人教版导与练总复习数学一轮教师用书：第五章第4节　数列求和及综合应用

第4节数列求和及综合应用

课程标准要求.掌握等差、等比数列的前n项和公式..掌握特殊的非等差、等比数列的几种常见的求和方法.必备知识•必备知识•课前回顾®田徼材夯实四基知识梳理.数列求和的基本方法(1)公式法①等差数列的前n项和公式TOC\o"1-5"\h\zcJ（ai+an）fc jOn lid1' □.2 2②等比数列的前n项和公式q—1,Sn=-aianqai(l-qn).—: =—: ，qHLl-q 1-q 【(2)分组求和法:若一个数列的通项公式是由若干个等差或等比或可求和的数列组成的,则求和时可用分组求和法,分别求和而后相加减.(3)裂项相消法:把数列的通项拆成两项之差,在求和时中间的一些项可以相互抵消(注意消项规律)，从而求得前n项和.(4)错位相减法:如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的,那么求这个数列的前n项和即可用错位相减法求解.(5)倒序相加法:如果一个数列｛aj与首末两端等“距离”的两项的和相等或等于同一个常数,那么求这个数列的前n项和即可用倒序相加法求解.(6)并项求和法:一个数列的前n项和中，可两两结合求解,则称之为并项求和.形如an=(-D"f(n)类型,可采用两项合并求解..数列应用题的常见模型(1)等差模型：当增加(或减少)的量是一个固定量时,该模型是等差模型，增加(或减少)的量就是公差.(2)等比模型：当后一个量与前一个量的比是一个固定的数时,该模型是等比模型,这个固定的数就是公比.(3)递推模型:找到数列中任一项与它前面项之间的递推关系式，可由递推关系入手解决实际问题,该模型是递推模型.等差模型、等比模型是该模型的两个特例.会重要结论裂项求和的常用变形(1)^—^(1-J-).n(n+k)knn+k(2)-----—).(2n-l)(2n+l)22nl2n+l3) 1——-=Vn+l-Vn.Vn+Vn+1(4)若｛aj是公差为d(d2O)的等差数歹0则」一三(L一二一).an*an+ldanCln+1— -1--1—(2n-l)(2n+1-l)2nl2n+1l―自测S-.在等差数列｛aj中，已知公差d=；,且ai+a3+…+a99=50,则a2+ai+---+ai。。等于(B)A.50B.75C.100D.125解析：az+ai+.c+aioo=(ai+d)+(a3+d)+**,+(a99+d)3+a3+…+a99)+50d=50+50xZ2=75.故选B.TOC\o"1-5"\h\z.数列吃3；,碌74,…，(2n-l)+5…的前n项和S.等于(A)Z4 8 16 Z"A.n2+l_—B.2n2-n+l_—2n 2nC.n2+l--^-rD.n2-n+l—2nl 2n解析:该数列的通项公式为an-(2n-l)+^,则SW1+3+5+…+(2n-l)]+g+蠢+••♦+票=/+1-^.故选A..数歹ij{aj,{bn}满足ab,=l,an=/+3n+2,贝lj{bj的前10项和为(B)A-B.—C.-D.—4 12 4 12解析:&=1-21————三——-=^——,前10项和为工一如—+…ann2+3n+2(n+1)(n+2)n+1n+2 2334=i--.故选B.111221212.数列{aj的前n项和为Sn,已知Sn=l-2+3-4+…+(T)"'♦n,则17=.解析:Sd=1-2+3-4+5-6+…+15-16+17=1+(-2+3)+(-4+5)+(-6+7)++(-14+15)+(-16+17)=1+1+1+…+1=9.答案：95.已知数列{an)的前n项和为5且a0=n・2n,则Sn-.解析：因为&=n•2n,所以Sn=lX2*+2X22+3X23+-+n•2n，①所以2Sn=lX22+2X23+-・+(n—1)・2"+n・2叱②(D-®,W-Sn=2+22+23+-+2-n•2n+1=^^-n•2田=2日一2-n•2"“=1-2(l-n)2n+1-2.所以Sn=(n-l)2n”+2.答案：(n-1)2%2关键能力•课堂突破啜考点一数列求和口角度一分组转化法已知数列｛aj的前n项和S”丹安,n£N*.(1)求数列｛aj的通项公式；(2)设况=2"+(-DA,求数列｛bj的前2n项和.解：⑴当n22时,an=S「SnT毛上如咚2n.当n=l时,ai=Si=l满足a/n,故数歹|J｛aj的通项公式为an=n.⑵由⑴知an=n,故b产2n+(T)%.记数歹U｛bj的前2n项和为T",贝!J丁2产(21+22+—+2号+(-1+2-3+4—・+20.记A=2'+22+-+22n,B=-l+2-3+4-…+2n,则A罟詈=22田-2,B=(-1+2)+(-3+4)+…+[-(2nT)+2n]=n.故数列｛bj的前2n项和T2n=A+B=22n+,+n-2.解题策略分组求和法的常见类型⑴若4=bn±cn,且｛bJ,｛cJ为等差或等比数列，可采用分组法求｛%｝的前n项和.⑵通项公式为a14b力”为奇数，的数列，其中数列｛bn｝,&｝是等比数Icn,n为偶数列或等差数列,可采用分组法求和.口角度二裂项相消法已知数列｛aj是递增的等比数歹ij,且ai+a4=9,a2a3=8.(1)求数列｛aj的通项公式；(2)设出为数列｛an｝的前n项和,况=黑」,求数列｛bj的前n项和Tn.SnSn+l解：(1)由题设知aa=a2a3=8,又ai+a<=9,解得=［或｛,=?(舍去).设等比数列｛aj的公比为q,由a产ad得q=2,故an二ad In《N*.⑵s/Mi2”-1,1-q又b-。?1+1_Sn+「Sn_1_1SnSn+iSnSn+iSnSn+1所以Tn=bi+b2+…+bn解题策略(1)利用裂项相消法求和时，应注意抵消后并不一定只剩下第一项和最后一项,也有可能前面剩两项,后面也剩两项.(2)将通项公式裂项后,有时候需要调整前面的系数，使裂开的两项之差和系数之积与原通项公式相等.如:若数列｛aj是等差数列，则-J—(工-工).anan+ldanan+ianan+22danan+2口角度三错位相减法®H3)已知｛aj为等差数歹U,前n项和为Sn(n£N*),｛bj是首项为2的等比数列,且公比大于0,62+63-12,b3=a「2ai,Sn-1lb.1.(1)求｛aj和｛b“｝的通项公式；(2)求数列｛a2nb211｝的前Fl项和(IIGN*).解：(D设等差数列｛aj的公差为d,等比数列｛bn｝的公比为q.由已知bz+b3=12,得bi(q+q2)-12,而bi-2,所以q'+q-6=0.又因为q>0,解得q=2.所以壮=21由b3=a「2ai,可得13d—&i—8,(T)由Su=llb」,可得ai+5d=16,②联立①②,解得a,=l,d=3,由此可得an=3n-2.所以数列｛an｝的通项公式为a,,=3n-2,数列｛bj的通项公式为bn=2n.(2)设数列｛a2nb21｝的前n项和为Tn,有a2bnT=(3nT)X4n,故Tn=2X4+5X42+8X43+-+(3n-l)X4n,41=2X42+5X43+8X4,+…+(3n-4)X4n+(3n-l)X4n+1,上述两式相减,得—3Tn=2X4+3X42+3X4,+…+3X4"一(3n-l)X4n+1=些业2-4一(3nT)X4n+11-4=—(3n-2)X4n+1-8.得*4叫*所以数列Ebn/的前n项和为誓义4田+*解题策略⑴一般地,如果数列区｝是等差数列，依｝是等比数列,求数列瓜•bn)的前n项和时,可采用错位相减法求和,一般是和式两边同乘以等比数列｛bj的公比,然后作差求解.⑵在写出“SJ与"qSj的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”以便下一步准确写出“SrqSj的表达式.［针对训练］⑴已知数列｛aj满足a1=l,a/i•a0=2"(n)N*),则S2oi8等于()A.220,8-lB.3X21009-3C.3X21009-1D.3X21008-2(2)已知函数f(x)=x°的图象过点(4,2),令an=—~: ,n£N*.记数列｛aj的前n项和为Sn,则S2020等于()A.y/20191B.y/2020-lC.<2021-1D.<2021+1(3)已知等差数列｛aj的公差是1,且a.,a3,ag成等比数列.①求数列｛aj的通项公式；②求数列｛翡｝的前n项和Tn.(1)解析：aLl,a2—2,又皿Ml与=2,所以&以=2.所以aba3,as,…成等比数列；a2,a4,a6,…成等比数列,所以S2oi8=ai+az+as+a+as+He+...+azou+a?ois—(@1+43+a+…+a2017)+(az+ai+ae+f+azois)1 0097f1-71009\=————-=3X2'009-3.故选B.1-2 1-2(2)解析：由f(4)=2,可得4“=2,解得aW，贝!Jf(X)=y/x.所以ai/s+D+f(n)-VHTI+而―，11+1一屈，所以S2o2o=ai+a2+a3+,,,+a2侬=(V2-\/l)+(V3-V2)+(V4^V3)+,,•+(V2021V2020)=V2021T.故选C.(3)解:①因为｛aj是公差为1的等差数列，且a“a3,曲成等比数列,所以送=aiag,即(ai+2)2-ai(ai+8),解得ai-1.所以an=ai+(n-l)d=n.②由①可得，羽;=去,所以*1X(»+2X(i)2+3X(»+…+nX(1)n,|T„=lX(i)2+2X(i)3+-+(n-l)X(1)n+nX(i)n+1,两式相减得(I)'+(1)2+(1)3+-+(i)n-nX(1)n+1,所以云丹tnX(尹』-泰券2所以1=2-答.啜:考点二数列与函数、不等式的综合问题CW(2020•浙江卷)已知数列｛aj,｛bn｝,｛cj满足ai=bi=Ci=l,Cn=an4i-an,cn.i=-^-cll,n£N*.bn+2⑴若｛bj为等比数列，公比q>0,且bi+b2=6b3,求q的值及数列｛aj的通项公式；(2)若｛bj为等差数列，公差d>0,证明:C1+C2+C3+…+ce+),n£N*.a⑴解：由bi+b2=6b：“得l+q=6q；解得所以h.由Cn+l=4Cn得Cn=4n'.由an+i-3n-4"।得an-ai+1+4+,,•+4n2=-——.⑵证明：由CmAcn得bn+2力(1_1)bnbji+idbnbn+i所以Cl+C2+C3+，，，+Cn=^^(l--^—),dOn+1由bi=l,d>0得bn+i>l,因此，C1+C2+C3+…+cW1+二，nGN.a.解题策略解决数列与函数、不等式的综合问题的关键是从题设中提炼出数列的基本条件,综合函数与不等式的知识求解;数列是特殊的函数，以数列为背景的不等式证明问题及以函数为背景的数列的综合问题体现了在知识交汇上命题的特点.[针对训练]已知数列｛an)的前n项和为Sn,且满足Sn^(an-1),n《N*.(1)求数列｛aj的通项公式；⑵令bn=log2an,记数列｛&'J的前n项和为T”.证明：Tn<1.(bn+l)(&n-l) 2⑴解:当n=l时,有a1=S1^(a-l),解得ai=4.当n22时，有SnW(anrl),则an=Sn-Sn-i^(an-1)-^(an-i-1),整理得an=4an-i,所以数列｛aj是以4为公比，以4为首项的等比数列.所以amxrHYnWN*),即数列｛aj的通项公式为an=4n(neN*).⑵证明：由⑴有bn=log2an=log24'-2n,则-1—=-i—=!(」，)(Z)n+1)(bn-l)(2n+l)(2n-l)22nl2n+l所以TnW[(13)+(1-1)+…+ )]=|(1-T--7)q,2 3 35 Zn~l2n+l2Zn+12故得证.原考点三数列中的创新题口角度一选择一个条件(2021•山东临沂高三一模)在①&=竽,②amaESn,③n2W+a,,=2S”,这三个条件中任选一个,补充在下面的问题中，并解答该问题.已知正项数列｛an｝的前n项和为Sn,ai=l,满足.⑴求an;⑵若bn=(an+l),2a«,求数列｛bj的前n项和Tn.解：⑴若选①，则2Sn=nan+i,当n=l时，2sl=a2,得3.2—2,当nN2时，2S*(n-Da”，得2an=nan+-(n-1)an,即(n+1)an=nan+1,所以四±U11,所以atl=-^-•¥ 7 *ai=n(nN2),n-1n-2 1当n=l时也成立，所以an=n.若选②，即2Sn=an+ia”当n—1时，2Si=a2a1,得32=2,当n22时，得2Sn-i=anan-i,两式相减得2an=anan+i-anan-i,由a，。,得an+i-an-i=2,又因为ai=l,a2=2.所以数列｛aj是公差为2,首项为2的等差数列,数列｛a2M是公差为2,首项为1的等差数列，故a„=n.若选③，即W+an=2Sn,当n22时,aJ_1+an-i=2Sn-i,两式相减得W+a「W一1—an-i=2an,BP(an+an-i)(an-an-j-D=O,由an>0,得an-an-i-l=0,所以｛aj是公差为1的等差数列，故an=n.(2)bn=(n+l)・2n,Tn=2X2+3X22+4X23+-+(n+1)•2n,2Tn=2X22+3X23+-+n•2n+(n+l)*2n+1,两式相减，得—1=4+2423+…+2n—(n+1)・2n+,=4+四*-(n+1)-2"+11-2=4—4+2n”一(n+1)・2n+1=-n•2n+1,故*n-2n+,.口角度二选择多个条件(2021•广东六校联盟第二次联考)从①bz=3;②丝+…a2+"=6=郭③ab+a2b2+…+ab=3+(2n-3)2n中任选两个补充到下面问an2n题中的横线上,然后完成问题的解答.问题：已知数列｛aj为正项等比数列,a.-l,数列｛bj满足.⑴求a.⑵求｛二―｝的前n项和bnbn+l解:选择①③：⑴令n=l,得ab=3+(2-3)X2=l,所以bi=l,令n=2,得ab+a2b2=3+(4-3)X2--1—=1--1—=1(工」)bnbn+1(2n-l)(2n+l)22nl2n+l所以T用(1」)+(i-i)+—+ -1)]上(1-1)-n""n2LU3；^35；k2nl2n+l"2"2n+l2n+l,选择①②：(1)令n=l,得"=6-竽=1,所以bi=l,令n=2,得生+丝6-竽弓，所以"4«22又bz=3,所以32—2,所以a2b2=6.又b2=3,所以a2=2,设数列｛aj的公比为q,则q匹2,ai所以劣=2。(2)当n22时,ab+a2b2+…+an-ibn-i=3+[2(nT)-3],2n二①又ab+a2b2+a3b3+…+anbn=3+(2n—3)•2n,②②-①得ah=3+(2n-3)2"-[3+(2n-5)•2nl]=(2n-l)•2nH,因为an=2n'\所以bn=2n-1,当n=l时也成立，所以bn=2n-l.设数歹U｛aj的公比为q,则q匹2,ai所以aN1(2)当n22时,生+丝+…+如1=6-竺12:6,①Ql«2 12n1又竺+丝+…+ ②«2an2n'②-①得蛆=6-9-6+也=竺=笔，an2n2n12n1因为an=2n'1,所以bn=2n-1,当n=l时也成立，所以bn=2n-l.以下与选择①③相同.选择②③：(1)令n=l,得"=6-竽=1,Q12所以bi=l,aibi=l,令n=2,得ab+azb2=3+(4-3)X22=7,8+6_5aiaz4 2'所以a2b2=6, 相除得及=4,又an>0,所以32—2,设数列｛a｝的公比为q,则q=M=2,所以an=2n-1.(2)当n22时,生+丝+…+如1=6-丝二3,①«1a2ani2n1又空+丝+…+&6-"②«2«n2n②一①得。—一」an2n2nl2n1因为In二2n)所以bn=2n-l,当n=l时也成立，所以bn=2n-l.以下与选择①③相同.「解题策喳正确解决本题的关键是从三个条件中选择两个合并在题目中，确定出数列｛aj的通项公式,从而完成新数列的数列求和.［针对训练］.已知正项数列｛an｝的前n项和为Sn,且4sti=(%+1)2.⑴求数列｛%｝的通项公式；⑵在①b尸一--;(2)bn=3n•a.③b广获二.这三个条件中任选一个,补an^n+l 4sliT充在下面的问题中并求解.若，求｛bn｝的前n项和Tri.解：⑴因为4S.=(a0+l)2,所以当n=l时,4ai=4Si=®+l)2,解得a1=L当n22时，4Se=(ae+l)2,又4Sn-(an+l)2,所以两式相减得4an=(a.+l)2-(4-+1)2,RT(an+an-i)(an-an-i_2)=0,因为an>0,所以an-an-i-2,所以数列｛aj是首项为1,公差为2的等差数列，所以an=2n-l,故数列｛aj的通项公式为an=2n-l.(2)若选条件①，片1_ 1 anan+1(2n-l)(2n+l)_1(1_1)V2nl2n+l；,贝!JTH(1二+」+工二+•,•+二一一」-)=1(］一二—)=」-2 335572nl2n+l22n+l2n+l若选条件②，bn=3”・an=3n・(2n-l),则Tn=lX3+3X32+5X33+-+(2n-l)・3n,上式两边同时乘3,可得3Tn=lX32+3X33+5X34+-+(2n-l)X3n+1,两式相减得-2£=3+2•(32+33+-+3n)-(2n-l)・3,=-6+(2-2n)•3n+l,可得Tn=(n—1)-3n+1+3.若选条件③,由an=2n-l可得Sn~(1+2"1)-n=n\所以4n2-l(2n-l)(2n+l)2V2n-12n+l故*(1-1+1-14-1+•••+---)J(i故*(1335572n-l2n+l22n+l2n+l2.（2021•山东威海高三上学期期中考试）在①a+a3=b3,②b2+S5=-b”,③％+a9=-4.这三个条件中任选两个,补充在下面的问题中.若问题中的m存在,求出m的值;若不存在,请说明理由.设等差数列｛4｝的前n项和为Sn,｛bj是各项均为正数的等比数列,设前n项和为Tn,右,,且bi-2,是否存在大于2的正整数叫使得4SbS3,日成等比数列?解:设等差数列｛an｝的公差为d,等比数列｛b—的公比为q(q>0),由题意知qNl,所以］,=%(124)=512=5组if",l-q l-q整理得l+q2=5.因为q>0,所以q=2,所以bn=2L⑴当选取的条件为①②时,有%=2(4+'—T6,所以产二：,解得将=半Q+2d=-4,Id=-8.所以an=-8n+20,Sn=-4n2+16n.所以SF12,S3=12,SB=-4m2+16m,若4SbS3,Sm成等比数列,则SA4S0,所以4m2-16111+3=0,解得m=2土半，因为m为正整数，所以不符合题意,此时m不存在.⑵当选取的条件为①③时,有［%：% ［0+劭二.4,所以广：土二1(2。］+8d—4,

解得｛解得｛=6,d=-2.所以an=-2n+8,Sn=-n'+7n.所以Si=6,S3=12,Sm="m"+7m,若4sLS3,8成等比数列，则用=4S0,所以m2-7m+6=0,解得m=6或m=l(舍去),此时存在正整数m=6满足题意.⑶当选取的条件为②③时,有(44-55=-16,所以产肝(%+2d=-4,解得二；，所以%=n-7,Sn-M：3n,所以S尸—6,S：lT5,S产受产，若4Si,S3,S”成等比数列，则靠=4S&,即225=-24S„,所以4m2-52m+75=0,解得m上等，因为m为正整数，所以不符合题意,此时m不存在.一备选例题例1J在数歹［｛aj中，ai=l,a2=2,a.一an=l+(T)”，那么S100的值为()A.2500B.2600C,2700D.2800解析：当n为奇数时,4+2-%=0,所以an=l,当n为偶数时,an+2-an=2,所以an=n,1,九为奇数,n,n为偶数,于是S100-50+-(2+100)x500「于是S100-50+- =2600.2故选B.例2,已知等差数列｛aj的公差为2,且是a?与a8的等比中项,则an等于（）A.-2nB.2nC.2nTD.2n+l解析：由题意得等差数列｛aj的公差d=2,所以an=ai+2(n-1).因为a,是a?与女的等比中项，所以欣=a2a8,即(ai+6)2-(a)+2)(ai+14),解得a,-2,所以an=2n.故选B.CW设y=f(x)是一次函数，若数0)=1,且41),£(4),六13)成等比数列，则f(2)+f(4)+…+f(2n)等于()A.n(2n+3)B.n(n+4)C.2n(2n+3)D.2n(n+4)解析：由题意可设f(x)=kx+l(k#0),则(4k+l)2=(k+l)(13k+l),解得k=2,f(2)+f(4)+…+f(2n)=(2X2+1)+(2X4+1)+…+(2X2n+l)=n(2n+3).故选A.0OQ(2021•江苏盐城高三考前热身)在①对任意n>l满足Sm+Sk2(Sn+l) 2"Sn+an；③Sn=nam(n+D.这三个条件中任选一个,补充在下面问题中.问题：已知数列｛aj的前n项和为Sn,a2-4,,若数列｛aj是等差数列,求出数列｛aj的通项公式;若数列｛aj不是等差数歹山请说明理由.解:若选择条件①:因为对任意n>l,neN*,满足Sn+1+Sn-,-2(Sn+1),所以Sn+「Sn=S「Sn-l+2,即an+i—an=2,因为无法确定④的值，所以a2-ai不一定等于2,所以数列｛aj不一定是等差数列.若选择条件②：由Sn+「2=Sn+On,则5/152=2,即an+i—Sn=2,n£N,因为a2=4,所以ai=2,所以数列｛aj是等差数列，公差为2,因此数列｛an｝的通项公式为an=2n.若选择条件③:因为Sn=nan+i-n(n+l),所以Sn-i=(n-1)an-(n-1)n(n^2,neN*),两式相减得an=nan+i-(n-l)an-2n(nN2),即an+i—Sn=2(n22),又Sj—a.2-2,即Q.2~~cii=2,所以an+i—Sn—2,n£N,又32~4,&2-Hi—2,所以ai=2,所以数列｛aj是以2为首项,2为公差的等差数列.所以an=2+2(nT)=2n.;里口叶作、山 灵活》居合数提偏®选题明细表知识点、方法基础巩固练综合运用练应用创新练数列求和1,3,4,5,6,7,8数列综合应用2,9,1012,13,14,15,16数列创新题1117A级基础巩固练.数列｛1+2修的前n项和为(C)A.l+2nB.2+2nC.n+2-1D.n+2+2n解析：由题意得4=1+2二1-7n所以Sn=n+ =n+2n-l.故选C.1~22.我国古代数学名著《算法统宗》中说：“九百九十六斤棉，赠分八子做盘缠.次第每人多十七,要将第八数来言.务要分明依次第,孝和休惹外人传.”意为：“996斤棉花,分别赠送给8个子女做旅费,从第1个孩子开始，以后每人依次多17斤,直到第8个孩子为止.分配时一定要按照次序分,要顺从父母，兄弟间和气,不要引得外人说闲话.”在这个问题中，第8个孩子分到的棉花为(A)A.184斤B.176斤C.65斤D.60斤解析:依题意得，八个子女所得棉花斤数依次构成等差数列，设该等差数列为｛aj,公差为d,前n项和为S“,第一个孩子所得棉花斤数为a„则由题意得，d=17,S8=8ai+号X17=996,解得a尸65,所以as=al+(8-l)d=184.故选A.3.数歹!j｛aj的通项公式是前n项和为9,贝ijn等于(B)Vn+Vn+lA.9B.99C.10D.100解析:因为an~r——_=Vn+l~Vn,Vn+vn+1所以Sn=ai+a2+,*,+an=(Vn+l-Vn)+(Vn-\/n-T)+,,,+(a/3—\/2)+(>/2-Vl)=Vn+I-1,令\n+1T=9,得n=99.故选B.4.数列｛aj的通项公式为劣=(-1)自・(4n-3),则它的前100项和为(B)A.200B.-200C.400D.-400解析：Si0o=(4X1-3)-(4X2-3)+(4X3-3) (4X100-3)=4X[(1-2)+(3-4)+-+(99-100)]=4X(-50)—200.故选B.5.我国古代数学名著《九章算术》中，有已知长方形面积求一边的算法,其方法的前两步为：第一步，构造数列…=;234n第二步,将第一步中数列的各项乘以n,得到的新数列记为aba2,a3,…，an.则a®+a2a3+…+an-®等于(C)A.n2B.(n-1)2C.n(n-l)D.n(n+l)解析:由题意得,新数列为n,2与£…,234n故aia?+a2a3+a3a4+•••+an-iann.nn,nn, .nn二n•一+—•一+—・一+•••+—• 22 33 4 n-1n1x22X33x4 (n-1)•n=n(nT).故选C.6.定义:称DDn0为n个正数Pi,E,…,Pn的“均倒数”.若数列｛ajP1+P2+…+Pn的前n项的“均倒数”为七，则数列｛aj的通项公式为(C)2n-lA.an=2n-lB.an=4n-lC.a,,=4n-3D.an=4n-5解析:因为所以…+…+aw_。所以ai+a2+a3+---+an=(2n-l)n,ai+a2+,,,+an-i=(2n-3),(nT)(n22),两式相减得an=(2n-l)n-(2n-3)(nT)=4n-3,a1二l也适合此等式，所以an=4n-3.故选C..(2021・江西高三模拟)单调递增的等比数列｛aj满足ai+a2+a3=14,a】a2a3=64,令bn^log2an,则｛丁^—｝的前1。项的和为 .bnbn+1解析：设单调递增的等比数列｛an｝的公比为q,则q>l,唬黑”i所以卜i(l+q+q2)=14,=4,消去西得工贮=9，q4即2q2-5q+2=0,解得q=2或q=：(舍去)，所以a尸2,a产adT=2X2n—=2n,bn=log23n=lOg22-n,所以‘一=~--=i-—,bnbn+1n(n+l)nn+l,r-riu1.1,I1 1.11,,1111_1OP/T++•••+ —1~l—+———+•••――] .b1b2b2b3 bio^ii 223 1011 1111答案:三11.在数列｛aj中，a[=-2,^2—3,a，3=4,-3+(—l)a+i=2(nGN*).记Sn是数列｛an)的前n项和,则Sw的值为.解析：由题意知，当n为奇数时,an+3-an+1=2,又32~31所以数列｛aj中的偶数项是以3为首项,2为公差的等差数列，所以a2+a」+a6+…+a2o=10X3+-^—X2-120.当n为偶数时,an+3+a*2,又a3+a1=2,所以数列｛aj中的相邻的两个奇数项之和均等于2,所以ai+as+as+…+am+ai9=(ai+a3)+(a5+a7)+---+(ai7+ai9)=2X5=10,所以S20=120+10=130.答案：130.设Sn是数列｛劣｝的前II项和，满足(Sn+2+3S„)-(3Sm+SnT)=2(n22,n£N),且Si—2,aZ=6,as—12,则an= ,若bn=—,则数列｛bj的前2021项和为.解析：当n22时，由⑸+2+3SJ-(3S“”+Si)=2,得(Sn+2-Sn-l)-3(Sn+「Sn)=2,所以a"+an+i+an-3am=2,整理得区+2-211+1)-(211+1-2，=2,(*)则数列｛an「aj从第二项起是公差为2的等差数列.因为a1=2,&2~6,&3~12,所以(&3-b2)—(&2-31)~2,符合(*)式，所以｛a“「aj是首项为4,公差为2的等差数列，所以an+i-an=4+2(n-l)-2(n+1).当n22时,an=(an-an-i)+(an--an-2)+,,,+(a2-ai)+ai=2n+2(nT)+…+

2X2+2=n(n+1),a1=2也符合上式,所以an=n(n+l),1_1nn+l,所以数列｛bj的前2021项和为（广；）+（；-；）+（；-》+…+（金-+）=2 23 34 202120221_202120222022,答案:n(n+l)20答案:n(n+l)20212022.已知数列｛an）的前n项和Sn满足吗=/=+1（n，2,n《N）,且3.1~1.（1）求数列｛aj的通项公式；（2）令&=2而，cn—貌方,设Tn是数歹lj｛cn｝的前n项和，证明：Tn<-1.（bn-l）（bn-4） 2⑴解：6?=JSn-i+l（n22,n《N）,且ai=l,可得｛用｝为首项为1,公差为1的等差数列，贝Uj^i=l+（n-D=n,即Sn=n；当n22,an=Sn-Sn-i=2nT（当n=l时也符合），所以an=2n-l.⑵证明•b=2?2 」. 3•22K =1/__1____1_）''叱刀n，"4 （22n-1-l）（22n3-l）4k22n-3-l22nl-lJ,tY[（---）+（---）+•♦•+ -2—）<n4 2-1-l21-1 21-I23-l—• 二—4 2-1-1 2B级综合运用练11.（2021—• 二—4 2-1-1 2B级综合运用练11.（2021•广东梅州高三一模）某软件研发公司对某软件进行升级,主要是软件程序中的某序列A=｛a,a2,a3,…｝重新编辑,编辑新序列为A*=伴,3之…｝，它的第n项为皿,若序歹U（A*）*的所有项都是2,且Qia2a3 ana5=l,a6=32,则a［等于（C）TOC\o"1-5"\h\zA.— B.—256 512C--- D---・1024 •2048解析:设因为序列G4*）*的所有项都是2,所以A*={q,2q,2'q,…},即皿=2/，an因为a”=^-・巴口•吐 也・ai,an-lan-2an~3 al(n-2)(n-1)所以an=2n2q,2nq q,a【=2 2qnlab所以产=羽:"2a=2qax=32,解得k1=i024'故选C.lq=2.12.(多选题)对于数列{aJ(n£N*),满足性质”对任意的正整数n,现沪“都成立”的数列是(BCD)A.an=n'+n+lB.an=2n+lC.an=ln-^-D.an=2n-ln+l解析:对于A,血券普=8>a?=7,不满足性质“对任意的正整数n,号也都成立"；对于B,D,数列｛2n+l｝和｛2nT｝都是等差数列,故有如詈:满足性质”对任意的正整数n, 都成立”;对于C,an=ln5pan+2+an=ln（詈•公）,2a*ln（熏）1X—■—)2=, x；2nt一^<0,即有公/Wa用，因此数列n+3 n+1 n+2 (n+3)(n+1)(n+2) 2{aj满足性质“对任意的正整数n,%|当Wa田都成立”.综上所述，满足性质“对任意的正整数n,戈玛都成立”的数列为B,C,D.故选BCD.13.(2021・宁夏吴忠高三一模)已知数列{aj,{bj,其中数列{aj满足an+5=an(neN*),前n项和为Sn,满足Sn=(-DA+/+n-3(1WnW6);数列{bj满足bn+s=bn(nGN*),且列2,%1二9人(1WnW7),则数列(an•bj的第2024项的值为.解析：因为S.F(-1)na„+^+n-3(1WnW6),所以当n=l时，由Si=(-1)'aj+l+1-3得a尸弓2 4当n=3时,ai+a2+a3=-a3+-,8所以@2+2@3二1①8当n=4时,ai+a2+a3+a4=a}+—+1,16所以出+己3二二,②16由①②得也二?,出二一登，4 16当n=5时,ai+a2+a3+ai+a5=-a5+^+2,所以a4+2a5=:^,③当n—6日寸，3,1+22+^3+04+85+%=%+—+3,64所以a&+a5=要,④64由③④得a4,a5=~^.16 64因为be^-bn(lWnW7),bi=2,n+1所以(n+1)bm=nbn=2(1WnW7),所以b“=—(l〈nW8),n因为ant5=an(nGN*),bn+8=bn(neN*),所以数列区bj是以40为周期的数列,因此&2024,^>2024—324,^>24>而324-a1=—,b24~bs=-=7，16 84因止匕3L2024•bz024-324* 义16 464答案《6414.(2021•新高考I卷)已知数列｛&｝满足a=1,届+|二an+1,ri为奇数,

an+2,ri为偶数.⑴记bn=a2n,写出bi,b2,并求数列｛bj的通项公式;(2)求｛4｝的前20项和.解：(1)因为bn-a2n,且Si-1,an+i=an+1,71为奇数,

an+2,n为偶数.b?=a产a3+l=az+2+l,=5.因为bn=a2n,所以bn+l=a2n+2=a2n+l+l=a2n+l+]=a2n+2+]=a2n+3,所以bn+「bn=a2n+3—a2n=3,所以数列｛bj是以2为首项,3为公差的等差数歹U,壮=2+3(n-l)=3nT,n£N*.(2)因为anan+1,也为奇数,an+2,n为偶数,所以当k《N时，a2k-a.2k-Hi-a-2k-i+l,即a2k=a2k-i+l,①a2k+i=a2k+2,②a2k+2=a2k*i+i=a2k+i+1>即a2k+2=a2k+i+l,③所以①+②得a2k+i=a2k-i+3,即32k+I—a.2k-l~3,所以数列｛aj的奇数项是以1为首项,3为公差的等差数列；②+③得a2k+2=a2k+3,即a2k+2-a2k=3,又a2-2,所以数列｛aj的偶数项是以2为首项,3为公差的等差数列.所以数列｛aj的前20项和S2o