自动控制原理答案

1自动控制系统的基本概念11.1内容提要11.2习题与解答172.1内容提要72.2习题与解答83.1内容提要3.2习题与解答4根轨迹法4.1内容提要4.2习题与解答55.1·5.26.1内容提要6.2习题与解答7非线性系统7.1内容提要7.2习题与解答8.1内容提要8.2习题与答案I自动控制系统的基本概念题1-1 答1-11-1直流电动机开环控制系统示意1-2开环系统结构时（电位器对应的输出电压用UR表示n1-3直流电动机闭环控制系统示意1-4闭环控制结构Uf，然后反馈到输入端与给定电压UR1-2答闭环自动控制系统主要由控制对象（或调节对象，执行机构，检测装置（或传感器题1-3 图P1-1所示，为一直流发电机电压自动控制系统示意图。答环节：电压源U0。用来设定直流发电机电压的给定值。检测环节：跨接在发电机电枢两端、且与电压源U 反极性相接到比例放大器输入端1-5系统结假设在系统恒定运行状态下，发电机输出的电压与给定的电压U0相等，也就是扰动：系统长时间工作是电源电压U0降低，执行机构、器等的机械性能的改变等。题1- 图1-6所示为闭环调速系统示意图，如果将反馈电压U1的极性接反，成为正反1-6闭环调速系统示意答正反馈系统的比较环节是是反馈电压U1于给定电压UR相加。加给控制器的信号u=U1+Ug必然给定电压基础上增大，系统将不具备调节能力，各环节的输出量将1-5P1-2为仓库大门自动控制系统示意图。试说名自动控制大门开启和关闭的工作图P1- 动端对应的电压为uf。，可将自动控制系统的数学模型RRRRCC 图p2-12-1解：（1）2-1（a）所示电路可得cI(s) Ur(s) U(s)I(s)1 Ur(s)c

1 Ur RLs 所以：w(s)=Uc(s) Ur Lcs2RCs

RLs Cs Lcs2RCsz1

R1Cs2CCS

CRs11z C2 1 R1 C

CRs2 Cs(CRSSU Z RRC2s22RCsW(s) 122 U ZZ RRCsC(R2R)s 1 R 2R1 2RC1sZ2

C1 2R

2RC1S2-2p2-1c的等效电1U Z2C CCR2s22RCs1W(s)

2 12 Z1Z2C 2

Rp2-

解R RCs C (RCs1)(RCsW(s) C 1 0R0 //R0

R0C C

0R0C0Ur (1a)R(R )//aRR1 C C W(s)= RCs1aRCs

(R1C1s R

1 C

1(1a)R

RCs1aRCs 1 1=

(RCs1aRCs)(1a)a(RCs1 1= aRC 1 1 0=R1C1sa(1a)RC1sR1a(1a)RC1s=Ur

C2 R(R1)// R1 C C C C =1R RCs RCCsCR 1

112 0 1 C1s = (RCCs R2s(R1C1C2sC1C2)R1= (RCCsRC RCCsC 11 0 11 RRCCs2(RCRCRC)sW(s) c211 1 2 2 题2-3求图P2-3所示各机械运动系统的传XcXcXr

XcXXcX2X2X1

求图(c)

FmB

图p2-解t dxtxt ft K2xctft2-32-3（1）KXrsX1sFBsX1sFK2XcsFXsXrsX1sX1sXc

Xcs

Xcs Xrs 2K21 BK1K2sK1K2 设外力为f(t),

ftBdxrtxctft

t

dxt 2c2 dtFsBsXsms2Xs (2- 消去中间变量F(s),Xc(s) Xr smsB1B2

ftBdx1tx2tKxtxt 1 (2- K K 2FsB1sX1sXcsK1X1sX2FsB2sX2sK2X2

(2-消去中间变量F(s),

X2s B1s X1 (B1B2)sK1（4）同理可以列出方程组，如式（2-6）所示。消去中间变量X2s,整理X1sB1B2sK1K2F (B1sK1)B2sK2题2-4图P2-4所示为一齿轮传动系统。设此机构无间隙、无变形。列出以力矩Mr为输入列出以力矩Mr为输入量，转角1为MMrJ,f2,3,解设各传动部件的转矩分别为M1M2M3M4 d 1 1M1dt d 2 2M3M dtJ dJ 3 dt

McM

MiM 1 2 D1 D1M4i2 （2-消去式（2-7）中的中间变量1、2、M1、M2、M3M4，并且将转动惯量和黏性d 3

d3

（2- dt

33 Ji2Ji2i2 2 12 fi2fi2i2 2 12M3 3

JMJ

(s)Mc

[(s

)1]

, 3 (2-M3(s)Mc (Ts1)2-42-4系统的方框图

d 21

1Mc

J2

1fff2 f3 i2 1 1 （2-

(s)1rcrc。

2-52-4系统的方块题2- 磁绕组上，输出为电机位移，求传递函数W(s) ?Mf ?MfJP2-解ur(t)Rfif(t)

dif

d2 d M(t) Cki(t)IJ m1 dt M(s)CkII(s)KI(s)(Js2 m1a m式中KmCmk1Ia

(s)U (Js2fs)(RLs)I (Js2fs)(RL 数Wc(s)W(sUrRMRMMC 原动P2-解设励磁回路电流为if，发电机两端电压为egur(t)Rfif(t) fe(t)K f

dif

（2-e(t)

duc

u U(s)

L

fE(s) f

(2- Uc

Eg(s)

Eg R

RCs

W(s)Uc(s)KfIf KUr RCs1(RfLfs)If (RCs1)(RfLfX1(s)Xr(s)W1(s)W1(s)[W7(s)W8(s)]XcX2(s)W2(s)[X1(s)W6(s)X3X3(s)[X2(s)Xc(s)W5(s)]W3Xc(s)W4(s)X3解2-62-7系统的2-72-7系统等效的方框

123 123 1WWWWWWWWWW(WW23 34 123 _W1W2_+__W1W2_图P2- 图P2-解W 1HWWWH1 1212-8P2-7的等效方框

W(s) 1W1H1W2H2W3H3W1H1W3题2- 求如图P2-9所示系统的传递函数，W(s)XC(s)，W(s)XCX X(s)X W(s)XC(S) X 1WHWW 1 2-9P2-8的等效方框H2-++_WX1Wc2P2-2-102-9（1）的等效方框Xrs=0P2-92-112-112-9（2）的等效方框2-12P2-10的化简过W(s) (1HW)(1HWWWH)WWWH(WWWWH 15 P2-

UrUc R R R/ R 1 2 W(s)Uc(s) U RRRRRCs(RCs 1 023 12-12图P2-12所示为一位置随动系统，如果电机电枢电感很小可忽略不计，并且不计系统的负载和黏性摩擦，设urrufc，其中r、c分别为位置给定电位计及 ?M ?MP2-解的角位移分别为1.2.34。ur(t)uf

uk ur(t)rufcUr(s)Uf(s)Uk R R UR(s)r

(s)R1[(s)ua(t)KsukUa(s)KsUku(t)Ri(t)CnRi(t)C30d1(t)Ri(t)K a

a2

a M(t)Ci(t)(JJ)

M

30

m dt M(s)CI(s)(JJ)(s)s2M(s) m M11(t)M22(t)121 (t) 2 d22M2(J2J3M(t)M dt

M3(t)3(t) N (t) 42M4 dtM11(s)M22 2 (s)3M(JJ)(s)s2 M(s)M3(s)3(s) N c(s)4c(s) U {[(JJ 1(JJ)N2]N2N1N3J lN 3NN NN NNs 4

N1N3

1N2 R[JJ) (JJ3) (N/N)2

(N/N)2

/N

J4]ss K

N2

NNeNN

R[JJ) (JJ) J (N/N (N/N)2(N/N l Kc则c(s)1 Ua s(12-152-12系统中齿轮部分的结构Wscs Ts2s KR1K

s2-162-12系统结构题2-13画出图P2-13所示结构图的信号流图，用梅逊增益公式来求传递函数drW(s)Xc(s)，W(s)Xc(s)drXr XdP2-2-172-13的信号流令N=0，应用梅逊增益

XX

1k

Tk其中1LaLbLc，LaW1W2W3H2H3LbW2W3H2H3LcW3H31W1W2W3H2H3W2W3H2H3W3H321W1W2W3H2H3W2W3H2H3W3H

T1W1W2W3，11，T2W4

Wr(s)

XcX

W1W2W3W41W1W2W3H2H3W2W3H2H3W3H31WWWHHWWHHW 12 2 Xr=0W(s)Xc1nTdkdX k其中1LaLbLc，LaW1W2W3H2H3LbW2W3H2H3LcW3H31W1W2W3H2H3W2W3H2H3W3H3，T1W3，1

c (s)X c X 1WWWHHWWHHW 12 2 题2-14画出图P2-14Xc1(s)Xr1c2s)Xr2 解2-182-14系统（a）的信号流Xr2=0

kLa Lb LcL1LnLbLcW1W2

L2

1L1L21W1W2W1W2

T1W1，T211W2，2 Xc11TT W11W2 1 1WWWWW 1 3令Xr1=0，由梅逊公式得

kXr k（11W1W2W1W2T1W2，T211W1，2 Xc21TT W21W1 1 2 1WWWWWr 1 3（b）系统（b）2-192-192-14系统（b）得信号流Xr2=0

kkLaR1W1 LbR2W2 LcR1R2R3R4 LdW1W2W3W4LeR1R2R3W1W2W4LfR1R2L1LaLbLcLdLeLf R1W1R2W2+R1R2R3R4+L2LaLbLcLdR1R2W1W2R1R21L11R1W1R2W2R1R2R3R4

T1T2R1R211 2k k令Xr1=0，由梅逊公式得

Xr

kk1R1W1R2W2R1R2R3R4W1W2W3W4R1R2

T1T2R1R211 2 Xr

kk自动控制系统的时域分析3.11阶系统欠阻尼情况又是本书的重点，这种情况下的主要指标有：上升时间tr%、调节时间ts、峰值时间tm等，这些指标均与系统的阻尼比和自然振荡角频率n这两个参数有关，应熟练掌握它们的物理含义、计算公式和相互关系等。3.12E X数总是如下形式，即We(s)Xr

1Wks13-1一单位反馈控制系统的开环传递函数为Wk(ss(s1试求：（1）系统的单位阶跃响应及性能指标%,tr,ts,和输入量xr（t）= 输入量xr(t) Wk(s)s(s1)

s(s

2nn2 nn

1211

11.15e2sin0886t 112）% *100%e181*100% 1n3)t 1n4）ts nt(2%)

8 w5)tmwd

1nlt2 1nl11uts(5%)t

1 Xr2(s)s2， (s)W(s) (s) c rAB

s2s2sCs s2sAXc2(s)|s0Bd

CsDXe2(s)(s2s1)|s05j03 130.5 C1,D 所 X(s) s2s11

ss0.52

s0.5213133 t1e05t3

e05t 3c xr2t01tdt0xr t xc2(t)xc1dt11.15e2sin(0.86660 0 t1e05t

e05t 3313c 313当输入量xr3(t)t 输入量的拉氏变换为Xr3s) Xc3sWB(sXr3ss2s1s0.52

(t) e05t 323323因

(t)(t)d1(t)dxr1 d11.15e2sin0.866T60

(t)dxe1t 23 e05t 3232题3-

(s) s(s tm 。试确定系统参数kk 值 11. 解:P3-1t t(12(12(12%xmx()100%1.251100%25%(12

解得

(s)KK/ s(s1/与标准形式W 相 s(s2n

2 得1

20.4KK题3- 一单位反馈控制系统的开环传递函数为W(s)

n

s(s2n xr(t)=1(t) ,误差时间函数为e(t)1.4e107t0.4e373t,,求系统的阻尼比ξ、自然振荡角频率n，系统的开环传递函数和闭环传递函数、系统的稳态误差。解：由典型系统的暂态性可知，当1p(21),p(2 e(t)x(t)xc

X(s) n s(s22s2n 22222c所 x(t) 222c

e(21)nt x(t)22122所 e(t) e(21)n221221.4e107t0.4e3

21)nn21)nn

n424W(s) s(s2n s(s

W W(s) 1W s22s s24.8s e()lime(t)

KK ，试选择Ks(s

及值以满xr(t)t时，系统的稳态误差e()0.02xr(t)1(t时，系统的%30%ts(50.3s解从系统的开环传递函数

(s) s(s3-11Kxr(t=t时，eKK

所 KK

W(sWK(s) B1B

s21s 11)% 100%解得32）ts(5%)3n

w2

K K 题3-5 为常数、ξ为变数时，系统特征方程式

(s)

s22s

征方ns22s22

（|1 p1,2n （|1以n为半径的圆，如图3-1所示。 图3- 题3-5根轨迹分布解：

(s)

，W(s)

s22s s(s2wn (s) 0.2s10.4s

0.08s20.6s

0.08s20.6s1K

s27.5s

1(KK) 1 1 s27.5s1 12.5(1KK1 s27.5s12.5(1KK6.257.5 7.5246.25

0.083.752KK=1p1,23.75j3.3KK=7p1,23.75KK值时wn与ξ的计算KK=1

(s) s27.5s2wn=7.5，得ξ=0.75KK=3

(s) s27.5s 2wn=7.5，得ξ=0.53KK=7

(s) s27.5s2wn=7.5，得ξ=0.375

sin(wdt1111其中w ，11 1KK=11wd141.4xc(t)0.511.5375tsin(3.31tKK=31wd158xc(t)0.7511.179375tsin(6.0tKK=71wd16811%

trrnn nnwtmwd

ts(5%)

ts(2%)2.84%(KK

0.73(KK

t 0.949(KKt

ts稳态误0.5(KK() 题3- e--（1）求当%20%、ts(51.8s时，系统的参数k1及（2）求上述系统的位置误差系数kp、速度误差系数kv、加速度误差系数ka及相应的稳态解：（1）环传 W(s) K1K1 s(sK1K

S s2 2n KK00由 2000，00ln2ln2(ln由ts1.8n

K

K1即

KK由WK(sI3-1并根据稳态误差与稳态误差系数之间的关ep() kp1Kev()1KK

0.25 kven() ka00求（1）10，20.1时，系统的 、ts(500)0000（2）10，20时，系统的 ；ts(500)00解：（1）10，20.1时，系统的闭环传递函数为BW(s) Bs2(1102)s

s22sn 11000 000

350 ts(5 n10，20W(s)10(0.1s s22s2(s1) 2(sz)W(s) s22s z(s22s2

z1 n

(z(z)2nn12rnz11

z

arctan 11 00求最大超调量00

000 xcmaxxc()100000xc

00 ，00dxc

t

mxc(t)ttxc m1x(t) entlsin(12t 1 00 00

22rr2

(

11

00700xxc()xc(t) 或xxc()xc(t) t(5%)(3 ln) zt(2%)(4 ln) z7t(5%)(3 1ln) z

rxc(t)tt r1t(1

nt()11n1）10，20.1W(s) s(0.5sep() kpve()11v

k

evven() v

ea10，20W(s)10(0.1s s(sep() kp1ev()1

1

k vevv

e()

ea(函数。如果被控对象为Wg(s)

1)T1T2,系统要求的指标为：位置稳态误（a）W(sK（b）W(sK(s1)（c）W(sK1s1) Wk(s)Wc(s)WgWk(s)Wc(s)Wg=

(ss

12(Ts1)(Ts12KpKg(s=s(T1s1)(T2s按照系统最小实现原则，应选T1或T2（1）当T1(s) (s) s(Ts

KpKg/T2s(s1/T 1112由% 100%4.3%，得

2nn即1

将此结果代入公式ts nts1（2）当T2(s) (s) s(Ts

KpKg/T1s(s1/T 1112由% 100%4.3%，得

n2n即1

将此结果代入公式ts nts2因为T1T2，所以ts16T2ts26T1。因此，当T1时，调节时间最短。 KpKg n Kp2TK

2g222n 即n 2 2

2 2

2T2K3-10有闭环系统的特征方程式如下，试用劳斯判据判断系统的稳定性，并说明特征根在（1）S320S24S50S320S24S100S42S36S28S82S5S415S325S22S7S63S59S418S322S212S12解（1）S320S24S50S S 2S （2）S320S24S1001414-00SS168216828208F(s)=2S28SS2S5S415S325S22S72-22-21--SSS 16 - -S -191933SSS 0（12）

F(s)3s415s212F(s)12s3S S 劳斯表出现某一行（S3行）为零的情况，并且第一列元素无变号，表明该系统临界稳定，W(s) KK(0.5s s(s1)(0.5s2s试确定使系统稳定的KK值的范围1

s1 KK0.5S 0S(S1)(0.5S2Ss(s1)(0.5s2s1)KK(0.5s1)0.5s41.5s32s2s0.5KKsKKs43s34s22sKKs2KK 5(10.1K 10.5KK0.1KK

10 0KK 510.1KKK10.5K K0.1KK

解得

KKKK3-12已知系统的结构图如图P3-6所示，试用劳斯判据确定使系统稳定的Kf值范围。s11

开环传递函数：W SS2110K 闭环传递函数：WBs

fWKS1WKS系统特征方程为：1WKs

10(1S S2S110KfS3110Kf)S210S10 s 1 10s

110K当10

110K

Kf解：该系统的特征方程为：1WKs1S 0 S(S 10

所以得到系统稳定条件为K题3-14 设单位反馈系统的开环传递函数为Wk(s)s(10.33s)(10.167s)，要求闭环特征根的实部均小于-1，求K值应取的范围。Ks(0.33s1)(0.167s1)K 0.055s30.497s2sK0.055Z130.497Z12Z1K0整理得：0.055z30.032z20.171zK0.5580z z 0.265z K

K0 W(s) s(s4)(5s

W(s) 10(s s2(s4)(5sxr(ttxr(t24t5t2

s(0.25s1)(5s（1）xr(t)1(te(

（2）x(t24t5t221(t4t101t2re()204

2102.5(s 0.25(10s将原式整理得Wk(ss20.25s1)(5s1)s20.25s1)(5s1）xr(t1(te(02）x(t24t5t221(t4t101t2re()204010

240题3-16有一单位反馈系统，系统的开环传递函数为W(s) ，求当输入信号 X(t1t2X(tsinwt

(s)Xr(s)1Wk

(t1t22r

(s) 1e()limsE(s)limsXr(s)

s s01Wk s01s

s0s(sKkwXr(tsinwtXr(ss2w2wE(s)Xr(s)Xc(s)1Xr 2w W sw1W 3s2xr(t=1+t1/2t时，稳态误差的时间函数e（t解：E(s)

sXr 1Wk 13ss5s

102sE(s)

s

2 3 4rX 102s r11s

1s2

1s3

1s4动态位置误差系数为k0k110，k2e(t)1x(t)1x'(t)1x''(t)...01x'(t)13x''(t) 2xr(t=1+t1/2tx'r(t)1tx''r(t)1x'''r(t)

e(t)

1(1t) t 题3-18一系统的结构图如图，并设W(s)K1(1T1s)，W(s) K

s(1T2s分别以Xd(ss、2作用于系统时,s+-W(s)Xc(s) W2 N 1W1(s)W2e()limx(t)limsW(s)N(s)lims W2 N(s)12t s01W12

当扰动量N(s)

s22e()limx(t)lim W 1lim W 22

s01W(s)W(s)

1W(s)W

s(1

s01K1(1 s(1lim s0s(1Ts)K1K2(12

K2s0(K1K2T 1当扰动量N(s)s2时，带入（3-23）e()lim W2 1lim W2s01W(s)W(s) s0s1W(s)W s0s2(1Ts)KKKKT K 1 12 1 （2）系统的单位阶跃响应，及其%,tsXrXcs(T2sKP3-93-28解

W(s) 2(0.5s s(0.25s1)0.25s2s2X 1（1）xt1Xss，代入式（3-24）1E(s) 0.25s2se()limsE(s) s00.25s2s1xttXss21e()limsE(s)lim 0 s00.25s2sx(t1t2X(s1 e()limsE(s)

s00.25s2sW(s)Xc(s) s 4sBX 0.25s2s s24sB2(s1) 2(sz)W(s) s22s z(s22s2 8(s即W(s) 2(s24s8n812 12(z)(z)212nnrnz1 1

4n1 arctan2n1z

1x(t) entlsin(12t1

z2e2tsin(2t34t(5%)(3

1ln) z

%

22r2

(

1100%1W(s)as2bs,W(s)

c

s(10.1s)(1P3-解1W 10as2bsBW(s) g B1 s(0.1s1)(0.2s1)EsXr(s)Xc(s)[1WB(s)]Xe()lime(t)limsE(s)lims(1WB(s))X t 11

(s)

e()lims(1W(s))X lim 10(as2bs ] s(0.1s1)(0.2s1)10lims2(15500a)s50 s15s5s令e(015500a

a50500b0b 根轨迹数变为+1，其特征方程的形式有如下4种可能性mK*(szi n (spj

m(szi m （K*0 K K(spj和pj分别为等 Kg(s（1）WK(s)(s1)(s p11、p2D'(S)N(S)N'(S)D(S即s22 1(6 3628)1(68)32 根轨迹如图4-1所示。4-14-1（1）根轨迹Kg(s（2）WK(s)s(s3)(s解起点：Kg0时，起始于开环极点，即 p00、p12。实轴上的根轨迹区间为5~3和2~由公式18001n

（ pj k nk1800900 k2

3250314-24-1（2）根轨迹D'(S)NS)N'S)D(S即 s310s225s15解 s10.89,s22.5964,s3

Kg(sWK(s) (s1)(s5)(s解 p01、p15、p22）实轴上的根轨迹区间为10,5，3,

1800(1n由公式 p （ n1800(12) 3 k510136.531D'S)NS)N'S)D(Ss1s5s10s3s5s10s1s10s1s2s325s296s145因为分离点在10,5区间内，所以取 Kg(s（1）Wk(s)s22s解22 p1 j、p2 22实轴上的根轨迹区间为,2

1800(1n由公式 p （ n1800(12k222

D'(S)NS)N'S)D(S)s22s3s22s33解得s12 s22333由于实轴上的根轨迹在2,区间内，所以分离点应为s12 3sc

0n1

mimjj j

180090054.70sc2144.70。根轨迹如上（2）Wk(s)s(s2)(s22s解p10,p22,p31j,p41

1800(1n由公式

p

（

n180012)4504k2114

D'(S)N(S)N'(S)D(S s13解 s1,2,3sc

0n1

mimjj jsc11800 450sc2900gs44s36s24sKg4 4 g gg 44Kg5 s1行为零，即5s250得4s1行为零，即45Kg=0s4即根轨迹与虚轴的交点为s1,2j,此时Kg5。根轨迹如图4-5所示 D'(S)N(S)N'(S)D(SKg(sWK(s)s(s3)(s22s解1）起点：四个开环极点p0 p1 p21j、p31终点：系统有一个开环零点z1实轴上根轨迹区间为,3,2,0

1800(12) 04 0n1

m

k2324sc

ij

1800 26.60450sc226.605)与虚轴的交点s45s38s2(6Kg)s2Kg 2 6+ 86 g 6Kg

406 2 根轨迹如图4-6所示。Wk(s)

Kg(s2

s(s1)(s4s33解33起点：四个开环极点p0

p1 p22 p323)

1800(12)6004k12214 D'(S)N(S)N'(S)D(S即ss1(s24s=（s+1）2s1s24s16ss12s3s410s321s224s16因为分离点与会合点分别在,1和0,1区间内s10.45,s22.220n1

m由sc

ij sc11800 49.10180073.90sc254.805)求得根轨迹与虚轴的交点s43s312s2Kg16sKgg g Kg3

Kg- K Kg 图4- 11Kg135.7Kg223.3。分别代入辅助方程3g

s1,22.56j（Kg135.7s3,41.56j（Kg223.3K(0.1sWK(s) s(s1)(0.25s解gg

16Kg(s(s) Kg(0.1s

K(s s(s1)(0.25s

s(s1)(s

s(s1)(sp0 p1 p2p3Kg时，终止于开环零点，该系统零点为z1为~10和1~0D（s）=s4+ 所以D’(s)N(s)-N’(s)D(s)=43+272+48s+16（s+10）（s4+9s3+24s2+16s=3s4+58s1 s2渐进线倾角为：1800(12)1800(12)600 n 4jipji

22112n 4 题4- Wk

sTs1s22s解当选Kg为可变参量时，特征方程为1Wks1

NsDs

0式中，Wks为系统环传递函数；NsDs分别为开环传递函P程化为1

Qs

0的形式，并以所选可变参量代替Kg的位置，得到等效开环传递K数K

s

PQs

1

s

4sTs1s22ss2s22sss22s2

Ts sT(s22ss ss22s2起点：系统有三个极点-P12= 2终点：系统有四个零点-Z1=0，-Z2=0，-Z3,4=-1

3223由公D'sNsN'sDss2s22s22ss2s22s22s22ss22s2s22ss54s48s324s228s16s1=-3.1461，s2,3=0.3177j2.2.2802,s4,5=-0.7446根据题意，实轴上的根轨迹不在（-2，0）区间内，所以分离点s1=-3.1461. j 出射角计算由 1800n1 j j 1800900arctan2arctan 1arctan =-35.22 2 2 由sr

inmj nm 1800 0arctan 1900arctan 450

2 2（900900450900450同理，sr2=-1800W(s)K(s s2(sK解

4

s2s1Ksa即K4

31s2s1K31 11 =1 1 4ss1 ss2 4 1所以 21

2，其中14 1 1sss

1 4 ss ss 2 2起点：系统有三个开环极点P=0，P1，P1 180012 600n

3由公D'sNsN'sDs3s2+2s+14 1系统特征方程式为ss

1 2

4 1-14令1-=0，得1，即 将1-代入s2=0，解得 =j1 1即根轨迹与虚轴的交点为s1,2j2W(s) (s16)(s22s试用根轨迹法确定使闭环主导极点的阻尼比0.5和自然角频率n2Kg值。起点：系统有三个开环极点p1,21 p216

1800(1 60,

n1615 sc180jij

180(90arctan1)（s+16）(s22s2)Kg(s318s234s32K 2 32+K2 1834(32Kg)s 1834(32令

=0Kg(18s232K11)Kg(nj12n (nj121j)(j121j K(n 3n16)(n 3n1j)(n 3n1j) 令等式两边实部与实部相等，虚部与虚部相等，解得n1.90（舍去）则当0.5时，Kg=25.46.当n2111Kg(2 16)(2 1j)(2111令实部实部相等，虚部虚部相等，解得15.94(舍)20.3931（舍）将20.39代入，计算得Kg=36.4。系统的根轨迹如图所示。W(s) (s1)(s1)(s

0WK(s的形式可知，应按0起点：系统有四个开环极点p121,p3,44360nk11444Ds)N(sNS)D(s(4s324s230s8s12.22,s24,s30.224-7

WK(s)

Kg(ss2(s2)(s系统有四个开环极点（起点）p1,20,p32,p4

1800(1 60,n241 将 代入系统特征方程1+WK(s)=0，(j)2(j2)(j4)Kg(j1)

482Kg63Kg解得22,2,Kg6212s1,2j2。4-13642ImagImag---- - - - - - Real4-134-73600 n

120 241 D(s)=s2(s2)(sN'(s)D'(s)s2(s2)2s(s2)(s4)s2(s=s2(2s6)2s(s26sDs)N(sNS)D(s)0(4s318s216)(s1)s2(s26s8)s(3s316s226s16)s1=-3.1s2=0,s3,41.1248j0.68144-144-7图）和对数频率特性（Bode-Plot）的画法，在此基础上才能建立频域或是时KkKkTs1Ts2Ts2 l wks

sNTis1T2ks22kTksj k环节（实数零点）h个二阶微分环节（共轭零点。传递函数为Ts1,而实际情况可能是Ts1——44种形式所对应的幅频特性相同，相角的变化范围都是90，相频率特性却各异：Ts1arctanTTs1arctanTTs12arctanTarctanTTs1arctanT

s（1）xr1(t)sin(t300（2）xr2(t)2cos(2t450（3）xr3(t)sin(t300)2cos(2t450

W(s) WK

s 1WK 1s

sXr1tsint

Xr1s

e6 s2

sjsjeXc1sWBsXc1e es11sjsj a es sj sj11t 11t

jtj

jt6Xc1tLXc1s a2e a2e txc1t的第0 j6

6xc1ta2e a2e 6s11sj其中a2Xc1ssjs11sjsj 2 11a2

ssj

s

s11sj

s

12

1110

所 xc1t 2j11

jt6e

11

jt6e j j 6

jt 6

j1 e e11e e112j 10sint 110.91sint302A ,2121AA1121(1)arctan

xc1tAejxc1t0.905sint30（2）xr2t2cos2txr2t2cos2t452sin2txr

s22s2Xc2sWBsXr2s10s

s2xc2t

s ss ae11t11aej2t1aej2t c 稳态时，t,ae11t10，所以x taej2t1aej2t1，故只需求a和a。 a2Xc2ss c j211 j2j2a

t

1

j2 ej2t1

j2 ej2t1c 2j j2

1j2t1jarctan j2t1jarctan2121121j21.788sin2t45

11 111.788cos2t45xr2t2cos2t452sin2t121所 AA2121

w2arctan

xc2tAejxr2t0.8942sin2t451.788cos2t45xr3tsint302cos2txc3t0.905sint305.191.788cos2t45（1）W（s）=KsN

0.1s（3）W（s）=KsN

s(s

(s1)(s

ssss(s（9）W（s）=T2s2+2Ts+1(

25((0.2s1)s2+2s+1（1）W（s）=KsNN=1

W（jw）=10=-j N=2

wA（w）=

ww

W(s)

0.1s

j(=0.01w21(1j0.1w)=A(w)

时P(w)=0.01w2

(w)arctanw=0 w w

时 ，w(180arctanw=10时P(w)=-

w wW(s)Ks (K10,NN=1时W(jw)=j10w,A(w)=10w,wN=2时W(jw)=10(jw)2 w2,w（4）W(s)100.1s

5-35-2（3）W(jw)=10(0.1jw1)jwW(jw)=jw10P(w)= w100100w=0

warctan w Q(w)=A(w)= w当W(jw)=jw-10P(w)=- 100ww=0P(w)=- wP(w)=- Q(w)=A(w)= w

w180-arctan

=s(s

s(0.5s5-45-2（4） 2jw(j0.5w2= 0.25w2

jw0.25w2P(w)=0.25w2

w(0.25w22w0.25w2 ,(w)902w0.25w22

w=0 P(w)=- Q(w)=-A(w)=w P(w)= Q(w)= w4W(s)4(s1)(s

(s1)(s/2 2(jw1)(j2w2w2w2(w)-arctanw-arctan2w0～时，A(w)=2～0,(w0～180w=0 W(jw)= 0=25-55-2（5）的幅相频率特w= W(jw)=0(nm)900 s3

5-65-2（6）的幅相频率特1s s 201sjw

k3 3

3

=A(w)ej( 3w2

(w)=arctan-arctan ＞0(0＜w＜ 3w=0时，W(jw)=kk0=m

1kw时，W(jw)=k

3m 0=m

3

=15-75-2（7）的幅相频率特s s(s

0.02s(50s

105ss50sW(jw)= j5w1=jwj50w

ej( (5w)2w50w2 (w) (5w)2w50w2w=0时，W(jw)=

w=时 (nm)90=0 =- 22w0150w5-85-2（8）的幅相频率特（9）W(s)=T2s22Ts1 与式(5-1)N=0，n=0,m=2,kk1。

1T2w2+j2Tw= ej((1T2w2)(1T2w2)1Tw=022w=1时 22T

w时，W(jw(nm905-95-2（9）的幅相频率特（10）W(s)=25(0.2s1)=25(0.2ss2s

(s25(0.2w)2 w21 w=0时，W(jw)=kk25(0.2w)2w时，W(jw)=0(nm90=05-105-2（10）的幅相频率特解（1）W(s)=KsN 、

，(w)wwwAwcwc

=1,解得wc=10即对数幅频特性 5-115-3（1）时的对数频率特N=2

W(jw)=10(

A(w)=

(w)A(wc)=1wc

0.1s

交接

=

时jw(3)WsN=1时，Wjw

5-125-3（2）N=2的对数频率特j10w,Aw10w,wLw20lgAw2020lg1wc1

N=2时，Wjw10(jw)2Aw10w2wLw20lgAw2040lgwc

5-135-3（2）W2jw时的对数频率特（4）WsKTs Wjw10(j0.1w1)jwW1jw10(j0.1w1)W2jw10(j0.1w1)100A1wA2100

jwjw0.1w2L1wL2w200.1w21

warctan5-145-3（3）N=2时的对数频5-155-3(3)N=1时的对数频率特 2ww180arctan交接频w1w=0Aw10,w45,www1时，w45,wwAw,ww（5）Ws ss s0.5s5-175-3（4）W1jw的对数频率特 题5-3（4）W2jw的对数频率特Aw

Wjw jwj0.5w 2w10.5w2w2w10.5w20.5w2Lw20lg220lg0.5w2交接频w1w=1Lw20lg26作斜率为-20dB/decw=2处时，特性频率变w=0www1www4 W(s)4(s1)(s

(s1)(0.5sW(jw) (jw1)(j0.5w2212210.52arctanarctan20.52L2020.52交接频率为11,22 12，特性斜率为-2,特性斜率为-40dB/dec。相应得对数频率特性绘于图5-20.（7）W(s)s3 s/3s 20s/20(jwW(jw) 20jw3/3/320 图5- ()arctanarctan3()w21320lg L(()w21320lg

w) w)21交接频率为w1=3w2=2030<w<w1,高度20

ww1w2,特性斜率为w2w,0dB/dec。相应的对数频率特性绘于图5-21。s 105s（8）W(s) s(s s50sW(jw)w

5-215-3（7）的对数频率特j5wj50w 100.2 A() ()900arctan5warctan2 (5w)2(50w)2L(w)2020lgw(5w)2(50w)2当=1L(w2020lgw20，过此点可确定低频段渐近线的（9）W(s)T2s22Ts1(0.707W(jw)(1T2w2)(1T2w2)2(A(1T2w2)2(1T(1T2w2)2(1T2w2)2(1交接频w1=5-225-3（8）的对数频00(Tw)4((Tw)2[(Tw)2w>w1时，(Tw)4((Tw)2[(Tw)21T21T2()

90,w （10）W(s)

5-235-3（9）的对数频25s25(0.2s W(jw)

s2+2s+25(j0.2w(jw

s2+2s+5 122(w)arctan0.2w2arctanw

0,w90,w 90,w(0.2w)2L(w)20lg2520 20(0.2w)2w11w25。5-245-3（10）的对数特性频WS KT3S (1TTT ST1S1T2S KT3S SS2SWKS

e02s解（1）WS KT3S (1TTT ST1S1T2S WjN90时,Wj0nm900KjT312Wkj12

jjT1jTjK(1jT3w)(1jT1w)(1jT2 w(1T2w2)(1T2w2 K(TTTTTTw2 12 (1T2w2)(1T2w2 PwjQxlimPwK(T1T2T3)w0分析P(w)和Q(w)w为有限值时，总有P(w)<0,且Q(w)中的T1由1 11(TTTTTT)w1 1Wj得

TT12 TT12 P(wj) 1 1 2 T

T 1 1 ()90arctanT1arctanT2arctan5-255-4（1）的幅相频率特(Tw(Tw)23(Tw)21(Tw)2(Tw)22 (w)90arctanTwarctanTwarctan (Tw)21(Tw)22(Tw)(Tw)21(Tw)22(Tw)231

1T，w2T2

1T，w3T3

（2）WK(s)s(s2s100)s(0.01s20.01sW(jw)N90W(jw)(nm)900

500(100w2WK(s)[(100w2)2w2]jw[(100w2)2w2]P(w)jQ(w)P(

W(s) s[(0.1s)20.1sw[1(0.1w)2]2w[1(0.1w)2]2(w)90L(w)201g5

1[1[1(0.1w)2]2交接频率1WKS

e02Sej0

5-28的对数频率特WKj

j2A ,0.220 A()1, A0,当0 A10,02A ,0.222L2交接频率为11 （1）W（s）= K(T3s （TTT s(T1)(T 2（2）Wk（s）=s(s1)(0.2s(3)

100(0.01ss(s解(1)W（s）= K(T3s （TTT s(T 2W(j)= K(jT3 j(

=A()ej()=P()+jQ(K1K11(T1)21(T2 12 ()90arctanT3arctanT1 12 P()

K(TTTT2TT) K[TT21(TT)T2 1 1(TT)23(1TT 1令P（）=0,即2T3(T1T2Q（Q（）=0，即2(TTTTTT 1 1 2分析的解可知，因为TTT(TT,0< 1 3 轴相交，即1=（相当于代数方程无解=0时，P，Q，()=0时，P（）=K(TTT Q()= () =时 P( Q()=0,() （2）Wk（s）=s(s1)(0.2skW(j) kj(j1)(j0.2221(0.2)2()90180arctanarctanP() (21)(0.042Q()

10(0.22(21)(0.042由Q()、P()的表达式知，曲线不穿过实=0A(0A(

()=180() =时,A() () 270xlimP()5-325-5（2）的幅相频率特（3）Wk

100(0.01ss(s100110011()arctan0.0190180arctan=0A(0A(

()=180() =时,A() () 270P() Q()100(10.0121 (2xlimP()从P()中知曲线不与虚轴相交。相应的幅相频率特性曲线绘于图5-令Q(=0，得j=100，P（j）=5-335-5（3）的幅相频率特5-6P5-1所示，试写出开环传递函数的形式，并判断闭环系统是否稳定。图中P为开环传递函数在s有半平面的极点数。解 推出与之相对应的Wk(j)。这相当于由一个已知的()拟合出一个Wk(j)。需要读0,W(j)K,W(j)0分析频率特性曲线 ，可得出()=180arctanK由此推得Wk(sTsK，N=-1P=-1，Z=1+1=2，即有两个闭环极点在s右半面，故系统稳定。因为P=1，所 分析可知，当=0时，()从()=180arctanT1arctanT2arctanT3arctan (T1s1)(T2s 0,W(j)K,W(j)0()=180arctanT1arctanT2arctan所以Wks

(T1s1)(T2s1)(T3s

，其中T1T2p5-1dP=0，N=0，()180arctanT1arctanT2arctan所以Ws K(T1s ，TTT s2(Ts1)(Ts P5-1e由图得(18090arctanT1180arctanT2当时，Wj即()18090arctanT1180arctanT2x=x9090180x9090 90(180arctanT1