基本体与曲面的投影

关于基本体与曲面的投影第一页，共一百一十四页，2022年，8月28日视图特征：

1)反映底面实形的视图为多边形；

2)另两视图均为由实线或虚线组成的矩形。棱柱

直棱柱—侧棱与底面垂直。斜棱柱—侧棱与底面倾斜。正棱柱——底面为正多边形的直棱柱。3－

1平面体的投影及其表面上的点与线第二页，共一百一十四页，2022年，8月28日正六棱柱三面投影图第三页，共一百一十四页，2022年，8月28日六棱柱的投影图第四页，共一百一十四页，2022年，8月28日棱柱表面上的点第五页，共一百一十四页，2022年，8月28日棱柱表面上的点第六页，共一百一十四页，2022年，8月28日棱柱表面上的点第七页，共一百一十四页，2022年，8月28日棱柱表面上的点第八页，共一百一十四页，2022年，8月28日4种工程形体的投影第九页，共一百一十四页，2022年，8月28日视图特征：

1)反映底面实形的视图为多边形（三角形的组合图形）；

2)另两视图均为三角形。棱锥正棱锥——底面为正多边形，顶点过底面中心垂线的棱锥体。第十页，共一百一十四页，2022年，8月28日(b)saBascbccsbCASa三棱锥的投影图第十一页，共一百一十四页，2022年，8月28日棱锥的投影第十二页，共一百一十四页，2022年，8月28日棱锥的投影第十三页，共一百一十四页，2022年，8月28日棱锥表面上的点第十四页，共一百一十四页，2022年，8月28日棱锥表面上的点第十五页，共一百一十四页，2022年，8月28日辅助线法第十六页，共一百一十四页，2022年，8月28日第十七页，共一百一十四页，2022年，8月28日棱锥表面上的点第十八页，共一百一十四页，2022年，8月28日棱锥表面上的点第十九页，共一百一十四页，2022年，8月28日视图特征：

1)反映底面实形的视图为两个相似多边形和反映侧面的几个梯形;

2)另两视图均为梯形(或梯形的组合图形)。棱台棱台可看成是由棱锥用平行于锥底面的平面截去锥顶而形成的形体，上、下底面为各对应边相互平行的相似多边形，侧面为梯形。第二十页，共一百一十四页，2022年，8月28日3.3求立体表面上点、线的投影1、位于棱线或边线上的点(线上定点法)——当点位于立体表面的某条棱线或边线上时，可利用线上点的“从属性”直接在线的投影上定点，这种方法即为线上定点法，亦可称为从属性法。

2.位于特殊位置平面上的点(积聚性法)——当点位于立体表面的特殊位置平面上时，可利用该平面的积聚性，直接求得点的另外两个投影，这种方法称为积聚性法。

3.位于一般位置平面上的点(辅助线法)——当点位于立体表面的一般位置平面上时，因所在平面无积聚性，不能直接求得点的投影，而必须先在一般位置平面上做辅助线(辅助线可以是一般位置直线或特殊位置直线)，求出辅助线的投影，然后再在其上定点，这种方法称为辅助线法。

平面立体上点和直线的投影第二十一页，共一百一十四页，2022年，8月28日【例3.1】如图所示，M、N分别是立体表面上的两个点。已知M点的正面投影m'、N点的水平投影n，试求点M、N的另外两面投影。第二十二页，共一百一十四页，2022年，8月28日【例3.2】如图所示，已知立体表面上直线MK的正面投影m'k'，试作直线MK的水平投影mk和侧面投影m"k"。(a)已知条件(b)作图方法第二十三页，共一百一十四页，2022年，8月28日【例3.3】如图所示，已知立体表面点K的正面投影k'，试求其水平与侧面投影k、k"。

(a)已知条件(b)一般位置直线作为辅助线(c)特殊位置直线作为辅助线求k点的投影求k点的投影第二十四页，共一百一十四页，2022年，8月28日3.3求立体表面上点、线的投影

1.线上定点法(从属性法)——当点或线位于曲面立体的轮廓素线上时，可利用“线上定点(从属性)法”求解。

2.积聚性法

——当点或线所在的立体表面有积聚性时，可利用“积聚性法”求解。

3.辅助素线或辅助纬圆法

——当点或线所在的曲面立体表面无积聚性时，则必须利用“辅助线法”求解，如位于圆锥(圆台)的锥面上的点或线，可利用辅助素线或辅助纬圆法；而位于圆球的球面上的点或线可利用辅助纬圆法。3.3.2曲面立体上点和直线的投影第二十五页，共一百一十四页，2022年，8月28日【例3.4】如图所示，已知立体表面上的点K的正面投影k'，求其另外两面的投影k、k"。(a)已知条件(b)作图方法第二十六页，共一百一十四页，2022年，8月28日【例3.5】如图所示，已知圆柱表面上线段AB的正面投影a'b'，求其另外两面上的投影。(a)已知条件(b)作图方法第二十七页，共一百一十四页，2022年，8月28日【例3.6】如图所示，已知圆锥上点K的正面投影k'，求其另两面上的投影。(a)已知条件(b)作图方法第二十八页，共一百一十四页，2022年，8月28日

常见的曲面体多是回转体，如圆柱、圆锥、圆球、圆环等。回转面——有一条母线（直线或曲线）绕固定轴线回转而成的曲面。素线——在回转面上每一个位置的母线。回转体——由回转面或回转面与平面所围成的体。3－2曲面立体的投影第二十九页，共一百一十四页，2022年，8月28日曲面立体的投影：所有表面的投影，也就是曲面立体的轮廓线、尖点的投影以及曲面立体的转向轮廓线。转向轮廓线：常常是曲面的可见投影与不可见投影的分界线母线：某些曲面可看作一条线按一定规律运动所形成，这条线称为母线，曲面上任一位置的母线称为素线。回转体：母线绕轴旋转，形成回转面。由回转面或回转面与平面所围成的立体为回转体。3－2曲面立体的投影第三十页，共一百一十四页，2022年，8月28日一.圆柱的投影：第三十一页，共一百一十四页，2022年，8月28日

圆柱由圆柱面和两个底面所围成。圆柱可看作是由一个矩形平面绕着它的一条边回转而成。圆柱面可看作由直线绕与它相平行的轴线旋转而成。圆柱第三十二页，共一百一十四页，2022年，8月28日视图特征：

1）反映底面实形的视图为圆；

2）另两视图均为矩形。第三十三页，共一百一十四页，2022年，8月28日分析圆柱轮廓素线的投影轮廓素线

——构成圆柱面投影的轮廓线（对某投影面的可见与不可见部分的分界线）（回转面上外形轮廓线）。第三十四页，共一百一十四页，2022年，8月28日1.圆柱的投影第三十五页，共一百一十四页，2022年，8月28日圆柱的投影第三十六页，共一百一十四页，2022年，8月28日圆柱的投影第三十七页，共一百一十四页，2022年，8月28日圆柱的投影第三十八页，共一百一十四页，2022年，8月28日2.圆柱表面上的点第三十九页，共一百一十四页，2022年，8月28日圆柱表面上的点第四十页，共一百一十四页，2022年，8月28日圆柱表面上的点第四十一页，共一百一十四页，2022年，8月28日圆柱表面上的点第四十二页，共一百一十四页，2022年，8月28日例求回转体表面上的点与线()()(1)作圆柱左视图(2)作特殊点A(3)作一般点B(4)作一般点CD第四十三页，共一百一十四页，2022年，8月28日

圆锥可看作是由一个直角三角形绕其直角边回转而成。圆锥由圆锥面、底面所围成。圆锥面可看作由直线绕与它相交的轴线旋转而成。圆锥第四十四页，共一百一十四页，2022年，8月28日视图特征：

1）反映底面实形的视图为圆；

2）另两视图均为等腰三角形。

第四十五页，共一百一十四页，2022年，8月28日圆锥的投影第四十六页，共一百一十四页，2022年，8月28日圆锥的投影第四十七页，共一百一十四页，2022年，8月28日圆锥的投影第四十八页，共一百一十四页，2022年，8月28日圆锥的投影第四十九页，共一百一十四页，2022年，8月28日圆锥的投影第五十页，共一百一十四页，2022年，8月28日圆锥表面上的点第五十一页，共一百一十四页，2022年，8月28日圆锥表面上的点第五十二页，共一百一十四页，2022年，8月28日圆锥表面上的点第五十三页，共一百一十四页，2022年，8月28日第五十四页，共一百一十四页，2022年，8月28日圆锥表面上的点第五十五页，共一百一十四页，2022年，8月28日圆锥表面上的点第五十六页，共一百一十四页，2022年，8月28日求解过程已知条件()(1)作圆锥左视图(2)作特殊点A(3)作一般点B(用辅助平面法）(4)作一般点B（用素线法）辅助平面辅助素线例圆锥表面上点的求法第五十七页，共一百一十四页，2022年，8月28日圆台

圆锥被垂直于轴线的平面截去锥顶部分，剩余部分称为圆台，其上下底面为半径不同的圆面，视图特征：

1）与轴线垂直的投影面上的投影为两个同心圆；

2）另两视图均为等腰梯形。

第五十八页，共一百一十四页，2022年，8月28日三.圆球的投影第五十九页，共一百一十四页，2022年，8月28日圆球的投影第六十页，共一百一十四页，2022年，8月28日圆球的投影第六十一页，共一百一十四页，2022年，8月28日圆球的投影第六十二页，共一百一十四页，2022年，8月28日圆球的投影第六十三页，共一百一十四页，2022年，8月28日圆球表面上的点第六十四页，共一百一十四页，2022年，8月28日第六十五页，共一百一十四页，2022年，8月28日圆球表面上的点第六十六页，共一百一十四页，2022年，8月28日圆球表面上的点第六十七页，共一百一十四页，2022年，8月28日圆球表面上的点第六十八页，共一百一十四页，2022年，8月28日(1)作球体左视图(2)作特殊点A、B(3)作一般点C(用辅助平面法）(4)判别可见性、光滑连线辅助平面求解过程已知条件例圆球表面上的点第六十九页，共一百一十四页，2022年，8月28日练习1第七十页，共一百一十四页，2022年，8月28日第七十一页，共一百一十四页，2022年，8月28日练习2第七十二页，共一百一十四页，2022年，8月28日第七十三页，共一百一十四页，2022年，8月28日练习3第七十四页，共一百一十四页，2022年，8月28日第七十五页，共一百一十四页，2022年，8月28日练习4第七十六页，共一百一十四页，2022年，8月28日第七十七页，共一百一十四页，2022年，8月28日练习5第七十八页，共一百一十四页，2022年，8月28日第七十九页，共一百一十四页，2022年，8月28日3－3曲面的投影一、曲面的形成和分类

曲面分为规则曲面和不规则曲面。规则曲面可以看成是运动的线按照一定的规则或受某种控制运动的轨迹。运动的线称为母线，曲面上任意位置的母线称为素线。控制母线运动的线或面，称为导线或导面。

第八十页，共一百一十四页，2022年，8月28日

由直母线运动生成的曲面称为直纹面，例如圆柱面、圆锥面；只能由曲母线运动生成的曲面称为曲线面，例如球面。曲面的形成和分类第八十一页，共一百一十四页，2022年，8月28日

根据母线运动时有无旋转轴，曲面可以分为旋转面和非旋转面。在旋转面中，由直母线旋转生成的叫旋转直纹面，由曲母线旋转生成的叫旋转曲线面。第八十二页，共一百一十四页，2022年，8月28日

平行于某个投射方向而且与曲面相切的投射线，形成投射平面或柱面，它们与曲面相切的切线称为该投射方向的曲面外形轮廓线，简称外形线。曲面在某个投影面上的投影，可以用该投射方向上外形线的投影来表示。此外，有时还需同时画出曲面上若干条素线。曲面的投影

第八十三页，共一百一十四页，2022年，8月28日曲面的投影

外形线同时还是曲面在该投射方向下可见与不可见部分的分界线。第八十四页，共一百一十四页，2022年，8月28日曲面上点的投影在曲面的同面投影上。这里讨论的问题是，已知曲面的投影，根据曲面上点的一个投影如何求出它的其余投影。与平面上定点类似，这里也要借助于辅助线。曲面上选用的辅助线，其投影应为直线或圆。对于直纹面，可选用其直的素线为辅助线，用这种方法求点的投影称为素线法。对于旋转面可以选用纬圆作为辅助线，用这种方法求点的投影称为纬圆法。第八十五页，共一百一十四页，2022年，8月28日

在圆锥面上用素线法和纬圆法求点的投影的例子：第八十六页，共一百一十四页，2022年，8月28日

直纹面分为旋转直纹面和非旋转直纹面。圆柱面、圆锥面、旋转单叶双曲面等属于旋转直纹面，切线面、双曲抛物面、锥状面、柱状面等属于非旋转直纹面。二直纹面1、柱面

直母线l沿着一条导曲线运动，且始终平行于某一固定方向T，这样形成的曲面称为柱面。柱面的所有素线均互相平行，画柱面的投影时需画出外形线的投影（轮廓素线）。第八十七页，共一百一十四页，2022年，8月28日在柱面上求点的投影，一般可用素线法。第八十八页，共一百一十四页，2022年，8月28日

柱面的曲导线一般为平面曲线。柱面是按正截面的形状取名的，正截面是圆时，称为圆柱面；正截面是椭圆时，称为椭圆柱面，等等。如果柱面有两个以上的对称平面，则对称平面的交线称为柱面的轴。下面是几种有轴柱面的投影。续第八十九页，共一百一十四页，2022年，8月28日2、锥面

直母线沿着一条曲导线C运动，且始终通过定点S，这样形成的曲面称为锥面。S称为锥顶，所有的素线都通过它。在投影图上，应画出锥顶、导曲线和锥面外形线的投影。第九十页，共一百一十四页，2022年，8月28日

在锥面上作点，一般利用素线法。当用投影面平行面能截出圆形交线时，也可以用纬圆法作点。下面是几种有轴的锥面。续第九十一页，共一百一十四页，2022年，8月28日3、切线面

直母线l沿着一条曲导线C运动，且始终与C相切，这样形成的曲面称为切线面。曲导线C是空间曲线，称为切线面的脊线。第九十二页，共一百一十四页，2022年，8月28日

工程中弯曲坡道两侧的边坡往往设计成切线面，并且使切线面的所有切线与地面成同一角度，这样设计成的切线面称为同坡曲面。续第九十三页，共一百一十四页，2022年，8月28日

直母线l沿着两条交叉直导线AB、CD运动，且始终平行于某一导平面Q，这样形成的曲面称为双曲抛物面，工程上也称扭面。

双曲抛物面的投影图中，只需画出两条直导线和若干素线的投影，而不必画出导平面。4、双曲抛物面第九十四页，共一百一十四页，2022年，8月28日水渠边坡渐变段道路边坡过渡段双曲抛物面在工程上有广泛的用途。第九十五页，共一百一十四页，2022年，8月28日

对于同一个双曲抛物面，也可以把它看作是以AD、BC为交叉直导线，以平行于端点连线AB、CD的平面P为导平面所形成的。也就是说，双曲抛物面上有两族素线，其中每一条素线与同族的所有素线都不相交，而与另一族的所有素线都相交。续第九十六页，共一百一十四页，2022年，8月28日

直母线l沿着一条直导线EF和一条曲导线ABC运动，且始终平行于导平面P（P平行于两条导线端点的连线AE和CF），这样形成的曲面称为锥状面。

5、锥状面

第九十七页，共一百一十四页，2022年，8月28日

直母线l沿着两条曲导线运动，且始终平行于某一导平面，这样形成的曲面称为柱状面。柱状面桥墩柱状面管道6、柱状面第九十八页，共一百一十四页，2022年，8月28日

柱状面的所有素线都平行于导平面，而彼此间则成交叉状态。投影图上只需表示两条导线和若干条素线的投影，而不画出导平面。以正平面为导平面的柱状面管道第九十九页，共一百一十四页，2022年，8月28日

直母线绕一条与它交叉的直线OO旋转，这样形成的曲面称为旋转单叶双曲面，直线OO称为旋转轴。7、旋转单叶双曲面第一百页，共一百一十四页，2022年，8月28日

投影图上应画出旋转轴和若干条素线的投影、直母线两端点轨迹的投影，以及素线的包络线。第一百零一页，共一百一十四页，2022年，8月28日

旋转中母线上的每个点都在作圆周运动，其轨迹是纬圆。母线上距轴线最近的点，其轨迹是最小的纬圆，叫喉圆。过旋转单叶双曲面上的每个点，还可以画出另外一条素线，也就是说，同一个旋转单叶双曲面上存在着两族素线，同族的素线间均不相交，而每一条素线都与另一族的所有素线相交。续第一百零二页，共一百一十四页，2022年，8月28日第一百零三页，共一百一十四页，2022年，8月28日

分别以圆柱螺旋线和其轴线为导线，直母线l沿此两导线移动而又同时与轴线保持一定的角度，这样形成的曲面称为螺旋面。若母线与轴正交，得到的叫正螺旋面，否则得到的叫斜螺旋面。8、螺旋面第一百零四页，共一百一十四页，2022年，8月28日

投影图直观图正螺旋面第一百零五页，共一百一十四页，2022年，8月28日应用实例：螺旋楼梯的作图第一