多元函数微分法及其应用习题及答案

...v.v第八章 多元函数微分法及其应用(A)填空题若zfy在区域D上的两个混合偏导数

2z ，2

，则在D上，2

2z。

xy yxxy yxzfy在点yzfy在点y处的偏导数存0 0 0 0在。zfy在点yzfy在点y处连续的条件。0 0 0 0求下列函数的定义域x x y

；(2)uarccos zx2x2y2(1)limsinxy

； (2)

xy ；(3)lim1cos(x2y2)x0 x

x0

x0

(x

y2)x2y2y0 y0zxlnxy，求

xy1xy1

及 3z

y022求下列函数的偏导数z

；(2)z lnxy；(3)uexyz。y y 2zuv2tcosuuetvlntdz。dt设uexzxtysintzcostdu。dt x2y2曲线z 4 ，在点(2,4,5)处的切线对于x轴的倾角是多少.y4求方程x2a2

y2zb2 c

1z的偏导数。zye2xxsin2y，求所有二阶偏导数。zfy是由方程x

ln

z确定的隐函数，求z

，z。z yxyeyexdy。dx

yzfy是由方程ez

zxy

0确定的隐函数，求

，z，y

2z。xyzyex2cosy，求全微分dz。在点zx2y2在点.982402

1,2的全微分。的近似值。zx2y2与抛物柱面yx2处的切线方程和平面方程。求曲面x2

y2z2

3上点P2,1,3处的切平面方程和法线方程。4 1 9求曲线x4tyt2zt3上点3x2yz6。

,y,z0 0 0

，使在该点处曲线的切线平行的极值。求函数fyyx2y221．求函数fye2xy22y的极值。22．要建造一个容积为10立方米的无盖长方体贮水池，底面材料单价每平方米20元，侧面材料单价每平方米8元。问应如何设计尺寸，方便材料造价最省.(B)1．求下列函数的定义域(1)

x2x2y24x2y2

xy2 lnln10x24y2 ；(2)u2．(1)设fx

yx2y2，求fx,y，fxy,xy。x设fyx2y，求ffy3．求下列函数的极限 2 2x2y2

1 1 lim1x xy

y2

；(2) limex2yx0y0

sinex2y2 xy , (xy)4．设fyx

y20, y

，问limfx,y是否存在.x0y0x2y讨论函数的连续性，其中fy

x2

, x2y。 0, x2y xy ,y二元函数fyx

y2

在点0,0处：①连续，偏导数存在； 0, x,y0②连续，偏导数不存在；③不连续，偏导数存在；④不连续，偏导数不存在。7．zx2y，求z。设

1 yf2x33y2

y2z，求x

，2f。x2设

f2x,3y,2z

2f。 3

zx设z

xyf

x2y2,x2y2，f

可微，求dt。设fyzxz0，求z。zxyz0，求

y。x1yzzfcosrsin可微，求全微分dz。设zfy是由方程fzyz0所确定的隐函数，其中f具有连续的偏导数，求dz，并由此求和z。求z

xx2y2xyx

y的偏导数。16．设xyz

，求dx，dy。x2

y

z2

dz dz设uexyz

。xyz求函数uxyz在点处沿从点到点方向的方向导数。求函数u x

Mxty2t2z2t4在此点的x2x2y2z26x28y2求函数u 6x28y2z判断题：(简单说明理由)(1)

fx,yfx,yyxy0 0

就是fy在,y0 0

处沿y轴的方向导数。在。

若fy在,0

0

处的偏导数

f，f

存在，则沿任一方向l的方向导数均存2证明曲面x2数。

2y

2z

4上任意一点的切平面在坐标轴上的截距的平方为常x2y2z21上任意一点bc处的法线都经过球心。求椭球面3x2y2z216上的一点z0的交角。设uvxyzuv的各偏导数都存在且连续，证明：问函数uxy2z处沿什么方向的方向导最大，并求此方向导数的最大值。求内接于椭球面x2a

y2zb2 c2

1的最大长方体的体积。某公司通过报纸和电视传媒做某种产品的促销广告，根据统计资料，销售收入R与报纸广告费x及电视广告费y(单位：万元)之间的关系有如下经验公式：R1514x31y8xy2x210y2，在限定广告费为1.5万元的情况下，求相应的最优广告策略。求函数fyexy的n阶麦克劳林公式，并写出余项。利用函数fyxy的2阶泰勒公式，计算111.02的近似值。(C)x2yx2y2x0y0

0。2．fy|xy|yxy在点(1)xy在什么条件下，偏导数f，f0,0存在；(2)xy在什么条件下，fy在处可x y微。设yft而t为由方程yt0所决定的函数，且yt是可微的，试求dy。dx设zzx,y由

x

0

。z z

etdty

xy从方程组xyzuv1

中求出u，v ，u ，v 。x2

y

z

u

v2

x x x2 x2设zux,yeaxby

2u 0，试确定常数a，b，使函数zzxy能满足方xy程：2z

z0。xy x y zf

zax2y2 f0上任一点处的法线与旋转轴相交。zaxy试证曲面 xy和等于a。

a0)上任何点处的切平面在各坐标轴上的截距之zx2y2xyz1短距离。x轴正向到方向l的转角为fyx2xyy2在点沿方向l的方向导数，并分别确定转角，使这导数有(1)最大值；(2)最小值；(3)等于0。第八章 多元函数微分法及其应用(A)填空题zfy在区域D

2z

2z

连续，则在D上，2z

2z。

xy yxxy yx函数zfy在点,y处可微的 必要 条件是zfy在点,y处的0 0 0 0偏导数存在。函数zfy在点,y可微是zfy在点,y处连续的 充分条件。0 0 0 0yO(0,1)yO(0,1)图1xx x y解：设定义域为D，由yy0和x 0，即x2y0，x0y，如图1所示Dx,y|x,y,x2y，如图1所示x2y2ux2y2解：设定义域为D，由zx2y2x2y2zx2y2

1，即 z2x2y2，得Dx,y,z|z2x2y2,x2y2。3．求下列各极限limsinxy

lim xyx0

x0xy( xy1xy( xy1( xy1xy1xyxy1

sinxy

解：原式limx0 xyy0

y

limx0y0lim1cos(x2y2)x0y0

(x2y2)x2y2 x2sin2

y2

x2y2解：原式x0

x

y22

4x2y22 y0 2 设zxlnxy，求 3zx2y

及 3z2zx

lnxyxyxy

lnxy12zx2

y 1xy x

3z2

0，2z

x xy

1， 3zy

1y2求下列函数的偏导数zarctgyx解：z 1 y x2

x y

x 1

y2xx x2y2

y2

x2y2x类似地

1

y x1

y2yx

x2y2 lnxlnyx lnxlnyx2lnxlny

x

1

1 12x ln2x lnxy2y lnxy同理可证得：2y lnxyyuexy2zz

解： exy2z3 xy2z3 y2z3exy2z3x xzuv2tcosuuetvlntdz。解：u u

uv2tcos

dtv2tsinu，zv v

2tcosu2uv，zt

cosu依复合函数求导法则，全导数为设uexzxtysintzcostdu。dtdudt

uxdtuydtudzzdt x2y2曲线z 4 ，在点(2,4,5)处的切线对于x轴的倾角是多少.y4

2x4

x，2

1tg，故。 4求方程x2a2

y2zb2 c

1z的偏导数。解：关于x求导，得到2xa2

2zzc2

0，即zx

c2xa2zy求导，有2y2zzb2 c2

0，即zy

c2y。b2zzye2xxsin2y解：先求一阶偏导数，得z2ye2xsin2y，zx y

e2x2xcos2y再求二阶偏导数，得2z z ， 2ye2xsin2y4ye2xx2 xx x2z z ， 2ye2xsin2y2e2x2cos2yxy yx y2z ， e2x2xcos2y2e2x2cos2y zfyx

ln

z确定的隐函数，求z

，z。z y yFyz

x

z，则 1 F

z yy z 1

x 1 xzF ，

，F x z y当

z y2

z z2 z x21FF z z ，FFzz F

时，便得1y

x zz2

x2z2

xz y

xz 。y Fz

yxzz2（提示）直接对方程x

ln

zzxy的函数，即可z y得z。yxyeyexdy。dx解：令Fx,yxyeyex，则Fyex，Fxey，则x yxdyFyex。xdx F xeyyzfy是由方程ez

zxy

0确定的隐函数，求

，z，y

2z。xy解：方程两边对x求偏导数，有ezzz

y30，即z

y30x x解得 z y

e xx 1ezy再求二阶混合偏导数，得把上述z的结果代入，便得：y2z

3y21ez

xy3ez 。1ez3zyex2cosy，求全微分dz。解：由于zx

2xyex2，zy

ex

siny，所以全微分为z z dz dx dy2xyex2dxex2sinydy。x y在点求函数zx2y2 的全微分。在点zzx1,2

2x22x2x2y2

27

zyzy

42y2y2x2y21,2所以dz2dx4dy。.982402利用全微分求

的近似值。x2x2y2

，则全微分dz

x x y yx2y2x2x2y2x2y2x3x0.02y4y0.01，得98298202zx2y2与抛物柱面yx2处的切线方程和平面方程。解：交线方程yxzx2

y

，只要取x作参数，得参数方程：则有dx

1

dy2x，

dz2x4x3，于是交线在点 处的切线向量为dx dx dxT1,2,6。切线向量为x1

y1

z21 2 6法平面方程为20x2y6z150。求曲面x2

y2z2

3上点P2,1,3处的切平面方程和法线方程。4 1 9F,yz

x2

y2

z23，则4 1 9Fy,zx，Fx,y,z2y，Fy,z2zx 2 y z 9于是曲面在点P处的法线向量为从而，切平面方程为12

230x2y2z60，法线3 323方程为x2y1z3。231 2求曲线x4tyt2zt3上点3于平面x2yz6。

x,y,z0 0 0

，使在该点处曲线的切线平行解：曲线在点M,yz处的切线方程为0 0 0 0又切线与平面x2yz6平行，即切线的方向向量和平面的法向量垂直，应有xt0

1yt0

2zt0

10，即44t3

0

0，得t0

23所以 8 4 8。M点的坐标为 , , 0 9 9 27求函数fyyx2y2的极值。fy42x0 解：解方程组f

xx,yy

42y

，求得驻点

2,2

，由于Afxx

2,2

20，Bfxy20Cfyy2,22ACB20处，函数取得极的极值。 2 2大值，极大值为f2,29。21．求函数fye2xy2的极值。 2 2f

x,y ex2x2

4y0 1 解：解方程组x

，得驻点

,1。由于fy

x,

e2x

2y2

2 Afxx

x,y4e2xxy22y1，Bfxy

xy4e2xy1，Cfyy

xy 2e2x在点 1,1A2e0B0C2eACB

4e2，所以函数在点1,1处取得 22 22极小值，极小值为f1,1e。 22 2222．要建造一个容积为10立方米的无盖长方体贮水池，底面材料单价每平方米20元，侧面材料单价每平方米8xyz米，则材料造价为1u20xy16xzxy，(x0，y0，z0)，<*>1xyz必须满足2xyz10， <*>2从<*>解出z

10代入<*>，得u20xy

1x 0，y0)，于是问题就成2 xy 1

x y 为求u当x0，y0时的最小值，由极值的必要条件，有解此方程组得xy2。x2，yxx2，y2，z水池的材料造最小。

5时，2(B)求下列函数的定义域xzarcsinx

y2

lnln10x24y2lnln10解设定义域D使arcsinx有意义的区域为：xy2 即1x2y21， y21xy21，使lnln10x24y2 有意义的区域为：10x24y2 x2

4y2

1。9 9故定义域

x2 4y2

。如图2D

x,

|y

1xy

9

9 x2x2y24x2y2解：设定义域为D。由根式性质可知，必须

x2y21

0，且4x2

y

0，即x

y

10

x或或

y

1

解得：

4x

y24x

y20

4x

y20Dx,y|1x2y24。如图3yy1.5xyy1.5xx3 0图202．(1)设f xy,y01xx y ，求22f x,y，f xy,xy。xyuxu

，则得 1vyx

y uv 1v由此

u 2

uv2

u2vfu,v

1v 1v

1v从而fy

xy1y(2)设fyx2y，求ffy解：f,fyxy2fyxy2y2x4yxy.求下列函数的极限(1)

2 2x2y2lim1x xy

y2

x2y24解：原式

2 lim1

e4xy1

x2y2 1 (2) limex2yx0y0

sinex2y2 1解：原式limsinex2y2 1x0y0

1ex2y2 xy , (xy)设fyx4y2 ，问limfy是否存在. 0, x,y0 x0y0解：①取沿直线yx的途径，当Px,y0,0时，有limfx,ylim

xx

lim 1

1，yxx0

yxx0

x4x2 x0x21x②沿抛物线yx

的途径，当Px,y0,0时，有可见，沿两条不同的途径，函数的极限不同，故极限limfx,y不存在。x0y0x2y讨论函数的连续性，其中fy x2y

, x2y。 0, x2y解：在

sin2xy limf

x,

limx

2xy

0

0,0x0 x0 y0 y0所以fy在处连续0若x 2y 0，则取路径x2y，y则00 0因此，间断点为直线x2y，除0,0以外的其他点。 xy ,y二元函数fyx

y2

在点0,0处：①连续，偏导数存在； 0, x,y0②连续，偏导数不存在；③不连续，偏导数存在；④不连续，偏导数不存在。解：应选③事实上，由于lim

k ，随k的值不同而改变，所以极限不存在，因而x0 xykx0

y

1k

x0fx,y在点0处不连续，又 f,0limx202 0，类似地f,00，所以xfy在处的偏导数存在。

x0 x yy7．zx2y，求y

，z。y解：令u1x2y，vy，于是zuv，得 2 vuv12xyuvlnu02xy2

1x2

y1， x2y1x2y

x y

ln1x2y。设u

f2x3

3y2

2z，求x

，2f。x2解：fx

6x2f2x33y22z，

2fx2

12xf36x4f。设

f2x,3y

,2z

，2f。 3

，求 解：fz

2f3

2fzx

z zx12x2f。31设z

xyf

x2y2,x2y2，f

可微，求dt。dzzdxx

zdy，先求y

，zyzyfxyf2xf2xyf2x2yff，x 1 2 1 2zxfxyf2yf2yxf2xy2ff，y 1

2

1 2 所以dz

yf2x2y

ffdxxf2xy2 ff

dy。1 2 1 2设fyzxz0，求x

，z。y解：关于x求导，而zzx,y，得即 FyFzFxz0 (*)1 3 2 3 x得：z yF2F33 x F

F2相仿地，可得z

321FxF。21y FxF2zxyz0，求

3。x1yz解：令

Fzx

zyz，

zxlnz ，xzx1z zdz dx dy，于是在处dzdy。x yzfcosrsin可微，求全微分dz。dzdfcosrsindfcosfsin1 2fcosfsindrfcosfsinrd。1 2 2 1设zfy是由方程fzyz0所确定的隐函数，其中f具有连续的偏导数，求dz，并由此求和z。y解：方程两边求全微分，得fdxzfdyz0，即fdxfdzfzdyudz0，1 2 1 1 2即 fzffyf0，当fyf0时，解出1 2由此得到zx

f1f1

1 2，z y

1 22zf 。2f yf yf1 2 1 2x求zx

2y2xy

的偏导数。解：令ux2y2vxyzuvzxy的复合函数。zvuv1，z

uvlnu，u vu2x，x

2y，x

y，vxy于是，

2x2

，vuv12xuvlnuy

x2y2xy

ylnx2y2x x2y2 16．设xyz

，求dx，dy。x2

y

z2

dz dz解：所给方程组确定两个一元隐函数：xxz和yyz，将所给方程的两边对z求导，得在D

1 1 z0的条件2x 2y1 12z 2y112x 2zdx y1 12z 2y112x 2zdz D xy dz D xy设uexyz解：yzexyz，

。xyz13xyzx2y2z2exyz.求函数uxyz在点处沿从点到点方向的方向导数。L9L95,4

L||13，cosL

4,cos3，cos12。13 13 13因为

ucos

ucos

ucosl x y zuul5,1,2u

4221012598。13 14 13 13x2y2z2x Mxt，y2t2zx2y2z2切线方向上的方向导数。解：因曲线过M,,2点，所以t01xt01yt04zt08，切线的 , 方向余弦为 ,

8，又u

8 ，类似地，u

2，9 9 9 xM

27 yM 27y2y2z2x2y2z232u 2

，故

81

24

28

16。zM 27 l 27 9 27 9 27 9 243求函数u

在点P6x6x28y214

处沿方向的方向导数。ux6xz 6x28y2n 解：graduuux6xz 6x28y2n y

6 ，uyz 6uyz 6x8y2nPn

P 6x28y21414uz 8 ， 1414uzz2P P由uu

gradu

0

x,6

y,2zP

22,3,1则

6 1414,1414,

,14

1 11 。14714判断题：(简单说明理由)(1)

fx,yfx,yyxy0 0

就是fy在,y0 0

处沿y轴的方向导数。解：错。因前者是双侧极限，后者是单侧极限。(2)若fy在,

处的偏导数f

，f

存在，则沿任一方向l的方向导数均存在。0 0 解：错。由于偏导数仅刻画了fy在,yxy轴的变化率，要确定函0 0数,y处沿任一方向的变化率，还应要求此函数在,y处可微。0 0 0 02证明曲面x2数。

2y

2z

4上任意一点的切平面在坐标轴上的截距的平方为常Fx,y,zx23y23z234Fx,y,z0的法向量是F,F,F，x y z故曲面上任一点yz处法线方向向量为2x12

y12z1，设,YZ为点yz 3 3 333 3 33处切平面上任一点，则切平面方程为

2x1Xx2y1Yy2z1Zz0，即3333 3 3333XYZ1 1 1XYZ x Xy Yz Z4

1，由此得截距的平方和为：3 3 3

4x1

4y1

4z1333 16x23y23z23 16464。333 x2y2z21上任意一点bc处的法线都经过球心。证：令Fyzx2y2z21bc

a,b,c

2x

a,b,c

2a，a,b

2

a,b,c

2b，

a,b,

2z

a,b,c

2c，法线方程为：xa

yb

zc，于是任一法线都过原点。2a 2c求椭球面3x2y2z216上的一点z0的交角。Fyz3x2y2z216，则法向量为F6xF2yF2z，在x y xnn00311(3)(2)3212

。又平面z0n1n

0,0,1，由平cos

3 ，即arccos 3 。2222uv都是x，yz的函数，uv的各偏导数都存在且连续，证明：2222rgad(uv)vgraduugradv。证：graduv

uv

uvx i

y

z k问函数uxy2z处沿什么方向的方向导最大，并求此方向导数的最大值。u解：gradu,uux y

,u yz

z,2xyz,xy2gradu

22224212

2,4,1是方向导数最大值的方向。21gradu 是此方向导数的最大值。21求内接于椭球面x2a

y2zb2 c2

1的最大长方体的体积。解：设Px,y,z是内接长方体在第一褂限内的顶点，由对称性，长方体的体积为：1V8xyz(x0，y0，z0)(*)1yz在椭球面上，故xyzx2a

y2b2

z21，于是问题即求函c2数(*)在约束条件（*）下的条件极限问题。引入L——函数1 2F 8yzF

2x

0,x a2xF 8xz令 y令F 8xy

2yb22z

0,(2)0, z c2F

x2

y2

z210(4)

a2 b2 c28xyz

2x3

，y

，z c333333由题意所求的最大体积存在故以点(a ,b ,c333333接于椭球面的长方体的体积最大。

)为一个顶点所作的对称于坐标面的内333最大体积为V8a b c 333

abc。8 398 3某公司通过报纸和电视传媒做某种产品的促销广告，根据统计资料，销售收入R与报纸广告费x及电视广告费y(单位：万元)之间的关系有如下经验公式：R1514x31y8xy2x210y2，在限定广告费为1.5万元的情况下，求相应的最优广告策略。LFyz1514x31y8xy2x210y2y1.5F 138y4x0x令 318 20 0xF x y yF xy1.50得2x6y9x0，y1.5。xy1.5又由题意，存在最优策略，所以将1.5万全部投到电视广告的方案最好。求函数fyexy的n阶麦克劳林公式，并写出余项。解：f0,01，fx

0,01，fy

0,01，同理f

nxmyn

0,0exyk

0,0

1，所以 1

1

xyexy

1

xy

x

2xyy

xy

R R 其 中xyRn

exy（01。

n k! k0利用函数fyxy的2阶泰勒公式，计算111.02的近似值。解：在点处将fyxy展开成三阶泰勒公式：f1，fx

yx

1，f

xylnx

0，f yyy2xx

0，fxy

1,1xy1yxy1lnx1,1

1，所以fyfxy1故111.0210.10.10.021.102。

1R2x2yx2y2x0y0

0。

(C)证明：因为x2

y2

，即|xy

x2y22xy所以xyxy0，取当0所以lim x0y0

x2y2 x2yx2y22 x2y2x2y2x2y2x2y2x2yx2y22．fx,y|xy|x,yx,y在点0(1)x,y在什么条件下，偏导数f，f0,0存在；(2)x,y在什么条件下，fy在处可x y微。分析：从定义出发，进行推演解：(1)lim

f0x,0f0,0lim

xx,00

limx,00,0x0

x0

x0若0,00，则偏导数f，f0,0存在，且f0,0f0,00。x y x y(2)ff0x,0yf0,0x2y22xx2y22x2y

|x||y

2，故若0,00，当

0时，有x2y2所以当0时，fx2y2设yft而t为由方程y,t0所决定的函数，且y,t是可微的，试求dy。dx分析：可依隐函数求导法则求出dy。dxyftdyff dt(1)dx x tdx由y,t0，得dy

0 (2)x y dx t dx(1)，得ffxt

。f t设zzx,y由

x

0

。z z

etdty

xy解：对zlnzxet2dt0两边关于x求导，得yz 1z ex2

0，x zxz

zex2

(1)x z1y求导，得解得

zey2

(2)z1(1)式两边对y求导得 以(2

2

zex2y2y 1z从方程组xyzuv1

中求出u，v ，

v 。x2

y

z

u

v21

x x x2 x2解：将uvxyzx求偏导，得u v x x

(*)xuu vv 0x x解得ux

xv，vvu

uxvu再将方程组(*)对x求偏导数，得 1xv

ux2

1u x

v2x

vu vux2 vu vu设zux,yeaxby

2u 0，试确定常数a，b，使函数zzxy能满足方xy程：2zzz

z0。xy x yz

ueaxby

aueaxby