线性代数-向量集的秩

1、向量集的线性相关与线性无关向量集的秩2、向量集的秩3、关于矩阵秩的定理定义

则称向量

的数为同维向量,若存在不全为零线性相关,否则称它们线性无关.向量组A：a1,a2,…,am线性相关(无关)m元齐次线性方程Ax=0有非零解(零解)r(A)<

m(r(A)=m

)依据前面的分析可得如下重要结论其中向量的个数就是齐次线性方程组的未知数的个数．1、向量集的线性相关与线性无关注给定向量组

A，不是线性相关，就是线性无关，两者必居其一;向量组

A：a1,a2,…,am线性相关，通常是指

m≥2的情形；对于单个向量，当且仅当是零向量时，线性相关；否则线性无关．两个非零向量a1

a2线性相关a1ka2(对应分量成比例)

以上结果，显示了Rn的向量之线性相关性与齐次方程组的解及矩阵秩三者之间的联系.

n维单位坐标向量组构成的矩阵为E(e1

e2

en)

是n阶单位矩阵

由|E|10

知r(E)n

即r(E)等于向量组中向量个数

所以此向量组是线性无关的

例

试讨论n维单位坐标向量组的线性相关性

解

向量组a1

a2

am线性无关r(a1

a2

am)m

例

已知试讨论向量组

a1,a2,a3

及向量组a1,a2的线性相关性．解

可见

r(a1,a2,a3)=2<3（向量的个数），故向量组

a1,a2,a3

线性相关；同时，r(a1,a2)=2，故向量组

a1,a2线性无关．本例是向量个数与维数相等的特殊情形，亦即齐次方程组是nn的情形.此时，可计算行列式值的方法来判断线性相关性,即若行列式不等于零，则线性无关.故向量组a1,a2,a3线性相关.若行列式为零，向量组线性相关；例

已知试讨论向量组

a1,a2,a3

及向量组a1,a2的线性相关性．解

设有x1

x2

x3使

x1b1x2b2x3b30即

x1(a1a2)x2(a2a3)x3(a3a1)0亦即(x1x3)a1(x1x2)a2(x2x3)a30

因为a1

a2

a3线性无关

故有

例

已知向量组a1

a2

a3线性无关

b1a1a2

b2a2a3b3a3a1

试证向量组b1

b2

b3线性无关

证法一

利用定义由于此方程组的系数行列式故方程组只有零解x1x2x30

所以向量组b1

b2

b3线性无关

把已知的三个向量等式写成一个矩阵等式

证法二齐次方程组解的理论因为A的列向量组线性无关

所以可推知Kx0

又因|K|20

知方程Kx0只有零解x0

所以矩阵B的列向量组b1

b2

b3线性无关

记作BAK

设Bx0

以BAK代入得A(Kx)0

例

已知向量组a1

a2

a3线性无关

b1a1a2

b2a2a3b3a3a1

试证向量组b1

b2

b3线性无关

证法三利用矩阵秩

因为A的列向量组线性无关

所以r(A)3

从而r(B)3

因此b1

b2

b3线性无关因为|K|20

知K可逆所以r(B)r(A)

把已知的三个向量等式写成一个矩阵等式记作BAK

例

已知向量组a1

a2

a3线性无关

b1a1a2

b2a2a3b3a3a1

试证向量组b1

b2

b3线性无关

线性相关的性质不失一般性,设ki≠0,于是证

必要性.设向量组一组不全为零的数k1,k2,…,ki

,…,km,使得线性相关,则存在条件是至少有一个向量可由其余(m−

1)个向量线性表示.定理

向量组线性相关的充要即

可由其余m−1个向量线性表示.条件是至少有一个向量可由其余(m−

1)个向量线性表示.定理

向量组线性相关的充要充分性.设向量组中的某一个向量可以由其余向量线性表示,即显然,

数

不全为零,故线性相关.证条件是至少有一个向量可由其余(m−

1)个向量线性表示.定理

向量组线性相关的充要向量组A：a1,a2,…,am线性相关m元齐次线性方程Ax=0有非零解r(A)<

m为

m

维向量,

注

含有限个向量的有序向量组实际上等同于一个矩阵．推论对m阶矩阵A=[a1,a2,…,am],

r(A)<m的充要条件是至少有一列可由其余的列线性表出．则任一向量都不能由其余

m−1个向量线性表示.

推论

若向量组线性无关,向量组A：a1,a2,…,am线性无关m元齐次线性方程Ax=0有零解r(A)=m

为

m

维向量,

定理

若向量组线性表示,且表示式唯一.线性相关,则向量β可由线性无关,而向量证由上定理的必要性证明,可得β能由线性表示,下面证明唯一性.两式相减,得设向量线性表示为及定理

若向量组线性表示,且表示式唯一.线性相关,则向量β可由线性无关,而向量证唯一性线性无关,则

线性表示,且表示式唯一.2、向量集的秩的一个部分组,它满足定义

设向量(2)向量组中每一个向量都可以由向量线性表示,则称向量组是向量组的一个最（极）大线性无关组注

只含零向量的向量组没有极大无关组.注

一个线性无关向量组的极大无关组就是其本身.

例

设向量组

由于线性无关,且所以组成的部分组是极大无关组.还可以验证也是一个极大无关组.解注

一个向量组的极大无关组可以是不唯一的;但不同最大线性无关组的向量个数是确定的.定义的极大无关组所含向量的个数称为向量组的秩.

显然任一线性无关向量组的秩就是其所含向量的个数;而只含零向量的组其秩为零.可见r(A)3

故列向量组的最大无关组含3个向量

例

求矩阵A的列向量组的一个最大无关组

并把不属于最大无关组的列向量用最大无关组线性表示

其中

解

对A施行初等行变换变为行最简形矩阵

因为

知r(a1

a2

a4)3

故a1

a2

a4线性无关,

即为列向量组的一个最大无关组

例

求矩阵A的列向量组的一个最大无关组

并把不属于最大无关组的列向量用最大无关组线性表示

其中a1

a2

a4为列向量组的一个最大无关组,

解

对A施行初等行变换变为行最简形矩阵

把A的行最简形矩阵记作B(b1

b2

b3

b4b5)

向量a1

a2

a3

a4a5之间与向量b1

b2

b3

b4b5之间有相同的线性关系

现在

b3b1b2因此a3a1a2

a54a13a23a4

b54b13b23b4矩阵的秩的性质若

A为m×n

矩阵，则

0≤r(A)≤min(m,n)．

r(AT)=r(A),r(aA)=r(A)

．若

A~B，则

r(A)=r(B)

．若

P、Q

可逆，则

r(PAQ)=r(A)

．3、关于矩阵秩的定理矩阵的秩的性质

max{r(A),r(B)}≤r(A,B)≤r(A)＋r(B)

．

特别地，当

B=b

为非零列向量时，有

r(A)≤r(A,b)≤r(A)＋1

．

r(A＋B)≤r(A)＋r(B)．

r(AB)≤min{r(A),r(B)}．若

Am×n

Bn×l

=O，则

r(A)＋r(B)≤n.若有矩阵Am×n

，Bn×p，则

r(A)＋

r(B)-n≤r(AB).例

设

A为

n阶矩阵，证明