数学思想方法一整体思想

数学思想方法

整体思想整体思想，就是在研究和解决有关数学问题时，通过研究问题的整体形式、整体结构、整体特征，从而对问题进行整体处理的解题方法．从整体上去认识问题、思考问题，常常能化繁为简、变难为易，同时又能培养学生思维的灵活性、敏捷性．整体思想的主要表现形式有：整体代入、整体加减、整体代换、整体联想、整体补形、整体改造等等．在初中数学中的

数与式、方程与不等式、函数与图象、几何与图形等方面，整体思想都有很好的应用，因此，每年的中考中涌现了许多别具

创意、独特新颖的涉及整体思想的问题尤其在考查高层次思维能力和创新意识

方面具有独特的作用．．数与式中的整体思想例1.已知114，则a-2ab-b的值等于ab2a-2b+7ab()A.B.66C.12D.2丁7分析：根据条件显然无法计算出，b的ab值，只能考虑在所求代数式中构造出丄_1的ab形式，再整体代入求解．解：a-2ab解：a-2ab-b2a-2b+7ab2(；-1)+7ba-4-22x(-4)+7说明：本题也可以将条件变形为b—b—a二4ab即b4b，再整体代入求解.b二-4ab例2•已知代数式x2(ax5+bx3+cx)2，当；时,+2x二1x4+dx2值为3，则当;时，代数式的值为

解:因为当1时，值为，所以x二1*a+b解:因为当1时，值为，所以x二1*a+b+e从而，11+d=-(a+b+e)+2=-1+2=11+d例3．已知1+d当1时，原式x=-1a=200x+2007'b二200x+2008'a2+a2+b2+c2-ab-be-ace二200x+2009a2+b2+e2-ab-be-ae分析：要求多项式的值，直接代入计算肯定不是最佳方案，注意到a2+b2+e2—ab—be—ae=1[(a-b)2+(b-e)2+(e-a)2]，只要求得a-b，b-e，e-a这三个整体的值，本题的计算a-bb-ee-a就显得很简单了．解：由已知得，b”、,2，所a-b二b-e=—1e-a二2以，原式=1[(-1)2+(-1)2+22说明：在进行条件求值时，我们可以根据条件的结构特征，合理变形，构造出

条件中含有的模型，然后整体代入，从整体上把握解的方向和策略，从而使复杂问题简单化．方程(组)与不等式(组)中的整体思例4•已知Jx+2y二4k+1，且03，则的<0<x+y<3kI2x+y二k+2取值范围是分析:本题如果直接解方程求出,再xy代入03肯定比较麻烦，注意到条件中0<x+y<3是一个整体，因而我们只需求得，通x是一个整体，因而我们只需求得，通x+is过整体的加减即可达到目的.解：将方程组的两式相加，得：3()5k3，所以5k1,从而。5k]3，解得3(x+y)=5k+3x+y=k+10<§k+1<3-3<k<655例5.已知关于，的二元一次方程xy11x——11x——2组戸-ay—5的解为卩—5，那么关于”，的二元的解为为[x+by—11[y—6了的解为为一次方程组I3(x+y)-a(x-y)—5Ix+y+b(x-y)—11分析：如果把|x—5代入严-ay—5，解出/[y-6[x+by—11的值，再代入J3(x+y)-a(x-y)—5进行求解，应当b5Ix+y+b(x—y)—11是可行的，但运算量比较大，相对而言比较繁琐．若采用整体思想，在方程组3(x3(x+y)-a(x-y)—5中令[x+y—m,x+y+b(x-y)—11[x-y—n则此方程组变形为3m-an—5，对照第一个方程组即知；m—5，从而m+bn—11In—6x+y—5,容易得到第二个方程组的解为x-y—6的值，又简化ab,x=11的值，又简化ab1y———〔2了方程组，简便易操作．解：说明：通过整体加减既避免了求复杂的未知数的值，又简化了方程组（不等式组），解答直接简便．例6．解方程例6．解方程2x2+3x-4=52x2+3x分析：本题若采用去分母求解，过程很复杂和繁冗，根据方程特点，我们采用整体换元，将分式方程转化为整式方程来解：设解：设，则原方程变形为45，y—4=-，所以y，所以即…，解得5,1y2-4y—5=0yi=5y2=—1x=-5'xx=-5'x=1'x=-1'x=-1'122324经检验，，x，x都是原方程的解．xxxx1234说明：（1）对于某些方程，如果项中含有相同部分（或部分相同）可把它看作一个整体，用整体换元进行代换，从而简

化方程及解题过程．当然本题也可以设，将方程变形为5来解.y二y+42）利用整体换元，我们还可以解决形如3xx决形如3xx2一15+x2一12x2，从而将方程变形为315，再转化3y+——=—2y2x=yX2一1为一元二次方程来求解．例7．有甲、乙、丙三种货物，若购甲3件，乙7件，丙1件，共需3.15元；若购甲3713.154件，乙件，丙1件，共需元．现在计划41014.20购甲、乙、丙各件，共需多少元分析：要求的未知数是三个，而题设条件中只有两个等量关系，企图把甲、乙、丙各1件的钱数一一求出来是不可能的，若把甲、乙、丙各1件的钱数看成一个整体问题就可能解决．

解：设购甲、乙、丙各件分别需元、1x元、元．依题意，yz依题意，得J3x+7y+z=3.15,即[4x+10y+z=4.202(x+3y)+(x+y+z)=3.153(x+3y)+(x+y+z)=4.20的二元一次方x的二元一次方x+y+z元）程组，可得105x+4y=z1.05答：购甲、乙、丙各件共需元．11.05说明：由于我们所感兴趣的不是、、xy的值，而是这个整体的值，所以目标zx+y+z明确，直奔主题，收到了事半功倍的效果．三．函数与图象中的整体思想三．函数与图象中的整体思想例8已知和成正比例（其中、y+mx一nm是常数）n（1）求证：是的一次函数；yx（2）如果=一15时，=一1；=7时，y=一15x=一1x=71，求这个函数的解析式.y=1解：(1)因与成正比例，故可y+mx-n设y+m=k(x-n)(k丰0)整理可得y=kx-(kn+m)因k0，、(k)为常数，所以是k丰0k-(kn+m)y的一次函数.2)由题意可得方程组|-15=-k-(kn+m)[1=7k-(kn+m)解得,・k=2kn+m=13故所求的函数解析式为213・y=2x-13说明：在解方程组时，单独解出、m、km是不可能的，也是不必要的•故将”看nkn+m成一个整体求解，从而求得函数解析式，这是求函数解析式的一个常用方法・例9・若关于x的一元二次方程x

(20有一根大于，一根小于,，求x2+(a2—1)x+a—2—01—1的取值范围．a分析：此题如果运用根的判别式和韦达定理，解答此题较为X次方程困难．整体考虑，把一X次方程x2+(a2—1)x+a—2—0与二次函数y—x2+(a2—1)x+a—2联系起来，利用二次函数的图象来解题，则显得很直观，也较为容易．解：由题意可知，抛物线与轴的交点x坐标，一个交点在点(1,0)的右边，另一个交(1,0)点在点(10)的左边，抛物线图象开口向上,(—1,0)则可得：当M，0，当M，0，即x—1y<0x——1y<0

说明：（1）由于当1,1时，0,x二1x=—1y<0所以解答过程中不必再考虑…了.HH的方法在之一，在数学教学中应当引起足够的重视．四．几何与图形中的整体思想例10．如图，Z1+Z2+Z3+Z4+Z5+Z6二分析：由于本题出无任何条件，因而单个角是无法求出的．利用三角形的性质，我们将“j视为一个整体，那么应与△中的外角相等，同理，分ABCZBAcH"lE4Z3+Z4Z5+Z6”

别与ZABC，皿的外角相等，利用三角形外角和定理，本题就迎刃而解了．解：因为Z解：因为Z1+Z2=ZDABZ3+Z4二ZIBA’Z5+Z6=ZGCBtt—」根据三角形外角定理，得ZDAB角形外角定理，得ZDAB+ZIBA+ZGCB二360所以D所以DZ1+Z2+Z3+Z4+Z5+Z6二360说明：整体联想待求式之间的关系并正确应用相关性质是解决此类问题的关键．例11．如图，菱形ABCD的对角线长分别为3ABCD3和4,P是对角线AC上任4PAC一点（点p不与a，c重合），且pg"bc交AB于E，pF〃CD交AD于F，则图中阴影部分的面EpFCDADF积为解：不难看出，四边形AEPF为平行四边AEPF形，从而△OAF的面积等于△OAE的面积，OAFOAE故图中阴影部分的面积等于△ABC的面积，ABC又因为S1S11343，所以图中阴影部AABC2口ABCD22分的面积为・3说明：本题中，△OAF与△灵虽然并不OAFOAE全等，但它们等底同高，面积是相等的．因而，可以将图中阴影部分的面积转化ABC的面积•我们在解题过程中，应仔细分ABC析题意，挖掘题目的题设与结论中所隐含的信息，然后通过整体构造，常能出奇制胜．例12•如图，在正方形ABC。中，£为bc边的中点，AE平分ZBAF，试判断AF与BC+CF大小关系，并说明理由•ABAB解：AF与BC+CF的大小关系为AFSCF-分别延长AE，DC交于点G，因为E为BC边的中点，因而易证△abe沁gce，所以ab=GC'由于AE并且ZBAE"E，AB=BC，从而BC+CF=由于AE平分厶BAF，所以ZBAE5，故ZFAE5，即△AFG为等腰三角形，即a,gF，所以,AF二BC+CF说明：证明一条线段等于另外两条线段的和差，常常用截长法或补短法把问题转化为证明两条线段相等的问题，本题中我们利用三角形全等将BCcf转化为FG这一整体，从而达到了解决问题的目的.明快，而且富有创造性，有了整体思维的意识，在思考问题时，才能使复杂问题简单化，提高解题速度，优化解题过程．同时，强化整体思想观念，灵活选择恰当的整体思想方法，常常能帮助我们走出困境，走向成功．练习一、选择题（2011盐城，4,3分）已知a-b=1,则代数式2a-2b-3的值是（A.-1C・-5（2011，台湾省，26,5分）计算（250+++）-（250---）之值为何（）22A、B、C、1200D、240010（2011山东淄博10,4分）已知a是方程X2+X-1=0的一个根，则的值a2-1a2-a为（）A.-A.-1+伍B.-1±V522C.-1二、填空题1.（2011德州，14，4分）若x，x是方程x+x-1=0的两个根，则2x12+x22=．2.（2011年山东省威海市，16,3分）分解