大学数学经典求极限方法

大学数学经典求极限方法 (全)PAGEPAGE4求极限的各种方法约去零因子求极限x411：求极限x1

x1x11x1x1这一零因子可以约去。【解】x1

(x1)(x1)(x2xlim(x1)(x2xx1分子分母同除求极限x3x2例2：求极限limx3x31【说明】型且分子分母都以多项式给出的极限,可通过分子分母同除来求。x3x2 11 1【解】lim

lim x x3x3

x31 3x3【注】(1)一般分子分母同除x的最高次方；0

mn(2)

axnan

n1

xn1

a0

mnxbxmm

bm1

xm1

b ab0 b

mnn分子(母)x23x23x

x21)x2x23limx

x

1)lim( x( x23 x21)(x23x23x21x21)x23 x23 x21x1tanx1tanx 1sinxx011tanx 1sinxx0 x3

x3limx0

x31tanx31tanx1sinxlimx0

1 tanxsinx1tan1tanx 1sinxx0 x3

1 tanxsinx lim 2x0 x3 4是解题的关键应用两个重要极限求极限sinx 1 1 1两个重要极限是lim x 1和x)xn)nx)xe，第x0 x n x0一个重要极限过于简单且可通过等价无穷小来实现。主要考第二个重要极限。5

x1xx1limx1x 【说明】第二个重要极限主要搞清楚凑的步骤：先凑出１，再凑指数部分。

1，最后凑X x1 12x1

2

1

2 2

limx1

lim1

x1

lim1

1

x1

e2x

x

x

x12

1

x2ax例6：(1)lim1 ；(2)已知lim 8，求a。x x2 xxa用等价无穷小量代换求极限【说明】常见等价无穷小有：当x0 时,x~sinx~tanx~arcsinx~arctanx~x)~ex1,1cosx

1x22

1x

1~abx；等价无穷小量代换,只能代换极限式中的(3)此方法在各种求极限的方法中。例7：求极限limxln(1x)【解】

x0

1cosxxln(1x) xx .limx0

1cosx

lim 2x01x22例8：求极限limsinxx2x0 tan3x2

lim

sinxx

limsinxxlimcosx1lim1x

1x0 tan3

x0 x3

x0

3x

x0

3x2 6用罗必塔法则求极限lncos2xln(1sin2x)例9：求极限limx0 x2 0或型的极限,可通过罗必塔法则来求。 02sin2x sin2x【解】lncos2xln(1sin2x)lim

lim

cos2x 1sin2xx0limsin2x 2

x21 3

x0 2xx0 2x cos2x 1sin2x【注】许多变动上显的积分表示的极限，常用罗必塔法则求解

f(0)

lim

x(xt)ft)dt0 .x0

xx0

f(xt)dt【解】由于0

f(xt)dtxtux

fu)(du)0

,于是f(u)du56PAGEPAGE9解。 1

x2 x2 1 x2 x2 1

1 1 siny1 1 1 【解】考虑辅助极限limxsin lime

x limey2y

e6x x x

y0所以，

1n2 1limnsin e6n n10．n项和数列极限问题n项和数列极限问题极限问题有两种处理方法(1)用定积分的定义把极限转化为定积分来计算;(2)利用两边夹法则求极限.极限 1 1 1 16：

limn

n2n212n222n2n2f(x定积分。lim1 1 2 n 1f f n n n

fn

f(x)dxn

0 原式＝1 111 12nnn

1 1 11 22n1 n2n极限

101

11x

dx1ln221211 17：

lim n21n21

n2n22n2n(1)该题遇上一题类似，但是不能凑成lim1n

f1f2fn

n

(2)两边夹法则需要放大不等式，常用的方法是都换成最大的或最小的。 1 1 1 【解】limn

n21n21n22n2nn2nn2n2nn21n22n2nn21

1

1 1 n又 n2n2nn

nn21n21n所以 1 1 1 ＝１limn12．单调有界数列的极限问题

n21n21n22n2n)例18：设数列满足0x,x sinx(n1,2,)n 1 n1 n（Ⅰ）证明limx存在，并求该极限；n n.x2（Ⅱ）计算x 1.x2lim n1nn xn【分析】一般利用单调增加有上界或单调减少有下界数列必有极限的准则来证明数列极限的存在. x x x0 01 2

sinx1

.1

0xn1

sinxn

1n1,2, ，则数列有界.n于是 xn1xn

sinx xn

1（

xsinx

，则有xn1

x，可见数列单调减少，故由单调减少有n n下界数列必有极限知极限limx存在.n n设limxn

l，在

n1

sinxn

两边令n，得

lsinl，解得l0，即limx0.n n（Ⅱ）因

1x x21

sinx

1，由（Ⅰ）知该x2lim n1nx2

lim nn极限为型，

n xn

n xn11 1

11sinx1

sin