2023学年河南省漯河高中高三第二次联考数学试卷(含答案解析)_第1页
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文档简介

2023高考数学模拟试卷考生须知:1.全卷分选择题和非选择题两部分,全部在答题纸上作答。选择题必须用2B铅笔填涂;非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。2.请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。3.保持卡面清洁,不要折叠,不要弄破、弄皱,在草稿纸、试题卷上答题无效。一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1.已知等差数列中,则()A.10 B.16 C.20 D.242.如图,在三棱锥中,平面,,现从该三棱锥的个表面中任选个,则选取的个表面互相垂直的概率为()A. B. C. D.3.由曲线围成的封闭图形的面积为()A. B. C. D.4.已知函数的图象与直线的相邻交点间的距离为,若定义,则函数,在区间内的图象是()A. B.C. D.5.已知为非零向量,“”为“”的()A.充分不必要条件 B.充分必要条件C.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件6.设抛物线的焦点为F,抛物线C与圆交于M,N两点,若,则的面积为()A. B. C. D.7.点在曲线上,过作轴垂线,设与曲线交于点,,且点的纵坐标始终为0,则称点为曲线上的“水平黄金点”,则曲线上的“水平黄金点”的个数为()A.0 B.1 C.2 D.38.直线l过抛物线的焦点且与抛物线交于A,B两点,则的最小值是A.10 B.9 C.8 D.79.已知正四棱锥的侧棱长与底面边长都相等,是的中点,则所成的角的余弦值为()A. B. C. D.10.已知函数,若,则等于()A.-3 B.-1 C.3 D.011.为得到函数的图像,只需将函数的图像()A.向右平移个长度单位 B.向右平移个长度单位C.向左平移个长度单位 D.向左平移个长度单位12.洛书,古称龟书,是阴阳五行术数之源,在古代传说中有神龟出于洛水,其甲壳上心有此图象,结构是戴九履一,左三右七,二四为肩,六八为足,以五居中,五方白圈皆阳数,四角黑点为阴数.如图,若从四个阴数和五个阳数中分别随机选取1个数,则其和等于11的概率是().A. B. C. D.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13.在的展开式中,的系数等于__.14.从甲、乙等8名志愿者中选5人参加周一到周五的社区服务,每天安排一人,每人只参加一天.若要求甲、乙两人至少选一人参加,且当甲、乙两人都参加时,他们参加社区服务的日期不相邻,那么不同的安排种数为______________.(用数字作答)15.(5分)已知函数,则不等式的解集为____________.16.已知,圆,直线PM,PN分别与圆O相切,切点为M,N,若,则的最小值为________.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.(12分)已知抛物线和圆,倾斜角为45°的直线过抛物线的焦点,且与圆相切.(1)求的值;(2)动点在抛物线的准线上,动点在上,若在点处的切线交轴于点,设.求证点在定直线上,并求该定直线的方程.18.(12分)设(1)当时,求不等式的解集;(2)若,求的取值范围.19.(12分)如图,在四棱锥P﹣ABCD中,底面ABCD为菱形,PA⊥底面ABCD,∠BAD=60°,AB=PA=4,E是PA的中点,AC,BD交于点O.(1)求证:OE∥平面PBC;(2)求三棱锥E﹣PBD的体积.20.(12分)在开展学习强国的活动中,某校高三数学教师成立了党员和非党员两个学习组,其中党员学习组有4名男教师、1名女教师,非党员学习组有2名男教师、2名女教师,高三数学组计划从两个学习组中随机各选2名教师参加学校的挑战答题比赛.(1)求选出的4名选手中恰好有一名女教师的选派方法数;(2)记X为选出的4名选手中女教师的人数,求X的概率分布和数学期望.21.(12分)已知函数,.(1)当为何值时,轴为曲线的切线;(2)用表示、中的最大值,设函数,当时,讨论零点的个数.22.(10分)[2018·石家庄一检]已知函数.(1)若,求函数的图像在点处的切线方程;(2)若函数有两个极值点,,且,求证:.

2023学年模拟测试卷参考答案(含详细解析)一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1.C【答案解析】

根据等差数列性质得到,再计算得到答案.【题目详解】已知等差数列中,故答案选C【答案点睛】本题考查了等差数列的性质,是数列的常考题型.2.A【答案解析】

根据线面垂直得面面垂直,已知平面,由,可得平面,这样可确定垂直平面的对数,再求出四个面中任选2个的方法数,从而可计算概率.【题目详解】由已知平面,,可得,从该三棱锥的个面中任选个面共有种不同的选法,而选取的个表面互相垂直的有种情况,故所求事件的概率为.故选:A.【答案点睛】本题考查古典概型概率,解题关键是求出基本事件的个数.3.A【答案解析】

先计算出两个图像的交点分别为,再利用定积分算两个图形围成的面积.【题目详解】封闭图形的面积为.选A.【答案点睛】本题考察定积分的应用,属于基础题.解题时注意积分区间和被积函数的选取.4.A【答案解析】

由题知,利用求出,再根据题给定义,化简求出的解析式,结合正弦函数和正切函数图象判断,即可得出答案.【题目详解】根据题意,的图象与直线的相邻交点间的距离为,所以的周期为,则,所以,由正弦函数和正切函数图象可知正确.故选:A.【答案点睛】本题考查三角函数中正切函数的周期和图象,以及正弦函数的图象,解题关键是对新定义的理解.5.B【答案解析】

由数量积的定义可得,为实数,则由可得,根据共线的性质,可判断;再根据判断,由等价法即可判断两命题的关系.【题目详解】若成立,则,则向量与的方向相同,且,从而,所以;若,则向量与的方向相同,且,从而,所以.所以“”为“”的充分必要条件.故选:B【答案点睛】本题考查充分条件和必要条件的判定,考查相等向量的判定,考查向量的模、数量积的应用.6.B【答案解析】

由圆过原点,知中有一点与原点重合,作出图形,由,,得,从而直线倾斜角为,写出点坐标,代入抛物线方程求出参数,可得点坐标,从而得三角形面积.【题目详解】由题意圆过原点,所以原点是圆与抛物线的一个交点,不妨设为,如图,由于,,∴,∴,,∴点坐标为,代入抛物线方程得,,∴,.故选:B.【答案点睛】本题考查抛物线与圆相交问题,解题关键是发现原点是其中一个交点,从而是等腰直角三角形,于是可得点坐标,问题可解,如果仅从方程组角度研究两曲线交点,恐怕难度会大大增加,甚至没法求解.7.C【答案解析】

设,则,则,即可得,设,利用导函数判断的零点的个数,即为所求.【题目详解】设,则,所以,依题意可得,设,则,当时,,则单调递减;当时,,则单调递增,所以,且,有两个不同的解,所以曲线上的“水平黄金点”的个数为2.故选:C【答案点睛】本题考查利用导函数处理零点问题,考查向量的坐标运算,考查零点存在性定理的应用.8.B【答案解析】

根据抛物线中过焦点的两段线段关系,可得;再由基本不等式可求得的最小值.【题目详解】由抛物线标准方程可知p=2因为直线l过抛物线的焦点,由过抛物线焦点的弦的性质可知所以因为为线段长度,都大于0,由基本不等式可知,此时所以选B【答案点睛】本题考查了抛物线的基本性质及其简单应用,基本不等式的用法,属于中档题.9.C【答案解析】试题分析:设的交点为,连接,则为所成的角或其补角;设正四棱锥的棱长为,则,所以,故C为正确答案.考点:异面直线所成的角.10.D【答案解析】分析:因为题设中给出了的值,要求的值,故应考虑两者之间满足的关系.详解:由题设有,故有,所以,从而,故选D.点睛:本题考查函数的表示方法,解题时注意根据问题的条件和求解的结论之间的关系去寻找函数的解析式要满足的关系.11.D【答案解析】,所以要的函数的图象,只需将函数的图象向左平移个长度单位得到,故选D12.A【答案解析】

基本事件总数,利用列举法求出其和等于11包含的基本事件有4个,由此能求出其和等于11的概率.【题目详解】解:从四个阴数和五个阳数中分别随机选取1个数,基本事件总数,其和等于11包含的基本事件有:,,,,共4个,其和等于的概率.故选:.【答案点睛】本题考查概率的求法,考查古典概型等基础知识,考查运算求解能力,属于基础题.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13.7【答案解析】

由题,得,令,即可得到本题答案.【题目详解】由题,得,令,得x的系数.故答案为:7【答案点睛】本题主要考查二项式定理的应用,属基础题.14.5040.【答案解析】分两类,一类是甲乙都参加,另一类是甲乙中选一人,方法数为。填5040.【答案点睛】利用排列组合计数时,关键是正确进行分类和分步,分类时要注意不重不漏.在本题中,甲与乙是两个特殊元素,对于特殊元素“优先法”,所以有了分类。本题还涉及不相邻问题,采用“插空法”。15.【答案解析】

易知函数的定义域为,且,则是上的偶函数.由于在上单调递增,而在上也单调递增,由复合函数的单调性知在上单调递增,又在上单调递增,故知在上单调递增.令,知,则不等式可化为,即,可得,又,是偶函数,可得,由在上单调递增,可得,则,解得,故不等式的解集为.16.【答案解析】

由可知R为中点,设,由过切点的切线方程即可求得,,代入,,则在直线上,即可得方程为,将,代入化简可得,则直线过定点,由则点在以为直径的圆上,则.即可求得.【题目详解】如图,由可知R为MN的中点,所以,,设,则切线PM的方程为,即,同理可得,因为PM,PN都过,所以,,所以在直线上,从而直线MN方程为,因为,所以,即直线MN方程为,所以直线MN过定点,所以R在以OQ为直径的圆上,所以.故答案为:.【答案点睛】本题考查直线和圆的位置关系,考查圆的切线方程,定点和圆上动点距离的最值问题,考查学生的数形结合能力和计算能力,难度较难.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.(1);(2)点在定直线上.【答案解析】

(1)设出直线的方程为,由直线和圆相切的条件:,解得;(2)设出,运用导数求得切线的斜率,求得为切点的切线方程,再由向量的坐标表示,可得在定直线上;【题目详解】解:(1)依题意设直线的方程为,由已知得:圆的圆心,半径,因为直线与圆相切,所以圆心到直线的距离,即,解得或(舍去).所以;(2)依题意设,由(1)知抛物线方程为,所以,所以,设,则以为切点的切线的斜率为,所以切线的方程为.令,,即交轴于点坐标为,所以,,,.设点坐标为,则,所以点在定直线上.【答案点睛】本题考查抛物线的方程和性质,直线与圆的位置关系的判断,考查直线方程和圆方程的运用,以及切线方程的求法,考查化简整理的运算能力,属于综合题.18.(1)(2)【答案解析】

(1)通过讨论的范围,得到关于的不等式组,解出取并集即可.(2)去绝对值将函数写成分段函数形式讨论分段函数的单调性由恒成立求得结果.【题目详解】解:(1)当时,,即或或解之得或,即不等式的解集为.(2)由题意得:当时为减函数,显然恒成立.当时,为增函数,,当时,为减函数,综上所述:使恒成立的的取值范围为.【答案点睛】本题考查了解绝对值不等式问题,考查不等式恒成立问题中求解参数问题,考查分类讨论思想,转化思想,属于中档题.19.(1)证明见解析(2)【答案解析】

(1)连接OE,利用三角形中位线定理得到OE∥PC,即可证出OE∥平面PBC;(2)由E是PA的中点,,求出S△ABD,即可求解.【题目详解】(1)证明:如图所示:∵点O,E分别是AC,PA的中点,∴OE是△PAC的中位线,∴OE∥PC,又∵OE平面PBC,PC平面PBC,∴OE∥平面PBC;(2)解:∵PA=AB=4,∴AE=2,∵底面ABCD为菱形,∠BAD=60°,∴S△ABD,∴三棱锥E﹣PBD的体积.【答案点睛】本题考查空间线、面位置关系,证明直线与平面平行以及求三棱锥的体积,注意等体积法的应用,考查逻辑推理、数学计算能力,属于基础题.20.(1)28种;(2)分布见解析,.【答案解析】

(1)分这名女教师分别来自党员学习组与非党员学习组,可得恰好有一名女教师的选派方法数;(2)X的可能取值为,再求出X的每个取值的概率,可得X的概率分布和数学期望.【题目详解】解:(1)选出的4名选手中恰好有一名女生的选派方法数为种.(2)X的可能取值为0,1,2,3.,,,.故X的概率分布为:X0123P所以.【答案点睛】本题主要考查组合数与组合公式及离散型随机变量的期望和方差,相对不难,注意运算的准确性.21.(1);(2)见解析.【答案解析】

(1)设切点坐标为,然后根据可解得实数的值;(2)令,,然后对实数进行分类讨论,结合和的符号来确定函数的零点个数.【题目详解】(1),,设曲线与轴相切于点,则,即,解得.所以,当时,轴为曲线的切线;(2)令,,则,,由,得.当时,,此时,函数为增函数;当时,,此时,函数为减函数.,.①当,即当时,函数有一个零点;②当,即当时,函数有两个零点;③当,即当时,函数有三个零点;④当,即当时,函数有两个零点;⑤当,即当时,函数只有一个零点.综上所述,当或时,函数只有一个零点;当或时,函数有两个零点;当时,函数有三个零点.【答案点睛】本题考查了利用导数的几何意义研究切线方程和利用导数研究函数的单调性与极值,关键是分类讨论思想的应用,属难题.22.(1)(2)见解析

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