必修2-讲义2空间几何体中计算答案版

必修必修2—讲义2· 空间几何体——多面体 几种常见的多面体有两个面互相，其余各面都是，并且每相邻两个四边形的公共边都互相，由 ．． 底面 底 公共顶点的各个．．顶点：各侧面 锥，底面与截面之间的部分做棱台 ．顶点4.(1)圆柱叫做圆柱.圆锥： ③表示法：圆锥 表示，图中圆锥表示 圆①定义：用平行于圆锥底面的平面去截圆锥，底面 之间的部分叫做圆台③表示法：圆台 的字母表示，图中圆台表示 球 所在直线为旋转轴，半圆面旋转一周形成的旋转体叫做球体，简称球③表示法：球常 的字母表示，图中的球表示 简单组合体： 投影投影 投影当图形中的直线或线段不平行于投影线时，平行投影都具有下述性质①直线或线段的平行投 ②平行直线的平行投影 ③平行于投影面的线段，它的投影与这条线 ④与投影面平行的平面图形，它的投影与这个图 ⑤在同一直线或平行直线上，两条线段平行投影的比等 基本特征：一个几何体的侧视图和正视图 空间几何体的直观图：说明：在立体几何中，空间几何体的直观图是 投影下画出的空间图形用斜二测画法对应的x′轴与y′轴，两轴交于O′，且使∠x′O′y′＝ 画线：已知图形中平行于x轴或y轴的线段在直观图中分别画成平行于 取长度：已知图形中平行于x轴的线段，在直观图中 立体图形直观图的画法： Module1多面体的表面旋转体的表面底面积：S底侧面积：S侧底面积：S底侧面积：S侧下底面面积：S下底＝πr2侧面积：S侧＝πl(r＋r′) 答案解析S圆柱

a2 a22a2S 2 a2S 2 ＋ ，圆 π··a＝ ∴S圆柱∶S圆锥2.ABCD，BC∥AD，∠ABC＝90°，AB＝5cm，BC＝16解AB4cm，下底半径是16cm，母线DC＝52＋16－42＝13(cm)．∴该几何体的表面积为习题1．圆台的上、下底面半径分别是3和4，母线长为6，则其表面积等于 答案解析S圆台表＝S圆台侧＋S上底＋S， A．258cm2B．414cm2C．416cm2D．418cm2a=b=c时上式“=”由题意可知，a，b，c2、6连接，3、5连接各为一条棱，第三条棱为9组成长方体，（cm2．习题3．如图，在矩形ABCD中，AD=，AB=3，E、F分别为AB边、CD边上一点，且AE=DF=lABCDEFADFEBCFEAB、CD，则所得三棱柱ABE﹣DCF的侧面积比原矩形ABCD的面积大约多（取≈2.236（） （如图∵AE=DF=1．AB=3，AD=侧面积比原矩形ABCD的面积大约多出空间几何体体积：锥体：锥体的底面面积为S，高为h，则 ＝3台体：台体的上、下底面面积分别为S′、S，高为h，则 ＋3例1．如果轴截面为正方形的圆柱的侧面积是4π，那么圆柱的体积等于( 答案解析r2rS圆柱侧棱锥C－A1B1C1的体积之比．解h，S△ABC＝S∴VA1－ABC＝1SABC·h＝13 S＝VC－A1B1C1＝1 S＝ 台1V台1

∴VB－A1B1C＝V台 ＝Sh－ ＝ 规律方 求几何体体积的常用方 答案解析x、2x、3x214∴V长方体 62答案＝S解析三棱锥D1－ADC的体积 ＝S

3＝××＝ ＝××＝

×＝. ×＝.3 习题3．半径为2的半圆卷成一个圆锥，则它的体积 答案 解析r则h＝h＝3 3×π×1×＝ 解PA⊥PB，PA⊥PC，

PBC＝1·PB·PC＝ ∴VP－ABC＝V1＝3

3× ＝ ABC的体积为＝，即三棱锥 (1)三棱锥A′－BC′D的表面积与正方体表面积的比值(2)三棱锥A′－BC′D的体积解(1)∵ABCD－A′B′C′D′∴A′C′＝A′B＝A′D＝BC′＝BD＝C′D＝4 ＝×4

(2a)2＝2 三棱 43S3

＝S正方 (2)显然，三棱锥A′－ABD、C′－BCD、D－A′D′C′、B－A′B′C′∴VA′－BC′D＝V正方体－4V×× 1×× ＝＝a3与三视图有关的表面积、体积问题规律方法：例1.一个四棱锥的侧棱长都相等，底面是正方形，其正视图如图所示，则该四棱锥侧面积和 A．4 B．4 ，3C．4( ＋

3答案 的正方形，四棱锥的高为，∴＝××＝ 四棱锥的侧面是全等的等腰三角形，底为2，高为5，∴S 2×5＝4 ×2 2．若一个底面是正三角形的三棱柱的正视图如图所示，则其侧面积等

答案解析12S侧2 23A.C.2

D.D.答案解析何体的正视图是一个长为2，宽为1的矩形，其面积为2.习 2.一个几何体的三视图及其尺寸如图(单位：cm)，则该几何体的表面积为 答案解析r＝3l＝5，∴S表＝πrl＋πr2＝24π.故C.习 3．一个几何体的三视图如图所示(单位长度：cm)，则此几何体的表面积是 A．16 B．10＋4C．12＋4 D．8＋2答案解析此几何体为三棱柱且侧棱与底面垂直，则表面积为(2＋2＋2 ×212＋4习 4．某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积是 63

3

答案

，故三棱锥的高为，故其体积＝＝ 习题5.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积 答案解析2，高为4，故体积为16π；正四棱柱底面边长为2，高为4，故体积为16，故题中几何体的体积16π－16.Module2球的体积公式 3其中R为球的半径＝(3R4πR2＝64π＝4 ＝πR＝π·(4) (2)设球R，则4πR3＝500π，解R＝5，所以球的表面积 规律方法1.已知球的半径，可直接利用公式求它的表面积和体积．2．已知球的表面积和体积，可以利用公式求它的半径．例2．两个半径为1的实心铁球，熔化成一个球，这个大球的半径 3答 解析R，则有4πR3＝2×4333R3＝2，∴R＝习题1．直径为6的球的表面积和体积分别是 答案解析3

4π·3，体积 3习题2.一个球的表面积是16π，则它的体积是 3 D.3答案解析R4πR2＝16πR＝2.2 πR＝ 习题3．若将气球的半径扩大到原来的2倍，则它的体积增大到原来的 A．2 B．4C．8 D．16答案解析rV

＝πr习题4.a 答案

3面的中心，O为球心，AP＝2×3a＝3

2 2R＝OAR2＝3a21a2＝7a2S ＝πa3

答案解析2R＝12＋22＋32＝14，所以球的S＝4πR2＝14π.球的截面问题规律方法：常画出过球心的截面圆，将问题转化为平面中圆的有关问题解决．例1.平面α截球O的球面所得圆的半径为1.球心O到平面α的距离为2则此球的体积为 A.A.C．46π答案BM为截面圆上任一点，OO′＝∴OM＝22＋1＝3.即球的半径为∴V＝4π(3)3＝43

B．4D．6例2如图所示用一边长为的正方形硬纸按各边中点垂直折起四个角形做成一个蛋巢将体积为的鸡（视为球体放入其中蛋巢形状保持不变则鸡（球体离蛋巢底面的最短距离为（） 故经过4个顶点截鸡蛋所得的截面圆的直径为1，4个小直角三角形的高为， 习题1．一平面截一球得到直径是6cm的圆面，球心到这个平面的距离是4cm，则该球的体 A.3

B.3

C.3答案

D.4163

解析R＝r2＋d2＝

3 πR π(cm C．50π则圆心M为正方体上底面正方形的中心．如图．而圆M的半径为4，由球的截面圆性质，得R2=（R﹣2）2+42，4π•52=100π．故选.．答案1解析若两个平行截面在球心同侧，如图(1)52－3252－42＝1；若两个平行截面在球心异侧，如图(2)，则两个截面间的距离为52－32＋52－42＝7. cos

R＝233，∴ ＝，即33 2r＝AC＝30⇒r＝15R＝10S＝4πR2＝4π(103)2＝1球的体积为 3)3＝4000＝πR＝ 球的组合体与三视图规律方法再向容器内注水，当球面恰好接触水面时测得水深为6cm，如果不计容器厚度，则球的体积 A.500π B.866π31

2 答案解析＝ ＝ 球＝π×5 球 习 1．如图是某几何体的三视图，则该几何体的体积为 9A. 2

2 答案32 32解析由三视图可得几何体为长方体与球的组合体故体积为V＝32×2＋ 3＝18＋ 习题2. ＝ ×＋×—× ＝ ×＋×—× 2

4 ＋×＋ Module3长为a，则：的等边三角形，三棱椎P﹣ABC的体积为，则该三棱锥的外接球的表面积为 A．B．C．OO1⊥平ABC，延CO1交球于DPD ∴OO1=∴高PD=2OO1=2 ∴V三棱锥 ∴r2=例2．半径为2的球内有一底面边长为2的内接正四棱柱（底面是正方形，侧棱垂直底面 A．B．C．∴h2+2a2=16≥2ah，∴ah≤4∴S侧=4ah≤16习题1．已知三棱锥A﹣BCD四个顶点都在半径为3的球面上，且BC过球心，当三棱锥A﹣BCD的体积最大时，则三棱锥A﹣BCD的表面积为（ A．B．C．BCD的体积最大，则三棱锥A﹣BCD的表面积：此时OA=OB=OD=OC=3，AB=AD=AC=3 习题2．若三棱锥S﹣ABC的底面是以AB为斜边的等腰直角三角形，AB=2，SA=SB=SC=2， A．B．C．由于AD=1，SD==，解得R=，则S球习题3．如图，AA1，BB1均垂直于平面ABC和平面A1B1C1，∠BAC=∠A1B1C1=90°，AC=AB=A1A=B1C1=，则多面体ABC﹣A1B1C1的外接球的表面积为（ A．2π ∴多面体ABC﹣A1B1C1的外接球的直径为 ，半径 ABC﹣A1B1C1习题面积为 A．48πB．52πC． D．影到中心的距离为4，设球心到底面的距离为h，则r2=（2）2+h2=42+（2∴h=，r2= A．B．C．取BC，AD的中点分别为E，F，此时 ×=∴OA=OC=R，又 设OF=xOE=解得x=；∴球的半径R满足R2=+=∴三棱锥外接球的表面积为4πR2=4π×某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为 3

3 答案解析S 其底面为等腰梯形，上底长为，下底长为，高为，故面积为＝ S2 答案解析

122

＝πh(r1 ＝1 ＝

3

＝1π(3r)

原圆 ＝3πr2×h1＝ 设正方体的表面积为24，那么其外接球的体积是 C．4 D．32答案解析3a＝2R，∴R＝ 3＝4球＝3正方体的内切球与其外接球的体积之比为 A．1∶ C．1∶3 答案1

解析a，则它的内切球的半径为 1∶3某几何体的三视图如图所示，则其表面积 答案解析

＋2 答

2解析πR＝ 9πR＝

3a＝3，∴a＝ 答案 3＝4πr3，由题意6πr3－8πr2＝4πr3，解得求这个几何体的表面积和体解(1)部是一个圆锥(底面半径为1，母线长为2，高为3)，3体积为 π×12×3＋ 形，侧视图是一个底边长为6、高为4的等腰三角形．解4、顶点在底面的射影是矩形中心的四V－ABCD.＝××× ＝×××38VADVB 42＋26＝42，另两个侧面VAB，VCD也是全等的等腰三角形，AB边上的高为 42＋2＋×1×6×4 ＋×因此S侧＝2 ＝40＋24求四棱锥A－BEFC的体积．解∴VA—VA－AB

1111＝3 ＝3＝ 2＝3

BEFC＝ ×m＝ 即四棱锥 的体积是3 圆柱形刷子滚动一周涂过的面积就等于圆柱的侧面积，∵圆柱的侧面积S侧＝2πrl＝2π×0.1×0.5＝0.1π

＝≈6.37(秒 5cm5cm的玻璃小球都浸没于水中，解h52两个小球的体积为V＝252 3 所 ＝π×53

MB′，P、Q ＝ ＝∴ ×得2×10×π＝2×OB×π α，××即 α，×＝．等于()22答案

2 2解析11，最大面积为因为2－1<1，因此所给选项中其正视图的面积不可能为2－1 一个正方体的八个顶点都在半径为1的球面上，方体的表面积为 B．8C．8 D．4答案解析1有3a2＝4，即a2 ＝3×∴正方体的表面积为 ×3圆柱的轴截面是边长为5cm的正方形ABCD，从A到C圆柱侧面上的最短距离为 5A．10 2

π2＋4C．52 D．5π2＋1答案解析BCACAC的线段的＝ ＝ ∴A′C＝ 25 52已知三棱锥S－ABC的所有顶点都在球O的球面上，△ABC是边长为1的正三角形，SC为球O的直径，且SC＝2，则此棱锥的体积为( 236262236262 答案解析S－ABCO－ABC33S AB2＝ 4 43 6高 12－ ＝3∴VSABC＝2VO

62 ×××＝2 均如图所示，且图中的四边形是边长为2的正方形，则该球的表面积是 答案解析2R2R＝2∴R＝3.∴S球表底面直径和高都是4cm的圆柱的侧面积 答案解析圆柱的底面半径为

＝2∴S侧 答案 4πr解析由题意可知该球的半径＝，故 3某四棱锥的三视图如图所示，该四棱锥的体积 答案解析由几何体的三视图可知该几何体是一个底面是正方形的四棱锥，其底面边长为3，且该四棱锥的高是1，故其体积为V ＝3已知正四棱锥 3 表面积 答案

2解析

OABCD＝1× 3h＝32，得＝3四棱锥 2 2

＝＋ ∴S球示，俯视图是一个边长为4cm的正方形．解(1)由题意可知，该几何体是长方体，底面是正方形，边长是4，高是2，因此该几何体的全面积是：2×4×4＋4×4×2＝64(cm2)，即几何体的全面积是64cm2.d＝16＋16＋4＝36＝6(cm)，所以球的半径为r＝3(cm)． A．108 B．100C．92 D．84答案 AE、AF、AD的长分别为4、4、3，故其体积为× ×4＝8(cm3)，所以所求几何体3 答案解析，其体积为 ＋π×2