必修解三角形复习讲义

解三角形复习【知识梳理】1、正弦定理：在AABC中，a、b、c分别为角A、B、C的对边，R为AABC的外接abc圆的半径，则有===2R-sinAsinBsinC2、正弦定理的变形公式：①a二2RsinA，b二2RsinB，c二2RsinC；②sinA=a2RsinB=—2RsinC=—2R③a:b:c二sinA②sinA=a2RsinB=—2RsinC=—2R③a:b:c二sinA:sinB:sinC；—a+b+cabc④===一sinA+sinB+sinCsinAsinBsinC3.解决以下两类问题：bsinA①已知三角形的任意两角及其一边可以求其他边，如a=E；（唯一解）o②已知三角形的任意两边与其中一边的对角可以求其他角的正弦值，如sinA=bsinB。（一解或两解）4、三角形面积公式：AABC=1bcsinA=丄absinC=丄acsinB.2225．余弦定理：形式一：a2=b2+c2-2bc-cosA，b2=a2+c2—2ac-cosB，c2=a2+b2-2ab-cosC形式二：cosA=b2+c2—a2，cosB=沪+c2—b2，cosC=沪+b2-c2，（角到边的转换）2bc2ac2ab6.解决以下两类问题：1）、已知三边，求三个角；（唯一解）2）、已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两个角；（唯一解）33a2=b2+C2oA是直角OAABC是直角三角形三角形ABC中a2〉b2+c2oA是钝角oAABC是钝角三角形a2<b2+C2oA是锐角OaABC是锐角三角形【典例应用】题型一：正余弦定理解三角形在△ABC中，A=120o,c〉b,a=J21,S=和'3，求b,c。ABC边长为5,7,8的三角形的最大角与最小角的和是（）A.9ooB.12ooC.135oD.15oo如果等腰三角形的周长是底边长的5倍，那么它的顶角的余弦值为（）5A.185A.183B.47D.84.在A4.在AABC中,角A、B、C的对边分别为a、b、c，若（a2+c2-b2）tanB=p3ac，则角B的值为（冗A.一6冗冗A.一6冗B.-35.在△ABC中,兀5兀C.6或石13若a=7,b=&cosC=，则最大角的余弦是（）141D.--811~6C一76.在6.在AABC中，a=1,B=45o,SAABC=2，则△ABC的外接圆的直径是.7.在AABC中，sin2A=sin2B+sinBsinC+sin2C，则角A=8.在△ABC中,已知tanB=v-'3,cosC=求厶ABC的面积,9.在AABC中，ZA、ZB、ZC所对的边长分别为a、b、c，设a、b、c满足条件C1Lb2+c2-bc=a2和=—+、.：3，求ZA和tanB的值b2题型2：判断三角形形状例1.在AABC中，若b2sin2C+c2sin2B=2bccosBcosC，试判断AABC的形状.a+bsinB2.在AABC中，已知=，且cos(A—B)+cosC=1—cos2C.asinB-sinA试确定AABC的形状.3.在△ABC中，若2cosBsinA=sinC，则△ABC的形状一定是（）A.等腰直角三角形B.直角三角形C.等腰三角形D.等边三角形4在中，，则三角形为（）A.直角三角形B.锐角三角形C.等腰三角形D.等边三角形5.以4、5、6为边长的三角形一定是（）A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.锐角或钝角三角形6.在△ABC中，角A,B均为锐角，且cosA>sinB,则厶ABC的形状是（）A.直角三角形B.锐角三角形C.钝角三角形D.等腰三角形7.在厶ABC中，若acosA+BcosB=ccosC,则厶ABC的形状是.&在AABC中，若（a-ccosB）sinB=（b-ccosA）sinA,则这个三角形是（）A.等腰三角形B.直角三角形C.等边三角形D.等腰或直角三角形题型3：三角形的解的个数问题1.已知B=11,c=12,B=60。则三角形ABC有（）解A一B两C无解2已知a=7,B=3,A=1100则三角形ABC有（）解A一B两C无解3.在AABC中，已知a=xcm,B二2cm,B=450，如果三角形有两解，则x的取值范围是_题型4:取值范围问题1•已知两线段a=1，B=U2，若以a、B为边作三角形，则a边所对的角A的取值范围（）A.（0,?]B.（0,牛）C.（0,?]D.（?,）TOC\o"1-5"\h\z624632.在AABC中,B=60。，若此三角形最大边与最小边之比为（訂+1）:2，则最大内角（）A.45。B.60。C.75。D.90。3•设a,a+1,a+2是钝角三角形的三边，则a的取值范围是（）A.0<a<3B.1<a<3C.3<a<4D.4〈a〈6在AABC中，角A、B的对边分别为a、B，且A=2B，则A的取值范围.已知锐角三角形的三边长分别为2、3、x,则x的取值范围.已知三角形的两边和为4，其夹角60°，求三角形的周长最小值。(I)(I)求AABC的面积；(II)若b+c—6，求a的值.课堂练习：1•在AABC中，a=5,B二105。,C二15。，则此三角形的最大边的长为.在AABC中，a+b=12,A—60。,B=45。，则a=,b=•在AABC中，若SinA—C0SB，则B的值为（）ab4.AABC中，A兀—3，BC=3，则AABC的周长为）A.4j3sinB+——+3B.4>/3sinB+——+3V3丿V6丿A.30。B.45。C.60。D.90。兀C.6sinB+—+3V3丿兀D.6sinB+—+3V6丿5.已知AABC的三边分别为a，b，6.在四边形ABCD中,5.已知AABC的三边分别为a，b，6.在四边形ABCD中,C