高中学科知识部分复习讲义

1一、大学（最高次幂法） a00,b00, 和n为非负整数时a0,naxmaxm1

b0b

1

m0,nb ,nb当x0时，ex x；sin x；tan xln1 x；1cos 1

1x22sin（两个重要极限）lim1x

x

（洛必达法则）设函数f(x)F(x（1）limf(x)0(),limF(x) f(xF(xa的去心邻域内可F(x)0limf(x)A()；则limf(x

f(xA(xa xaF xa 准则）若f(xg(xh(x满足下列条件o（1）当xU(x0,g(xf(x（2）limg(x)limh(x)A 2那么f(x的极限存在，并且limf(xAf(xxx0limfx存在（2）limfx

fx0设函fxx0的某去心邻域内有定义，在此前提下如果fx有下列三种情x0有定义，但limfx虽然在x0有定义且limfx存在，但limfxfx0 则函fxx0为不连续，而x0称为函数fx的不连续点或间断点

d2 二阶导数yf(x)称为二阶导数。f [f(x)] dxF(x,y)03dy 一阶导数等于0，f(x0)0x0叫做函数的驻点那么点x0叫做函数的拐点。微分d(sinx)cosdx，d(cosx)sinf(x在闭区间[a,b]上连续，在开区间(ab)f(a)=f(b)，那么在(ab)内至少有一点c使f′(c)=0。设函数f(x)满足（2）（a,b）（a,b）内至少存在f(bf(af()(ba)f(bf(a)f(bf(xg(x在闭区间[a,b]上连续，在开区间(ab)g(x≠0

= =( fn(x0) Tnx=fx0+f x−x0+⋯ x− =Rn(x)=o((x−x0)n)(x→

x→x0(x−定理2：设f(x)x0的区间(a,b)有阶导数，在[ab]有阶连续导数，则∀x4f(x)=Tn(x)+Rn(x)Rn(x)

(n−

fn+1(ζ)(x+x0xx0时的泰勒公式又称为麦克劳林公式kdxkxC(k是常数xdx x1C,（1dxln|x|CxexdxexC adx CcosxdxsinxCsinxdxcosxC

dxcos2 dxsin2

sec2xdxtanxCcsc2xdxcotxC 1dxarctanxC 11 dxarcsinx1secxtanxdxsecxCcscxcotxdxcscxC性质 [f(x)g(x)]dxf(x)dx性质 5kf(x)dxkf(x)dx(k是常数k1设F(u)为f(u)的原函数，且函数φ(x)̲̲̲̲̲̲)̲̲定理 ∫f(u)du=F(u)+C，函数φ(x)可导且单调，t0,fttdtGtC定 3：假定u=u(x)与v=v(x)均具有连续的导函数，uvdxuvuvdxudvuvvdu fxgxdx akfxdxkaf afxdx

fxdx

f afxdxa1dxbbafxdx0ab6 如果在区间[a,b]上f(x)≥g(x)，则afxdxagxdxabmbaafxdxMbaab（

bfxdxfba

af(t)dt就有一个确定的值，af(t)dtx(x)

f(t)dt(axaF(x)1( f(t)dt，其2(

f

(x),在[a,b]上连续，可导函数 [a,b]上，则在函数1(x),2(x)的公共定义域上 (1

f

f[1(x)](x)f[(x)] F(x) [( 级数u收敛的必要条件是limu0 limun1 设n

，则1时，级数

n收敛1，级数

n发散。7时，级数un敛散性不定 设 ，则当1时，级数un收敛；当1，级数un发散。当n n时，级数un敛散性不定设交错级数

unun1(n1, limun则级数

若级数

收敛，则称级数un绝对收敛 若级数un收敛，而级数un发散，则称级数un 绝对收敛的级数一定收敛，即级数

收敛，则级数un收敛①当x(RRR0时，幂级数axn收敛且绝对收敛xR时该幂级nnR为该幂级数的收敛半径。(RR②设当n充分大时an0，并设

或lim

，（1）R080R若0，则R1, , en!1x2!(1)nxn ,x (1)nxn ,x1 xn1xx2 xn 1x n ,n ,xnln(1x)

x (1)n (1)n (2n,xsinx

x (2n (1)n (1)n ,xcosx

1 ankanbncnan ＋an9性质6：把一行的倍数加到另一行，行列式不变。

aAaAi1 i2i

,i1, 其中，Aij是aij代数 ABBAEBAAAA0，即可逆矩阵就是非奇异矩阵。AA11A

a a a a定义：设A 2n，它的转置为一个矩阵，并用表示A的转置，

mnam1 A

m2 mnATTABTATBTATATABTBT正交矩阵，则有AT也是正交A的各行（列）是单位向量且两两正A1或-1。 对于任意mn矩阵AATA为n阶对称矩阵AATm如果两个同阶（反）对AB可交换ABBA，则它们的乘积AB对称矩阵，即(AB)TAB征值，为矩阵M的属于特征值的特征向量。②以数k(k0)乘以某一行（列③把某一行（列）的k倍加到另一行（列）上①对于给定的向量组1,2 s,；如果存在一组数 ,ks使得k11k22 kss，则称向量是向量组1,2 s的一个线性组合②设1,2 s是一组n维向量，若存在一组不全为0的数 ,ks使 ③如果在向量组1,2 s中，有r个向量1,2 r，满足（1）1,2 r（2）在向量组1,2 s中，任意r+1个向量线性相关则称1,2, r为向量组1,2, 向量的个数成为向量组的秩，记为r(A)。a1na2na1na2nann11 12axa 21 22

A0设1,2 （1）1,2

AX0的任一解向量均可由,

1 则称向量组, 是AX01 上述条件（2）等价于rArnr若1,2 k11k22 是AX0的通解（一般解，其中k,k , 11 12 1n axax axbaxax11 12 1n 21 22 2n annxn的系数矩阵dA0，那么线性方程有解，并且唯一解，可以通过系数xd1,xd2

,

d其中，dj表示把矩阵A中第j列换成常数项b1,b2 ,bn所组成的矩阵的行列式，jdj

a2,j

a2,j

a2n,j1,

an,j

an,j

（2）nAsnXbr(A)有唯一解的充要条件r(Ar(A,b有无穷多解的充要条件r(Ar(A,br设AXb有特解对应的齐次线性方程组AX0有基础解系, 则AX

k11k22 knrnrn其中k1,k2 ,k是任意n设V是一个空间集合，P是一个数域。在集合V的元 在数域P与V的 间定义了称为数乘的运算，如果对于,V都有V又对kPVkV，满足以下运算规则（1）()(存在零元素0V，使0存在的负元素V1k(l)(kl)kk()k则称VP任一元素的负元素是唯一的；记做00,k00,(1)k0，则k00设VP上的线性空间，W是V的一个非空子集合，如果W对于V的两种运算也构成数域P上的线性空间，则称W为V的子空间。 本身与0都是子空间，称为它的平凡子空间，而其由V的一组元素1,2 ,s所有可能的线性组合构成的集k11k22 kss|k1k2 ks构成 的一个子空间，称之为由1,2 ,s生成的子空间，记作L(1,2如 性空间V中，如果存在n个元素1,2 n，满足（1）1,2 （2）V中任意一个元素都可以用1,2 n线性表示那么1,2 n就称为线性空间V的一组基，n称为线性空间的维数

,s①设VP上的线性空间，若变换:VV,V,kkk则称为线性空间V为V的线性变换，则(00,(若k11k22 krr则()k1(1)k2(2) kr(r)f(x1,x2

xn)ax22axx2axx 2axx11121 131 1n1ax2+2axx11121 131 1n122 232 2n2 nnnaiixi22aijxixj ij

A

a1na2nXx1

a n nnxn)xnxn)T则f(x1,x2 TAX称A为fxn)xn规范二次型：形如x2 x2 2 2的二次型 （3）正定二次型：如果当x1,x2 xn不全为0（X0）时，一定有xn)f(x1,x2 TAX0。xn)矩阵A0；A的特征值都是正数；（4）负定二次型：如果当x1,x2 xn不全为0（X0）时，一定有f(x1,

AX0xn)XA的特征值都是负数；记作(,)，若(,)满足性质：,,V,k(,)(k,)k(,(,),(,(,0,当且仅当0时(,0则称(,)为和的内积，并称这种定义了内积的线性空间V （1）先把线性无关的向量组 ,m化成正交向量组1,21,(2,1)1

,

(1,1j

1(j,i),j )

,（2）再单位化得标准正交向量组,

,

1,i1, ,iiii

|i①共线向量定理：空间任意两个向量a,b0， 的充要条件是存在实数，pxaybpxaybxyaba1b1,a2b2,a3baba1b1,a2b2,a3b3,aa1,a2,a3R,aba1b1a2b2。 babababRa1a2a3

a aa a2a2a2 2aaa aa2cosabab a1b1a2b2 a a2a2a b2b2b x2x1y2y1z2z1实数组x、y、z，使pxaybzc。x、y、z，使OPxOAyOBzOC。向量b的外积为cabcababsin。并且c垂直于向量aa1a2a3，bb1,b2,b3 k ab a3a2b3a3b2i(a3b1a1b3)j(a1b2 3AxxByyCzz0，其中nAB,C为平面的法向量(x0,y0,z0)为平面上的一点。AxByCzD0（AB,C不全为零），其中nA

其中AB,C,AB,C22222222

y= x y= ，其中n(l,m,n)为直线的方 向量(x0,y0,z0)为直线上的一点x参数式y

，其中nlmn)为直线的方向向量，(x,yz)为z

设1:A1xB1yC1zD1 2:A2xB2yC2zD20

A1B1C1D1;（法向量共线但两平面不重合

2 （（2）1垂直于2n1n2A1A2B1B2C1C20n1n1A1A2B1n1n1A1A2B1B2A2B2C111A2B2C222cos L1xx1yy1zz1L2xx2yy2zz2 L平行于LS平行于S即l1m1n1且xyzLl l2

1 L1垂直于L2S1垂直于S2即l1l2+m1m2+n1n2=0L1与L2的夹角（方向向量间夹角，指不大于 的S1 l1l2m1m2cos S

l2m2n l2m2n L:xxyyzz,AxByCzD0 L平行于S垂直于n,即l1l2+m1m2+n1n2=0L垂直于

CS平行于nS平行于nA

AlBmA2B2 l2m2A2B2 l2m22PP x y 221 PP x y 221 2dPxyz到直L:xx1yy1zz1的距离 ddPP1sinPP1,SPP1Sx1xljy1kz1m l2m2nx1x1x,y1y,z1zl,m,Pxy

到平面AxByCzD0的距离d

n

AxByCz。A2B2yozCfyz0zx2y2周，就得到一个以z轴为轴的旋转曲面。它的方程为f z)0x2y2旋转所成的旋转曲fyx2y202+yy2+zz2=R22+yy2+zz2=R2一般，设有三元二次方程Ax2Ay2Az2DxEyFzG0，这个方程的特点是xyyzzx各项，而且平方项系数相同，只要将方程经过配方后可化成方程xx2+yy2+zz2=R2的准线，动直线L叫做柱面的母线。角坐标系中，这个方程表示的曲面则可看成是由平行于Z轴的直线lxOy面上的圆x2y2R2xOyx2y2R2叫做它的准线，而平行于Z轴的直线l叫做它的母线。x,y而缺zf(xy0z的柱面，其准线是xoy面上的曲线f(x,y)0x2y

1，母线平行与z

1，母线平行与z x22py，母线平行与z二、高中ABfA中的任意一个数xBf(xfAB是从集AByf(xxA。其中x叫做自变量，xA叫做函数的定义域。与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合叫做函数的值域。定义法：求出定义域（判断定义域是否关于原点对称；求f(x)定义法x1x2Ix1x2，作f(x1f(x2f(x在开区间IxIf(x>0,f(xIxIf(x<0,Ixf1y，xAxf1y)叫做函yf(x的反函数，反函xf1y的定义域、值域分别yf(x的值域、函数yax(a0且a1)叫做a0a yy ya y R(0,RRax1(xax1(xax1(xax1(xax1(xax1(xa变化对图象的在第一象限a越大图象越高；在第二象限内，a越大图象对数式与指数式的互化x

log10loga1logaabb 如果a0,a1,M0,N0，那logaMlogaNlogalogMlogNlog anlogaMlogaMn(nalogaNaloga

Mnn

M(b0,nlogNlogbN(b0,且b logb函数yloga0且aa0ayOxylogaxyOxylogax(0,R图象过定点(1,0，即x1时y0在(0,)在(0,)logax0(x1)logax0(x1)logax0(0x1)logax0(x1)logax0(x1)logax0(0x1)a变化对图象的在第一象限内，a越大图象越靠低；在第四象限内，a越大图象越,角的概念的推广、弧度制、弧长和扇形面积公式l S1lR2

1212RRx|xk 2 RTTT[2k,2k [2k,2k(k,k [2k,32k [2k,2k图像；再将ysinx的图象上所有点的横坐标伸长（缩短）到原来的1（纵坐纵坐标伸长（缩短）到原来的倍（横坐标不变，得到函数ysinx的图象．ysinxysinx的图象上所有点向左（右）个单位长伸长（缩短）到原来的倍（横坐标不变，得到函数ysinx的图象sin()sincoscossinsincos()coscossin1tantan1tantansin22sincos2cos2sin22cos2112sin2tan221tan2cos21cos2sin21cos2 sin

sin

sin

c2a2b22bccosCax3bx2cxd=0(axxx xxxxxx1 2 1 xxx 令q)2

p3，其

p3acb2,q

27a2d9abc2b3 <0时，一元三次方程有三个不相等的实 时，一元三次方程有三实根，其中有一个二重>0时，一元三次方程有一个实根和一对共轭复根 f(x)0f(x)g(x) f(x)0f(x)g(x) g(x) g(x)f(x)0f(x)g(x) f(x)0f(x)g(x) ff ff f(x) f(x) ff

f(x)g(x)

ff

f(x)g(x) f(x) f(x) f(x)

f(x)ff g(x) ff f(x)g2

g(x)

g(x)f(x)f(x)g(x)

g(x) f

g(x)f(x)g(xg(x)0，f(xg(x)或f(x或g(x)0f(xg(x)不同时为af(x)ag(x)(a1)f(x)af(x)ag(x)(0a1)f(x)af(x)b(a0,b0)f(x)lga

f(x)logaf(x)

g(x)(a1) g(x)f(x)logaf(x)

g(x)(0a1)

f(x)g(x)

f(x)a∈（ab 2a+b3abc(abcR，当且仅当a=b=c等号成立3等差数列的通项公式及前n项等差数列的通项公式ana1n

=n(a1an)，

n(n1)2anan1d(n2d为常数anamnm)d(mn)③等差数列的通项是一次函数形式，即anknb(k,b为常数④mnpqmnpq等比数列通项公式及前n项

apaqaan

,q a(1qn ,q 1a q(n2,q0,q为常数aaqnm(mn ②a2 (n2,a 0)，其中a称为 和 的等比中项 ③等比数列的通项公式是指数形式，即ancqn(cq为常数④mnpqmnpqN，则aaaa 适用于等差等比数列或是可以转化成等差等比数列的数列，或利用若数列{an为等差数列，数列{bn}为等比数列，则数列{anbn}的求和就要采用此法。将数列{anbn}的每一项分别乘以{bn}的公比，然后错位相减，进而可得到数列{anbn}的n

（a,b,bc为常数）时，往往可(anb1)(anb2 an变成两项的差，采用裂项相消法求和。 1 1n(n n 1 (2n1)(2n 22n 2naa aaa

nn⑤常见数列的前n123...nn(n1)2135...(2n1)122232...n21n(n1)(2n6向量共线定理：向量aa0与b共线，，使ba。 是同一平面内的两个不共线向量，对于平面内 的任意向量有且仅有一对实 nAmn(n1)(n (nm1)(m,nN*,mn组合：从nm(mn个元素并成一组，叫做从n Cmn

Ann(n1)(n (nm1)m m!(nm

(m,nN*,m隔板法：若要求把n个元素分成m堆（每堆至少有一个）则把m1个木板插入n个元素形成的n1个“空隙”中去 （anC0anC1an1b Cnbn,(n nTk1n n二项式系数和：2nC0C1 n 奇数项的二项式系数和2n1C0C2 偶数项的二项式系数和2n1C0C2 ①经过点P(x0y0)的直yyk(xx或者x ②经过两直线lAxByC0,lAxByC A1xB1yC1(A2xB2yC20（为参数③与直AxByC0平行的直线系方AxBym0（m为参数④与直AxByC0垂直的直线系方BxAyn0（n为参数A2A2两平行直线的距离d

C1 A2标准方程(xa)2yb)2r2(r0)，其中圆心为(ab，半径为r 1D2E21D2E22设两圆圆心分别为O1,O2,半径分别为r1r2。当O1O2r1r2时，相离；当O1O2r1r2时当|r1r2|O1O2r1r2当O1O2|r1r2|时，内切；当O1O2|r1r2|时，内含。c1Fc1FF2c，c2a2b2r2d①r2d ykx ②联立方程(xa)2(yb)2r2，利用公式AB (1k)[(x1x2)4x1x2]11aby2x2FF10,c,F20,F1c,0,F2c,长轴的长短轴的长10a