IgbIga<0则(，则(，gjga)(，gb+/ga)>0、Igalgb '^\logab>logbq.判断错误;选项B:由0<"l,可得y='og 为(0,+8)上减函数,乂Ovb<a,则log”log”a=1.判断正确;选项C：由可知y=a"为R上减函数，又bva,则卢>a。由a>0,可知y=x。为(0,+8)上增函数，又b<a,则/<a。，则次>/又y=Lnx为(0,+8)上增函数，则比沙>Inba,则abibVb/a.判断正确；选项D：令。=-,b=-7，则0vb<a<l,ealna=-In-=- bInb=gLn；=一马eee e'e'e"则abia—bbib=--+4=—r<0,BPaZna<b1nb.判断错误.eee故选：BC题型四：构造函数例17.(2022•辽宁实验中学模拟预测)若0=5讥1+1。711,b=2,c=Zn4+p则a,b,c的大小关系为()A.c<b<a B.c<a<b C.a<b<cD.b<c<a【答案】A【解析】【分析】构造函数/1(x)=2，nx+：-x,利用导数说明函数的单调性，即可判断b>c,再构造函数g{x}=sinx+tanx-2x,xG(0,^,利用导数说明函数的单调性，即可判断a>b,即可得解；【详解】解：令/'(x)= + 则/1(x)=:+J-1=：”+/，=二a1)、.0,则/<x)在定义域(0,+8)上单调递减，所以/(2)Vf(l)=0,即2/n2+g-2V。，所以"4+g<2,即b>c,令g(x)=sinx+tanx-2x,xG则g(%)=cosx+———2= 2严，XLJ- C0szX COSTX因为xE(0,5，所以cos%G(0,1),令九(x)=x3-2x2+1,xG(0,1),则九(x)=3x2-4%=x(3x-4)<0,即h(x)在(0/)上单调递减，所以九(外>九(1)=0,所以g'(%)>0,即g(x)在(0,小上单调递增，所以g(l)>g(0)=0,即sin1+tan1—2>0,即sin1+tan1>2,即a>b,综上可得Q>b>c；故选：A例18.(2022•全国•高三专题练习)已知q="，b=学，c=sin0.1,贝ija,b,c的大小关7T TT系正确的是()A.a>b>cB.c>a>b C.a>c>b D.b>a>c【答案】B【解析】【分析】作差法比较出a>b,构造函数，利川函数单调性比较出c>a,从而得出c>a>b.【详解】, 0.30.90.3tt-0.903x3-0.9八由z八、c钻aT76，、 ^na-b= p-=-/—> 2—=0，所以Q—b>0,tS.a>b,x/(x)=nsinx—3x,则f(x)=ncosx_3在x£(0,9上单调递减，又/'(0)=7T—3>0,/(?)=与一3V0，所以存在占6(0,与，使得/'(々)=0,且在x£(。的)时,/'(%)>0,在》E国()时，/'(均<0,即fM=itsinx-3%在x£(0~)上单调递增，在无6(如，)单调递减，且f照)=7T-3>0,所以~>,—>又因为/(0)=0,所以当xG(0的)时，/(%)=nsinx-3x>0,其中因为JV~f所以！W(。,工0)，所以/(D=冗sin0.1—0.3>0,故sizi0.1>—,即c>a>b.故选：B例19.(2022•河南洛阳•三模(理))已知a=81°,b=99,c=108,则a,b,c的大小关系为()A.b>c>aB.b>a>cC.a>c>bD.a>b>c【答案】D【解析】【分析】构造函数f(x)=(18-x)，nx,x>8,求其单调性，从而判断a,b,c的大小关系.【详解】构造/(x)=(18—x)，nx,x>8,/(X)=—Inx+y-1,/(x)=—Inx+y-1在8,+8)时为减函数，且/''(8)=—/n8+^—l=^-/n8<^-- 5Ine2=——2<0,4所以/‘(X)=一inx+弓一1<0在8,+8)恒成立，故/(x)=(18—x)bl尤在8,+8)上单调递减，所以f(8)>f(9)>/(10),即10ln8>9ln9>8lnl0,所以810> >1()8,即a>b>c.故选：D【点睛】对于指数式，对数式比较大小问题，通常方法是结合函数单调性及中间值比较大小，稍复杂的可能需要构造函数进行比较大小，要结合题目特征，构造合适的函数，通过导函数研究其单调性，比较出大小.例20.(2022•河南•模拟预测(理))若。=6°，2,b=V12.c=ln3.2,则a,b,c的大小关系为()B.a>c>bA.B.a>c>bC.b>a>c D.c>b>a【答案】B【解析】【分析】构造函数/'(x)=e*-x-l(x>0),利用导数可得a=e°，2>1.2>b,进而可得e12>3.2,可得a>c,再利用函数g(x)=lnx-号芦，可得比3.2>1.1,即得.【详解】令fM=ex—x—l(x>0),则/(x)=ex—1>0»，/'(%)在(0,+8)上单调递增，・,.q=e02>0.2+1=1.2>V12=b，a=e0,2>1.2=Ine12,c=In3.2,V(e12)5=e6>(2.7)6x387.4,(3.2)5工335.5,Ae1,2>3.2»故q>c,设g(x)=，nx-号芦则g'(x)W-誓法=磊？0,所以函数在(0,+8)上单调递增，由9(1)=0，所以x>l时,g(x)>0,即，nx>2n•,Jn3.2=Zn2+/nl.6>^^+^^=1->1-=1.1,2+1 1.6+1 39 50又1<1,2<1.21,1<b=V13<1.1.：.c>1.1>b,故a>c>b.故选：B.【点睛】本题解题关键是构造了两个不等式e'>x+l(x>0)与Inx>月>1)进行放缩，需要x+1学生对一些重要不等式的积累.22例21.(2022•新疆■模拟预测(理))实数％,y,z分别满足log21X=—,21y=22,20z=21,20则x,y,z的大小关系为()A.x>y>zB.x>z>yC.z>x>y D.y>x>z【答案】B【解析】【分析】由题意得x=(幺)五，y=log2i22,z=log2()21,然后y与z作差结合基本不等式比较大小，构造函数/(x)=等,可判断其在(e,+8)上单调递减，则/(21)</(20),化简可得21<20短则/>1og2o21=z,则可比较出z与y的大小即可【详解】22由题意得工=(养产y=log2i22,z=log2()21,贝ijz-y=log2o21—，。。2122=辔一臀=J"NU "八lg2Qlg21lg2Qlg212 2因为1g20"g22<t(，g20+，g22)]=g/g440),所以，g22Ig20Ig22 〃21一激440)_214g440)(/g21Tg440) ,-lg2Qlg21 -lg20lg21- lg2Qlg21所以Z>y,设f(x)=F，则/(x)=T°，当xw(e,+8)时，y'(x)<0»所以/(x)在(e,+8)上单调递减，所以/*(21)Vf(20),即等■<嘤，所以20打21<21，n20,所以E2I?。v/2。21,所以2"。<2()2]，所以21V20急所以分>1。92021=z,22因为x=(£l)正>4,所以％>z,\20/ 20所以x>z>y,故选：B例22.(2022•四川雅安•二模)设。=上，b=2ln(sin-^-+cos-^\,c=则q,b,□(J \1UU 100/ 5 5。c的大小关系正确的是()A.a<b<c B.a<c<bC.b<c<a D.b<a<c【答案】D【解析】【分析】由于a=/募=lne002'b=ln(sin^+cos^)2，c="假所以只要比较x=e002,y=(sin_l_+cos.l_)2=i+sin±=i+sin0,02,Z=鲁'的大小即可，然后分别构造函数/(x)=ex—(1+sinx)(x>0),g(x)=(1+x)1-2-ex,判断出其单调性，利用其单调性比较大小即可【详解】因为a=加募=m6。。2,b=，"sin击+cos击)2,c=所以只要比较％=e002,y=1出击+cos击)=1+sin盛=1+sinO.02,z=偌)'=(1+0.02)「2的大小即可，令f(x)=e*-(1+sinx)(x>0),则/'(x)=ex-cosx>0,所以f(x)在(0,+8)上递增,所以/(x)>/(0),所以力>l+sinx,所以e°，°2>1+sin0.02.即x>y>l,令g(x)=(1+x)1,2—ex,则g'(x)=1.2(1+x)0,2—ex>g\x)=0.24(1+x)-08—ex因为g"(x)在(0.+8)上为减函数，Hg"(0)=0,24-l<0.所以当x>0时，g"(x)<0,所以g'(x)在(0.+8)上为减函数，因为g'(0)=1.2-1>0,5(0.2)=1.2x1.202-e02=1.21-2-e02,要比较1.212与e°z的大小，只要比较lnl.212=1.2Zn1.2与Ine02=0.2的大小，令/i(x)=(1+x)ln(1+x)—x(x>0),Rll/i(x)=/n(l+x)+l—l=Zn(l+x)>0.所以网x)在上递增,所以h(x)>/i(0)=0,所以当xC(0,+8)时,(1+x)Zn(1+x)>x,所以1.2比1.2>0.2,所以IN"?>e02,所以g'(0.2)=1.2x1,2°2-e02=1.212-e02>0.所以当xe(0,0.2)时，g'(x)>0,所以g(x)在(0,0.2)上递增，所以g(x)>g(0)=0,所以(1+x)12>e”,所以(1+0.02)12>e002,所以z>x,所以z>x>y,所以c>a>b,故选：D【点睛】关键点点睛：此题考查导数的应用，考查利用导数比较大小，解题的关键是对已知的数变形,然后合理构造函数，通过导数判断函数的单调性，利用函数单调性比较大小，考查数转化思想和计算能力，属于难题例23.(2022•浙江•高三专题练习)a=军匕臀力=-,c= 则a,b,c的大小顺序为( )e4 e3A.a<c<b B.c<a<bC.a<b<c D.b<a<c【答案】A【解析】【分析】构造函数f(x)=¥，应用导数研究其单调性，进而比较a=/([),b=f(e),c=/(3)的大小，若t=W有两个解X1，X2,则1<再<e<X2,te(0,/),构造g(x)=Inx-Z^]1)(x>1),利用导数确定g(x)>0,进而得到即可判断a、c的大小，即可知正确选X2~XiX2+X1项.【详解】令/(x)=W，则a=f(9)=筝，b=f(e)=jc=f(3)=群T而f(%)=:'尸且无>0,即。<%<。时f(%)单调增，%>e时/(%)单调减，又lvjvev3,:・b>c,b>a.若£=?有两个解工1司，则1<王<6<%2，£W(0,[)，丘上”咨，X2-Xi 1 / t令g(x)=bix一2=">1)，则，(无)=矗号>0，即g(x)在(L+8)上递增，Ag(x)>g(l)=0,即在(1,+8)上，仇％〉华12,若x=于即。3>__,故t>产一,x+l 孙 X2一41 42+41 lnx\X2有必无2>/...当孙=3时，e>Xi>J，故f(J)</(xD=/(3)，综上：b>c>a.故选：A【点睛】关键点点睛：利用函数与方程的思想，构造函数，结合导数研究其单调性或极值，从而确定a,b,c的大小.题型五：数形结合(交点问题)(多选题)例24.(2022•河北邯郸•一模)下列大小关系正确的是( )A.1.92<2r9 B.22-9<2.9271n2C.21n2_1<2^-1 D.log74<log/【答案】ABD【解析】【分析】A、B选项画出y=2*和y=/的图象，数形结合进行比较，C选项构造函数/'(x)=言了借助单调性进行判断，D选项作减法，借助对数运算及基本不等式进行比较.【详解】

作出y=2,和y=/的图象，如图所示，由图象可得，当（0,2）时，2X>%2,当％W（2,4）时，x2>2x91.92<21-9,229<2.92,故A,B正确.令/（x）=/7,则"幻=1+六，f（x）在（。,+8）上单调递减，所以高>弃，故CL-1 4一1 £.-1,2丫/—1错误.log74-logl2log74-logl27=log74--log712log?《log712-1

log712log74+log712^2_]（啕48j_]log712 log712<0所以log'dvlogj,故D正确.故选：ABD.例25.（2022•广东茂名一模）已知x,y,z均为大于0的实数，且2乂=3丫=logsz,则x,y,z大小关系正确的是（）B.x>z>yD.z>y>xA.B.x>z>yD.z>y>xC.z>x>y【答案】c【解析】【分析】根据题意，将问题转化为函数y=2x,y=3\y=/095x与直线y=t>1的交点的横坐标的关系，再作出图像，数形结合求解即可.【详解】

解：因为x,y,z均为大于0的实数,所以2,=3y=logsz=t>1,进而将问题转化为函数y=2x,y=3\y=logs*与直线y=t>l的交点的横坐标的关系,故作出函数图像，如图,由图可知z>x>y/7(X)=d+x_]由图可知z>x>y/7(X)=d+x_]的零点分别为％b,C,则Q,b,C的大小为(g(x)=log2x+x-l,A.c>b>aA.c>b>aB.b>c>aC.c>a>bD.a>c>b【答案】B【解析】【分析】函数f(x)，g(x)的零点直接求解即可，函数〃(x)的零点利用零点存在性定理求解即可，从而可得答案【详解】解：令/(x)=0,Wlj2x+x-1=0.得x=0,即a=0,令g(x)=则1。。2X+X-1=。，得x=l，即b=l,因为函数万(x)=、3+x-l在r上为增函数，且/i(0)=-1<0,h(l)=1>0,所以a(x)在区间(0,1)存在唯一零点C,且c€(0,i),综上，b>c>a,故选：B例27.(2022•全国冻北师大附中模拟预测(理))已知a为函数f(x)=log?”：的零点，b=y[e,c=诉,则a、b、c的大小关系正确的是( )A.a>b>cA.a>b>cB.b>a>cC.c>a>bD.b>c>a【答案】B【解析】【分析】对b、c,同时进行6次方运算，利用y=x6的单调性比较大小；先利用零点存在定理判断出：1<a<1L 5对a、c,同时进行3次方运算，利用丫=炉的单调性比较大小；对a、b,同时进行平方运算，利用y=》2的单调性比较大小.【详解】因为b=y/e,c=诉,所以肝=(正)6=e3>(1)3=15|-c6=(V^)6=n2<(3.2)2=10.24,所以心>c6.因为y=K在(o,+8)上单增，所以b>c.因为a为函数/(x)=log2*-：的零点，所以/(a)=log2a-j=0因为y=，。92%为增函数，y=-1为增函数，所以/(x)=log?》一二为增函数，所以f(x)=X xlog2x-;有且仅有一个零点a.又/G)=log2®-|=log2®*，因为>⑹j=偿)％=我所以*2：，所以fG)=1°取®-T=1°92f(^)=log2(1)-t=/o52(1)-1>0;由零点存在定理，可得：1<a<Jl092(l092(I)-1，因为e=5435,25=325*所以5>26,所以所以传)3<必<G)3'〃=(诉尸=n'所以>(J=曰=3,375>n_c3因为y=炉在(o,+8)上单调递增，所以a>c.因为?<a<3所以a?<(§2=2,56，而/>2=e笈2.71828,所以/>a2.因为y=*2在(o,+8)上单调递增，所以b>a.所以b>a>c.故选：B例28.(2022•全国•高三专题练习)已知。+2。=2力+3/)=2,则8电。与£1坨匕的大小关系是()A.blga<algh B.blga=algfeC.blga>algh D.不确定【答案】C【解析】【分析】令/(x)=x+2*,g(x)=x+3L结合题意可知0<b<a<l,进而有(？>心>/，再利用对数函数的单调性和运算性质即可求解【详解】令/(x)=x+2x,g(x)=x+33则当x>0时，g(x)>/(x).当x<0时，g(x)</(x)：由a+2a=2力+3b=2,得/(a)=2,g(b)=2考虑到f(a)=g(b)=2得0<b<a<l,:.ah>bh>ba由>b。，得Ig(a。)>Ig(b。),即blga>algb故选：C题型六：特殊值法、估算法例29.(2022・全国•高三专题练习)已知 ，则a,b,c,d的大小关系为()A.b>a>d>cB.b>c>a>dC.b>a>c>dD.a>b>d>c【答案】C【解析】【分析】对给定的幕或对数变形，借助幕函数和对数函数单调性并结合“媒介”数即可判断作答.【详解】依题意，a=29=(2①：，函数y=«在［0,+8)上单调递增，而3<2近<3,于是得|<11 3(272)2<32>即b>a>2，函数y=，。94》在(0,+8)单调递增，并且有，0%3>0,log45>0.则2=log，16>2。弘15=log43+log，5=于是得「。。43x/0。45V1,即1。。45<77'='。以牝则c>d,又函数y=/物》在(0,+8)单调递增，且4<3百，则有，。934<，。明3b=g，■3所以b>a>->c>d.故选：C

例30.（2022・全国•高三专题练习）已知q=遮，b=2：，c=log?e,则q,b,c的大小关系为（）A.a>b>c B.a>c>bC.b>a>c D.b>c>a【答案】B【解析】【分析】结合己知条件，比较/和/的大小，进而可得到Q和b的大小，然后利用介值比较Q与。的大小，利用介值？和对数函数性质可得b和c的大小，进而得出答案.【详解】由。4=9,〃=2,可知a>b>l,又由e2<8,从而e<2v7=21可得c=log2e<l<a>因为"—（，）4=2—^<0,所以l<b<，；因为人一26>2.75-64>0,从而e5>26,即e>2*由对数函数单调性可知，C=/O52e>log22s=1,综上所述，a>c>b.故选：B.例31.（2022•全国•高三专题练习（理））三个数a=W，b=竽，c=合的大小顺序为（）e44 3A.b<c<a B.b<a<cC.c<a<hD.C.c<a<h【答案】D【解析】【分析】结合对数恒等式进行变换，利用对数函数的单调性即可证明a<g<b<c,由此得出三者的大小关系.【详解】a= =L由于⑹a= =L由于⑹Ie?,（40=4=23=8,所以1<4，所以g=</4*=竽，即QVgVb,而（4，）=2?=8,（3§）=3?=9,所以 ，所以In4彳V；/兀3=ln35，即bVc,所以QVbVc.故选：D例32.（2022•黑龙江•双鸭山一中高三期末（理））若q=log43,b=log54,c=2-003,则a,b,c的大小关系为( )A.c<b<a B.a<c<b C.b<a<c D.a<b<c【答案】D【解析】【分析】利用基本不等式和对数的运算法则得到a<b,再利用指数函数单调性结合放缩法得到b<c即可求解.【详解】v ,a=log*3>0,h=log,4>0,a<h,9V410=1048576<59=9765625,. ..ft=log,4<—=0.9,c=2-003>2-b= >-2—=-L->—j.=.>0,9,...b<c,(V2)? (1.44)4 (1.2)2 (1.21)2 11»a<b<C,故选：D.例33.(2022•全国,高三专题练习)若a=1og2V3,b=2l°94^c=2~^则。，b,c的大小关系为().A.a>b>c B.b>a>cC.c>a>b D.b>c>a【答案】B【解析】【分析】利用对数运算的性质将b=2i094化简为手，从而和。比较大小，同理比较a,c的大小关系,再根据两个指数累的大小结合对数的运算性质可比较a力大小，即可得答案.【详解】由题意：b=2"潟=2丽曰=旦c=2-l=—.故b>c.2 2又2a<2：=2/<3，即2代<3，所以函？77<，。。43，即当C/。取?，因为q=log2V=/0。43，所以cVa.因为28=256>243=35,故，og23<g〈百，即2百>3，所以1。。426>，。处3，所以?>/og43，所以b>Q,所以b>a>c,故选：B.题型七：放缩法例34.(2022•江西•模拟预测(理))设。="中"，b=~,c=苧，则a,b,c的大小顺e 4序为()A.a<c<b B.c<a<bC.a<b<c D.b<a<c【答案】A【解析】【分析】根据a、b、c的结构，构造函数/'(x)：—,利用导数判断单调性，即可比较出“、b、c的大小，得到正确答案.【详解】因为a= "2=与，8=：=手，©=等构造函数/(外=?，则/''(>:)=i^,a=O,b=f(e),c=/(4),/(x)在(0,e)上递增，在®+8)上递减.则有b=/(e)最大，即QVb,c<b.若t=等有两个解，则1vvevX2，tw(oj),所以2nxi=txlflnx2=「血，所以足不一出马=为一比2,6(i+勿%2=M+坟2,即t= (X1M)=t(Xl+X2\,*21*,1令9(幻=仇》一§^0>1),则。。)=表*>0,故g(x)在(1,+8)上单增，所以g(x)>g⑴=0,即在(1,+8)上，,nx>号詈.2pM若“于，则有In强>上_即加以>等.X1 vX 42一41x2+xl司 9+1王Of故t>7■卢〕，所以x/2>e2.Zn(xiX2) 1，当x2=4时，有:<无i<e,故/(1)</01)=/(4)所以a<c.综上所述：QVCVb.故选：A例35.（2022・全国•高三专题练习）已知加=1084视，"=10840€,p—e~^<则加，"，p的大小关系是（其中e为自然对数的底数）（ ）A.p<n<m B.m<n<p C.n<m<p D.n<p<m【答案】C【解析】【分析】根据已知条件，应用对数函数的单调性、对数的换底公式，可比较"7,〃，（的大小关系，再由指数的性质有2=金-< 即知加，〃，p的大小关系.【详解】由题意得，m=log4K7t= =7~7——1—/ —Q1947r Ig4+lgn lg4+lgnn=logIge_Ige=]_lg4lg4elg4+lgeIg4+lge'n=log*.*lg4>lg7t>lge>0»则Ig4+lg4>lg4+lg7t>lg4+lge,二1_%4 >I-4 >]Ig4+lg4 tg4+lgjr lg4+lge・ 1H -1 1 1..77<W<—,而p=?3=—>-:.nVfn<p.故选：c.例36.（2022•全国•高三专题练习）已知a=0.75,b=2logs2,c=^log23,则a、b、c的大小关系是（）A.a<c<bB.a<b<c C.b<a<c D.c<b<a【答案】A【解析】【分析】根据对数的运算法则及性质比较b,c与a的大小，利用作商法比较b,c的大小.【详解】由a=0.75=4'因为（5为4=125<44=256-故3<4*所以q=log、5d<log54=b，3 3因为（234=8V（V5）4=9>故2Z<V3'所以q=log22*<log2V3=c因为165>58,故16>51因为35<28,故3<2*8所以士_2/阴2_410g52_logs16>logs1c夕。。23 1呐3log23 322g ，所以b>Ct故QVCVb,故选：A【点睛】关键点点睛：根据对数的运算性质将Q写成对数/。955、，。9221利用函数的单调性比较真数大小即可，利用作商及放缩的方法可得b,c的大小，属于较难题目.例37.(2022,全国,高三专题练习)已知q=」-力=e一而,c=打叫"，则〃，b,c的大小关101 100系为()A.a<b<cB.a<c<bC.c<a<b D.b<a<c【答案】B【解析】首先设/(x)=ex-x-1,利用导数得到e">x4-l(xH0),从而得到b=e一盖>—芸+1=击>击=。，设g(x)=bix—x+1,利用导数得到，n%Vx-l(xH1),从而得到b>c和c>a,即可得到答案.【详解】设/(x)=k一%—1,/(x)=ex-l,令f'(无)=0,解得％=0.xG(-oo,0),/(x)<0,/(x)为减函数，x€(0,+oo),f\x)>0,f(x)为增函数.所以/(x)>/(0)=0,即e"-x-1>0,当且仅当x=0时取等号.所以e*>x4-l(x*0).故b=8一而> —+1=」->=Q,即b>Q.100 100 101设9(x)="不一x+1，g(x)=：-l=/，令g(x)=0，解得x=l.xe(0,1),g[x}>0,g(x)为增函数，xE(1,+oo),g(x)<0,g(%)为减函数.所以g(%)wg(i)=。，即m工—％+1工0，当且仅当工=1时取等号.所以仇无<X—1(%H1).所以C粉〈卷-1=壶,又因为b>看所以b>c又因为一，nx>-x+1aH1),所以c=E器=-ln有>一券+1=击=a,HPc>a,综上b>c>a.故选：B【点睛】关键点点睛：本题主要考查利用导数研究函数的单调性来解决比较大小问题，解决本题的关键为构造函数f(x)=e*—x—1和g(x)=lnx-x4-1,属于难题.例38.(2022•全国•高三专题练习)已知a= =：sin：,c=：cosj,则a,b,c的大小关5 3 4 3 4系为()A.a<b<cB.b<c<aC.a<c<bD.b<a<c【答案】A【解析】根据sin,<sin：=cos：<cos(比较b,c的大小关系,构造函数f(x)=?•sinx»xe比较a,6的大小关系，即可得解.【详解】TOC\o"1-5"\h\z-=sin-<sin-<sin-=cos-<cos-,所以b<c,2 6 4 4 4 4构造函数/(%)=号sinxtxe、 1 . ,1-x -sinx+(x—x2)cosxf(xj=—,•sinxH cosx= — »x4 x xrsinx>sin->所以一sinxV-L4 2 2XEf-,lY必有0<刀一刀24当COSX<1,所以(x-x2)cosx<3\4/ 16 16所以一sinx+(x—x2)cosx<0,日、 1 . .l-x -sinx+(x-x2)cosx,介即/W——7'sinxH cosx= 5 <0x L所以/(X)=?-sinx,xW单调递减，所以雇)</(94呜<封姆HPsin^<:sin；,5 3 4所以a<b<c故选：A【点睛】此题考查比较三角函数值的大小，常利用中间值比较，或构造函数利用函数单调性比较大小.例39.(2022・河南开封•三模(理))已知a,6均为正实数，且e。=b,ab=e(e为自然对数的底数)，则下列大小关系不成立的是()A.a<e<bB.a>1 C.b<ee D.ebInb<ee【答案】D【解析】【分析】对所给条件反复代换，利用正数的指数大于0等条件，将所得的结论继续应用到等式中去，可判断选项中的结论正误.【详解】由题可知：a=Inb,blna=.\blna=eaIna=1>0,Aa>1,B选项正确；eaIna=1,ea>1,AZna<1,/.a<e,.*.a=Inb<e,/.b<ee,C选项正确；Va>1>a=/nb>1»：.b>e,A选项正确；a/nbVe，=。+(仇b)Ve<=>b+3Ve,而b>e,矛盾，D选项错误.故选：D.例40.(2022•四川•乐山市教育科学研究所二模(文))设a=4，8=)(1+s讥0.02),c=21n|i,则a,6,c的大小关系正确的是()A.a<b<cB.a<c<bC.b<c<aD.b<a<c【答案】D【解析】【分析】分别构造函数/(%)=sin冗一羽冗W(0,3，g(x)=Znx-x4-G(0,1),h(x)=ex-(1+%)2,利用其单调性判断.【详解】解：设/(%)=sinx-x,xG(°,，)，则/(x)=cosx-1<0*所以f(x)在xE(0,3上递减，所以/(x)</(0)=0,BPsinx<x,设g(x)=/工一%+1,无w(0,1)，则g(x)=：-i>o，g(x)递增，则g(x)v。(1)=0，BP/nx<x—1,所以b=In(1+sin0.02)<sin0.02<0.02=a,令九(x)=e"—(1+x)2f则h(x)=ex-2(1+x),h(x)= —2»当为</n2时，hM(x)<0,则/i'(x)递减，又九々n2)=-2仇2V0,/i'(0)=—1VO,所以当xW(0/n2)时,/i(x)<0,h(x)递减，则九(x)<h(0)=0,即e”<(14-x)2,因为0.02W(0,n2),则九(0.02)<0,所以0。。2<iQ22=g2/nso»即a=《Vc=2InJ故b<a<cf故选：D例41.(2022•全国•高三专题练习(理))设实数a,b满足5。+1心=e。，7a+9*=156.则a,b的大小关系为()A.a<b B.a=b C.a>b D.无法比较【答案】A【解析】【分析】从选项A或C出发，分析其对立面，推理导出矛盾结果或成立的结果即可得解.【详解】假设aNb,则laNl#,7a>7b,由5a+llfe=18。得5a+lla>18a=>(2)a+(^)a>1,18 18因函数f(x)=(2尸+塌尸在尺上单调递减，又f⑴=1+葛=稔<1，则f(a)>1>/⑴，所以a<1；由7a+9b=15a得7b+9*<15b=(±)6+(^)*<1,四函数g(x)=定尸+(2尸在R上单调递减，又g⑴=(+2=蔡>1，则g(b)Wl<g(l),所以b>1；即有a<l<b与假设a>b矛盾，所以a<b,故选：A题型八：不定方程例42.(2022•宁夏・银川一中一模(文))已知实数a,b,c,满足「b=e0=c,则a,b,c的大小关系为()A.a>b>c B.c>b>aC.b>c>a D.a>c>b【答案】C【解析】【分析】构造函数〃x)=e*-x,利用导数求出函数的单调区间及最值，再根据已知条件即可得出答案.【详解】解：/(x)=er-x,则/(x)=e“—1,当x<0时，/(x)<0»当%>0时，f(x)>0»所以/(%)在(-8,0)上单调递减，在(0,+8)上单调递增，所以/(x)min,故e”>x,所以c=ea>a,又Inb=c,所以b=ec>c,所以b>c>a.故选：C.例43.（2022・全国•高三专题练习（文））已知log2X=log3y=log5Z>l,则2,'的大小xyz排序为（）TOC\o"1-5"\h\z2 3 5 3 2 5 5 2 3 5 3 2A. B. C. D.x y z y x z z x y z y x【答案】D【解析】【分析】方法-：首先设log2x=log3y=1嗝2=4>1,利用指对互化，太小2,三，2,再利用对数函xyz数的图象判断大小；方法二：由条件可知l-log2X=l-log3y=l-bgsZ<0,再利用对称运算，以及对数函数的图象和性质，比较大小.【详解】方法一：设log2X=log3y=log5Z=A：>l.TOC\o"1-5"\h\z贝1尺=2一勺之=31-£1=51-k,x y z又 所以21-k>31f>5一〃，可得方法二：Iog2x=log3y=log5z>1.得1-log2x=1-log3y=\-log5z<0,即2 3 5log,-=log3—=log.-<0,x y z—rz«5-3,2可得-V-V-.zyx故选：D【点睛】关键点点睛：本题考查由条件等式，比较大小，本题的关键是熟悉指对数运算公式，变形,以及指数和对数函数的图象.例44.（2022・全国•高三专题练习（理））已知实数a,b,c满足今=牛=—?且a>1,贝ija,eeeb,c的大小关系为（）A.a>b>c B.a>c>bD.b>a>cC.D.b>a>c【答案】A【解析】【分析】首先由a>l得出b>l,c<0,排除两个选项，然后引入函数/(x)=x-，nx,利用导数得单调性，引入函数设九(幻=5，由导数得单调性，然后比较a力的大小得出结论.【详解】解：实数a，b,c满足：=4=—J,a>1.eaeDec：.b>1,c<0,则排除B,C选项，令/(x)—x—Inx,所以 ，.../(x)在0cx<1上单调递减，在1cx上单调递增，.,./(x)>/(I)=1,即Inx<x,,Inbb,'9<9，设h(x)=?，/i'(x)=M<0,/i(x)在x>1上单调递减，则/i(a)<h(b),：.a>b,排除D选项.故选：A.【点睛】关键点点睛：本题考查实数的大小比较，解题方法利用指数函数、对数函数的性质，构造新函数，由导数研究单调性，结合中间值比较a,b大小.eD例45.(2022・浙江•模拟预测)己知实数a,b£(1,+8),且logsa+log%3=logj6+log44,则()A.y/a<b<aB.b<y/a<aC.y/a<a<bD.a<b<>/a【答案】A【解析】【分析】对logsa-log/nlogjb-logQ利用换底公式等价变形，得 ，结合y=x一］的单调性判断b<。，同理利用换底公式得bgjb-丁二>log4«--1-，即x logjft log4alogs6>log4a,再根据对数运算性质得log4a=log2、7>log3G，结合y=，。93%单调性，b>Va.继而得解.【详解】由log3a-logu4=log3b-log"3可得log,b- =log,a- <log,a- ,log3b log4a log,a因为y=x在（-8,0）,（0,+8）上单调递增，且log3a,log3bE（0,+oo）,所以log,b<log,a,即b<a,其次，logsb->log4a-所以bg，>bg4。，log3b log4a乂因为log&a=log2->/a>log3右且y=，。。3x单调递增，所以由log*>log3c可知b>限,综上，y[a<b<a.故选：A（多选题）例46.（2022•全国•模拟预测）己知正数x,y,z满足3》=8,=15Z,则下列说法正确的是（）A.2x—3y>0 B.2x—3y<0C.x-5z>0 D.x-5z<0【答案】AD【解析】【分析】设3r=8,=15z=k>1,可得》=，0。34，y=log8k,z=log15/c；根据对数运算法则和换底公式可表示出2x-3y和x-5z,根据对数函数单调性可确定结果.【详解】:,x,y,z为正数，二可设3*=8、=15z=k>1,则x=log3、y=log8k,z=log1Sk；对于AB,2x-3y=2log3fc-3logak=log^k-log2k=Igk ,「，g2>，gW，二口匕>/，又，gk>2g1=0, 2x-3y>0,A正确，B错误；对于CD,x-5z=log3k-5loglsk=log3k-log晒k=lgk（j^=-j^=）.vIgV243>IgV15. lq\f243<房云，又旧k>S1=0，」•x-5z<0,C错误，D正确.故选：AD.专题02函数的综合应用【考点预测】高考中考查函数的内容主要是以综合题的形式出现，通常是函数与数列的综合、函数与不等式的综合、函数与导数的综合及函数的开放性试题和信息题，求解这些问题时，着重掌握函数的性质，把函数的性质与数列、不等式、导数等知识点融会贯通，从而找到解题的突破口，要求掌握二次函数图像、最值和根的分布等基本解法：掌握函数图像的各种变换形式（如对称变换、平移变换、伸缩变换和翻折变换等）：了解反函数的概念与性质；掌握指数、对数式大小比较的常见方法；掌握指数、对数方程和不等式的解法；掌握导数的定义、求导公式与求导法则、复合函数求导法则及导数的定义、求导公式与求导法则、复合函数求导法则及导数的几何意义，特别是应用导数研究函数的单调性、最值等.【题型归纳目录】题型一：函数与数列的综合题型二：函数与不等式的综合题型三：函数中的创新题【典例例题】题型一：函数与数列的综合例1.（2022•浙江•效实中学模拟预测）已知数列｛%｝满足4=1,e%=2--5-（neN+）,an+1其中e是自然对数的底数，则（）C，2022<“2022<1 D.1<fl2O22<2【答案】B【解析】【分析】利用不等式e*2x+l"得2--即一匚-,>1,由累加法可得<_1,利用不等式e、4TL可得2--二< ,即_L-_L<2,同理用累加法可得%>不二，则1-xan+\\-an+ian+lan 2n-\<a„<-.即可求解.2n-\n【详解】；e、2x+l(当x=0时等号成立)，当a“>0当a“>0时，e"""2 即q=1>0=。“>0,凡+1则e"”>an+l+1,e"”"=2-->an+1+1,an+1整理得一%>。用，即［-一，>1,TOC\o"1-5"\h\z11, 1 1, 1 1 ,即 >1, >1,…， >1,。2 。3 。2 4 an-\将〃个不等式相加得 >〃-1,即一>〃，a„<~,anq a„ n令〃x)=e、(l—x)—l,则r(x)=-xe、，当x<0时，/，(x)>0,当x<0时，/r(x)<0,则/(x)在(-8,0)上单调递增，在(0,+8)上单调递减，即/(X)在x=0出取得最大值,/(x)<(o)=o,所以e、(l-x)-140(当x=0时等号成立)，当x<l时，e'4——(当x=0时等号成立)，同理利用累加法可得即>八《 2〃一1所以止则焉<嗫"故选：B例2.(2022•辽宁•东北育才学校二模)已知数列应｝满足0<0.5,a.“=a.+ln(2-a“),则下列说法正确的是()B.0.5<a2O22<B.0.5<a2O22<1D.1.5<a2O22<2C.1<。2022<1・5【答案】B【解析】【分析】利用lnx4x-l可得且数列｛4｝是单调递增数列，得出利用导数可得

g(x)=x+ln(2-x),0<x<l在(0,1)单调递增，即可得出当〃>1时，ln2<a“<l,即可求解.【详解】1_r令/(x)=lnx-x+l,x>0,则/1'(》)= ,由，(x)>0得O<X<1,由/'(x)<0得X>1,所以/(X)在(0,1)单调递增，在(1,y)单调递减，所以/(x)W/(l)=0,所以InxKx-1,所以。用=%+卜(2-凡)4氏+(2-a“-1)=1,当且仅当a“=1时等号成立，与已知矛盾，所以a“<1，则①+I-%=ln(2-a“)>lnl=°，所以数列｛4｝是单调递增数列，所以0<%<1,令g(x)=x+ln(2-x),0<x<l,则g'(x)=l+——>0,所以g(x)在(0,1)单调递增，则a2=g(%)>g(O)=ln2,所以当〃>1时，In2<an<1,因为ln2>0.5,所以0.5<a”<l,所以<L故选：B.例3.(2022•浙江绍兴•模拟预测)已知数列｛/｝满足an+l+cosa„-1=0,则下列说法正确的是()B. >-^-1aB. >-^-1A，an+l-an<—--「 2夜v万0Can+i an<--V27t2【答案】D【解析】【分析】将已知等式化为=sin(q,一/J,根据/(x)=x-sinx的单调性和”0)=0,可得2COSX-X乃利用导数可求|x|>|sinx|,由此可化简得到34ali ；分别构造函数g1(x)=、-cosx-x、gzGhg-cosx-；/、g3(x)=cosx-^-x2COSX-X乃利用导数可求L L 2 K Z得各个函数在(考上的单调性，进而根据单调性得到最值，从而判断出各个选项的叱

【详解】・・。用+cos。2=0,••・^+1-y=-cosaw=sinlaw--l,令/(x)=x—sinx,则=1—cosxN。.,J(x)在R上单调递增,又/(0)=0,.•.W讣inx|,尸卬一彳，a3-尸卬一彳，a3--<a2--f…，an--<a,^---对于A、an+l-an=y-cosaM-afl,jr令g/x)=5-COSX-X,则g；(x)=sinx-1WO,.,.g1(x)在R上单调递减,兀//3万/\•••彳4/4彳，，gi(a”)2gl1 11 1对于B,an^--a；71 1)1 1 I^•g2(x)=y-COSX--X2,则g；(x)=sinx-x,令〃(x)=g'(x),则I(x)=cosx-l<0,・・・g；(x)在R上单调递减，又g；(0)=0,・••当x£(-oo,0)时,g；(x)>0；当x«0,+8)时，g；(x)<0：「.g2(X)在(一8，。) ,在(。,+8)上单调为..) 3乃 / (兀、加五兀2 兀 a•~7-an—~~T'••S2(%)&g，-=- --1»B¥口I天;4 ” 4 2V n,\4) 2 2 32 2"厂6 20n2/2对rC,%+[ an=--cosan 凡，n2 7tg3(x)=--cosx~-^x»则g；(x)=sinx一4工，2 n n令m(x)=g；(x),则M(x)=cosx,当xw55)时，加(%)>°；当“'仁年时，加(x)<。：.•・g；(x)在上单调递增，在(g,当上单调递减，_42) 124(幻=也_述<0(幻=也_述<0I4J2冗.•.叫 加4］，使得g：(xJ=g；(X2)=0，，g3(X)在2，xJ,卜2，¥］上单调递增，在(再用)上单调递减，'1-^3(XI)>^3［-y') ,v-^<an<-^,/.3a„efx,使得g3(a“)>g-0,C错误;TOC\o"1-5"\h\z.27V 2对于D'an+l--«„=--coSa„--a„,TT 2 2.4-g4(x)=--cosx——x,则g：(x)=sinx--,2 n n当xw三注当xw三注时，sinxe包,1- 44 2.".sinx-->0

n即g；(x)>。，，g，(x)在标用上单调*：^<a„<^-,.-.g4(a„)>gf^=y--y^->y-l-D正确.故选：D.【点睛】关键点点睛：本题考查利用导数求解函数最值的问题，解题关键是能够根据国2卜inx|的特点，构造不等式求得4的取值范围，进而可以通过构造函数的方式，将问题转化为函数最值的求解问题，从而利用导数来进行求解.例4.(2022•浙江•慈溪中学模拟预测)已知数列｛(｝满足：q=-g,且a向=In(%+1)-sina„,则下列关于数列｛a,J的叙述正确的是()A.a„>aM+l B.-<an<-C.a„+, D-an^~~^【答案】D【解析】【分析】构造函数f(x)=ln(x+l)-sinx(-l<x<0),由导数确定其单调性，从而利用数学归纳法证明一<an<0,然后构造函数g(x)=/(x)-x=ln(x+l)-sinx-x(-^<x<0),利用导数证明g(x)>0,得/(x)>x,利用此不等式可直接判断A,对选项B,