应用数理统计-一元线性回归中的参数估计

第五章回归分析

一元线性回归本章内容多元线性回归一元非线性回归参数估计假设检验参数估计回归检验预测假设检验预测系数检验回归检验系数检验数学上“回归”一词第一个被英国生物统计学家高尔顿(Galton)用于研究人类身高的遗传问题上.他研究的结论是：很高(或矮)的双亲的儿子们一般高(或低)于平均值,但不像他们的双亲那么高(或矮).因此儿子们的高度将“回归”到平均值,而不是更趋极端,这也是“回归”一词的最初含义.变量关系确定性关系随机性关系由函数关系描述回归关系相关关系回归关系自变量是非随机的可控的，因变量是随可控变量变换的随机变量相关关系两个变量都是随机变量相关与回归的区别回归分析自变量可控时变量间关系的分析商场某商品的利润与进货量间的关系氮磷钾某农作物的亩产量与施肥量间的关系随机因变量可控变量一元回归分析多元回归分析§5.1一元线性回归中的参数估计§5.1一元线性回归1.一元线性回归模型设是可控变量,量,两者关系式为是依赖的随机变当取定值时,记则有对的回归方程回归系数当为的线性函数时,称为线性回归,否则称为非线性回归.对未知参数进行点估计；(1)用对试验值(2)对回归系数作假设检验；(3)在处对作预测,即对作区间估计.一元线性回归的主要任务2.未知参数的估计选择参数使离差平方和最小,即令正规方程组参数估计用取代方程两边都除以解得(本方法称最小二乘法—由高斯(Gauss)建立)把代入回归直线方程得的经验回归直线方程,它表明

称为对对于子样观察值

经验回归

直线通过散点图的

几何中心

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........为计算方便引入下述记号：

记号上面用最小二乘法估计下面用矩法估计由于故用作估计.其中于是的估计量为下面推导的简化计算公式并计算例1例1为研究某一化学反应过程中,温度(0C)对产品收率(%)的影响,测得数据如下10011012013014015016017018019045515461667074788589温度收率的经验回归直线方程,

求对的估计值.100451000020254500计算表11051121002601561012054144002916648013061169003721793014066196004356924015070225004900105001607425600547611840170782890060841326018085324007225153001908936100792116910145067321850047225101570解列表计算解二解二令-50-40-30-20-1001020304006916212529334044温度收率则原数据变为-500250000计算表-406160036-240-30990081-270-2016400256-320-1021100441-210025062501029100841290203340010896603040900160012004044160019361760-50223850069052870解列表计算还原3.估计量的分布估计量分布由于独立正态变量

的线性组合

仍是正态变量,所以

其中

经验回归系数的分布

事实上

可见

是b的无偏估计.

考察

是不是

的无偏估计量.

综合(1)(2)(3)得

不是

的无偏估计量.

记