微积分的起源课件

1第一节微积分的起源1第一节微积分的起源陈省身：

了解历史的变化，是了解这门科学的一个步骤。2陈省身：

了解历史的变化，是了解这门科学的一个步骤。23一、数学无穷发展的萌芽3一、数学无穷发展的萌芽4一、数学无穷发展的萌芽无穷作为一个极富迷人魅力的词汇，长期以来就深深激动着人们的心灵。彻底弄清这一概念的实质成为维护人类智力尊严的一种需要。而数学是“研究无限的学科”，因此数学就责无旁贷地担当起征服无穷的重任。远在两千年以前，人们就已经产生了对数学无穷的萌芽认识。4一、数学无穷发展的萌芽无穷作为一个极富迷人5在毕达哥拉斯关于不可公度量的发现及关于数与无限这两个概念的定义中已孕育了微积分学的关于无穷的思想方法。德谟克利特和柏拉图学派探索过无穷小量观念。欧多克索斯、安蒂丰、数学之神阿基米德所运用的穷竭法已备近代极限理论的雏形，尤其是阿基米德对穷竭法应用之熟练，使后人感到他在当时就已接近了微积分的边缘。5在毕达哥拉斯关于不可公度量的发现及关于数与无6由此，在数学无穷思想发展之初，古人就已在这个领域开创了一个光辉的起点。毕达哥拉斯(公元前570年～公元前500年)6由此，在数学无穷思想发展之初，古人就已在这个领域开创了数学之神--阿基米德（公元前287年—公元前212年)数学之神--阿基米德（公元前287年—公元前212年)在我国，著名的《庄子》一书中有言：“一尺之棰，日取其半，而万世不竭。”从中就可体现出我国早期对数学无穷的认识水平。而我国第一个创造性地将无穷思想运用到数学中，且运用相当自如的是魏晋时期著名数学家刘徽。他提出用增加圆内接正多边形的边数来逼近圆的“割圆术”。“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣。”

在我国，著名的《庄子》一书中有言：“一尺之棰，刘徽对数学无穷的认识已相当深刻，正是以“割圆术”为理论基础，刘徽得出徽率，而其后继者祖冲之更是得出了圆周率介于3.1415926与3.1415927之间的领先国外上千年的惊人成果。刘徽对数学无穷的认识已相当深刻，正是以“割圆术二、中国古代数学对微积分创立

的贡献

二、中国古代数学对微积分创立

的贡献二、中国古代数学对微积分创立

的贡献

微积分的产生分三个阶段：极限概念；求积的无限小方法；积分与微分的互逆关系。最后一步是由牛顿、莱布尼兹完成的。前两阶段的工作，欧洲的大批数学家一直追朔到古希腊的阿基米德都作出了各自的贡献。

二、中国古代数学对微积分创立

的贡献微积分的产生微积分思想在古代中国早有萌芽，甚至是古希腊数学不能比拟的。公元前7世纪老庄哲学中就有无限可分性和极限思想；公元前4世纪《墨经》中有了有穷、无穷、无限小（最小无内）、无穷大（最大无外）的定义和极限、瞬时等概念。微积分思想在古代中国早有萌芽，甚至是古希腊数学微积分思想虽然可追朔古希腊，但它的概念和法则却是16世纪下半叶，开普勒、卡瓦列利等求积的不可分量思想和方法基础上产生和发展起来的。而这些思想和方法从刘徽对圆锥、圆台、圆柱的体积公式的证明到公元5世纪祖恒求球体积的方法中都可找到。北宋大科学家沈括的《梦溪笔谈》独创了“隙积术”、“会圆术”和“棋局都数术”开创了对高阶等差级数求和的研究。微积分思想虽然可追朔古希腊，但它的概念和法则南宋大数学家秦九韶于1274年撰写了划时代巨著《数书九章》十八卷，创举世闻名的“大衍求一术”——增乘开方法解任意次数字（高次）方程近似解，比西方早500多年。13世纪40年代到14世纪初，在主要领域都达到了中国古代数学的高峰。中国古代数学有了微积分前两阶段的出色工作，其中许多都是微积分得以创立的关键。南宋大数学家秦九韶于1274年撰写了划时代巨中国已具备了17世纪发明微积分前夕的全部内在条件，已经接近了微积分的大门。可惜中国元朝以后，八股取士制造成了学术上的大倒退，封建统治的文化专制和盲目排外致使包括数学在内的科学日渐衰落，在微积分创立的最关键一步落伍了。中国已具备了17世纪发明微积分前夕的全部内在条三、芝诺悖论对“无限”的恐惧三、芝诺悖论对“无限”的恐惧三、芝诺悖论对“无限”的恐惧古人对无穷已有了较深刻认识，然而人们对无限的认识是缺乏严密的逻辑基础的。对于只熟知有限概念的人们来说“无限”这一概念仍然是陌生与神秘的。芝诺悖论的提出清楚地表明了这一点。三、芝诺悖论对“无限”的恐惧古人对无穷已有了较深公元前5世纪，芝诺发表态了著名的阿基里斯和乌龟赛跑悖论：他提出让乌龟在阿基里斯前面1000米处开始，并且假定阿基里斯的速度是乌龟的10倍。当比赛开始后，若阿基里斯跑了1000米，设所用的时间为t，此时乌龟便领先他100米；当阿基里斯跑完下一个100米时，他所用的时间为t/10,乌龟仍然前于他10米。当阿基里斯跑完下一个10米时，他所用的时间为t/100，乌龟仍然前于他1米……芝诺解说，阿基里斯能够继续逼近乌龟，但决不可能追上它。芝诺悖论症结何在？公元前5世纪，芝诺发表态了著名的阿基里斯和乌龟赛跑悖论：他提四、牛顿的“流数术”

四、牛顿的“流数术”四、牛顿的“流数术”

十七世纪下半叶，经历了文艺复兴运动的欧洲，社会生产力得到了空前的解放和提高。大量的实际问题推动着力学天文学的发展。如：航海事业需要精确的测定地球的经纬度和制造准确的时钟，促进了对天体运动的深入研究；船舶的改进必须探讨流体以及物体在流体中的运动规律；而战争要求炮弹打的准确，则导致弹道学的研究。四、牛顿的“流数术”十七世纪下半叶，经历了文艺人们从大量的这类课题研究中，总结出力学的一些基本规律，如：牛顿力学运动三大定律，开普勒行星运动定律等等。各种运动研究中核心问题是：变速运动中已知路程求速度和已知速度求路程这两个反向问题。这样研究常量的初等数学就无能为力了，迫切需要数学突破传统寻求能够描述和解决变速运动的新工具——变量数学。人们从大量的这类课题研究中，总结出力学的一些微积分就是变量数学的基础内容，古人对无穷已有了较深刻认识，然而人们对无限的认识是缺乏严密的逻辑基础的。可以说，对于只熟知有限概念的人们来说“无限”这一概念仍然是陌生与神秘的。芝诺悖论的提出清楚地表明了这一点。微积分就是变量数学的基础内容，古人对无穷已有为微积分的发展做出贡献的众多科学家中特别要提到的是笛卡尔和费马关于解析几何的工作，正是从常量数学到变量数学的转折点，为微积分的产生提供了重要的数学前提。因为有了他们的变量概念并把描述运动的函数与几何中的曲线统一起来，才能将力学的求速度和路程问题转化为求切线和面积问题。众多的科学家为微积分做出了贡献，但他们没有到关注两者之间的相互关系,牛顿的老师巴罗看出了求切线问题和求曲线下面积之间的互逆关系，但是他没有抓住这一点进一步探究其中所包含的普遍规律。为微积分的发展做出贡献的众多科学家中特别要提到的是笛勒奈·笛卡尔(ReneDescartes),1596-1650。伟大的哲学家、物理学家、数学家、生理学家。解析几何的创始人。费马(PierredeFermat，1601～1665）法国著名数学家，“业余数学家之王”。勒奈·笛卡尔(ReneDescartes),1596-1

牛顿在1671年写了《流数法和无穷级数》，但这本书直到1736年才出版。他在这本书中把连续变量叫做流动量，流动量的导数叫流数。他的中心问题是：已知连续运动的路程求给定时刻的速度（微分）；已知速度求给定时间段内的路程（积分）。艾萨克·牛顿伊撒克·牛顿(IsaacNewton),1643—1727.英国伟大的数学家、物理学家、天文学家和自然哲学家.牛顿在1671年写了《流数法和无穷级数》，但这本书直到五、莱布尼兹的微积分

五、莱布尼兹的微积分五、莱布尼兹的微积分

德国莱布尼兹是一位博学多才的数学家，1684年他发表了世界上认为最早的微分文献，《一种求极大极小和切线的新方法，它也适用于分式和无理量以及这种新方法的奇妙类型的计算》，虽然说这是一篇说理模糊的文章，但是却有划时代的意义，它含有现代微分的符号和微分法则。1686年莱布尼兹发表第一篇积分文献。他是历史上最伟大的符号学者之一，他所创设的微积分符号至今我们还在使用。五、莱布尼兹的微积分德国莱布尼兹是一位博学多戈特弗里德·威廉·莱布尼茨(GottfriedWilhelmLeibniz)1646－1716，德国哲学家、数学家。被誉为十七世纪的亚里士多德。和牛顿先后独立发明了微积分。戈特弗里德·威廉·莱布尼茨(GottfriedWilhel微积分学的创立，极大地推动了数学的发展，过去很多初等数学束手无策的问题，运用微积分，往往迎刃而解，显示出微积分学的非凡威力。

历史上任何重大理论完成都要经过长时间的不断完善。微积分理论也不例外。牛顿、莱布尼兹的工作还都很不完善，他们在无穷和无穷小问题上的说法就非常含糊，不能自自圆其说，他们在这方面的欠缺最终导致了第二次数学危机的产生。微积分学的创立，极大地推动了数学的发展，过去很30贝克莱悖论十七世纪后期，牛顿、莱布尼兹创立微积分学，成为解决众多问题的重要而有力的工具，并在实际应用中获得了巨大成功，然而，微积分学产生伊始，迎来的并非全是掌声，在当时它还遭到了许多人的强烈攻击和指责，原因在于当时的微积分主要建立在无穷小分析之上，而无穷小后来证明是包含逻辑矛盾的。30贝克莱悖论十七世纪后期，牛顿、莱布尼兹创立微311734年，大主教贝克莱写了本《分析学家》的小册子，在这本小册子中，他十分有效地揭示了无穷小分析方法中所包含的这种逻辑矛盾。311734年，大主教贝克莱写了本《分析学家》的小

例如，设自由落体在时间下落的距离为，有公式，其中是固定的重力加速度。我们要求物体在的瞬时速度，先求。∴（*）例如，设自由落体在时间下落的距离为32

当变成无穷小时，右端的也变成无穷小，因而上式右端就可以认为是，这就是物体在时的瞬时速度，它是两个无穷小之比。牛顿的这一方法很好用，解决了大量过去无法解决的科技问题。但是逻辑上不严格，遭到责难。当变成无穷小时，贝克莱的发难英国的贝克莱大主教发表文章猛烈攻击牛顿的理论。贝克莱问道：“无穷小”作为一个量，究竟是不是0？贝克莱的发难

如果是0，上式左端当成无穷小后分母为0，就没有意义了。如果不是0，上式右端的就不能任意去掉。在推出上式时，假定了才能做除法，所以上式的成立是以为前提的。那么，为什么又可以让而求得瞬时速度呢？因此，牛顿的这一套运算方法，就如同从出发，两端同除以0，得出5=3一样的荒谬。（*）如果是0，上式左端当成无穷小后分母为

贝克莱还讽刺挖苦说：即然和都变成“无穷小”了，而无穷小作为一个量，既不是0，又不是非0，那它一定是“量的鬼魂”了。这就是著名的“贝克莱悖论”。对牛顿微积分的这一责难并不是由数学家提出的，但贝克莱还讽刺挖苦说：即然贝克莱的质问是击中要害的数学家在将近200年的时间里，不能彻底反驳贝克莱的责难。直至柯西创立极限理论，才较好地反驳了贝克莱的责难。直至魏尔斯特拉斯创立“”语言，才彻底地反驳了贝克莱的责难。贝克莱的质问是击中要害的数学家在将近200年的时间里，不能彻37牛顿和莱布尼茨的创造性贡献在于，他们明确地论述了微分和积分这两个概念或过程的内在的相互联系：微分和积分是互逆的两种运算。而这正是建立微积分学的关键所在。他们正是这一重要联系的基础上建立起系统的微积分学，建立起有效地处理变量问题的一整套数学方法。牛顿和莱布尼茨的创造性贡献在于，他们明确地论述了牛顿和莱布尼茨分别创建的微积分各有特色。首先，牛顿从力学或运动学的角度，从速度的变化问题开始。他把连续变化的量称为流量，把无限小的时间间隔叫做瞬；而流量的速度，也就是流量在无限小时间内的变化率，称为流数，用上面带点的字母x，y表示。牛顿建立了以流量、流数和瞬为基本概念的微积分学。而莱布尼茨从几何学的角度，从求切线问题开始，突出了切线概念。他研究了求曲线的切线问题和求曲线下的面积问题的相互联系，由此建立起微积分学。其次，牛顿作为物理学家，其工作方式是经验的、具体的和谨慎的，着力于将微积分成功地应用到许多实际问题，以证明微积分方法的价值。牛顿和莱布尼茨分别创建的微积分各有特色。首先，莱布尼茨身兼哲学家，他的工作和思想富于想像和大胆，更着重于把微积分从各种特殊问题中概括和提升出来，寻求普遍化和系统化的运算方法。第三，莱布尼茨在运用和创造符号方面，比牛顿更花费心思。他用d表示差额（difference的第一个字母），微分表示为dx，dy，对n阶微分运用了符号dn；而用∫表示总和(sum的第一个字母的拉长)，即积分符号。人们公认，莱布尼茨的微积分符号简明方便，以致沿用至今。莱布尼茨身兼哲学家，他的工作和思想富于想像和马克思和恩格斯非常重视微积分的创建，恩格斯曾有这的赞誉：“在一切理论成就中，未必再有什么像十七世纪下半叶微积分的发明那样看作人类精神的最高胜利了。”马克思和恩格斯非常重视微积分的创建，恩格斯曾有42本节结束谢谢！42本节结束谢谢！43第一节微积分的起源1第一节微积分的起源陈省身：

了解历史的变化，是了解这门科学的一个步骤。44陈省身：

了解历史的变化，是了解这门科学的一个步骤。245一、数学无穷发展的萌芽3一、数学无穷发展的萌芽46一、数学无穷发展的萌芽无穷作为一个极富迷人魅力的词汇，长期以来就深深激动着人们的心灵。彻底弄清这一概念的实质成为维护人类智力尊严的一种需要。而数学是“研究无限的学科”，因此数学就责无旁贷地担当起征服无穷的重任。远在两千年以前，人们就已经产生了对数学无穷的萌芽认识。4一、数学无穷发展的萌芽无穷作为一个极富迷人47在毕达哥拉斯关于不可公度量的发现及关于数与无限这两个概念的定义中已孕育了微积分学的关于无穷的思想方法。德谟克利特和柏拉图学派探索过无穷小量观念。欧多克索斯、安蒂丰、数学之神阿基米德所运用的穷竭法已备近代极限理论的雏形，尤其是阿基米德对穷竭法应用之熟练，使后人感到他在当时就已接近了微积分的边缘。5在毕达哥拉斯关于不可公度量的发现及关于数与无48由此，在数学无穷思想发展之初，古人就已在这个领域开创了一个光辉的起点。毕达哥拉斯(公元前570年～公元前500年)6由此，在数学无穷思想发展之初，古人就已在这个领域开创了数学之神--阿基米德（公元前287年—公元前212年)数学之神--阿基米德（公元前287年—公元前212年)在我国，著名的《庄子》一书中有言：“一尺之棰，日取其半，而万世不竭。”从中就可体现出我国早期对数学无穷的认识水平。而我国第一个创造性地将无穷思想运用到数学中，且运用相当自如的是魏晋时期著名数学家刘徽。他提出用增加圆内接正多边形的边数来逼近圆的“割圆术”。“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣。”

在我国，著名的《庄子》一书中有言：“一尺之棰，刘徽对数学无穷的认识已相当深刻，正是以“割圆术”为理论基础，刘徽得出徽率，而其后继者祖冲之更是得出了圆周率介于3.1415926与3.1415927之间的领先国外上千年的惊人成果。刘徽对数学无穷的认识已相当深刻，正是以“割圆术二、中国古代数学对微积分创立

的贡献

二、中国古代数学对微积分创立

的贡献二、中国古代数学对微积分创立

的贡献

微积分的产生分三个阶段：极限概念；求积的无限小方法；积分与微分的互逆关系。最后一步是由牛顿、莱布尼兹完成的。前两阶段的工作，欧洲的大批数学家一直追朔到古希腊的阿基米德都作出了各自的贡献。

二、中国古代数学对微积分创立

的贡献微积分的产生微积分思想在古代中国早有萌芽，甚至是古希腊数学不能比拟的。公元前7世纪老庄哲学中就有无限可分性和极限思想；公元前4世纪《墨经》中有了有穷、无穷、无限小（最小无内）、无穷大（最大无外）的定义和极限、瞬时等概念。微积分思想在古代中国早有萌芽，甚至是古希腊数学微积分思想虽然可追朔古希腊，但它的概念和法则却是16世纪下半叶，开普勒、卡瓦列利等求积的不可分量思想和方法基础上产生和发展起来的。而这些思想和方法从刘徽对圆锥、圆台、圆柱的体积公式的证明到公元5世纪祖恒求球体积的方法中都可找到。北宋大科学家沈括的《梦溪笔谈》独创了“隙积术”、“会圆术”和“棋局都数术”开创了对高阶等差级数求和的研究。微积分思想虽然可追朔古希腊，但它的概念和法则南宋大数学家秦九韶于1274年撰写了划时代巨著《数书九章》十八卷，创举世闻名的“大衍求一术”——增乘开方法解任意次数字（高次）方程近似解，比西方早500多年。13世纪40年代到14世纪初，在主要领域都达到了中国古代数学的高峰。中国古代数学有了微积分前两阶段的出色工作，其中许多都是微积分得以创立的关键。南宋大数学家秦九韶于1274年撰写了划时代巨中国已具备了17世纪发明微积分前夕的全部内在条件，已经接近了微积分的大门。可惜中国元朝以后，八股取士制造成了学术上的大倒退，封建统治的文化专制和盲目排外致使包括数学在内的科学日渐衰落，在微积分创立的最关键一步落伍了。中国已具备了17世纪发明微积分前夕的全部内在条三、芝诺悖论对“无限”的恐惧三、芝诺悖论对“无限”的恐惧三、芝诺悖论对“无限”的恐惧古人对无穷已有了较深刻认识，然而人们对无限的认识是缺乏严密的逻辑基础的。对于只熟知有限概念的人们来说“无限”这一概念仍然是陌生与神秘的。芝诺悖论的提出清楚地表明了这一点。三、芝诺悖论对“无限”的恐惧古人对无穷已有了较深公元前5世纪，芝诺发表态了著名的阿基里斯和乌龟赛跑悖论：他提出让乌龟在阿基里斯前面1000米处开始，并且假定阿基里斯的速度是乌龟的10倍。当比赛开始后，若阿基里斯跑了1000米，设所用的时间为t，此时乌龟便领先他100米；当阿基里斯跑完下一个100米时，他所用的时间为t/10,乌龟仍然前于他10米。当阿基里斯跑完下一个10米时，他所用的时间为t/100，乌龟仍然前于他1米……芝诺解说，阿基里斯能够继续逼近乌龟，但决不可能追上它。芝诺悖论症结何在？公元前5世纪，芝诺发表态了著名的阿基里斯和乌龟赛跑悖论：他提四、牛顿的“流数术”

四、牛顿的“流数术”四、牛顿的“流数术”

十七世纪下半叶，经历了文艺复兴运动的欧洲，社会生产力得到了空前的解放和提高。大量的实际问题推动着力学天文学的发展。如：航海事业需要精确的测定地球的经纬度和制造准确的时钟，促进了对天体运动的深入研究；船舶的改进必须探讨流体以及物体在流体中的运动规律；而战争要求炮弹打的准确，则导致弹道学的研究。四、牛顿的“流数术”十七世纪下半叶，经历了文艺人们从大量的这类课题研究中，总结出力学的一些基本规律，如：牛顿力学运动三大定律，开普勒行星运动定律等等。各种运动研究中核心问题是：变速运动中已知路程求速度和已知速度求路程这两个反向问题。这样研究常量的初等数学就无能为力了，迫切需要数学突破传统寻求能够描述和解决变速运动的新工具——变量数学。人们从大量的这类课题研究中，总结出力学的一些微积分就是变量数学的基础内容，古人对无穷已有了较深刻认识，然而人们对无限的认识是缺乏严密的逻辑基础的。可以说，对于只熟知有限概念的人们来说“无限”这一概念仍然是陌生与神秘的。芝诺悖论的提出清楚地表明了这一点。微积分就是变量数学的基础内容，古人对无穷已有为微积分的发展做出贡献的众多科学家中特别要提到的是笛卡尔和费马关于解析几何的工作，正是从常量数学到变量数学的转折点，为微积分的产生提供了重要的数学前提。因为有了他们的变量概念并把描述运动的函数与几何中的曲线统一起来，才能将力学的求速度和路程问题转化为求切线和面积问题。众多的科学家为微积分做出了贡献，但他们没有到关注两者之间的相互关系,牛顿的老师巴罗看出了求切线问题和求曲线下面积之间的互逆关系，但是他没有抓住这一点进一步探究其中所包含的普遍规律。为微积分的发展做出贡献的众多科学家中特别要提到的是笛勒奈·笛卡尔(ReneDescartes),1596-1650。伟大的哲学家、物理学家、数学家、生理学家。解析几何的创始人。费马(PierredeFermat，1601～1665）法国著名数学家，“业余数学家之王”。勒奈·笛卡尔(ReneDescartes),1596-1

牛顿在1671年写了《流数法和无穷级数》，但这本书直到1736年才出版。他在这本书中把连续变量叫做流动量，流动量的导数叫流数。他的中心问题是：已知连续运动的路程求给定时刻的速度（微分）；已知速度求给定时间段内的路程（积分）。艾萨克·牛顿伊撒克·牛顿(IsaacNewton),1643—1727.英国伟大的数学家、物理学家、天文学家和自然哲学家.牛顿在1671年写了《流数法和无穷级数》，但这本书直到五、莱布尼兹的微积分

五、莱布尼兹的微积分五、莱布尼兹的微积分

德国莱布尼兹是一位博学多才的数学家，1684年他发表了世界上认为最早的微分文献，《一种求极大极小和切线的新方法，它也适用于分式和无理量以及这种新方法的奇妙类型的计算》，虽然说这是一篇说理模糊的文章，但是却有划时代的意义，它含有现代微分的符号和微分法则。1686年莱布尼兹发表第一篇积分文献。他是历史上最伟大的符号学者之一，他所创设的微积分符号至今我们还在使用。五、莱布尼兹的微积分德国莱布尼兹是一位博学多戈特弗里德·威廉·莱布尼茨(GottfriedWilhelmLeibniz)1646－1716，德国哲学家、数学家。被誉为十七世纪的亚里士多德。和牛顿先后独立发明了微积分。戈特弗里德·威廉·莱布尼茨(GottfriedWilhel微积分学的创立，极大地推动了数学的发展，过去很多初等数学束手无策的问题，运用微积分，往往迎刃而解，显示出微积分学的非凡威力。

历史上任何重大理论完成都要经过长时间的不断完善。微积分理论也不例外。牛顿、莱布尼兹的工作还都很不完善，他们在无穷和无穷小问题上的说法就非常含糊，不能自自圆其说，他们在这方面的欠缺最终导致了第二次数学危机的产生。微积分学的创立，极大地推动了数学的发展，过去很72贝克莱悖论十七世纪后期，牛顿、莱布尼兹创立微积分学，成为解决众多问题的重要而有力的工具，并在实际应用中获得了巨大成功，然而，微积分学产生伊始，迎来的并非全是掌声，在当时它还遭到了许多人的强烈攻击和指责，原因在于当时的微积分主要建立在无穷小分析之上，而无穷小后来证明是包含逻辑矛盾的。30贝克莱悖论十七世纪后期，牛顿、莱布尼兹创立微731734年，大主教贝克莱写了本《分析学家》的小册子，在这本小册子中，他十分有效地揭示了无穷小分析方法中所包含的这种逻辑矛盾。311734年，大主教贝克莱写了本《分析学家》的小

例如，设自由落体在时间下落的距离为，有公式，其中是固定的重力加速度。我们要求物体在的瞬时速度，先求。∴（*）例如，设自由落体在时间下落的距离为74

当变成无穷小时，右端的也变成无穷小，因而上式右端就可以认为是，这就是物体在时的瞬时速度，它是两个无穷小之比。牛顿的这一方法很好用，解决了大量过去无法解决的科技问题。但是逻辑上不严格，遭到责难。当变成无穷小时，贝克莱的发难英国的贝克莱大主教发表文章猛烈攻击牛顿的理论。贝克莱问道：“无穷小”作为一个量，究竟是不是0？贝克莱的发难

如果是0，上式左端当成无穷小后分母为0，就没有意义了。如果不是0，上式右端的就不能任意去掉。在推出上式时，假定了才能做除法，所以上式的成立是以为前提的。那么，为什么又可以让而求得瞬时速度呢？