《应用数学基础》教案2.4 期望与决策

长沙民政职业技术学院教案长沙民政职业技术学院教案数学应用基础课题期望与决策授课课时2课型新授课教案编号2-4教学目标（知识、技能、素质）：1、知识目标：掌握随机变量数学期望的定义和性质、随机变量方差的定义和性质；掌握期望值决策准则2、技能目标：分析解决问题的能力和严谨的逻辑思维能力3、素质目标：培养学生理性的思维方式和数学应用意识教学重点：随机变量数学期望的定义和性质、随机变量方差的定义和性质教学难点：风险决策主要教学方法：启发引导式、讲授法教学环节与内容一、问题引入要了解某个企业职工的工资的总体水平，不仅要了解该企业的平均工资，还要了解该企业工资是否呈“两极分化”，即需要考察该企业工资的方差。二、新课讲授（1）期望与方差定义1：对于一个离散型随机变量，若它可能的取值为，相应的概率为，则称.为随机变量的均值或数学期望。它反映了离散型随机变量取值的平均水平。随机变量数学期望的性质1.若为随机变量，(其中为常数)也是随机变量，且,,则.2．如果随机变量服从二项分布，即，则.3.如果随机变量服从正态分布，即，则.案例110000张奖券中，有1张一等奖，奖金1000元，10张二等奖，每张奖金100元，100张三等奖，奖金10元。现从10000张奖券中抽出1张，求1张奖券的期望收益。解若抽到一等奖，奖金是1000元，若抽到二等奖，奖金是100元，若抽到三等奖，奖金是10元，因此1张奖券的期望收益为这个结果意味着抽1张奖券的数学期望为0.3元。案例2某房地产公司准备投标一处建筑项目。如果中标，获利500万元的概率是50%，中标后由于建筑提价等因素影响而损失200万元的概率40%，投标不中的概率为10%。问房地产公司投标的期望收益是多少万元？解设房地产公司投标的收益为，取值分别为500万元、-200万元和0万元，概率分布如表2-5所示.表2-5投标的损益表（利润单位：万元）500-20000.50.40.1期望收益为(万元)即房地产公司投标该项目的期望收益是170万元。在实际情况中，只了解随机变量的数学期望是不够的，还要考虑所有样本数据与样本平均值的偏离程度，用它来刻画样本的稳定性，即方差。定义2：对于一个离散型随机变量，若它可能的取值为，相应的概率为，则称.为随机变量的方差,将称为的标准差,记为。随机变量的方差、标准差也是随机变量的特征数，它们都反应了随机变量取值的稳定和波动、集中和离散程度，越小，稳定性越高，波动越小。随机变量方差的性质1.设为常数，则.2.(其中为常数)．3．如果随机变量服从二项分布，即，则.4.如果随机变量服从正态分布，即，则.案例3随机抛掷一枚质地均匀的骰子，求抛掷骰子点数的均值、方差．解抛掷骰子所得点数的分布列为123456从而案例4有甲、乙两个单位都愿意聘用你，而你能获得如下信息：甲单位不同职位月工资元1200140016001800获得相应职位的概率0.40.30.20.1乙单位不同职位月工资元1000140018002200获得相应职位的概率0.40.30.20.1根据工资待遇的差异情况，你愿意选择哪家单位？解根据月工资的分布列，利用计算器可算得.因为,,所以两家单位的平均工资相等，但甲单位不同职位的工资相对集中，乙单位不同职位的工资相对分散．这样，如果你希望不同职位的工资差距小一些，就选择甲单位；如果你希望不同职位的工资差距大一些，就选择乙单位．利用均值和方差的意义可以分析、解决实际问题，也就是当我们希望实际的平均水平比较理想时，则先求它们的均值。但是不要误认为均值相等时，它们都一样好，这时，还应看它们相对于均值的偏离程度，也就是看哪一个相对稳定(即计算方差的大小)。如果我们希望比较稳定时，这时应先考虑方差，再考虑均值是否接近即可。（2）风险决策期望值决策准则(1)对于每种方案，将每个收益乘以相应自然状态的概率，再把乘积相加就得到这个方案的期望收益；(2)期望值决策准则选择具有最大期望收益的方案。案例5某企业家需要就该企业是否与另一家外国企业合资联营做出决策.根据有关专家估计，合资联营的成功率为0.4.若合资联营成功，可增加利润7万元；若失败，将减少利润4万元；若不联营，则利润不变.问此企业家应如何做出决策？解用表示选择合资联营能增加的利润值..E[不联营]=0由于不合资联营,增加的利润为零,根据期望值决策准则，应做出合资联营的决策。案例6某工厂要确定下一年度产品的生产计划，并拟定了三个可供选择的生产方案：甲方案、乙方案和丙方案.而该产品的销路可能有好、一般、差三种情况，根据以往的经验，未来市场出现销路好坏的可能性以及各种方案在各种销路下工厂的收益见表2-6.决策者应选择哪种方案使工厂获利最大？表2-6工厂的损益表（利润单位：万元）销路好销路一般销路差甲方案402615乙方案353020丙方案302420概率0.30.50.2解：这是一个风险型决策问题E[甲方案]（万元）E[乙方案]（万元）E[丙方案]（万元）根据期望值决策准则，乙方案为最优方案.案例7金海洗衣机厂明年将售给某市五金公司5000台洗衣机,金海洗衣机约定保修一年,该厂对洗衣机保修工作的进行有以下2个方案可供选择：（1）委托五金公司承包维修业务,为期一年,维修次数不限，共需一次支付修理费2400元.（2）委托该市洗衣机维修中心承担维修业务，但该维修中心提出：一年内只能接受维修500次，共需支付修理费1500元.若超过500次，每增加一次需另付维修费5元.另根据过去的经验及当前产品的质量实际情况估计，今后一年内洗衣机可能出现维修的次数及其发生的概率如表2-7：表2-7洗衣机厂的维修次数表维修次数500次以下600次700次800次概率0.40.30.20.1问：该厂应选择哪种方案？解若选择第（1）方案，则工厂将支出维修费2400元.若选择第（2）方案，则工厂根据维修次数应该支出维修费以及相应的概率如表2-8所示.表2-8洗衣机厂的维修费用表维修次数500次以下600次700次800次维修费用1500200025003000概率0.4