中学数学思想与方法课件

第五章

中学数学思想与方法第五章

中学数学思想与方法1方法是取得事业成功的关键，科学的方法是科学的灵魂。自古以来，人们都十分重视对方法的理论研究，试图运用正确的方法来认识和改造世界。在数学研究中，正确的研究方法是取得成果的前提。数学思想方法，是数学知识的精髓，也是知识转化为能力的桥梁。有目的、有计划地进行思想方法的教学，可以让学生感受、理解知识的产生和发展的过程，培养科学精神和创新思维的习惯，增强获取新知识的能力。本章分三节，第一节介绍了数学方法的意义。第二节介绍了中学数学常用的方法。第三节重点介绍了中学数学的思想方法的具体内容及其教学途径。方法是取得事业成功的关键，科学的方法是科学的灵魂。自古以来，2§5.1数学方法的意义一、数学方法的意义1、数学方法的意义⑴方法，是人们解决具体问题所采用的方式、途径或手段，科学方法，是指人们科学研究中所采用的一般方法。⑵方法论，是人们关于认识世界和改造世界的根本性的科学，是人们总结科学发现或发明的一般方法理论。任何科学都有自己的研究方法，但个别包含着一般，各种具体方法中包含着一般方法，包含着思想方法的一般原则，这种从一般方法上研究方法问题的学问，即关于一般方法的理论就是方法论，或称为方法学。§5.1数学方法的意义一、数学方法的意义1、数学方法的意义3⑶科学的方法论：不同的世界观决定了的方法论。按照辩证唯物主义的认识论，人们逐步总结出其中的固有规律和研究方法，这就是科学的方法论。科学的方法论一般包括三个层次。第一层次：指各门学科中的一些具体的研究方法，它属于各门科学本身的研究对象。第二层次：指许多学科都普遍适用的方法。即它不是一门学科所特有，而是从许多学科中提炼出来的方法。第三层次：是指适用于一切自然科学与社会科学研究所运用的方法，即人们所说的哲学方法，或唯物辩证法。⑶科学的方法论：不同的世界观决定了的方法论。按照辩证唯物主义4⑷数学方法论：是研究数学发现、发明的规律与原理的学说，是研究和讨论数学的思想方法、数学的发展规律以及数学的发现、发明与创新规律的一门新兴学科。它是科学方法论在数学中的具体体现，隶属于科学方法论的范畴。⑸数学方法，人们可以根据不同的标准作出不同的划分，按照抽象程度不同，可以把数学方法分为三种：①具体方法：就是各种具体的数学解题方法。

②一般方法：主要指各种逻辑方法与试验方法，具有较高的层次，研究的范围不是局限于某一数学分支，而是立足于整个数学，为各个分支所适用。③数学思想方法：数学思想是一类具体数学方法或一般方法的概括，是贯穿于该类数学方法中的思维策略和调节原则，它制约着数学活动中主观意识的指向，对方法的取舍、组合具有规范和调节的作用。⑷数学方法论：是研究数学发现、发明的规律与原理的学说，是研究52、研究数学方法的途径第一，研究者要有坚实的数学理论基础。第二，研究者要披览大量的数学史著作。第三，研究者要掌握唯物辩证法的研究方法。3、研究数学方法的意义第一，研究数学方法，有利于促进数学的发展。第二，研究数学方法，有利于发挥数学的功能。第三，研究数学方法，有利于促进数学教学改革。第四，研究数学方法，有利于丰富和发展马克思主义哲学。2、研究数学方法的途径第一，研究者要有坚实的数学理论基础。第6§5.2数学方法的内容一、化归方法1、化归方法概述⑴所谓“化归”，从字义上说，就是转化和归结的意思。数学中的化归方法，就是将数学问题进行规范化，指人们将一个新的、有待解决的或未能解决的问题，通过某种转化过程，归结为一类已经解决或比较容易解决的问题中去，从而最终求得解答的一种手段与方法。这种化归方法，早在17世纪的法国哲学家、数学家笛卡尔就称之为解决数学问题的“万能方法”。著名数学教育家波利亚给予高度评价，认为是解决数学问题的首要方法。§5.2数学方法的内容一、化归方法1、化归方法概述这种化归72、化归的方向化归的方向，可简述为：由未知向已知，由困难化为容易，由繁琐化为简洁。化归的方向，又称为化归的原则，即⑴熟悉性原则：将生疏问题化为熟悉问题。⑵简单性原则：将复杂问题化为简单问题。⑶直观性原则：将抽象问题化为具体问题。化归的方向或原则，也可简述为：把实际问题化为数学问题，把数学问题化为代数问题，把代数问题化为解方程的问题。2、化归的方向⑴熟悉性原则：将生疏问题化为熟悉问题。83、化归的方法⑴变换法我们遇到一个问题时，首先考虑是将其能否变换为一个或几个较为简单的问题，这种变换有变式、变形、变条件、变结论等情况，有恒等变换、等量变换、参数变换、坐标变换、几何变换等等。

⑵分解法所谓分解法，笛卡尔描述为“把你所考虑的每一个问题，按照需要与可能，分成若干部分，使它们更易求解。”但在很多情况下，为使化归过程完全实现，往往还要重新组合，波利亚说：“分解与组合是重要的智力活动，使其每一部分成为更易下手的问题。”这种分解法，又称叠加法，往往又表现为多种形式3、化归的方法⑴变换法⑵分解法9⑷特殊化与一般化法所谓特殊化，它是将所论的数学事实“退”到属于它的特殊状态(数量或位置关系)下进行研究，从而达到研究一般状态的目的。所谓一般化，就是将所论的具体问题，放在一般状态下进行思考，从而达到解决具体问题的思路。由特殊到一般，由一般到特殊，即由具体到抽象，由抽象到具体，它们互相制约、互相补充，它是化归的又一种常用方法。⑶映射法映射法，即关系、映射、反演方法(简称RMI方法)，这是在现代数学研究中实现化归的一种重要方法。与一般的化归方法相比，这种化归方法达到了更高的抽象程度，从而在数学中有更为重要和广泛的应用。

⑷特殊化与一般化法⑶映射法104、辩证地认识化归⑴化归的核心思想就是一个“变”，这种“变”，往往是解题的一个思维过程。第一，化归的过程，是一个对问题识别和归类的思维活动过程。第二，化归的过程，是一个对问题不断进行分析、综合的思维过程。第三，化归的过程，是一个思维定式与变异辩证统一的过程。⑵化归的实践第一，化归是一种有目的性的实践活动。第二，化归是一种反复探索性的活动。第三，化归是一种具有选择性、灵活性的实践活动。⑶化归的局限性第一，并不是所有的问题都可以通过化归而得到解决。第二，由前面的分析可以看出，应用化归法去解决问题的关键在于我们能否找到正确的化归方向与方法。第三，过多地强调化归，不利于数学的发展。4、辩证地认识化归⑴化归的核心思想就是一个“变”，这种“变”11二、发现方法1、类比法类比，是根据两个不同的对象的某些方面(如特征、属性、关系等)的相同或相似，推出它们在其他方面也可能相同或相似的思维形式，它是思维过程中由特殊到特殊的推理，是一种寻找真理和发现真理的基本而重要的手段，也是数学方法论最重要最基本的方法之一。在数学研究中，数与式、方程与不等式、一元与多元、低次与高次、平面与空间、数与形、有限与无限之间等都是比较常见的类比。二、发现方法1、类比法类比，是根据两个不同的对象的某些方面(12二、发现方法2、归纳法⑴归纳的意义所谓归纳，是把某类事物中个别事物所具有的规律作为该类事物的普遍规律，即通过特殊的分析去引出普遍的结论，这是一种由特殊到一般的思维过程，称为归纳。⑸类比与归纳的再认识①类比、归纳与化归的关系②努力提高猜测与论证水平⑵建立在类比基础上的归纳⑶建立在抽象分析基础上的归纳⑷类比、归纳是数学发现的重要方法二、发现方法2、归纳法⑴归纳的意义所谓归纳，是把某类事物中个13二、发现方法3、联想法⑴数学联想的意义所谓联想，指的是一种自觉的有目的思维活动，是由当前感知或思考的事物，想起有关的另一事物，或由此再想象起其他事物的心理活动。数学联想是以观察为基础，根据所研究的对象或问题的特点，联系已有的知识、技能、经验进行想象的思维方法。它是一种再现性想象，是进行类比、模拟、归纳、猜想等似真推理的基础。⑵数学联想的分类①意义联想②目标联想③形似联想④意愿联想⑤程式联想二、发现方法3、联想法⑴数学联想的意义所谓联想，指的是一种自14二、发现方法4、直觉法⑴直觉的意义简单地说，数学直觉思维是具有意识的人脑对数学对象(结构及其关系)的某种直接的领悟和洞察。数学直觉思维是直接反映数学对象、结构以及关系的思维活动，这种思维活动表现为对认识对象的直接领悟和洞察，这是数学直觉思维的本质特征。数学直觉思维是一种非逻辑思维活动，是一种由下意识(潜意识)活动参与，不受固定逻辑规则约束，由思维主体自觉领悟事物本质的思维活动。数学直觉思维具有整体性、或然性、简约性、创造性、直接性以及不可解释性等重要特征。二、发现方法4、直觉法⑴直觉的意义简单地说，数学直觉思维是具15⑵数学直觉思维的分类①按照数学直觉思维发生的时间不同，可以分为直接领悟式数学直觉思维和灵感顿悟式数学直觉思维。②按照数学直觉思维产生的基础不同，可以分为经验性数学直觉思维和理性数学直觉思维。③按照数学直觉思维的智力品质，可以分为再观性数学直觉思维和创造性数学直觉思维。④按照数学直觉认识结构反映的数学知识、数学问题、数学思想方法、数学思维方法的不同还可分为：关于方程、函数、几何、概率等的直觉思维；关于应用问题、极值问题、恒等变形问题等等的直觉思维；关于模型方法、结构方法、美感方法、变换方法等等的直觉思维；关于演绎、分析、归纳、类比的直觉思维等等。⑵数学直觉思维的分类16二、发现方法5、美学方法⑴数学美古代哲学家、数学家拉普拉斯曾断言“哪里有数，哪里就有美”。数学是一门美的科学，它不仅有强烈的美感色彩，而且有其确定的内容。数学美的基本特征是具有简洁性、对称性、统一性和奇异性。

①简单美又称为简洁美，是数学美的重要标志。②对称美又称为匀称美。③统一美又称和谐美。④奇异美又称奇特美。⑵数学美是数学发现的重要方法二、发现方法5、美学方法⑴数学美古代哲学家、数学家拉普拉斯曾17三、论证方法1、代数法⑴研究某些度量关系的几何问题时，可将有关线段、角度、面积用未知数表示，根据已知条件建立相关的关系式，然后用代数上的恒等变换或解方程给出，这种不依赖于坐标系，用代数知识来研究几何问题的方法叫做代数法。

2、三角法⑴研究某些代数或几何问题时，可运用三角知识来获得解答，这种方法叫做三角法。用以求解代数问题的三角法主要是三角换元法；用以求解几何问题的三角法主要是将线段和角的关系化为三角函数关系，通过三角恒等变换，解三角方程或证明三角不等式来完成几何问题的解答。三、论证方法1、代数法2、三角法18三、论证方法3、坐标法⑴经过建立坐标系，设定所给图形上的有关点的坐标和曲线的方程后，将几何问题转化为代数问题，然后运用代数知识求解，再赋予几何意义，从而获得对几何问题的解答，这种解答问题的方法叫做坐标法。⑵运用坐标法解答几何问题主要有三个步骤：第一步，选取恰当的坐标系，以便于确定关键点的坐标和关键曲线的方程，并易于计算为原则。第二步，设定点的坐标与曲线的方程，一般应尽可能地减少参数，并使曲线方程的结构尽可能简单，便于计算与推理。第三步，计算推理。对此，除明确有关概念，熟知有关公式和方程外，还应注意所给图形的几何性质。三、论证方法3、坐标法19

4、复数法⑴运用复数知识解答数学问题的方法，通常叫做复数法。这是一种特殊的代数法。用复数法解答几何问题，基本思路是从问题的特点出发，画出复平面，选取相应的复数表示形式，根据题设条件，将几何问题转化为复数问题，通过计算与推理，完成对问题的解答。5、向量法⑴所谓向量法，就是把几何问题转化为相应的向量代数问题，然后运用向量代数的知识来解题的一种方法，这种方法对于几何中的平行、垂直、共点、共线、交比等问题，往往显得简单有效。三、论证方法4、复数法5、向量法三、论证方法20

1、数学试验方法的基本思想⑴数学实验方法，渊源于初等数论。它的基本思想是根据题设情况，确定试验方案，通过逐项试验，去伪存真，剔除不合题意的解，从而寻找出原题的解答。⑵任何试验都和观察紧密联系。观察是试验的前提，试验是观察的证实和发展，观察依据于实验，实验离不开观察。2、试验与猜想⑴用试验研究问题，每次试验都能给人们提供一定的信息。所以对于某些结构较为复杂的数学题，如果一时找不到合适的解决方案，不妨利用试验法的基本思想，先安排若干次便于进行的试验，然后用不完全归纳法考察各次试验结果，探索条件与问题或条件与结论之间的内在联系，猜测解题方向。四、试验方法1、数学试验方法的基本思想2、试验与猜想四、试验方法21

3、非标准问题⑴所谓非标准问题，通常是指条件与问题之间缺乏常规的逻辑联系的数学题，又称为非常规问题。这类问题，一般难以直接利用常规的思考方法，而用试验探求解题思路，往往容易获得成功。思考与练习：1、阅读2、何谓方法与数学方法，研究数学方法的途径与意义是怎样的？3、中学数学思想方法有哪些教学原则，其基本教学途径是怎样的？4、为什么说数学思想方法的教学已成为中学数学教学的重要内容，您准备如何实施这一教学？四、试验方法3、非标准问题思考与练习：四、试验方法22§5.3数学思想方法的教学一、中学数学思想1、字母代数思想用字母代替数字，是中学生最先接触到的数学思想，也是初等代数以至整个数学最重要最基础的数学思想。2、分解组合思想当面临的数学问题不能以统一的形式解决时，可把已知条件涉及的范围分解为若干个子集，在各个子集中分别研究问题的局部的解，然后通过组合各局部的解而得到原问题的解，这种思想就是分解组合思想，其方法称为分类讨论法。§5.3数学思想方法的教学一、中学数学思想1、字母代数思想23一、中学数学思想3、化归转换思想化归，即转化与归结的意思。把有待解决或未解决的问题，通过转化过程，归结为所熟悉的规范性问题或已解决的问题中去，从而求得问题解决的思想。为了实现“化归”，数学中常常借助于“代换”，又称之为转换。

4、集合对应思想从集合论的概念出发，再加上一些逻辑语言，就可以定义集合之间的并、交、差、余等基本运算，并且形成一种代数结构

一、中学数学思想3、化归转换思想4、集合对应思想24一、中学数学思想5、方程函数思想方程函数思想是处理常量数学与变量数学的重要思想，在解决一般数学问题中具有重要的方法论意义。在中学数学中，方程与函数极为重要的内容，对各类方程和基本初等函数都作了较为系统的研究。

6、形数结合思想形数结合是初等数学和高等数学中十分重要的思想，在数学问题解决中具有数学独特策略指导与调节作用。作为形数结合的具体方法，一般来说，把几何问题转化为数量关系问题，常用的方法有代数法、坐标法、三角法、复数法、向量法；把数量关系转化为图形性质问题，则常用的是图解法、图像法、几何法等。一、中学数学思想5、方程函数思想6、形数结合思想25一、中学数学思想的教学1、中学数学思想方法的教学原则⑴目标性原⑵渗透性原则⑶概括性原则⑷实践性原则2、中学数学思想方法教学的途径⑴在知识的学习过程中，渗透和体验数学思想方法。⑵通过小结复习讲座，提炼和概括数学思想方法。⑶通过问题解决，掌握和深化数学思想方法。一、中学数学思想的教学1、中学数学思想方法的教学原则⑴目标性26思考与练习：1、阅读2、中学数学中有哪些基本的数学思想，其具体意义如何？试结合实例进行说明。3、中学数学思想方法有哪些教学原则，其基本教学途径是怎样的？4、为什么说数学思想方法的教学已成为中学数学教学的重要内容，您准备如何实施这一教学？思考与练习：27第五章

中学数学思想与方法第五章

中学数学思想与方法28方法是取得事业成功的关键，科学的方法是科学的灵魂。自古以来，人们都十分重视对方法的理论研究，试图运用正确的方法来认识和改造世界。在数学研究中，正确的研究方法是取得成果的前提。数学思想方法，是数学知识的精髓，也是知识转化为能力的桥梁。有目的、有计划地进行思想方法的教学，可以让学生感受、理解知识的产生和发展的过程，培养科学精神和创新思维的习惯，增强获取新知识的能力。本章分三节，第一节介绍了数学方法的意义。第二节介绍了中学数学常用的方法。第三节重点介绍了中学数学的思想方法的具体内容及其教学途径。方法是取得事业成功的关键，科学的方法是科学的灵魂。自古以来，29§5.1数学方法的意义一、数学方法的意义1、数学方法的意义⑴方法，是人们解决具体问题所采用的方式、途径或手段，科学方法，是指人们科学研究中所采用的一般方法。⑵方法论，是人们关于认识世界和改造世界的根本性的科学，是人们总结科学发现或发明的一般方法理论。任何科学都有自己的研究方法，但个别包含着一般，各种具体方法中包含着一般方法，包含着思想方法的一般原则，这种从一般方法上研究方法问题的学问，即关于一般方法的理论就是方法论，或称为方法学。§5.1数学方法的意义一、数学方法的意义1、数学方法的意义30⑶科学的方法论：不同的世界观决定了的方法论。按照辩证唯物主义的认识论，人们逐步总结出其中的固有规律和研究方法，这就是科学的方法论。科学的方法论一般包括三个层次。第一层次：指各门学科中的一些具体的研究方法，它属于各门科学本身的研究对象。第二层次：指许多学科都普遍适用的方法。即它不是一门学科所特有，而是从许多学科中提炼出来的方法。第三层次：是指适用于一切自然科学与社会科学研究所运用的方法，即人们所说的哲学方法，或唯物辩证法。⑶科学的方法论：不同的世界观决定了的方法论。按照辩证唯物主义31⑷数学方法论：是研究数学发现、发明的规律与原理的学说，是研究和讨论数学的思想方法、数学的发展规律以及数学的发现、发明与创新规律的一门新兴学科。它是科学方法论在数学中的具体体现，隶属于科学方法论的范畴。⑸数学方法，人们可以根据不同的标准作出不同的划分，按照抽象程度不同，可以把数学方法分为三种：①具体方法：就是各种具体的数学解题方法。

②一般方法：主要指各种逻辑方法与试验方法，具有较高的层次，研究的范围不是局限于某一数学分支，而是立足于整个数学，为各个分支所适用。③数学思想方法：数学思想是一类具体数学方法或一般方法的概括，是贯穿于该类数学方法中的思维策略和调节原则，它制约着数学活动中主观意识的指向，对方法的取舍、组合具有规范和调节的作用。⑷数学方法论：是研究数学发现、发明的规律与原理的学说，是研究322、研究数学方法的途径第一，研究者要有坚实的数学理论基础。第二，研究者要披览大量的数学史著作。第三，研究者要掌握唯物辩证法的研究方法。3、研究数学方法的意义第一，研究数学方法，有利于促进数学的发展。第二，研究数学方法，有利于发挥数学的功能。第三，研究数学方法，有利于促进数学教学改革。第四，研究数学方法，有利于丰富和发展马克思主义哲学。2、研究数学方法的途径第一，研究者要有坚实的数学理论基础。第33§5.2数学方法的内容一、化归方法1、化归方法概述⑴所谓“化归”，从字义上说，就是转化和归结的意思。数学中的化归方法，就是将数学问题进行规范化，指人们将一个新的、有待解决的或未能解决的问题，通过某种转化过程，归结为一类已经解决或比较容易解决的问题中去，从而最终求得解答的一种手段与方法。这种化归方法，早在17世纪的法国哲学家、数学家笛卡尔就称之为解决数学问题的“万能方法”。著名数学教育家波利亚给予高度评价，认为是解决数学问题的首要方法。§5.2数学方法的内容一、化归方法1、化归方法概述这种化归342、化归的方向化归的方向，可简述为：由未知向已知，由困难化为容易，由繁琐化为简洁。化归的方向，又称为化归的原则，即⑴熟悉性原则：将生疏问题化为熟悉问题。⑵简单性原则：将复杂问题化为简单问题。⑶直观性原则：将抽象问题化为具体问题。化归的方向或原则，也可简述为：把实际问题化为数学问题，把数学问题化为代数问题，把代数问题化为解方程的问题。2、化归的方向⑴熟悉性原则：将生疏问题化为熟悉问题。353、化归的方法⑴变换法我们遇到一个问题时，首先考虑是将其能否变换为一个或几个较为简单的问题，这种变换有变式、变形、变条件、变结论等情况，有恒等变换、等量变换、参数变换、坐标变换、几何变换等等。

⑵分解法所谓分解法，笛卡尔描述为“把你所考虑的每一个问题，按照需要与可能，分成若干部分，使它们更易求解。”但在很多情况下，为使化归过程完全实现，往往还要重新组合，波利亚说：“分解与组合是重要的智力活动，使其每一部分成为更易下手的问题。”这种分解法，又称叠加法，往往又表现为多种形式3、化归的方法⑴变换法⑵分解法36⑷特殊化与一般化法所谓特殊化，它是将所论的数学事实“退”到属于它的特殊状态(数量或位置关系)下进行研究，从而达到研究一般状态的目的。所谓一般化，就是将所论的具体问题，放在一般状态下进行思考，从而达到解决具体问题的思路。由特殊到一般，由一般到特殊，即由具体到抽象，由抽象到具体，它们互相制约、互相补充，它是化归的又一种常用方法。⑶映射法映射法，即关系、映射、反演方法(简称RMI方法)，这是在现代数学研究中实现化归的一种重要方法。与一般的化归方法相比，这种化归方法达到了更高的抽象程度，从而在数学中有更为重要和广泛的应用。

⑷特殊化与一般化法⑶映射法374、辩证地认识化归⑴化归的核心思想就是一个“变”，这种“变”，往往是解题的一个思维过程。第一，化归的过程，是一个对问题识别和归类的思维活动过程。第二，化归的过程，是一个对问题不断进行分析、综合的思维过程。第三，化归的过程，是一个思维定式与变异辩证统一的过程。⑵化归的实践第一，化归是一种有目的性的实践活动。第二，化归是一种反复探索性的活动。第三，化归是一种具有选择性、灵活性的实践活动。⑶化归的局限性第一，并不是所有的问题都可以通过化归而得到解决。第二，由前面的分析可以看出，应用化归法去解决问题的关键在于我们能否找到正确的化归方向与方法。第三，过多地强调化归，不利于数学的发展。4、辩证地认识化归⑴化归的核心思想就是一个“变”，这种“变”38二、发现方法1、类比法类比，是根据两个不同的对象的某些方面(如特征、属性、关系等)的相同或相似，推出它们在其他方面也可能相同或相似的思维形式，它是思维过程中由特殊到特殊的推理，是一种寻找真理和发现真理的基本而重要的手段，也是数学方法论最重要最基本的方法之一。在数学研究中，数与式、方程与不等式、一元与多元、低次与高次、平面与空间、数与形、有限与无限之间等都是比较常见的类比。二、发现方法1、类比法类比，是根据两个不同的对象的某些方面(39二、发现方法2、归纳法⑴归纳的意义所谓归纳，是把某类事物中个别事物所具有的规律作为该类事物的普遍规律，即通过特殊的分析去引出普遍的结论，这是一种由特殊到一般的思维过程，称为归纳。⑸类比与归纳的再认识①类比、归纳与化归的关系②努力提高猜测与论证水平⑵建立在类比基础上的归纳⑶建立在抽象分析基础上的归纳⑷类比、归纳是数学发现的重要方法二、发现方法2、归纳法⑴归纳的意义所谓归纳，是把某类事物中个40二、发现方法3、联想法⑴数学联想的意义所谓联想，指的是一种自觉的有目的思维活动，是由当前感知或思考的事物，想起有关的另一事物，或由此再想象起其他事物的心理活动。数学联想是以观察为基础，根据所研究的对象或问题的特点，联系已有的知识、技能、经验进行想象的思维方法。它是一种再现性想象，是进行类比、模拟、归纳、猜想等似真推理的基础。⑵数学联想的分类①意义联想②目标联想③形似联想④意愿联想⑤程式联想二、发现方法3、联想法⑴数学联想的意义所谓联想，指的是一种自41二、发现方法4、直觉法⑴直觉的意义简单地说，数学直觉思维是具有意识的人脑对数学对象(结构及其关系)的某种直接的领悟和洞察。数学直觉思维是直接反映数学对象、结构以及关系的思维活动，这种思维活动表现为对认识对象的直接领悟和洞察，这是数学直觉思维的本质特征。数学直觉思维是一种非逻辑思维活动，是一种由下意识(潜意识)活动参与，不受固定逻辑规则约束，由思维主体自觉领悟事物本质的思维活动。数学直觉思维具有整体性、或然性、简约性、创造性、直接性以及不可解释性等重要特征。二、发现方法4、直觉法⑴直觉的意义简单地说，数学直觉思维是具42⑵数学直觉思维的分类①按照数学直觉思维发生的时间不同，可以分为直接领悟式数学直觉思维和灵感顿悟式数学直觉思维。②按照数学直觉思维产生的基础不同，可以分为经验性数学直觉思维和理性数学直觉思维。③按照数学直觉思维的智力品质，可以分为再观性数学直觉思维和创造性数学直觉思维。④按照数学直觉认识结构反映的数学知识、数学问题、数学思想方法、数学思维方法的不同还可分为：关于方程、函数、几何、概率等的直觉思维；关于应用问题、极值问题、恒等变形问题等等的直觉思维；关于模型方法、结构方法、美感方法、变换方法等等的直觉思维；关于演绎、分析、归纳、类比的直觉思维等等。⑵数学直觉思维的分类43二、发现方法5、美学方法⑴数学美古代哲学家、数学家拉普拉斯曾断言“哪里有数，哪里就有美”。数学是一门美的科学，它不仅有强烈的美感色彩，而且有其确定的内容。数学美的基本特征是具有简洁性、对称性、统一性和奇异性。

①简单美又称为简洁美，是数学美的重要标志。②对称美又称为匀称美。③统一美又称和谐美。④奇异美又称奇特美。⑵数学美是数学发现的重要方法二、发现方法5、美学方法⑴数学美古代哲学家、数学家拉普拉斯曾44三、论证方法1、代数法⑴研究某些度量关系的几何问题时，可将有关线段、角度、面积用未知数表示，根据已知条件建立相关的关系式，然后用代数上的恒等变换或解方程给出，这种不依赖于坐标系，用代数知识来研究几何问题的方法叫做代数法。

2、三角法⑴研究某些代数或几何问题时，可运用三角知识来获得解答，这种方法叫做三角法。用以求解代数问题的三角法主要是三角换元法；用以求解几何问题的三角法主要是将线段和角的关系化为三角函数关系，通过三角恒等变换，解三角方程或证明三角不等式来完成几何问题的解答。三、论证方法1、代数法2、三角法45三、论证方法3、坐标法⑴经过建立坐标系，设定所给图形上的有关点的坐标和曲线的方程后，将几何问题转化为代数问题，然后运用代数知识求解，再赋予几何意义，从而获得对几何问题的解答，这种解答问题的方法叫做坐标法。⑵运用坐标法解答几何问题主要有三个步骤：第一步，选取恰当的坐标系，以便于确定关键点的坐标和关键曲线的方程，并易于计算为原则。第二步，设定点的坐标与曲线的方程，一般应尽可能地减少参数，并使曲线方程的结构尽可能简单，便于计算与推理。第三步，计算推理。对此，除明确有关概念，熟知有关公式和方程外，还应注意所给图形的几何性质。三、论证方法3、坐标法46

4、复数法⑴运用复数知识解答数学问题的方法，通常叫做复数法。这是一种特殊的代数法。用复数法解答几何问题，基本思路是从问题的特点出发，画出复平面，选取相应的复数表示形式，根据题设条件，将几何问题转化为复数问题，通过计算与推理，完成对问题的解答。5、向量法⑴所谓向量法，就是把几何问题转化为相应的向量代数问题，然后运用向量代数的知识来解题的一种方法，这种方法对于几何中的平行、垂直、共点、共线、交比等问题，往往显得简单有效。三、论证方法4、复数法5、向量法三、论证方法47

1、数学试验方法的基本思想⑴数学实验方法，渊源于初等数论。它的基本思想是根据题设情况，确定试验方案，通过逐项试验，去伪存真，剔除不合题意的解，从而寻找出原题的解答。⑵任何试验都和观察紧密联系。观察是试验的前提，试验是观察的证实和发展，观察依据于实验，实验离不开观察。2、试验与猜想⑴用试验研究问题，每次试验都能给人们提供一定的信息。所以对于某些结构较为复杂的数学题，如果一时找不到合适的解决方案，不妨利用试验法的基本思想，先安排若干次便于进行的试验，然后用不完全归纳法考察各次试验结果，探索条件与问题或条件与